О математическом инструментарии исследования социально-экономических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

О МАТЕМАТИЧЕСКОМ ИНСТРУМЕНТАРИИ ИССЛЕДОВАНИЯ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

КУИЖЕВА С.К.,

ректор,

Майкопский государственный технологический университет,

e-mail: [email protected]

т Проанализированы существующие подходы к математическому моделированию соци-^ ально-экономических систем. Уточнены и систематизированы понятия «взаимодействия» А и «промежуточного состояния» в социально-экономических системах. Сформулирована мат тематическая постановка задами Стефана, учитывающая процессы распространения и о диффузии некоторой субстанции (товаров, информации, финансов, управления). Исследо-

вано в этой связи модельное уравнение распространения товарного (тоже информационного, финансового) потока, приводящего к уравнению Кортевега-де Фриза. В этой модели для О обеспечения свойства необратимости учтены предложение и спрос на данный товарный

°° поток. Показано, что нестационарное уравнение Кортевега-де Фриза имеет вид закона со-

хранения в том смысле, что энергия, потраченная на распространение товарного потока, переходит в потенциальную энергию субъектов, обладающих товарным потоком.

О

м о

Ключевые слова: социально-экономические системы; промежуточное состояние системы; математический инструментарий; уравнение Кортевега-де Фриза.

^ ABOUT MATHEMATICAL TOOLS OF RESEARCH SOCIO-ECONOMIC SYSTEMS

2 KUIZHEVA S.K.,

rector,

,o Maykop State Technological University,

2 e-mail: [email protected]

J

C Analyze existing approaches to mathematical modeling of socio-economic systems. Refined and systematized

2 the concept of «interaction» and «intermediate state» in the socio-economic systems. Given the mathematical

3 formulation of the Stefan problem, taking into account the propagation and diffusion of a substance (of goods, information, finance, management). Was studied in this regard, the model equation of commodity spread (also informational, financial) of the flow, which leads to the Korteweg-de Vries equation. In this model, to ensure the irreversibility of properties taken into account supply and demand for this commodity flow. It is shown that the unsteady Korteweg-de Vries equation has the form of the conservation law in the sense that the energy spent on the distribution of the commodity flow becomes potential energy entities with commodity flows.

Keywords: socio-economic systems; intermediate state of the system; mathematical tools; Korteweg-de Vries.

JEL classification: C65, P00.

Исследование социально-экономических систем (СЭС) в настоящее время затрудняется рядом объективных и субъективных факторов. Вот некоторые из них:

• чрезмерно широкий спектр практических задач социально-экономического характера, не позволяющий выстроить их в рамках достаточно ограниченного числа формализмов;

© Куижева С.К., 2014

• априорная неопределенность исследования, состоящая в недостаточности исходной информации для адекватного построения формальных (аналитических) конструкций;

• нелинейность процессов в СЭС, приводящая к бифуркациям и катастрофам (в математическом смысле этого слова);

• зашумленность данных, приводящая к некорректным математическим постановкам, и др.

Таким образом, СЭС представляют собой широкое поле приложений различных математических идей и методов - от статистики до абстрактной алгебры. В силу вышесказанного, математические приложения в СЭС можно упрекнуть в чрезмерной пестроте и поверхностном исследовании ключевых проблем. Действительно, одни исследователи считают главным направлением успеха математического моделирования развитие применений математической статистики и теории вероятностей, другие объявляют себя сторонниками дискретной математики, третьи направляют основные усилия в область теории игр или классического анализа, четвертые пытаются отыскать аналогии между хорошо описанными физическими процессами и социальными явлениями (Гаврилец, 1977. С. 135; Канторович, Гавурин, 1977. С. 34).

Вместе с тем, все эти подходы можно проклассифицировать на два типа исследования: одни идут от практических нужд и обработки эмпирических данных, другие - пытаются создавать и формализовать содержа- 00 тельные теории. В каждом подходе есть свои преимущества и недостатки. Это говорит о том, что ни математи- i ки, ни экономисты (социологи в том числе) еще не подготовлены в достаточной степени к взаимному синтезу, ö хотя в необходимости подобного синтеза никто не сомневается.

Можно сказать, что и общее количество исследователей, разъединившись по разным признакам, обра- см зовало классы двойственных объектов, развитие которых требует их дальнейшего взаимодействия. Поэтому z очевидна необходимость всемерной поддержки такого развития, бережного отношения к идее и инициативе в данной области. Только такое отношение к исследованиям и исследователям может гарантировать будущий успех (Гаврилец, 1977). Этот вывод определяет актуальность настоящего исследования. О

Понятие взаимодействия играет все возрастающую роль в современном научном мышлении, особенно в методологических и концептуальных исследованиях. И хотя многие разделы социально-экономической науки ^ обходятся без явного употребления понятия «взаимодействие», однако в явном виде никто этого не отрицает. Отметим, что до недавнего времени интуитивное понимание взаимодействия не приводило к особым логиче- ^г ским осложнениям и поэтому не требовало строгих формализованных определений. Однако проявление факторов, способствующих реализации промежуточных состояний, привело к тому, что возникла необходимость применения неформальных логических конструкций. Фактически промежуточные состояния всегда присут- -<> ствовали в СЭС и наличие посредника (менеджера, администратора, лица, принимающего решения) устраняло возникавшее формальное противоречие между двойственными объектами. з

В математических моделях, в которых имеется промежуточное состояние, вводится понятие смешива- У

ния объектов с различными изначально противоположными или дополняющими свойствами. Примером та- q

кой математической модели является задача Стефана, согласованная с теорией двойственности (Канторович, ^

Гавурин, 1977). Смысл модели в том, что при исследовании физического явления распространения или диф- q - 111 фузии некоторой субстанции (в экономике - товаров, информации, финансов, управления; в физике - тепла,

вещества) используется промежуточное состояние системы (фазовый переход) и начальные условия накладываются именно на это промежуточное состояние. Тем самым подчеркивается важность достижения такого ш результата, который был бы явным образом связан с данными из промежуточного состояния.

В стандартной классической задаче теплопроводности или диффузии, как правило, фазовый переход не учитывается (Шапиро, 2004; Cheng, 1982). Эта аналогия переносится и на исследование СЭС, что снижает адекватность построенных моделей.

Поскольку наш математический инструментарий связан со стандартными исследованиями уравнений подобного типа, остановимся подробнее на достигнутых результатах, тем самым предъявив логическую цепочку математических моделей, использующих понятия смешивания объектов с различными (двойственными) свойствами (BurnsideRobert R, 1970; Bernstein, 2005). Отметим, что необходим определенный стык между формальной теорией и содержанием проблемы - задачами практического прогноза и управления с СЭС.

Стыковка объектов с противоположными (двойственными) свойствами является некой универсальной логической конструкцией, способной получить стабильные управленческие решения. В наших математических исследованиях такие решения получены. Приведем основные наши результаты в данном направлении (Куижева, 2001; Куижева, 2002).

1. Краевые задачи для гиперболического уравнения третьего порядка.

2. Смешанные задачи для гиперболического уравнения третьего порядка.

3. Связь нелокальных задач для некоторых классов дифференциальных уравнений с локальными задачами для нагруженных дифференциальных уравнений.

4. Нахождение частного решения для уравнения Кортевега-де Фриза (солитонные решения) методом аннулирующего многочлена.

5. Нахождение частного решения уравнения диффузии катионов (солитонные решения). Периодичность решения и предельный цикл.

Для полноты исследования дифференциальных уравнений недостает хаотических решений, однако существование периодических решений и соответственно предельного цикла предполагает возможность появления такого рода решений. Это направление деятельности требует дальнейшего исследования.

Задача Стефана дополняет наши исследования и занимает промежуточное состояние в логических построениях среди перечисленных выше задач. Более того, задача Стефана для уравнений типа Кортевега-де Фриза является естественным обобщением рассмотренных нами задач (с энергетической точки зрения). Это направление деятельности также требует дальнейшего исследования.

Поскольку задача Стефана представляет важный аспект нашего исследования, то сформулируем ее математическую постановку.

т Рассмотрим уравнение — = д-ии с условиями — (0 г) = /(г); и(я(г), г) = 0, г > 0; — = -—, (з(г), г), г > 0;

3 дг дг2 дг йг дг >

т и(х, 0) = 0,х > 0. Через функцию s(г) обозначено промежуточное состояние между крайними факторами сме-О

0 шивания (фазовый переход).

Как известно, решение уравнения диффузии (смешивания) связано со случайными процессами через нор-

1 мальное распределение. Это обстоятельство служит источником того, что уравнения типа диффузии связаны

с со случайными процессами. Между тем процесс смешивания математически определяется таким образом, что сл

наборы различных объектов с противоположными (двойственными) свойствами образуют биномиальное рас-¡л. пределение, которое в пределе превращается в нормальное, и при некоторых ограничениях в показательное:

—е~Л ^ (пр = Л)^ НшС*рУ-кГехр|- —V (1)

0 к! ^ пРЧ 42x1 Ч 2)

4 Таким образом, комбинаторное смешивание объектов с противоположными (двойственными) свойствами является промежуточным состоянием между крайними проявлениями (показательное и нормальное распреде-

^ ления). Отметим, что в такой логической конструкции реализуется как вероятностный подход (случайные события) так и вполне детерминированный (смешивание потоков товаров, информации различной плотности). 0 Для моделей, характерных в СЭС соотношение (1) запишется в следующей форме:

¡с Объект ^ Смешивание ^ Двойственный объект

¡¡С Естественно, можно привести массу подтверждающих примеров, соответствующих данной логической

конструкции. Классификация подобных объектов - предмет нашего дальнейшего исследования. ,о Простейшим примером взаимодействия в экономических системах объектов и двойственных объектов

ю может служить симплекс-метод. Здесь фигурируют объекты, двойственные объекты (свойства) и их взаимос-4 вязь: объект х (изделие), свойство с (цена), свойство у (двойственные показатели), объект Ь (ресурсы). Реали-С зуется смешивание объектов и свойств в виде соотношений сх,уЬ (математически - скалярное произведение) ¡с при некоторых ограничениях. Далее исследуется динамика промежуточного состояния (значения целевых 00 функций) на предмет достижения крайностей (минимума и максимума) при неизбежном существовании вторичного совпадения (шах(сх) = шт(уЬ)), как конечного промежуточного состояния. В такой модели реализованы и линейность, и нелинейность (в виде квадратичности).

Рассматриваемые в наших исследованиях дифференциальные уравнения можно распределить следующим образом: (уравнение диффузии, уравнение Аллера, уравнение Кортевега-де Фриза):

и1 = их и1 = аих + Ьихх, и1 = ихх + 6ии, (2)

где и = и(х, г) можно толковать как сохраняющуюся плотность исследуемого объекта. Более подробно математическая модель при исследовании образовательных процессов будет рассмотрена на примере уравнения Кортевега-де Фриза.

Уравнение диффузии (первое уравнение в (2)), характеризующее простейшую форму взаимодействия исследуемых субстанций, реализует известную модель, приводящую к нормальному распределению. При этом, как известно, возникает интеграл Пауссона.

Уравнение Аллера (второе уравнение в (2)), в случае постоянных коэффициентов, обобщающее уравнение диффузии, приводит к интегралу, обобщающему интеграл Пуассона. Этот результат достигается методом разделения переменных.

Уравнение Кортевега-де Фриза (третье уравнение в (2)) имеет солитонные решения, т. е. решения ведут себя не только как волны, но и как частицы. И это обстоятельство говорит об универсальности данного уравнения. Подобных уравнений не так много. Тем не менее, методы поиска похожих уравнений продолжаются.

Наши исследования первоначально были связаны с поиском уравнений, порожденных коммутирующими дифференциальными операторами, как и в случае уравнения Кортевега-де Фриза (Куижева, 2002), о котором мы говорили выше. Универсальность уравнения Кортевега-де Фриза заключается в возможности выразить единообразным способом все типы взаимодействия: частица, уединенная волна, солитон.

Интересен тот факт, что данное уравнение допускает периодическое решение, однако во многих случаях оно оказывается сингулярным. Это обстоятельство вынуждало исследователей отбрасывать такие решения, как не имеющие физического (в нашем случае экономического) смысла. Однако, как выяснилось, в классе дискретных решений возможно существование решений с сингулярностью. Это важное для нашего подхода исследование может положить начало поиску стабильных решений, соответствующих в фазовой плоскости некоторому предельному циклу. Это направление деятельности тоже требует дальнейшего исследования.

К исследованиям уравнения диффузии относится нахождение связи нелокальных задач для некоторых классов дифференциальных уравнений с локальными задачами для нагруженных дифференциальных уравнений. Такое исследование укладывается в схему согласования локальности и нелокальности начальных условий (как понятий с взаимно дополняющими свойствами). Нами была установлена связь в случае, когда порядок уравнений, входящих в начальные условия, не превышает двух. Однако имеется перспектива обобщения 00 этой задачи на случай произвольного порядка. Тем самым будет реализована взаимосвязь между локальными ¡5 и нелокальными условиями в виде некоторой промежуточной логической конструкции. О

С целью конкретизации, приведенных выше рассуждений рассмотрим одно модельное уравнение распространения товарного (информационного, финансового) потока, приводящего к уравнению Кортевега-де Фриза. см

к ди = к2 ^ (3) ^

1 дг 2 дх2 w

см

где (х, г) е К2, и = и(х, г) - плотность товарного потока при взаимодействии (производитель, покупатель);

ди ^

--скорость распространения товарного потока во времени; ^

дг

ди

-— групповая скорость распространения товарного потока; <С>

дх

8гп . . 8ги —- - рассеяние (дисперсия);--диссипация;

8x 8хъ

k- коэффициент, характеризующий среду распространения (в случае уравнения диффузии - это пористость среды);

к2 - коэффициент рассеяния. Легко заметить, что (3) это подробно расписанное первое уравнение в (2). со

Для внесения в модель понятия необратимости товарного потока учтем в модели предложение S(u) и q спрос D(u) на данный товарный поток. Рассмотрим случай линейной зависимости предложения и спроса от плотности товарного потока. В стандартной модели рынка рассматривается линейная зависимость предложе-

О

ния и спроса от цены товара (Кубанива, Табата, Табата, Хасэбэ, 1991). Учитывая, что между товаром и ценой О

может существовать линейная зависимость, в конечном счете можно выбрать линейную зависимость предло- ш

жения и спроса от плотности товарного потока. Кроме того предположим, что предложение - возрастающая <

функция, в спрос - убывающая. При таких ограничениях имеют место следующие соотношения: ^

I—

S (u) = c1 + c2u,

D(u) = c3 - c4u,

где c > 0, i = 1,2,3,4, - некоторые положительные постоянные.

В уравнение (3) внесем нелинейность (квадратичность) в виде kSS(u) ■ kDD(u), где ks и kD - размерные величины. Следовательно, введение необратимости приводит уравнение (3) к виду

k1 = k2 + kS (C1 + C2u) ■ k D (C3 - C4u), (4)

В процессе распространения товарного потока необратимость проявляется в реализации товара (восприятии информации).

Уравнение (4) может содержать нулевое решение. Такое решение нежелательно, так как не описывает реальное распространение товарного потока. Поэтому добавим в уравнение (4) некоторую константу c5, смысл которой состоит в том, что уравнение может иметь постоянное решение (некоторый постоянный уровень распространения товарного потока).

Итак, получаем уравнение

, 8u ,82u (5)

= 8X2 + + ■ - + C5.

В стационарном случае (в зависимости u = u(x) отсутствует время t) уравнение (5) после дифференцирования превращается в стационарное уравнение Кортевега-де Фриза:

переход от к —- есть переход от свойства дисперсии к диссипации.

, дЗы (/ \du дыЛ . .

KwТ + kSkD КС2С3 " С1С4 ))- 2c2c4u^- 1 = 0 . (б)

дх V дх дх J

Смысл дифференцирования можно интерпретировать как переход от одних величин к другим. Например,

д 2ы д3ы

_к _

дх2 дх3

Уравнение Кортевега-де Фриза (б) обладает таким свойством, что наряду с решением ы = ы(х) оно имеет решение в виде бегущей волны ы = ы(х - v0t), v0 - некоторая постоянная (начальная скорость). Это обстоятельство позволяет рассмотреть нестационарное уравнение Кортевега-де Фриза:

, ды , дЗы , , (/ \ды . ды Л

k0 ¥ = k2 дьЗ + kSkD I УС2С3 - C1C4 )~дх ~ 2С2С4ы ^ Г ^

где k0 - некоторая постоянная. Известной заменой % = х - v0t можно привести уравнение (7) к виду (б).

Логические рассуждения будут полны, если рассматривать систему уравнений типа (7) с переменными ы и v (плотность товарного потока и плотность соответствующего финансового сопровождения). Тогда возникает взаимосвязь между двумя синергетическими переменными ы и v, каждая из которых удовлетворяет ЕЕ уравнению типа (7), но со смешанной нелинейностью в элементе необратимости. В этом случае в полной мере R будет задействована обратная связь во взаимодействии. Поскольку в предлагаемом математическом инстру-<< ментарии отсутствует исследование систем уравнений, то ограничимся моделью уравнения (7). Отметим, что О подобные системы уравнений встречаются в теории распространения уединенных волн и солитонов (Инте-N грируемость и кинематические уравнения для солитонов, 1990). Причем, для каждого уравнения такой системы найдены соответствующие линейные коммутирующие дифференциальные операторы. О Отметим также, что нестационарное уравнение Кортевега-де Фриза имеет вид закона сохранения

£ Pt = Q. (8)

Соотношение (8) является условием равенства нулю криволинейного интеграла

<< | РХх + Qdt = 0,

где Р = Ф. Q = Ф, Ф - потенциальная функция криволинейного интеграла. 2 п " '

о Смысл закона сохранения в данной модели заключается в том, что энергия, потраченная на распростране-

< ние товарного потока, переходит в потенциальную энергию субъектов, обладающих товарным потоком (или соответствующим информационным, финансовым потоком).

Вместо криволинейного интеграла можно взять суммирование по всем видам реализации товарного потока. Тогда модель упрощается для конкретных расчетов. о Коэффициенты k0, k1, k2, k, kD, предлагаемые в модели, могут быть уточнены статистическими методами и

о экспертными оценками для всех видов реализации товарного потока.

< Возникает естественный вопрос, что нужно сделать с полученными решениями уравнения (7)? Поступим так, № как это делается при нахождении решений волновых уравнений (например, в квантовой механике). Необходимо

ю

2 полученное решение отобразить в отрезок [0, 1]. В квантовой механике это делается с целью получения вероятности перехода частицы из одного состояния в другое. В нашем случае, после того, как найдено решение уравне-а ния Кортевега-де Фриза, в пространстве решений следует ввести метрику. Затем полученную метрику необходимо т нормировать, и тогда получим отображение решения уравнения (7) в отрезок [0,1], т. е. в процентные величины.

Один из вариантов такого отображения может быть следующий. Пусть ы = ы(х) - решение модельного

Со ь

уравнения (7). Определим квадрат модуля решения ||ы|| = Jы2 (х)хх. Напомним, что в случае двух функций ы и v,

а ь

скалярное произведение определяется через интеграл (ы, v) = J ы( х^( х)Хх.

Нормируем полученную метрику: а

0 jJы 2(х)Хх < 1.

ы а

Таким образом, получаем отображение функции ы = ы(х) в отрезок [0,1]. В зависимости от параметров модельного уравнения можно получить некоторое множество значений. Обозначим множество полученных значений через X.

С другой стороны, могут иметься экспериментальные (рейтинговые) данные по распространению товарного потока (в процентах). Обозначим это множество через Y. Остается установить корреляцию между величинами X и Y. Она (корреляция) определяет связь формальных решений и экспериментальных наблюдений и характеризует степень адекватности построенной модели.

ЛИТЕРАТУРА

Гаврилец Ю.Н. (1977). Математика в социологии. Моделирование и обработка информации / Под ред. А.Г. Аганбекяна и Ф.М. Бородкина. М.: Мир, с.135.

Интегрируемость и кинематические уравнения для солитонов (1990). Сб. науч. тр. / АН УССР. Ин-т теор. физики; отв. ред. В.Г. Барьяхтер, В.Е. Захаров, В.М. Черноусенко. Киев: Наук. Думка.

Канторович Л.В., Гавурин М.К. (1977). Математика и экономика - взаимопроникновение наук // Вестник Ленинградского университета, № 13, с. 34.

Кубанива М., Табата М., Табата С., Хасэбэ Ю. (1991). Математическая экономика на персональном компьютере / Пер. с яп.; Под редакцией М. Кубанива; под ред. и с предисл. Е.З. Демиденко. М.: Финансы и статистика, 304 с.

Куижева С.К. (2001). Вычисление аннулирующих многочленов коммутирующих операторов // Доклады Адыгской (Черкесской) международной академии наук. Нальчик, т. 5, № 2, с. 31-33.

Куижева С.К. (2002). О некоторых дифференциальных уравнениях в частных производных, порожденных коммутирующими линейными дифференциальными операторами // Известия КБНЦРАН, № 1(8), с. 28-30.

Математика в социологии. Моделирование и обработка информации (1977). Под ред. А.Г. Аганбекяна, Ф.М. Бородкина. М.: Мир, с. 6.

Шапиро Д.Ф. (2004). Уравнения в частных производных. Специальные функции. Асимптотики. Новосибирск, НГУ. 00

Burnside R.R. (1970). Remarks on the equtions of Langmur and Blasius // J. Math. Anal. and Appl., 30, no. 2, i pp. 392-400. О

T

Bernstein J. (2005). Max Born and the quantum theory. American Journal of Physics, vol. 73, pp. 999-1008.

Cheng H.X. (1982). A two-parametr Backlund transformations for the Boussinesq equations // J. Phys. A: см Math. Gen., vol. 15, pp. 3367-3372. z

см

REFERENCES

Burnside R.R. (1970). Remarks on the equtions of Langmur and Blasius // J. Math. Anal. and Appl., 30, no. 2, £ pp. 392-400.

Bernstein J. (2005). Max Born and the quantum theory. American Journal of Physics, vol. 73, pp. 999-1008.

Cheng H.X. (1982). A two-parametr Backlund transformations for the Boussinesq equations // J. Phys. A:

Math. Gen., vol. 15, pp. 3367-3372. ?

о

Gavrylets Y.N. (1977). Mathematics in sociology. Modeling and information processing. Ed. by A.G. Aganbeky- см ana, F.M. Borodkina. M., p.135. (In Russian.)

Integrability and kinematic equations for solitons (1990). Collection of scientific papers. Kiev. (In Russian.)

Kantorovich L.V., Gavurin M.K. (1977). Mathematics and economics - the interpenetration of Sciences. Bulletin of Leningrad University, no. 13, p. 34. (In Russian.)

Kubaniva M., Tabata M., Tabata S., Hasebe Yu (1991). Mathematical economics on a personal computer. M.: Finance and Statistics, 304. (In Russian.) О

Kuizheva S.K. (2001). Calculation of annihilating polynomials of commuting operators. Reports Adyghe (Circas- q sian) International Academy of Sciences. Nalchik, vol. 5, no. 2, pp. 31-33. (In Russian.) ^

Kuizheva S.K. (2002). Some Partial differential equation generated by commuting linear differential operators. <Proceedings KBSC RAS, no. 1 (8), pp. 28-30. (In Russian.) g

Mathematics in sociology. Modeling and processing (1977). M.: Mir, p. 6. (In Russian.)

Shapiro D.F. (2004). Partial differential equations. Special functions. Asymptotics. Novosibirsk, NSU. (In Rus-

O