Уравнение Кортевега-де Фриза и математические модели в социально-экономических системах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.97 ББК 22.161.8 К 89

Куижева С.К.

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики и системного анализа, ректор Майкопского государственного технологического университета, Майкоп, e-mail: [email protected]

Уравнение Кортевега-де Фриза и математические модели в социально-экономических системах

(Рецензирована)

Аннотация. Указан способ конструирования дифференциального уравнения в частных производных, описывающего математическую модель в проблеме передачи информации в учебном процессе. Для построения такой модели установлено соответствие между терминологией дифференциальных уравнений и терминологией из области передачи информации. В качестве примера рассмотрено уравнение Кортевега-де Фриза. Рассмотрены также некоторые свойства солитонов.

Ключевые слова: математическая модель, уравнение Кортевега-де Фриза.

Kuizheva S.K.

Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Higher Mathematics and System Analysis Department, Rector of Maikop State University of Technology, Maikop, e-mail: [email protected]

Korteweg-de Vries equation and mathematical models of socioeconomic systems

Abstract. In this paper we give a method of constructing Partial differential equation that describes the mathematical model of the problem of information transfer in the learning process. To construct such a model, we established a correspondence between the terminology of differential equations and that of the field of information transmission. As an example, the Korteweg-de Vries equation is examined. Also we consider some of the properties of solitons.

Keywords: mathematical model, the Korteweg-de Vries equation.

Социально-экономические системы представляют собой широкую область приложений различных математических идей и методов - от статистики до абстрактной алгебры. Существует достаточное количество пособий, в которых математические модели описаны с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений [1]. Однако применение дифференциальных уравнений в частных производных в исследовании моделей социально-экономических систем ограничено и широко не описано.

В данной статье указан способ конструирования дифференциального уравнения в частных производных, описывающего математическую модель в проблеме передачи информации в учебном процессе.

Очевидно, что для построения такой модели необходимо установить соответствие между терминологией дифференциальных уравнений и терминологией из области передачи информации.

Пусть u = u(x, t), где (x, t) e R2, - плотность передаваемой информации при взаимодействии (передатчик, приемник), (информация от преподавателя, информация от студента);

du ,

--скорость распространения информации во времени;

dt

du , --групповая скорость распространения волнового пакета информации;

dx

d2u

—- - рассеяние (дисперсия);

dx2

д 3и

—3— диссипация.

дх

Распространение информации приводит к ее рассеянию. Это утверждение математически можно записать в виде уравнения

, ди , д2и ,1Ч

к Hi = ^ (1)

где k1 - коэффициент, характеризующий среду распространения (в случае уравнения диффузии - это пористость среды); k2 - коэффициент рассеяния.

Труднее всего найти соответствие нелинейным членам, содержащимся в уравнениях. Для нахождения такого соответствия приведем следующее рассуждение.

Уравнение (1) обратимо в том смысле, что наряду с решением и = и(х, t) имеет решение вида и = -и(х, t) . Потребуем, чтобы процесс передачи информации был необратим. Для этого достаточно ввести в уравнение (1) нелинейный (квадратичный) элемент, описывающий данное взаимодействие. В случае электромагнитного излучения (передатчик-приемник) в качестве модели необратимости берется детектор из полупроводникового элемента. В случае «холод-тепло» необратимость (энтропию) обеспечивает второй закон термодинамики. В учебном процессе необратимостью являются все виды отчетности. Преподаватель отдает часть своих знаний студенту, потом студент возвращает часть своих знаний преподавателю. Такое взаимодействие можно задать в модели в виде квадратичной зависимости и2 или и (с1 - и), где в качестве с1 можно взять итах - максимальный (требуемый по программе) объем информации, получаемый студентом. Можно учесть еще тот факт, что обратная передача информации происходит с некоторой задержкой времени, т.е. имеем квадратичность вида и(х, t)( - и(х, t + г)), где т - время задержки. Ограничимся выбором взаимосвязи вида к3и(с - и), где k3 - размерный коэффициент.

Таким образом, введение необратимости приводит уравнение (1) к виду

ди д2и

к, — = к2—- + к3и(с - и). (2)

1 dt дх2 3 1

Уравнение (2) содержит нулевое решение. Такое решение нежелательно при передаче информации (холостой ход). Поэтому добавим в уравнение (2) некоторую константу с2, смысл которой состоит в том, что уравнение может иметь постоянное решение (некоторый постоянный уровень передачи информации). Итак, получаем уравнение:

ди д2и

к— = к2—- + к3и(с - и) + с2, (3)

1 дt 2 дх2 3 1 2

В стационарном случае уравнение (3) после дифференцирования превращается в стационарное уравнение Кортевега-де Фриза:

д3и ди к ди

3 2к3и h к3С дх дх дх

Смысл дифференцирования можно толковать как переход от одних величин к дру-

д2и дъи

-7 к -3

дх дх3

Таким образом, построена математическая модель распространения информации с помощью уравнения Кортевега-де Фриза (4). Поскольку уравнение Кортевега-де Фриза имеет волновые и солитонные решение, подробнее опишем отличие солитона и волны.

к2—- - 2км — + Lc, — = 0. (4)

гим. Например, переход от к —- есть переход от свойства дисперсии к диссипации.

Уединенные волны и солитоны

Термины «уединенная волна» и «солитон» относятся к частным решениям нелинейных волновых уравнений. Для выявления более точного определения этих двух терминов требуется количественное описание качественных свойств, которыми наделяются эти термины при первичном определении. А именно, во-первых, сохранение формы и скорости отдельного волнового пакета, во-вторых, асимптотическое сохранение формы и скорости нескольких пакетов после взаимодействия [2].

Подойдем к определениям уединенной волны и солитона с энергетической точки зрения. Само волновое уравнение (Кортевега-де Фриза) есть результат равновесия двух (двойственных) факторов: накопление энергии (нелинейности) и ее рассеяние (дисперсия). Для некоторых волновых уравнений, содержащих как нелинейные члены, так и дисперсионные, взаимное влияние компенсируется таким образом, что уравнения обладают решениями, которые сохраняют формы и скорости отдельного волнового пакета. Такие решения неточно называют уединенными волнами. Если удается обнаружить, что имеет место асимптотическое сохранение формы и скорости нескольких пакетов после взаимодействия, то такие решения называют солитонами.

Итак, дадим точные определения в терминах плотности энергии. Пусть волновое уравнение имеет решением уединенную волну с плотностью энергии, являющейся некоторой локализованной функцией е0(х-пг). Возьмем несколько таких уединенных

волн с произвольными начальными скоростями и положениями. Тогда плотность энергии х, г) такого решения имеет вид:

п

8(хг) х-а -).

г=1

Пусть эта конфигурация волн будет меняться при г ^ по закону:

п

е( х, г) ^ ^ е0( х - а - п^ + Si),

г=1

где - некоторые постоянные векторы. Тогда такая уединенная волна называется со-

литоном. Векторы описывают возможность твердого перемещения солитонов с их

первоначальных траекторий.

Таким образом, все солитоны являются уединенными волнами, но обратное неверно.

Приведем основополагающий пример [2]. Рассмотрим уравнение движения

п" + т2п -Лп3 = 0, (5)

где Л и т2 - положительные постоянные.

Решением уравнения (5) является функция:

п( х) = ±(т /4Л)ги(т / >/2)( х - х0)). (6)

Плотность энергии волны вычисляется по формуле:

е(х) = -2п'2 + и(п) ,

где и(п) = -4 л(п2 - т2 / л) , откуда следует, что

е(х) = ±{т4 / 2Л)$еИ4 (т(х - хо)/72). (7)

Схематический график функции (7) представлен на рисунке 1. Полная энергия волны дается выражением:

M = j*s(x)dx -

2л[2

m

3 Л

(8)

Рис. 1. Схематический график функции (7)

Интеграл (8) можно нормализовать следующим образом:

M |s(x)dx = 1.

(9)

Сравнивая график плотности энергии (7), условие (9) и дифференциальную плотности нормального распределения (модель диффузии), отмечаем схожесть, что подчеркивает их универсальность.

С этой точки зрения полезно сравнить уравнение Кортевега-де Фриза с уравнением диффузии (теплопроводности). Тогда обнаруживается полнота рассуждений в том смысле, что уравнение Кортевега-де Фриза - порождение энергетических факторов двойственности, а уравнение диффузии - порождение фактора отличия частиц между собой.

Эти утверждения в дальнейшем будут детализированы и предъявлены математически точные описания.

Продолжим исследования по этому вопросу. Известно, какие из слагаемых волнового уравнения ответственны за тот или иной фактор. Даже самая малая диссипация энергии приводит за достаточно большое время к затуханию волны. Дисперсия приводит к расплыванию волнового пакета, что также за достаточно большое время может исказить решение до неузнаваемости. Нелинейные эффекты приводят к «закручиванию фронтов» в решении [3].

Из вышесказанного следует заключить, что в энергетическом отношении солитон представляет собой результат точного баланса между нелинейностью, которая обуславливает пространственную локализацию энергии, и дисперсией, приводящей к рассеянию энергии. Эволюция начального импульса возмущения, локализованного в пространстве и времени, в совокупность конечного числа солитонов есть следствие этого баланса как некой естественной тенденции. Поэтому солитон можно считать фундаментальным понятием, тогда как действие одной только дисперсии и нелинейности и соответственно порождение ударной волны и расплывание волнового пакета - крайностями в проявлении тех или иных свойств среды при волновом движениии [4].

Приведем пример применения уравнения типа Кортевега - де Фриза в математических моделях [5].

Рассмотрим дифференциальное уравнение Кортевега-де Фриза - Бюргерса

и( + (аи + Р)их + уиххх = (аих + Ъих() х, (10)

где а, Р, у, а, Ъ - некоторые постоянные.

Известно, что уравнение Кортевега-де Фриза - Бюргерса описывает следующие явления:

- распространение уединенных волн (солитонов) на мелкой воде;

- перенос почвенной влаги в зоне аэрации с учетом ее движения против потен-

**

циала влажности .

Частным случаем уравнения Кортевега-де Фриза - Бюргерса является уравнение Хопфа и{ + иих = 0 , решения которого обладают свойством опрокидывания или градиентной катастрофы. Математически это означает, что в некоторый момент времени производная их обращается в бесконечность и после этого и как функция от х перестает быть однозначной.

Чтобы компенсировать явление опрокидывания волн, в уравнение Хопфа вводится иххх. Явление, соответствующее иххх, называется диссипацией энергии распространения волн. Даже самая малая диссипация энергии приводит за достаточно большое время к затуханию волны. При этом возникает уравнение Кортевега-де Фриза. Отличие солитонов от обычных волн заключается в том, что амплитуда волны зависит от скорости распространения. Эта связь делает волну упругой или, как говорят, частицеподоб-ной. Иными словами, солитон - это макроскопическое проявление дуализма волны и частицы.

Найдено решение уравнения (6) в виде уединенной волны, схематический график решения представлен на рисунке 2; солитон - на рисунке 3.

Взаимодействие солитонов

В работе [6] было кратко описано преобразование Бэклунда, позволяющее по известным решениям уравнения Кортевега-де Фриза построить новое решение. Это обстоятельство берется за основу так называемого взаимодействия солитонов.

Зона аэрации - самая верхняя зона земной коры между дневной поверхностью и зеркалом грунтовых вод. Значительная часть пустот зоны аэрации занята парами воды и воздухом. Вода в ней находится в состоянии гигроскопической, пленочной и капиллярной влаги и только временно в ней появляется гравитационная вода (верховодка). Водный режим зоны аэрации в значительной степени определяется гидрометеорологическими условиями земной поверхности.

** Потенциал влажности - характеристика состояния влаги в материале, определяющая влаго-перенос. Наличие градиента потенциала влажности является единственной причиной влагопереноса. Для практического использования потенциала влажности необходимо иметь его шкалу и зависимость потенциала от влажности и температуры материала.

По определению солитон - уединенная волна, сохраняющая свою форму при взаимодействии (столкновении) с другим солитоном. Математическая модель, описывающая взаимодействие солитонов, задается алгебраическим соотношением между тремя решениями u = -wx , u1 = -w1x, u2 = -w2x уравнения Кортевега-де Фриза:

т2 - т\ /пч

w = —-L, (11)

W2 - W1

где m1, m2 - некоторые постоянные. При этом решение задачи Коши уравнения Корте-вега-де Фриза рассматривается в классе быстроубывающих функций, т.е. lim u = 0.

Соотношение (11) называют преобразованием Бэклунда для уравнения Кортевега-де Фриза. Более подробно о появлении соотношения (11) при интегрировании линейных дифференциальных уравнений второго порядка изложено в работе [6].

Отметим, что соотношение (11) можно рассматривать как формулу суперпозиции в случае двух солитонов. Взаимодействие двух солитонов при асимптотическом поведении решения u(x) при x ^ и фиксированном значении t осуществляется с помощью соотношения (1) следующим образом [7]. Функции w1, w2 удовлетворяют уравнениям Риккати с постоянными коэффициентами:

2 2 W1x =-m1 + W1 , W2x =-m2 + W2 .

Так как u = -Wx и lim u = 0, то lim w2 = m1, lim w\ = m2.

x^+ад x^+w x^+ад

Из равенства (7) получаем:

—2 - mx (^— ^—) 1

л—2-V—

Воспользуемся формулой суммы убывающей геометрической прогрессии:

1 1 2

= 1 + q + q2 + —,

где q =

1-q

(w1 -л—1 )-(w2 -Л—j

m2 -Л m1

Тогда соотношение (1) перепишется в виде:

w=(— ^V—T )■( 1+(W1 -V—j- (wi_-Vm1)+—

m2 -yl — J

(12)

Равенство (12) показывает, что при х двухсолитонные решения, задавае-

мые формулой (11), ведут себя асимптотически как два отдельных солитона. При этом наблюдается появление некоторой константы, которую можно толковать как сдвиг фаз односолитонных решений при взаимодействии. Следовательно, формулу (8) можно рассматривать как принцип суперпозиции. Формулу (12) можно рассмотреть и в обратном порядке. Тогда имеем сумму двух отдельных солитонов, образующих новый солитон со сдвигом. Это как раз и подтверждает факт того, что уединенная волна является солитоном.

Таким образом, количественно описаны заявленные выше свойства солитонов.

Примечания:

1. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. М.: Высш. шк., 1995. 303 с.

2. Раджараман Р. Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля: пер. с англ. М.: Мир, 1985. 414 с.

3. Теория солитонов. Метод обратной задачи / В.Е. Захаров, С.В. Манаков, С.П. Новиков, Л.П. Питаевский; под ред. С.П. Новикова. М.: Наука, 1980. 320 с.

4. Губанков В.Н. Солитоны. М.: Знание, 1983. 64 с.

5. Куижева С.К, Паланджянц Л.Ж.. О волновых решениях уравнения Кортевега-де Фриза-Бюргерса // Прикладные аспекты геологии, геофизики и геоэкологии с использованием современных информационных технологий: материалы Междунар. науч.-практ. конф. Майкоп: Изд-во Магарин О.Г., 2011. С. 123-129.

6. Куижева С.К., Паланджянц Л.Ж. Преобразование Бэклунда и интегрируемые потенциалы // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2014. Вып. 2 (137). С. 1116. URL: http://vestnik.adygnet.ru

7. Солитоны в действии: сб. ст. / под ред. К. Лон-грена, Э. Скотта. М.: Мир, 1981. 312 с.

References:

1. Nakhushev A.M. Equations of mathematical biology. M.: Vyssh. shk., 1995. 303 pp.

2. Rajaraman R. Solitons and instantons in quantum field theory: transl. from English. M.: Mir, 1985. 414 pp.

3. Theory of solitons. Method of the inverse problem / V.E. Zakharov, S.V. Manakov, S.P. Novikov, L.P. Pitaevskiy; ed. by S.P. Novikov. M.: Nauka, 1980. 320 pp.

4. Gubankov V.N. Solitons. M.: Znanie, 1983. 64 pp.

5. Kuizheva S.K., Palandzhyants L.Zh. On wave solutions of Korteweg-de Vries-Burgers equation // Applied aspects of geology, geophysics and geoe-cology and theuse of modernin formation technologies: materials of the International scient. and practical conf. Maikop: O.G. Magarin's Publishing House, 2011. P. 123-129.

6. Kuizheva S.K., Palandzhyants L.Zh. Bäcklund transformation and integrable potentials // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2014. Iss. 2 (137). P. 11-16.

URL: http://vestnik.adygnet.ru

7. Solitonsin operation: coll. of art. / ed. by K. Longren, E. Scott. M.: Mir, 1981. 312 pp.