О некоторых нелинейных уравнениях, которые встречаются в математических моделях явлений природы Текст научной статьи по специальности «Математика»

Естественные и точные науки

• • •

21

УДК 517.946

О НЕКОТОРЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ уравнениях, КОТОРЫЕ ВСТРЕЧАЮТСЯ В МАТЕМАТИЧЕСКИХ

МОДЕЛЯХ ЯВЛЕНИЙ ПРИРОДЫ

©гоюзайнулабидов М.М., Зайнулабидова З.М.

Дагестанский государственный педагогический университет

В статье исследованы нелинейные уравнения, имеющие приложения в механике и электродинамике.

The authors of the article research some nonlinear equations with applications in the mechanics and the electrodynamics.

Ключевые слова: уравнение Абеля, задача Коши, Дарбу и Гурса.

Keywords: Abel’s equation, Cauchy, Darboux and Goursat problem.

Математическое описание многочисленных явлений природы, например, задача определения расстояния между движущимися по разным путям объектами или задача действия тока на ток в электродинамике [3] сводится к необходимости нахождения решений нелинейных уравнений вида:

UUxy+UxUy=f(x,y) (1)

UUxrUxUy=f(x,y), (2)

где U=U(x,y) - искомая, a f(x,y) - заданная функции переменных х и у.

Поэтому проблема поиска корректно поставленных начально-краевых задач для уравнений (1) и (2) представляет определенный научнопрактический интерес.

Настоящая заметка посвящена исследованию этой проблемы.

Легко заметить, что уравнение (1) можно переписать в виде неоднородного уравнения Даламбера в характеристических координатах относительно неизвестной функции U2(x,y), то есть в виде

d2U2

-----= 2f(pc,y), общее решение ко-

дхду

торого, как известно, имеет вид:

U2(x,y) =

х У ,

2j dsJ f(s,t)dt + gj(x) + g2(y)

О О

(3)

где g-i и д2 - произвольные функции, такие что L/2(0,0)=g1(0)+g2(0).

Следовательно, для (1) корректно поставлены классические задачи Коши, Гурса, Дарбу и их решения могут быть выписаны в явном виде.

Представление решения U(x,y) типа (3) для уравнения (2) вызывает затруднения, хотя некоторые полезные сведения о его решении можно получить.

Так как в большинстве случаев в приложениях U(x,y) выражает положительную функцию, то решение уравнения (2) можно искать в виде U(x,y)=expV(x,y), в результате чего оно сведется к уравнению:

Vxyexp2V=f(x,y) (4)

относительно неизвестной функции V(x,y).

Дифференцируя, например, по переменной х, перепишем (4) в виде, эквивалентном (4) в смысле разрешимости, уравнения третьего порядка

22

• • •

Известия ДГПУ, №2, 2010

А*,УХ^' + 2КУ„Уу„Г(х,У) = 0 ^

f(x,y)* 0. (5)

Для произвольной функции f(x,y) уравнение (5) навряд ли проще (4). Однако при f(x,y)=f1(x)f2(y) оно проще (4) и может быть переписано в виде уравнения:

-lirnh+r;-\-vjn.x)}=о, кою-

ду

рое эквивалентно хорошо изученному [см., напр. 2] обыкновенному нелинейному дифференциальному

уравнению

V„+Vx2-VJ(x) = g(x), (6)

где д(х) - произвольная функция,

/(ХШХ) = /ЛХ),

Очевидно, решение (6) будет зависеть от произвольной функции переменной у, которая должна быть подобрана так, чтобы это решение было и решением (4).

Например, при f(x)=0, то есть когда /г(х) = а = const и д(х)= 0, всякое решение (6) имеет представление V(x,y) = ln{Cl(y)[x-C(y)]}, (7)

где С(у) и Ci(y) - произвольные функции, такие, что функция V(x,y) действительна.

Требуя удовлетворения (7) уравнению (5) при f(x,y) = ctf2(y), получим, ЧТО С(у) И Ci(y) должны быть связаны соотношением

C\y)C2l(y) = af2(y).

Следовательно, из всех решений (7) уравнения (6), когда д(х)=0, реше-

ниями (4) являются только решения, представимые в виде:

V(x,y) = In QOO

х-а

• fM)di

Cl it)

где b - произвольная постоянная, а Ci(y) - произвольная функция.

Наряду с (1) и (2) представляет научный интерес исследование нелинейных уравнений вида а)

UUxyUxUy=UU2f(x,y) и б)

UUXy UxUy=ULIxf(x,y), где f(x,y) - заданная и U(x,y) - искомая функции.

Соответственно знакам плюс и минус, уравнения а) эквивалентно сводятся к линейным и хорошо изученным уравнениям Vxy-2Vf(x,y)=0 и Wxy=f(x,y) относительно неизвестных функций V(x,y)=U2(x,y) и

W(x,y)=\nU(x,y).

Решения уравнений б) имеют представление

У(х,у) =

х ( у Л

jViO) exp jf(s,t)dt ds + g2(y)’

(8)

о V о У

где gi(x), д2(у) - достаточно гладкие произвольные функции, а V(x,y)=U2(x,y) и V(x,y)=\nU(x,y) соответственно знакам плюс и минус.

Используя (8) как формулу общего решения уравнения б) без особого труда можно показать корректность постановки классических задач Коши, Гурса, Дарбу для этих уравнений и выписать их решения в явном виде.

В заключение отметим, что основные результаты настоящей заметки в тезисном порядке изложены в [1].

Примечания

1. Зайнулабидов М. М., Зайнулабидова 3. М. О некоторых нелинейных уравнениях, имеющих многочисленные приложения // Материалы международной научной конференции ДГУ. Махачкала, 2009. С. 120. 2. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М. : Наука, 1971. С. 576. 3. Лоренц Г., Шереметовский В. Элементы высшей математики. T. 2. М„ 1926. С. 528.

Статья поступила в редакцию 26.03.2010 г.