О нелинейных математических моделях некоторых задач естествознания, когда искомая величина является функцией времени и линейного перемещения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Химические науки / Chemical Science Оригинальная статья / Original Article УДК 54+517. 956 / UDC 54+517. 956

О нелинейных математических моделях некоторых задач естествознания, когда искомая величина является функцией времени и линейного перемещения

© 2016 Зайнулабидов М. М., Зайнулабидов Г. М., Зайнулабидова З. М.

Дагестанский государственный педагогический университет, Махачкала, Россия; e-mail: [email protected]; [email protected];

[email protected]

РЕЗЮМЕ. Цель исследования. Данные исследования преследует цель показать на конкретных примерах нелинейных дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка при определенных значениях переменных, возможность изучения явлений и процессов естествознания с учетом мгновенных критических состояний среды. В статье проведено исследование двух нелинейных дифференциальных уравнений с вырождением порядка, которые являются математическими моделями нелинейных химических реакций и биологических явлений. Метод исследования. Исследование задач для нелинейных уравнений с оператором Бюргерса, допускающие вырождение порядка, проведено методом поиска преобразований и замены переменных, сводящих их к линейным задачам, которые могут быть решены методом разделения переменных. Результаты исследования. Получены решения задач Коши для двух модельных нелинейных уравнений с оператором Бюргерса, порядок которых вырождается на некоторых линиях области поиска решений. Выводы. Из полученных результатов следует, что при изучении явлений и процессов естествознания методом математического моделирования могут появляться нелинейные дифференциальные уравнения достаточно сложной структуры, исследование которых является актуальной задачей науки.

Ключевые слова. Математическое моделирование задач естествознания, закон сохранения, оператор Бюргерса, уравнение с вырождением порядка, задача Коши.

Формат цитирования: Зайнулабидов М. М., Зайнулабидов Г. М., Зайнулабидова З. М. О нелинейных математических моделях некоторых задач естествознания, когда искомая величина является функцией времени и линейного перемещения // Известия Дагестанского государственного педагогического университета. Естественные и точные науки. Т. 10. № 3. 2016. С. 15-20.

Nonlinear Mathematical Models of Some Problems of the Natural Science, When the Desired Value is a Time and a Linear Motion Function

© 2016 Zaynulabidov М. М., Zaynulabidov G. М., Zaynulabidova Z. М.

Dagestan State Pedagogical University, Makhachkala, Russia; e-mail: [email protected]; [email protected];

[email protected]

ABSTRACT. The aim of the study. The study intends to show the specific examples of nonlinear differential equations, allowing the reduction of the order for certain values of the variables, to study phenomena and processes of science taking into account the instantaneous critical state of the environment. The article deals with the study of two nonlinear differential equations with the order degeneration, which are the mathematical models of nonlinear chemical reactions and biological phenomena. Method of the study. Studying the problems for nonlinear equations with Burgers operator allowing the order degeneration was done using the search for transformations and the change of variables, reducing them to the linear problems that can be solved by separation of variables. Results of the study. The obtained solutions of the Cau-chy problem for two model nonlinear equations with Burgers operator, the order of which degenerates on

some lines of seeking solutions. Conclusions. From the obtained results it follows that the study of phenomena and processes of science using mathematical modeling methods may appear non-linear differential equations with the quite complicated structure, the study of which is an essential scientific task.

Keywords: mathematical modeling of natural science problems, conservation law, Burgers operator, equation with the order degeneration, Cauchy problem.

For citation: Zaynulabidov M. M., Zaynulabidov G. M., Zaynulabidova Z. M. Nonlinear Mathematical Models of Some Problems of the Natural Science, When the Desired Value is a Time and a Linear Motion Function. Dagestan State Pedagogical University. Journal. Natural and Exact Sciences. Vol. 10. No. 3. 2016. Pp. 15-20. (In Russian)

Введение

Изучение различных явлений и процессов естествознания путем построения их математических моделей является наиболее распространенным и эффективным методом современной науки.

В основе большинства математических моделей лежат как линейные, так и нелинейные дифференциальные уравнения.

Обычно процесс математического моделирования происходит по следующей схеме.

Пусть функция и = и(х, С) переменных х и £ означает состояние искомой величины и любого химического, физического, биологического, процесса в момент времени £ в точке х.

Пусть далее (

хх) - функция, определяющая количественную и качественную характеристику протекания процесса, которая выражает связь состояния среды ( ) с его скоростью ( ) и ускорением ( ) перемещения от точки к точке.

Как известно, по закону сохранения скорость изменения щ функции и(х, С) по переменной £ должна уравновеситься в определенном смысле со скоростью изменения по переменной х функции /(х, С, и, их, ихх), что в простейшем случае может быть записано в виде дифференциального уравнения

Эи _1_ п ди ,, f (Л\

Таким образом, при математическом моделировании любого процесса задача состоит в том, чтобы исходя из данных, реально характеризующих этот процесс, определить функцию / и решить уравнение (1) относительно искомой величины ( ).

В такую структуру моделирования входят, например, задача передачи тепла и аналогично протекающие задачи явлений природы и химических реакций, описываемые линейным уравнением Фурье, которые основательно изучают в вузовских курсах по уравнениям математической физики.

Достаточные сведения о конкретных химических процессах, математическое

моделирование которых приводят к дифференциальным уравнениям типа исследуемых в предлагаемой статье, можно найти в работах [1-4].

Материалы и методы исследования

Линейные уравнения и — а2 хихх = 0 , с вырождением порядка на линиях х=0 и 1=0 соответственно, сведения о которых можно найти в работах [5; 6; 14], относятся к классу уравнений типа (1).

Математическое моделирование процессов в более широком диапазоне изменения параметров с учетом количественных и качественных характеристик их протекания сводится к нелинейным уравнениям, простейшим из которых является известное уравнение Бюргерса щ + иих + // ихх = 0 [7].

В работах [7-10] исследованы уравнения типа Бюргерса с более сильными, чем нелинейностями.

Представляет научный интерес исследовать уравнения с вырождением порядка, где вместо линейного оператора ихх взят нелинейный оператор Бюргерса .

В качестве модельных уравнений с вырождением порядка и с оператором Бюр-герса можно рассматривать уравнения

Щ + ^Н^Щ 2 + / их)] = 0, (2)

и + ^^и 2+/их) = 0 , (3)

в которых на прямых ( )

( ) происходит вырождение порядка.

Предлагаемая статья посвящена решению задачи Коши для уравнений (2), (3) в областях, которые содержат внутри или на границе линии вырождения порядка 0 для (2) и С = 0 для (3).

Изучим задачу Коши с начальным условием

и(х, 0 ) = т(х), — оо < х < + оо (4)

для уравнений (2) и (3) в области С > 0 .

Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что в результате замены

и(х,С) = 2 //^^,<р(х,0^0 , (5)

нелинейные уравнения (2) и (3) сводятся, соответственно, к линейным:

(р+ /хрхх - 0(р = 0, (6)

ррс + /Ьрхх - КЬ)р = 0, (7)

где [(Ь) - произвольная, достаточно гладкая функция только от переменной £

В силу (5) относительно р(х, Ь) получим начальное условие

рр(х,0) = Ф(х) = Ф(0 )ехр±$*ф)й5. (8)

Таким образом, задачи Коши (2), (4) и (3), (4) эквивалентно сводятся к задачам Коши (6), (8) и (7), (8), соответственно, которые могут быть исследованы методом разделения переменных.

В самом деле, если искать решения (6) и (7) в виде

рр(х, Ь) = Т(Ь )Х(х) Ф 0, (9)

то относительно искомых функций Т(Ь) и Х(х) получим соответственно обыкновенные дифференциальные уравнения Т'( Ь)-[/( Ь)-Л]Т( Ь) = 0, / хХ''(х)-ЛХ(х) = 0 , (10)

Т'( Ь)-[/( Ь)-Л Ь]Т( Ь) = 0,

( ) ( ) , (11) где - произвольная постоянная. Ограниченные решения уравнений (11) существуют при Л > 0, / < 0 и могут быть представлены в виде:

Т.( Ь) = д( Ь)ехр\(-Л Ь2 ), Х х(х) = А (Л) с о з^х + В (Л) я ш^х,

где д(Ь) = Т(0 )ехр £/(з)с15, (Л) и /З(Л) - произвольные ограниченные функции от параметра

Следовательно, общими решениями (7) вида (9) являются функции

(pA(x,t) = д( t)exp-(-Л t2)

А(Л)с os-l~\f\x +

В (Л)5

и решение (7) можно искать в виде р(х,Ь) = ¡0+ трл(х, Ь)с1Л, - СО < х < + СО ,Ь>0. (12) Требуя от (12) выполнения условия (8), получим

Ф(х) = д( 0 )ГН

в (Л) s in\W\x

d Л.

А(Л)с o s + (13)

Полагая Ф( 0) = 1 , д( 0) = Т( 0) = 1 , что не ограничивает общности, и введя соот-

ветствующие обозначения, (13) можно переписать в виде

у(х) = °° (а(//) со б/х + Ь(//)зт/х) ССц, (14)

где у^ = ехр — т^сСб, Л =

/12\Р\,а(/1) = 2 /1\р\А(/12\р\),

Ь(/л) = 2/Л\Р\А(/Л2\Р\). (15)

Как известно, равенство (14) является интегральной формулой Фуре (13) для функции ( ), если

а(/л) °° уфсоя/ля сСб,

71 •

1 с+оо

ь(/) =-£- «, у(5)5т/зйз. (16) Подставляя определяемые из (15), (16) значения А(Л) и В(Л) в (12), получим единственное решение р(х,Ь) задачи (7), (8), а следовательно, с учетом (5) и решение задачи Коши для нелинейного вырождающегося уравнения (3) с начальным условием (4).

Для нахождения решения задачи Коши (2), (4), очевидно, надо выписать общие решения уравнений (10).

Общее решение первого из (10) имеет вид:

Тх(Ь) = Т(0 ) е хр(-ЛЬ) ехр ¡'0Г(з)сСз,

Л>0 . (17)

Второе уравнение из (10) является частным случаем уравнения Ломмеля [12], и его общее решение при , и

задается формулой Х.(х) = Vх[А(Л)1г(2 Vас) + В(Л)У1(2 (18)

где 1г, Уг - функции Бесселя первого и второго родов, ( ) и ( ) - произвольные ограниченные функции от параметра Л = а\/>\.

Значит, решения (6) вида (9) имеют представления

р.х(х,Ь) = д(Ь)ехр(-ЛЬ)т/х[А(Л) 1^2 V'ах) + В(Л)Уг(2Л> 0 (19)

и решение задачи Коши (6), (8) надо искать в виде рр(х,Ь) =

д(£°° ехр (-ЛЬ)[А(Л)1г(2Vах) + В(Л)Уг(2^/ах:)]сСЛ (20)

где д(Ь)= Т(0 )ехр ^сСя. Требуя выполнения начального условия (8) для (20) и полагая снова Ф(0) = 1 , д(0 )= Т(0 ) = 1, получим равенство

Ф(х) = Vx/0+ 2 Vox) +

2 Vox)] dA, (21)

из которого произвольные функции •Д(А) и В (Я) необходимо выразить через заданную функцию Ф(х).

Следовательно, надо рассмотреть вопрос разложения функции по функциям Бесселя.

Как показывает правая часть (21), необходимо обговорить вытекающие из свойств функций Бесселя дополнительные требования к поведению искомой функции ( ) а значит и ( ) при , что требует более тонких исследований, на чем в данной статье не останавливаемся.

1. Гусейнов Р. М. Релаксационные процессы в твердых электролитах. М.: Наука, 1993. 160 с.

2. Зеленяк Т. И. О краевых задачах, описывающих некоторые химические процессы // Труды конференции по химическим реакторам. Новосибирск, 1965. С. 33-45.

3. Зеленяк Т. И. О стационарных решениях смешанных задач, возникающих при получении некоторых химических процессов // Дифференциальные уравнения. Т. II. № 2. 1966. С. 205-213.

4. Зеленяк Т. И., Руденко Э. Н., Иванов Е. А., Белоносов В. С. Некоторые методы исследования математических моделей химических процессов // Моделирование химических процессов и реакторов: IV Всероссийская конференция по химическим реакторам. Новосибирск, 1972. Т. 4. Ч. 1. С. 5-50.

5. Зеленяк Т. И. Качественная теория краевых задач для квазилинейных уравнений второго порядка параболического типа. Новосибирск, 1972. 147 с.

6. Зайнулабидов Г. М. Разрешимость краевых задач для параболического уравнения с оператором Бесселя в весовых пространствах Гельдера и оценки их решений // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1981. С. 61-65.

7. Зайнулабидов М. М., Зайнулабидов Г. М., Зайнулабидова З. М. Об одном обобщенном варианте уравнения Бюргерса // Известия Дагестанского государственного педагогического

1. Guseynov R. M. Relaksatsionnye protsessy v tverdykh elektrolitakh [Relaxation processes in solid electrolytes]. Moscow, Nauka Publ., 1993. 160 p. (In Russian)

2. Zelenyak ^ I. Boundary value problems describing some chemical processes. Trudy konfer-

Заключение

Полученные результаты показывают, что при изучение явлений и процессов естествознания методом математического моделирования с учетом всех характеристик могут появиться достаточно сложной структуры нелинейные дифференциальные уравнения, поиск решений которых требует новых подходов в каждом конкретном случае и является актуальной задачей науки. Например, актуальным является исследование нелинейных уравнений типа рассмотренных в данной работе, в которых вместо оператора Бюргерса стоит оператор Корте-вега де Фриза или другой нелинейный оператор более сложной структуры типа изученных в работах [7-10].

университета. Естественные и точные науки. № 1 (18). 2012. С. 9-12.

8. Зайнулабидов М. М., Зайнулабидов Г. М., Зайнулабидова З. М. О некоторых нелинейных уравнениях типа уравнений Бюргерса и Корте-вега-де Фриза // Сб. статей научной конференции «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения». Дагестанский государственный университет. Махачкала, 2013. С. 126-128.

9. Зайнулабидов М. М., Измаилова Х. Д., Га-джимирзоев М. М. Эллиптико-гиперболические аналоги уравнений Бюргерса и Кортевега-де Фриза // Материалы конференции «Модернизация систем непрерывного образования Дагестанского государственного педагогического университета». Махачкала, 2013. С. 82 83.

10. Зайнулабидов М. М., Шихшанатова М. М. Об одном способе решения нелинейных уравнений типа Бюргерса и Кортевега-де Фриза // Сб. статей научной конференции ДГПУ «Актуальные проблемы прикладной математики, физики и механики». Махачкала, 2014. С. 76-79.

11. Мартинсон Л. К., Малов Ю. И. Дифференциальные уравнения математической физики. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002. 367 с.

12. Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Основы теории специальных функций. М.: Наука, 1974. 303 с.

13. Очан Ю. С. Методы математической функции. М.: Изд-во «Высшая школа», 1965. 383 с.

14. Терсенов С. А. Введение в теорию уравнений, вырождающихся на границе. Новосибирск, 1973. 143 с.

entsii po khimicheskim reaktoram [Proceedings of the conference on chemical reactors]. Nobosi-birsk, 1965. Pp. 33-45. (In Russian)

3. Zelenyak ^ I. The stationary solutions of mixed problems arising in producing some chemical processes. Differentsial'nye uravneniya [Dif-

Литература

References

ferential equations]. Vol. II. No. 2. 1966. Pp. 205213. (In Russian)

4. Zelenyak Т. I., Rudenko E. N., Ivanov Е. А., Belonosov V. S. Some research methods of mathematical models of chemical processes Modeliro-vanie khimicheskikh protsessov i reaktorov: IV Vserossiyskaya konferentsiya po khimicheskim reaktoram [Modeling the chemical processes and reactors: the 4th all-Russian conference on chemical reactors]. Novosibirsk, 1972. Vol. 4. P. 1. Pp. 5-50. (In Russian)

5. Zelenyak Т. I. Kachestvennaya teoriya kraevykh zadach dlya kvazilineynykh uravneniy vtorogo poryadka parabolicheskogo tipa [Qualitative theory of boundary value problems for quasilinear second-order equations of parabolic type]. Novosibirsk, 1972. 147 p.

6. Zaynulabidov G. М. Solvability of boundary value problems for a parabolic equation with the Bessel operator in Gelder weighted holder spaces and their solutions. Korrektnye kraevye zadachi dlya neklassicheskikh uravneniy matematich-eskoy fiziki [Correct boundary value problems for nonclassical equations of mathematical physics]. Novosibirsk, Institute of Mathematics, SD AS USSR Publ., 1981. Pp. 61-65. (In Russian)

7. Zaynulabidov М. М., Zaynulabidov G. М., Zaynulabidova Z. М. One generalized version of Burgers equation. Izvestiya Dagestanskogo gosu-darstvennogo pedagogicheskogo universiteta. Estestvennye i tochnye nauki [Proceedings of Dagestan state pedagogical University. Natural and exact Sciences]. No. 1 (18). 2012. Pp. 9-12. (In Russian)

8. Zaynulabidov М. М., Zaynulabidov G. М., Zaynulabidova Z. М. Some nonlinear equations similar to Burgers and Korteweg-de Vries equations. Sbornik statey nauchnoy konferentsii «Funktsional'no-differentsial'nye uravneniya i ikh prilozheniya» [Collected papers of "Functional dif-

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ Принадлежность к организации

Зайнулабидов Мансур Магомедович,

кандидат физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа, факультет математики, физики и информатики (ФМФиИ), ДГПУ, Махачкала, Россия; e-mail: [email protected]

Зайнулабидов Газимагомед Магомедович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры естественнонаучных и общетехнических дисциплин, технолого-экономический факультет (ТЭФ), ДГПУ, Махачкала, Россия; e-mail: zaynulabidov48@ mail.ru

Зайнулабидова Заира Мансуровна,

кандидат физико-математических наук,

ferential equations and their applications" scientific conference]. Dagestan State University. Makhachkala, 2013. Pp. 126-128. (In Russian)

9. Zaynulabidov М. М., Izmailova Kh. D., Ga-dzhimirzoev М. М. The elliptic-hyperbolic analogues of Burgers and Korteweg-de Vries equations. Materialy konferentsii «Modernizatsiya sis-tem nepreryvnogo obrazovaniya Dagestanskogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universi-teta» [Proceedings of the conference "Modernization of system of continuous education of Dagestan State Pedagogical University"]. Makhahckala,

2013. Pp. 82 83. (In Russian)

10. Zaynalabidov М. М., Shihshanatova М. М. One method of solving the nonlinear equations similar to Burgers and Korteweg-de Vries ones // Sbornik statey nauchnoy konferentsii DGPU «Ak-tual'nye problemy prikladnoy matematiki, fiziki i mekhaniki» [Collected articles of scientific conference of DSPU "Actual problems of applied mathematics, physics and mechanics"]. Makhachkala,

2014. Pp. 76-79. (In Russian)

11. Martinson L. K., Malov Yu. I. Differential equations of mathematical physics [Differential equations of mathematical physics]. Moscow, N. E. Bauman MSTU Publ., 2002. 367 p. (In Russian)

12. Nikifirov А. F., Uvarov V. B. Osnovy teorii spetsial'nykh funktsiy [Fundamentals of the theory of special functions]. Moscow, Nauka Publ., 1974. 303 p. (In Russian)

13. Ochan Yu. S. Metody matematicheskoy funktsii [Methods of mathematical function]. Moscow, Vysshaya Shkola Publ., 1965. 383 p. (In Russian)

14. Tersenov S. A. Vvedenie v teoriyu uravneniy, vyrozhdayushchikhsya na granitse [Introduction to the theory of equations, degenerating on the boundary]. Novosibirsk, 1973. 143 p. (In Russian)

INFORMATION ABOUT AUTHORS Affiliations

Mansur M. Zaynulabidov, Ph. D. (Physics and Mathematics), professor, the chair of Mathematical Analysis, the faculty of Mathematics, Physics and Computer Science (FMPCS), DSPU, Makhachkala, Russia; e-mail: zaynulabidov48 @mail.ru

Gazimagomed M. Zaynulabidov, Ph. D. (Physics and Mathematics), assistant professor, the chair of Natural and General Technical Subjects, the faculty of Technology and Economics (TEF), DSPU, Makhachkala, Russia; email: zaynulabidov48@ mail.ru

Zaira M. Zaynulabidova, Ph. D. (Physics and Mathematics), assistant professor, deputy director on Science and Methods, MBEI "Mul-

доцент, заместитель директора по научно-методической работе, МБОУ «Многопрофильный лицей № 5», Махачкала, Россия; e-mail: [email protected]

tidisciplinary Lyceum No. 5", Makhachkala, Russia; e-mail: [email protected]

Принята в печать 25.04.2016 г.

Received 25.04.2016.

Химические науки / Chemical Science Оригинальная статья / Original Article

УДК 541. 13. 546. 76: 549. 76 / UDC 541. 13. 546. 76: 549. 76

Синтез вольфрамата и оксидных вольфрамовых бронз свинца в расплавах многокомпонентных систем

© 2016 Кочкаров Ж. А., Сокурова З. А.

Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х. М. Бербекова, Нальчик, Россия; e-mail: [email protected]; [email protected]

РЕЗЮМЕ. Целью данного исследования являлась разработка способа химического синтеза вольфрамата и оксидных вольфрамовых «бронз» свинца в ионных расплавах трех- и четырехкомпонентных взаимных систем. Для решения поставленных задач использовали дифференциальный термический анализ (ДТА) и рентгенофазовый анализ (РФА). Выявлены стабильные сечения, которые позволили определить основные реакции взаимного обмена, одним из продуктов которых является вольфрамат свинца.

На основе этих реакций проведен синтез вольфрамата свинца при температурах 600-650 0С. Полученные образцы идентифицированы РФА. Показано, что вольфрамат свинца не содержит примесей, а выход составил в каждом случае не ниже 98 %. На основе полученных результатов предложен принципиально новый способ химического синтеза вольфрамата свинца в расплавах при температуре 600650 0С на основе реакций взаимного обмена.

Ключевые слова: вольфрамат свинца, оксидные вольфрамовые бронзы свинца, синтез, технология получения, многокомпонентные системы, фазовые равновесия.

Формат цитирования: Кочкаров Ж. А., Сокурова З. А. Синтез вольфрамата и оксидных вольфрамовых бронз свинца в расплавах многокомпонентных систем // Известия Дагестанского государственного педагогического университета. Естественные и точные науки. Т. 10. № 3. 2016. С. 20-26.

The Synthesis of Tungstate and Tungsten Oxide Bronzes of Lead in Melts of Multicomponent Systems

© 2016 Zhamal A. Kochkarov, Zalina A. Sokurova

Kh. M. Berbekov Kabardino-Balkarian State University, Nalchik, Russia; e-mail: [email protected]; [email protected]

ABSTRACT. The aim of the research is the development of the way of the chemical synthesis of tungstate and oxidic tungsten "bronzes" of the lead in the ionic melts of three-and four-component mutual systems. To solve the tasks the authors use the differential thermal analysis (DTA) and x-ray diffraction (XRD). They revealed stable cross sections, which allowed determining the main reactions of mutual exchange, one of the products of which is the lead tungstate:

Based on these reactions they performed the synthesis of the lead tungstate at temperatures of 600650 0C. The obtained samples are identified by XRD. It is shown that the lead tungstate does not contain impurities, and the yield was not less than 98 % in each case. Based on these results the authors suggest-