Об уравнениях типа Кортевега де Фриза с более сильными нелинейностями, решения которых имеют вид солитона Текст научной статьи по специальности «Математика»

••• Известия ДГПУ. Т. 11. № 3. 2017

••• DSPU JOURNAL. Vol. 11. No. 3. 2017

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Физико-математические науки / Physics and Mathematics Science Оригинальная статья / Original Article УДК 517. 956. 4.

Об уравнениях типа Кортевега де Фриза с более сильными нелинейностями, решения которых имеют вид солитона

© 2017 Зайнулабидов М. М. 1, Зайнулабидова З. М. 1 2, Зайнулабидов Г. М. 1

1 Дагестанский государственный педагогический университет, Махачкала, Россия; e-mail: [email protected]; [email protected]

2 Многопрофильный лицей № 5, Махачкала, Россия; e-mail: [email protected]

РЕЗЮМЕ. Цель исследования - показать возможности обобщения уравнения Кортевега де Фриза с одной стороны усилением нелинейностей, а с другой - заменой оператора типа Фурье на оператора типа Лапласа или Даламбера так, чтобы решения имели вид солитонов. Метод. Исследования проводились методом поиска представления решения в виде сложной функции, которая приводит уравнения к ранее изученным. Результаты. Доказана теорема о существовании представления решения уравнений в виде сложной функции, которая является композицией решения нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения и линейных и нелинейных уравнений в частных производных. Выводы. Из полученных результатов следует, что математические модели достаточно сложных процессов естествознания могут оказаться композициями более простых процессов.

Ключевые слова: уравнение, Кортевег де Фриз, нелинейность, Фурье, Лаплас, Даламбер, функция.

Формат цитирования: Зайнулабидов М. М., Зайнулабидова З. М., Зайнулабидов Г. М. Формирование корневой системы ячменя в связи с сортовыми особенностями // Известия Дагестанского государственного педагогического университета. Естественные и точные науки. 2017. Т. 11. № 3. С. 8-12.

On Korteweg de Vries-type Equations with Stronger Nonlinearities, Solutions of Which Have the Form of Soliton

© 2017 Zaynulabidov M. M. 1 Zaynulabidova Z. M. 1 2, Zaynulabidov G. M. 1

1 Dagestan State Pedagogical University, Makhachkala, Russia; e-mail: [email protected]; [email protected]

2 Multidisciplinary Lyceum No 5, Makhachkala, Russia; e-mail: [email protected]

ABSTRACT. The aim of this study is to show the possibility of generalization of Korteweg de Vries-type equations on the one hand by increasing of nonlinearities and - on the other - the replacement of the operator of Fourier type to the operator type of the Laplace or D'Alembert so that the solutions have the form of solitons. Method. The research is conducted using the search solution method in complex functional form,

Естественные и точные науки •

Natural and Exact Sciences •••

which leads to the previously studied equations. Results. The authors prove a theorem about the existence of model of equations solution in the form of a complex function, which is the composition of the solution of nonlinear ordinary differential equations and linear and nonlinear equations in partial derivative. Conclusions. According to obtained results the mathematical model of rather complicated processes of natural science can be composition of more simple processes.

Keywords: equation, Korteweg de Vries, nonlinearity, Fourier, Laplace, D'Alembert, function.

For citation: Zaynulabidov М. М., Zaynulabidova Z. М., Zaynulabidov G. М. On Korteweg de Vries-type Equations with Stronger Nonlinearities, Solutions of Which Have the Form of Soliton. Dagestan State Pedagogical University. Journal. Natural and Exact Sciences. 2017. Vol. 11. No. 3. Pp. 8-12. (In Russian)

Введение

Как известно, при математическом моделировании волновых процессов во многих задачах физики плазмы, физики твердого тела, гидродинамики, квантовой теории поля, биофизики, химической кинетики, волоконной оптики и др. с учетом дисперсии получается уравнение Кортевега де Фриза (КдФ) [1, с. 312-327]

Щ + иих + Риххх = 0, (1) со слабой нелинейностью иих. Решение (1), которое можно представить в виде нелинейной волны неизменной формы и называют уединенной волной или солито-ном, имеет как теоретическое, так и прикладное значение в общей теории нелинейных уравнений математической физики.

Настоящая статья является продолжением исследований, отраженных в работах [2-6], и посвящена исследованию некоторых нелинейных уравнений типа КдФ с сильными не-линейностями и их аналогов с операторами типа Лапласа или Даламбера вместо операторов типа Фурье, решения которых могут быть получены в виде солитонов.

Материалы и методы исследования Рассмотрим уравнения

д

— + риххх) + 6[Ь(и)и^х + Ь (и)ихихх\

дх

+

/ЗЬ''(u) — b'(u)b(u)

Р

= о,

(2)

ut + fiuxxx + 3b(u)uxuxx pb'(u) — b2(u)

_ д

—3ôb(u)ui — ox

Uy

Uy

■ +

P

b(u)ux

■uz- —

p

= о,

(3)

где p,8 — действительные параметры, b(u) — дважды дифференцируемая заданная

функция, в которых линейная часть оператора КдФ сохранена, а слабая нелинейность заменена сильными нелинейностями.

Справедлива следующая теорема: решения и(х,£) уравнений (2), (3) представимы в виде и = у[ф(х, £)], где у(ф) — решение нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения

Ру''(<р) + Ь[у(<р)]у'2(<р) = 0, (4) а ф(х,Ь) — решение нелинейных уравнений

^ [У'((рг + Рфххх)] — 3Ру"((р2х — (рх(рххх)

= 0, (5)

У'(<р1 + Р<Рххх) — 3&РУ'' ((р1х — <Рх<Рххх) = 0, (6) соответственно.

Доказательство: в (2) и (3) введем замену и(х, Ь) = у[(р(х, £)]. (7)

С учетом

Щ = У' <Риих = У 'фх^хх = У' ' +

У'<Рхх,^ххх = У"'<р1 + 3У"<Рх<Рхх + У,(Рххх уравнения (2), (3) могут быть переписаны соответственно в виде

т- Ъ'((Р1 + Р<р XXX + (Рх(Рххх)

+ 6Ь(у)у'2 фхх

+<piw'(<p) —

2b(y)y'

p

+

4b(y)y'' + Ь'(у)у

2

р

+

= 0, (8)

У ' (Pt + рфххх) + 35/Зу ' ' ((рх(рххх — vlx)

+ <pl \Ф'+ Ь(у)

2 , д ( фх) — 35Ь(у)у срх-^—1}

= 0, (9)

2

где ф(ф) = ф[у(ф)] = ру'' + Ь(у)у' .

••• Известия ДГПУ. Т. 11. № 3. 2017

••• йБРи JOURNAL. Уо!. 11. N0. 3. 2017

Из (8), (9) при тр(<р) = 0 получаем (5), (6) соответственно, что в силу (4) и доказывает теорему.

Общее решение нелинейного уравнения (4) в неявной записи имеет вид

У(<Р) / т \

Ф = с1 | ехр (1| Ь(Ь)М + с2,

(10)

где с1 и С2 — произвольные постоянные. В том случае, когда из (10) можно явно определить у(ф), при условии, что у'(ф) Ф 0, для определения ф(х,Ь) получаем нелинейные уравнения в частных производных

д

-^[У'(<Р1+Р<Рххх)\

+ 3Ь(у)у' ((р1х — (Рх(Рххх) = 0,(11)

(рг + ру XXX

+ 35Ь(у)у' ((р1х — ФхФххх)

= 0,

(12)

характерной особенностью которых является наличие в них линейного оператора + @фххх и нелинейного оператора — ФхФххх-

Это обстоятельство позволяет определить достаточно широкий класс решений уравнений (11), (12) как функцию ф(х,Ь), которая одновременно является решением линейного уравнения

(р1+Р(рххх = 0, (13) и нелинейного уравнения

4>1х — ФхФххх = 0, (14)

Легко показать, что общее решение ф(х, Ь) уравнения (14) имеет вид

<р(х, Ь) = С1(Ь)ехр[с2(Ь)х\ + с3(Ь), (15)

где с1,с2,с3 — произвольные функции только от

Подбирая функции с1, С2, с3 так, чтобы (15) было решением (13), получим, что функция

<р(х, V) = аехр[а(х — ра2Ь)\ + Ь, (16)

где а,Ь,а — произвольные постоянные, определяет достаточно широкий класс решений (11), (12).

Подставляя (16) в (10) с учетом (7), получим представление решений и(х, Ь) уравнений (2), (3) в неявном виде

ехр[а(х — ра2Ь)\

и(х{) / т \

= А I ехр(11 Ь(Ь)м\йт + В, (17)

где А Ф 0 и В — произвольные постоянные.

Можно указать достаточно широкий класс функций Ь(Ь), для которых из (17) получается явное представление для и(х, Ь).

В самом деле, пусть Ь(Ь) = ^ттт , где

з

д(£) — любая дважды дифференцируемая и однозначно обратимая функция, для которой д'(1) > 0.

Тогда (17) примет вид уравнения

д'(0)[ехр[а(х — ра2Ь)\ — В} + Ад(0) = Ад(и), (18)

однозначно разрешимого относительно и(х, Ь).

Следует обратить внимание на то, что уравнения (2) и (3) четвертого и третьего порядков соответственно, имеют вполне допустимое единое представление решений

и(х, Ь) в виде одной формулы (17).

1

В случаях Ь (и) = 1,Ь (и) = - , рассмотренных в [2\, когда 5 = 0, уравнение (18) будет иметь соответственно вид

ехр[а(х — ра2Ь)\ = Арехр (^Л — Ар + В,

Р

ехр[а(х — ра2Ь)\

р (1\1 1+1 = А^—( — ) и Р

р + 1\т0) + В, где Ь >т0 > 0,

1 + р ~г

> 0.

Отсюда получаем решения и(х, Ь) уравнений (2) и (3), соответствующие этим случаям в явном виде

и(х, Ь) = р\п

ехр[а(х — ра2Ь)\ + Ар — В

лр

1

Естественные и точные науки ••• 11

Natural and Exact Sciences •••

(ехр[а(х — ^а2Ь)] — В

и(х, ^ = { —

р

в + 1

Наряду с (2) и (3) указанным способом могут быть исследованы уравнения

д 1 д г

— (utt + риххх) + -— [Ь(и)щ]

¿хх + Ь (U)UX'UXX]

+ 6[b(u)u'Xx + b' (и)ихихх] +

РЬ' '(u)-b'(u)b(u)

Р

-и

4 _

0, (19)

Ь(и)

utt + @иххх +—т;—иХ + 3b(u)uxux

Р

+

/ЗЬ'(и) - bX(u)

Р

7 9

3Sb(u)uX~

и

хх b(U)Ux

= 0,

(20)

^ Р

которые можно считать эллиптическим и гиперболическим аналогами этих уравнений соответственно.

В результате замены (7), где у(ф) — решение (4), уравнения (9) и (20) сводятся к нелинейным относительно и(х, Ь) уравнениям

^ [У'((Ри + РУххх)] — 3РУ'' ((р1х — (Рх^ххх) = 0, (21)

У' ((Ри + Р<Р XXX

) — 38(3у'' (ср2хх

ФхФхххд

= 0 (22)

соответственно, характерной особенностью которых является наличие линейного Фп+РФххх и нелинейного (р1х — <Рх<Рххх операторов.

Из общего решения (15) уравнения (14), подбирая произвольные функции

с1 (Ь), Сх (О, С3 (Ь), можно получить решение уравнения + Р<рххх = 0 и достаточно широкий класс решений (21), (22), предста-вимых в виде

(р(х,г) +лг + в

eax{acos/pa3t + bs\n/pa3t),pa'i >0 еах (a ch J-pa3t + bsh J-pa3t) ,/За3

(23)

< 0

где А, В,а,Ь — произвольные действительные постоянные.

Функция (23) может быть использована при исследовании (21) и (22) точно так же, как функция (16) - при исследовании уравнения КдФ в [1, с. 320-326].

Заключение

Полученные результаты показывают, что при математическом моделировании процессов естествознания могут появиться дифференциальные уравнения с достаточно сложными нелинейностями, в зависимости от требуемых ограничений протекания процесса, которые подбором удачных преобразований сводятся к более простым. Естественно, в каждом конкретном случае требуется найти подходящие методы, поиск которых является актуальной задачей науки.

Литература

1. Мартинсон Л. К., Малов Ю. И. Дифференциальные уравнения математической физики. М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002. 367 с.

2. Зайнулабидов М. М., Зайнулабидов Г. М., Зайнулабидова З. М. Об одном обобщенном варианте уравнения Бюргерса // Известия Дагестанского государственного педагогического университета. Естественные и точные науки. 2012. № 1 (18). С. 9-12.

3. Зайнулабидов М. М., Зайнулабидов Г. М.,

Зайнулабидова З. М. О некоторых нелинейных

уравнениях типа Бюргерса и Кортевега де Фриза

// Материалы научной конференции «Функцио-

нально-дифференциальные уравнения и их при-

ложения». Дагестанский государственный уни-

верситет. Махачкала, 2013. С. 126-128.

4. Зайнулабидов М. М., Зайнулабидов Г. М., Зайнулабидова З.М. О некоторых нелинейных уравнениях типа Кортевега де фриза // Известия Дагестанского государственного педагогического университета. Естественные и точные науки. 2013. № 2. С. 6-8.

5. Зайнулабидов М. М., Зайнулабидова З. М. К теории нелинейных уравнений волновых процессов // Информационные технологии в образовании и науке (ДАГИТО-2014). Вып. 5. Махачкала, 2014. С. 177-179.

6. Зайнулабидов М. М., Зайнулабидова З. М. О двумерных уравнениях Бюргерса и Кортевега де Фриза // Информационные технологии в образовании и науке (ДАГИТО-2015). Материалы VI Региональной научно-практической конференции. Вып. 6. Махачкала: ДГПУ, 2015. С. 136-140.

12 ••• Известия ДГПУ. Т. 11. № 3. 2017

••• DSPU JOURNAL. Vol. 11. No. 3. 2017

Естественные и точные науки ••• 13

Natural and Exact Sciences •••

References

1. Martinson L. K., Malov Yu. I. Differentsial'nye uravneniya matematicheskoy fiziki [Differential equations of mathematical physics]. Moscow, N. E. Bau-man MSTU Publ., 2002. 367 p. (In Russian)

2. Zaynalubidov M. M., Zaynulabidov G. M., Zaynulabidova Z. M. About single generalized variant of the Burgers equation. Izvestiya Dage-stanskogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universiteta. Estestvennye i tochnye nauki [Proceedings of Dagestan State Pedagogical University. Natural and Exact Sciences]. 2012. No. 1 (18). Pp 9-12. (In Russian)

3. Zaynulabidov M. M., Zaynulabidov G. M., Zaynulabidova Z. M. On some nonlinear type equations of Burgers and Korteweg de Vries. Materialy nauchnoy konferentsii «Funktsional'no-differentsi-al'nye uravneniya i ikh prilozheniya» [Proceedings of the scientific conference "Functional differential equations and their applications"]. Dagestan State University. Makhachkala, 2013. Pp. 126-128. (In Russian)

4. Zaynulabidov M. M., Zaynulabidov G. M., Zaynulabidova Z. M. On some nonlinear equation

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ Принадлежность к организации

Зайнулабидов Мансур Магомедович,

кандидат физико-математических наук, профессор, кафедрa высшей математики, факультет математики, физики и информатики (ФМФиИ), ДГПУ, Махачкала, Россия; e-mail: [email protected]

Зайнулабидов Газимагомед Магомедович, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра технологии и методики обучения, факультет технологии и профессионально педагогического образования (ФТиППО), ДГПУ, Махачкала, Россия; e-mail: [email protected]

Зайнулабидова Заира Мансуровна,

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры технологии и методики обучения, ФТиППО, ДГПУ, заместитель директора по научно-методической работе, МБОУ «Многопрофильный лицей № 5», Махачкала, Россия; e-mail: [email protected]

of type Korteweg de Vries. Izvestiya Dagestanskogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universiteta. Estestvennye i tochnye nauki [Proceedings of Dagestan State Pedagogical University. Natural and Exact Sciences]. 2013. No. 2. Pp. 6-8. (In Russian)

5. Zaynulabidov M. M., Zaynulabidova Z. M. To the theory of nonlinear equations of wave processes. Infor-matsionnye tekhnologii v obrazovanii i nauke (DAGITO-2014) [Information technologies in science and education (DAGIT0-2014)]. Issue 5. Makhachkala, 2014. Pp. 177-179. (In Russian)

6. Zaynulabidov M. M., Zaynulabidova Z. M. On two-dimensional equations of Burgers and Korteweg de Vries. Informatsionnye tekhnologii v obrazovanii i nauke (DAGITO-2015). Materialy VI Regional'noy nauchno-prakticheskoy konferentsii [Informational technologies in education and science (DAIT0-2015). Proceedings of the 4th Regional scientific-practical conference]. Issue 6. Makhachkala, DSPU Publ., 2015. Pp. 136-140. (In Russian)

INFORMATION ABOUT THE AUTHORS Affiliations

Mansur M. Zaynulabidov, Ph. D. (Physics and Mathematics), professor, the chair of Advanced Mathematics, the faculty of Mathematics, Physics and Computer Science (FMPCS), DSPU, Makhachkala, Russia; e-mail: nauka_dgpu@mail .ru

Gazimagomed M. Zaynulabidov, Ph. D. (Physics and Mathematics), assistant professor, the chair of Technology and Its Teaching Methods, the faculty of Technology and Professional Pedagogical Education (FTPPE), DSPU, Makhachkala, Russia; e-mail: [email protected]

Zaira M. Zaynulabidova, Ph. D. (Physics and Mathematics), assistant professor, the chair of Technology and Its Teaching Methods, FTPPE, DSPU; deputy director for Science and Methods, MBEI "Multidisciplinary Lyceum No 5", Makhachkala, Russia; e-mail: [email protected]

Принята в печать 28.06.2017 г.

Received 28.06.2017.