CC BY
37
УДК 517.95в
ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕННОМ ВАРИАНТЕ УРАВНЕНИЯ БЮРГЕРСА
© 2012 Зайнулабидов М.М., Зайнулабидов Г.М., Зайнулабидова З.М.
Дагестанский государственный педагогическийуниверситет
Изучено обощенное уравнение Бюргерса, для которого найдено преобразование, сводящее его к линейному уравнению теплопроводности
The authors of the article researched the generalized Burgers equation, for which they found the conversion, reducing it to the linear equation of the heat conductivity.
Ключевые слова: уравнение Бюргерса, формулы преобразования, нелинейная теплопроводность
Keywords: Burgers equation, transformation formulas, non-linear heat conductivity
В области x > О рассмотрим уравнение
du _а d
— + 2 a — dt dx
-(1 + a )v
dx
Л
I u(s, t )ds
Л
a-1
(l)
= О,
где а и V - действительные параметры, которое при о=1 совпадает с известным уравнением Бюргерса [4. С. 307].
При а+1=0 порядок уравнения (1) вырождается, и оно превращается в нелинейное уравнение первого порядка
V2"
du д
— + 2 — dt dx
u
I u(s, t )ds
= 0,
(2)
представляющее самостоятельный
интерес в смысле поиска его общего решения.
В результате замены
X 1
I и (^, Ї)ёэ =-----------------, ф Ф 0 (3)
0 хі)
уравнение (2) сводится к эквивалентному ему уравнению
2^Т / (,), (4)
dф )
где ^) - произвольная функция
переменной t.
Структура уравнения (4)
подсказывает, что его решение ф(х, ^) разумно искать в виде
' у(х)
ф, t )=
2t
при
Л-1
f (t)- О,
(5)
у(х111 ^ , пРи / (*) * 0,
V о )
где у(х) - неизвестная функция.
В самом деле, подставляя (5) в (4), получаем обыкновенное
дифференциальное уравнение первого порядка второй степени с разделяющими переменными
dy_
dx
y (x )>
при
f (r)- О,
(б)
1 f (r)[y2(x)+ y(x)1 nPu f (r)* 0,
относительно неизвестной y(x).
Общее решение (б) представимо в виде
y(x
(£ г при f (r )=0;
sh 1І Ftx+c } при y > 0, f (r)> 0;
- ch2 Й fx+c) при y <-1, f (t)> 0;
- sin2 ± і i- f x * 4 при -1 < y < 0, f (r )< 0;
где с - произвольная постоянная.
Функции у=0 и у=-1 являются тривиальными решениями (6).
Объединяя формулы (3), (5), (7), легко получить общее представление для решения ы(х^) уравнения (2).
Непосредственной проверкой легко убедиться в том, что уравнение (1) в результате замены
л
I u (s, t) ds = g \(p( x, t) ]
сводится к уравнению
(S)
І + a ddg
2 ^ = f (t), v * 0, (9)
^dt 2a &2 J dy
где ft) - произвольная функция, a g(^) -решение обыкновенного
дифференциального уравнения
d 2 g _ ga-l 2
dq>2 dq>;
v1
(1 + a )-
= 0,
(10)
a +1Ф 0.
Общее решение (10) при a=0 имеет представление
^)=ГC2,,, ^ при v=1 (11)
[(с1ф + сз )v-1, при V ф 1,
где с 1, с2, с3 - произвольные постоянные.
Полагая в (11) с1=с2=1, с3=0, что не ограничивает общности, и подставляя
---- в (10), получим уравнение
dty
нелинейной теплопроводности
/ (? У*, при У= 1,
V -1 —
1 -/(Лр1_у, при уф 1,
(12)
неизвестной функции (р(х, ^) .
Исследование (12) не представляет особых трудностей, тем более ЧТО ДО -произвольная функция.
При а Ф 0 уравнение (10)
эквивалентно уравнению
дф д <р
dt dx2
относительно
exp
a(a + l)v
dg = cdq>, (ІЗ)
ч J
где с - произвольная постоянная.
Легко видеть, что при а=1 решением (13) является функция г(^) =-2v 1п <р ,
которая с помощью замены (8) сводит уравнение Бюргерса к уравнению теплопроводности [4. С. 310].
Существование замены типа (8) которое сводит уравнение (1) к (9) при других значениях параметра а,
естественно, зависит от разрешимости дифференциального уравнения (13) в явном виде.
Если в уравнение (1) ввести замену
л
(x, t) = J u(s, t)dt, то оно может быть
переписано в виде
д (да 1 dx\~dt + Т
v
(l + a) d2
2a
dx
= 0,
что равносильно уравнению
неоднородному
да (Da 1 (do
2
dt
dx
(14)
2a dt
где fit) - произвольная функция.
Отсюда следует, что вместо (1) можно было бы рассматривать уравнение (14) как исходное. Однако при этом связь (14) с уравнением Бюргерса могла бы остаться незамеченной.
В приложениях может встретиться уравнение типа (14) с более усиленной нелинейностью, например, уравнение следующего вида:
du у
дх
du 1 a
— +—ua dt 2a
v
где
1
u
(l + a) d2
~~dx2
(15)
+ av2 F = 0,
F
du
2v Ійт
u
2v
1 (du
v-1
u \dx і
при a = 1;
при a = 0, v = 1;
при a = 0, уф і, УФ 0.
'du
—v u 4 — v2
Легко показать, что с помощью замены
2
a
2
2
u( x, t) = <
- 2vln^, при a = 1; e9, при a = 0, v = 1;
^у-1, при а = 0, V Ф 1;
уравнение (15) сводится к нелинейному уравнению
^ = Л?хх +«^х2). (16)
Уравнение (16) относится к классу уравнений, полученных в [2] при изучении некоторых систем уравнений нелинейной теплопроводности
прикладного значения, где отмечено, что в результате замены ю= ехр(а^(х, ^)) оно сводится к линейному уравнению теплопроводности а>( = voxx, с вытекающими отсюда последствиями в смысле постановки задач для (15).
Представляет научный интерес исследование уравнений
гиперболического и эллиптического типов, являющихся аналогами (1).
К классу таких уравнений относится уравнение
д 2u ~dt2
д_
дх
j u(s, t)ds - v(i + a)— > = 0, v(a + i) Ф 0, (17)
dx
которое можно считать эллиптическим при v(a+7)<0 и гиперболическим при v(a+7)>0, так как замена (8) сводит его к уравнению
У(1 + а )|2? ] $- = / (,),
dt2
ах2
dq
где f(t) - произвольная функция, а g(^)
- решение уравнения (10).
Если ввести замену
л
(х, t) = | u(s, t )ds,
уравнение (17) можно переписать в эквивалентном виде
82 а ( \82 а а _1
- v(1 + a)—- + со
dt
дх
Зю Y 1 f да Л дх ) v(a +1) ly dt j
где ft) - произвольная функция.
Заметим, что (18) при v(a +1) = ±1 относится к классу уравнений, исследованных в [1, 3].
(18)
V
Примечания
1. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М. : Наука, 1982. С. 448.
2. Зайнулабидов М. М., Зайнулабидов Г. М. Об одном классе систем уравнений нелинейной теплопроводности прикладного значения // Мат-лы V Международной научной конференции «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения». Махачкала, 2011. 3. Зайнулабидов М. М., Зайнулабидова 3. М. Об одном нелинейном уравнении гиперболического типа // Мат-лы V Международной научной конференции «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения». Махачкала, 2011. 4. Мартинсон Л. К., Малов Ю. И. Дифференциальные уравнения математической физики. М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002. С. 367.
Статья поступила вредакцию 27.01.2012 г.
