CC BY
70
Естественные и точные науки
• ••
11
УДК 517
ОБОБЩЕННОЕ УРАВНЕНИЕ ДАЛАМБЕРА И ЕГО НЕЛИНЕЙНЫЙ АНАЛОГ
THE GENERALIZED D’ALEMBERT EQUATION AND ITS NONLINEAR ANALOGUE
© 2015 Зайнулабидов М. М., Зайнулабидов Г. М., Зайнулабидова З. М.
Дагестанский государственный педагогический университет
© 2015 Zaynulabidov М. М., Zaynulabidov G. М., Zaynulabidova Z. М.
Dagestan State Pedagogical University
Резюме. Получено линейное уравнение, являющееся обобщенным для уравнения Даламбера и нелинейным аналогом последнего. Показана возможность получения общих представлений решений этих уравнений, а также и формул, определяющих решения задач Коши, Гурса и Дарбу в их классических постановках.
Abstract. The authors of the article obtain the linear equation, which is generalized for D 'alembert equation and the nonlinear analogue of the latter. They show the possibility of obtaining the general ideas for solving these equations, as well as formulas that determine the solving Cauchy, Goursat and Darboux problems in their classic productions.
Rezjume. Polucheno linejnoe uravnenie, javljajushheesja obobshhennym dlja uravnenija Dalambera i nelinejnym analogom poslednego. Pokazana vozmozhnost' poluchenija obshhih predstavlenij reshenij jetih uravnenij, a takzhe i formul, opredeljajushhih reshenija zadach Koshi, Gursa i Darbu v ih klas-sicheskih postanovkah.
Ключевые слова: обобщенное уравнение Даламбера и его нелинейный аналог. Keywords: generalized equation d'Alembert and its non-linear analogue. Kljuchevye slova: obobshhennoe uravnenie Dalambera i ego nelinejnyj analog.
Известно, что решение U(x,t) уравнения Ut + aUx = 0, aeR представимо в виде U(x,t)=f(x-at), где f — произвольная дифференцируемая функция.
Представляет интерес исследование уравнения, для которого решение U(x,t) имеет вид U(x,t)=f[x-w(x,t)], где w(x,t) - заданная дифференцируемая функция, для которой wt (x,t)p0.
Непосредственной подстановкой легко показать, что таким уравнением является уравнение:
wt (Ut+ wUx)- Ut(w+ wwx- w)=0 (1)
В частности, когда w(x,t)=v(x,t)-t, уравнение (1) принимает вид:
(vtt + v) Ux+(1- tvx)Ut =0 (2)
и его решение U(x,t) имеет вид:
U(x,t)=f[x-v(x,t) ■t]. (3)
При v(x,t)= U(x,t) из (2) получаем его нелинейный аналог, совпадающий с известным уравнением Римана Ut+UUx=0, решение которого, как известно [1. С. 304], представимо в неявном виде U(x,t)=f[x- U(x,t) ■t].
В связи со сказанным выше относительно уравнения первого порядка, небезынтересно найти уравнение второго порядка, для которого, по аналогии с формулой Даламбера U(x,t)=f(x+at)+g(x-at) для уравнения Utt-a2Uxx=0, решение и^^имеет представление:
U(x,t)=f[x+w(x, t) ]+g[x-w(x, t) ], (4)
где f и g - произвольные достаточно гладкие функции, а w(x,t) - заданная дважды дифференцируемая функция, такая, что wt(x,t) ф0.
Предлагаемая статья посвящена решению этой проблемы как в линейном, так и в нелинейном вариантах.
Справедливо утверждение: решение
U(x,t) уравнения:
wtLU-UtLw=0 (5),
где Lv = (1 - w2x )Utt + 2wxwtvlx - wfvxx представимо в виде (4).
12
• ••
Известия ДГПУ, №2, 2015
В самом деле, из (4) имеем:
и=[m - g'Mk, и =
= f \£)+g” (v)№+f '(£)- g'(riht,
U) = \f"(W)(1 + Wx) - g "Ц) (1 - Wx) ]Wt +
+[f W - g' (n)\wtx,
Uxx = f'(W)(1 + wr )2 + g" Ц)(1 - Wx )2 +
+ \f ”(W) - g' (f)]wxx,
где 2,=x+w, n=x-w.
Подставляя (6) в (5), после элементарных преобразований получим тождество
f ” (W) - g”(V)lwtLw - WtLw] = 0, которое
означает, что (4) является решением (5).
Кстати, то, что (4) является решением (5), можно доказать и другим способом.
В самом деле, замена переменных по формулам:
t==x+w, n=x-w, U
t + Ц.
2 ’
t (W,V)
= W W,n), (7),
где t(£, n) -
W-Ц (W + Ц ^
2
= w
2
решение уравнения относительно t, сводит
(5) к уравнению W( £,, n)=0, решение которого представимо в виде:
W ( n)=f(W)+g(n) ■ (8)-
Возвращаясь в (8) к переменным x,t,U, согласно (7), получим формулу (4), как решение (5).
В частном случае, когда w(x,t)=at, уравнение (5) совпадает с уравнением Даламбера, а формула (4) - с формулой Даламбера [1. С. 27-29], в силу чего (5) можно называть обобщенным уравнением Даламбера.
При w(x,t)= v(x,t)t£c(x) уравнение (5) принимает вид:
(vtt + v)LU -UtL\vt] = 0 (9)
и его решение U(x,t) представимо в виде: U(x, t) = f \x + v(x, t)-1] + g\x - v(x, t)-1] • (10).
Нелинейным аналогом уравнения (5) является уравнение:
ULU - 2Ut [Ut +1-UU2 ] = 0, (11),
где LU = i}-U)t2U„+2t-
-U,(U,I + U)U),-(U,I + U)2U^u (12)-
которое получается из (5) при w(x,t)= U(x, t)-1 или из (9) при U(x, t) = v(x, t). Справедливо утверждение: решение U(x, t)
уравнения (11) представимо в неявном виде:
U(x, t) = f \x + U(x, t) -1] + g\x - U(x, t)t],(13), где f и g - произвольные дважды дифференцируемые функции.
В самом деле, из (13) имеем:
Ut = \f ' (W) - gU\Utt + U), UX =
= f ” (W)(1 + Uxt)+g ” (ц)(1 - Uxt),
Utt = \f ”” (W)+g ”” ЦШ + U )2 +
+ \f ”(W)- g ”MU/ + 2Ut),
Uxt = f ”” Wptt + U )(1 + U)t )-- g " {Ф, + U )(1 - U)t) +
+ \f '(W)-g' (rilUj + Ux), (14),
U) = f" (W)(1 + U)t )2 + g ”” (ц)--(1 - U)t )2 + \f ” (W)- g ” (ц)] t - U),
где
W = x + U(x, t)-1, Ц = x - U(x, t)-1 Подставляя (13) и (14) в (12) после элементарных преобразований, в силу Utt+U/0 получим равенство:
(Ut + U)LU = Ut \tLU + 2(u, +1 -UU))]
)
которое совпадает с (11).
Имея общее представление (4), (10), (13) решений уравнений (5), (9), (11) соответственно, нетрудно исследовать для них задачи Коши, Гурса и Дарбу в их классических подстановках.
Ограничимся рассмотрением задачи Коши: найти решение U(x,t) уравнения (5), удовлетворяющее начальным условиям:
U(x,0)=r(x), Ut (x,0)=v(x), -rn<x<+rn, (15), где z(x), v(x) - заданные достаточно гладкие функции.
Подчиняя (4) условиям (15), будем иметь:
T'(x) = f ’\x + w(x,0)]\1 + wx (x,0)] +
+ g”\x - w(x,0)]\1 - Wx (x,0)],
v(x) = f ”\x + w(x,0)] - g” \x - w(x, a)]}- (16)‘
- wt (x,0).
Равенства (16) составляют линейную алгебраическую систему уравнений относительно неизвестных:
f ” \x + w(x,0)] и g ” \x - w(x,0)] решение которой определяется формулами:
2 f '\x + w(x,0)] =
= т,()) + V1 (x;\[(;1 - wx (),,0))!l
2g'\x - w(x,0)] = ('17'>’
= ^■'([))-V((x)\^-+W;x([),0)l
Естественные и точные науки
• ••
13
где
wt (х,0) • v (х) = v(x), wt (x,0) ф 0 Равенства (17) можно переписать в виде:
/'(й = Fig), g'(п)= G(n)
(18),
где
2ф'(g)F (g) = x’\cp(g%p’(g) + vj [^(g)][2^'(g) -1]
g = x+w(x,0), ^[x+w(x,0)] = x;
2/' (rGT) = т ’ //(r)// ' (r)+ vj [/(r)l2/' (r)+1],
T = x - w(x,0), /[x - w(x,0)] = x
Интегрируя (18) с учетом формулы (4), получим, что решением задачи Коши (5), (15) является функция:
x+w (x,t) x-w (x,t)
U(x, t) = J F(z)dz + J G(z)dz + т(0) {
w(0,0) -w(0,0)
Если w(x,t) =tv(x,t), у(х,0)ф0, то формулы (17) принимают вид:
2/,(x)=T'(x)+vi (4 2g'(x)=T'(x)-vi (4 (20)
где vi (x)v (x,0)=v(x).
В результате подстановки решения f(x), g(x) системы (20) в формулу (10) получим, что решение U(x,t) задачи Коши (9), (15) представимо в виде:
U (x, t) = t[x +tv (x, t )]+t[x - tv (x, t)].
! +
1
+ —
2
x+tv
J
x-tv
v(s )
v(s,0)
ds
(21).
Из (21) при дополнительном условии, что т (x)G0, можно получить нелинейное представление решения U(x,t) задачи Коши (11), (15) для нелинейного уравнения (11) в виде:
U (x, t)
t[x + tU (x, t)]+ т [x - tU (x, t)] 2
1
+ —
2
x+tU
J
x-tU
vjs) t(s )
ds
(22).
Обратим внимание на то, что требование t(x)^0 является необходимым условием разрешимости задачи Коши для нелинейного уравнения (11).
Найти общие условия на т (x) и v(x), при которых уравнение (22) разрешимо относительно неизвестного U(x,t), достаточно сложно.
Самым простым является случай, когда t(x)= v(x).
Нелинейное относительно U(x,t) уравнение (22) тогда принимает вид:
2U (x, t )(1 -1 )= t[x + tU (x, t)] +
+ t[x - tU(x, t)] (23)-
Если, например, t(x) многочлен n-ой степени, то (23) будет алгебраическим уравнением относительно неизвестной U(x,t).
Литература
1. Мартинсон Л. К., Малов Ю. И. Дифференциальные уравнения математической физики. М. : МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002. 367 с.
References
1. Martinson L. K., Malov Yu. I. Differential equations of the mathematical physics. M. : N. E. Bauman
MSTU, 2002. 367 p
Literatura
1. Martinson L. K., Malov Ju. I. Differencial'nye uravnenija matematicheskoj fiziki. M. : MGTU im. N. Je. Baumana, 2002. 367 s.
Статья поступила в редакцию 11.04.20i5 г.
