CC BY
32
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 151, кн. 4
Физико-математические пауки
2009
УДК 514.7^517.9
ОТОБРАЖЕНИЯ БЭКЛУНДА С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ТЕОРИИ СВЯЗНОСТЕЙ
А.К. Рыбников
Аннотация
Изучение преобразований Бэклупда одна из наиболее интересных тем в теории дифференциальных уравнений с частными производными. Эти преобразования применяются для отыскания решений (в частности, солитоппых) нелинейных дифференциальных уравнений. Одновременно преобразования Бэклупда представляют собой пример дифференциально-геометрической структуры, порожденной дифференциальными уравнениями.
Понятие преобразования Бэклупда является частным случаем более общего понятия отображения Бэклупда. В настоящей статье геометрическая теория отображений Бэклупда представлена как специальный раздел теории связпостей.
Ключевые слова: преобразование Бэклупда, дифференциально-геометрическая структура, связность в главном расслоении, связность в ассоциированном расслоении, связность, определяющая представление пулевой кривизны.
Одним из самых важных и плодотворных понятий в дифференциальной геометрии является понятие связности в расслоенном многообразии. Особенный интерес представляет изучение связностей в расслоениях с расслоенными базами. Именно с такой ситуацией мы встречаемся при рассмотрении дифференциальных уравнений. Идея построения геометрической теории преобразований Бэклупда на основе теории связностей одна из наиболее интересных и плодотворных идей. Представленная в настоящей работе геометрическая теория преобразований Бэклупда существенно отличается от теории, предложенной А.М. Васильевым [1]. Рассматривая преобразования Бэклупда. мы придерживаемся трактовки Ф. Пирани. Д. Робинсона и У. Шедвпка [2. 3]. в соответствии с которой преобразование Бэклупда является частным случаем более общего понятия отображения Бэклупда. Однако наша интерпретация понятия отображения Бэклупда отличается от интерпретации. предложенной в [2. 3]. Задание отображений Бэклупда трактуется нами как задание специальных связностей [4] (определенных в фактор-расслоениях расслоений реперов 1-го и 2-го порядков), определяющих представления нулевой кривизны для заданного дифференциального уравнения с частными производными.
В данной статье изучаются отображения Бэклупда для дифференциальных уравнений общего вида. Оставлен в стороне вопрос об отображениях Бэклупда для эволюционных уравнений (мы рассматривали их в [4 7]). которые имеют особую специфику. При этом мы ограничиваемся для простоты изложением геометрической теории отображений Бэклупда для уравнений второго порядка с неизвестной функцией двух аргументов.
В работе систематически используется инвариантный аналитический метод Э. Картана Г.Ф. Лаптева (см. [8] или работы самого Г.Ф. Лаптева [9 13]). Все рассмотрения носят локальный характер.
1. Введение и краткий обзор работы
1.1. Впервые преобразования Бэклунда возникли как преобразования поверхностей постоянной отрицательной кривизны в 3-мерном евклидовом пространстве Д3. В 1879 г. в работах Л. Биаики [14] и С. Ли [15] было рассмотрено соответствие между двумя поверхностями £ и £' в Д3, заданное системой уравнений
(х1- е1)2 + (х2 - е2)2 + (*- у)2 = а2, ¿1 • (х1 - е1) + ¿2 • (х2 - е2) - (* - у) = о, (1)
У1 • (х1 - е1) + У2 • (х2 - е2) - (^ - у) = о,
^¿1 • У1 + ¿2 • У2 + 1 = 0,
связывающих координаты х1, ж2, г точки М £ £ и координаты е1, е2, У точки М' £ £'. Здесь г = ¿(х\х2), у = у(е\е2), * = дг/дх% у» = ду/д£\ г = 1, 2. При этом предполагается, что поверхность £ является поверхностью постоянной отрицательной кривизны - 1/а2, и следовательно, функция ¿(х^х2) является одним из решений уравнения Монжа Ампера
¿11 • ¿22 - (¿12)2 +(*1)2 + (*2)2 + 1 =0. (2)
а2
у е1 , е2
ющую заранее заданной функции ^ = ¿(х^х2). Можно доказать, что функция у(е1,е2) также удовлетворяет уравнению Монжа-Ампера
( )2 , (у1)2 + (у2)2 + 1 0
у11 • у22 - (¿12) +--2- = 0,
а2
и следовательно, поверхность £' также является поверхностью постоянной отри-
-1/а2.
деляющую соответствие между двумя поверхностями с одной и той же постоянной отрицательной кривизной -1/а2. Одновременно система (1) определяет отображение каждого из решений уравнения Монжа Ампера в другое решение того же уравнения. Соответствие, заданное системой (1), получило название преобразование Биаики Ли [16, 17].
В 1880 г. А. Бэклунд [18] обнаружил, что преобразование Бианки Ли можно рассматривать как частный случай преобразований более общего типа, задаваемых системой вида
ДЦх1, х2, ¿, ¿1, ¿2, е1, е2, у, у1, у2) = 0, а = 1, 2, 3, 4. (3)
При этом предполагается, что систему (3) можно разрешить относительно х1, х2, у1 , у2
(у1 = ^^е?2^ ¿, ¿1^2^
1 2 (4)
у
только в том случае, когда функция ¿ = ¿(¿1,х2) является решением дифференциального уравнения
и(х1, х2, ¿, ¿1, ¿2, ¿11, ¿12, ¿22) = 0. (5)
В этом случае можно рассматривать соответствие между решениями ¿(ж^ж2) уравнения (5) и решениями системы (4) (при условии z = ¿(ж1, ж2)). Если при этом любое решение системы (4) является к тому же решением дифференциального уравнения
V(É1, С2, У, УЬ У2, У11, У12, У22) = 0, (5')
то соответствие, определенное системой (4). называют преобразованием Бэклунда (точнее преобразованием. Бианки Ли Бэклунда) дифференциального уравнения (5) в дифференциальное уравнение (5').
Заметим, что А. Бэклунд трактовал эти преобразования как соответствия между парой поверхностей S и S 'в Д3. Г. Дарбу [19] был первым, кто обратил внимание на то. что преобразования Бэклунда можно рассматривать как соответствия между интегральными многообразиями пары дифференциальных уравнений (или одного дифференциального уравнения), приведя в качестве примера автопреобразование Бэклунда для уравнения синус-Гордона
z12 = sin z. (6)
Такой подход к преобразованиям Бэклунда получил дальнейшее развитие в работах Э. Гурса [20] и Ж. Клерена [21]. Подробная библиография содержится в [17].
В 1977 г. Ф. Пирани и Д. Робинсон [2] предложили иную трактовку понятия преобразования Бэклунда. в соответствии с которой преобразование Бэклунда является частным случаем более общего понятия отображения Бэклунда.
Отображение Бэклунда для заданного дифференциального уравнения с частными производными Ф. Пирани и Д. Робинсон определили как отображение
Jk(M, N1) х N2 Л J 1(M,N2),
удовлетворяющее некоторым дополнительным условиям (см. [3] или [17]). Здесь Jk(M, N) - многообразие &-струй отображений из M в N; M - многообразие независимых переменных ж1, ж2; N1 - одномерное многообразие с локальной ко-z N2
У
В локальных координатах отображение Бэклунда ф для дифференциального уравнения 2-го порядка (5) записывается следующим образом:
У1 = У1 О^,^,.. .,zji,...,jfc,У) , (7)
У2 = У2 z, zj, . . . , zji,..-,jfc ,y) ,
где j = 1, 2. Предполагается, что система (7) интегрируема в том и только в том
z ж1 , ж2
ния (5).
В 2001 г. мы предложили новую интерпретацию понятия отображения Бэклунда
[22]. Задание отображения Бэклунда мы трактуем как задание специальной связности. определяющей представление нулевой кривизны для заданного дифференциального уравнения. Первым примером такой связности была связность Р. Германа
[23]. ассоциированная со структурой продолжения X. Уолквиста и Ф. Эстабру-ка [24]. Использование понятия связности, определяющей представление нулевой кривизны, позволяет дать естественную геометрическую интерпретацию таким понятиям, как преобразования Бэклунда, уравнения обратной задачи и псевдопотенциалы Уолквиста и Эстабрука.
1.2. Опишем кратко структуру настоящей статьи. Предварительно заметим, что. изучая дифференциальные уравнения с частными производными 2-го порядка общего вида (5), мы рассматриваем переменные ж1, ж2, г как адаптированные
локальные координаты (2+1)-мерного расслоения Н с 2-мерной базой (при этом ж1 , ж2
локальных координат имеют вид:
У = ^ (ж1, ж2) , i = 1, 2; ? = ^2+1 (ж1, ж2, г) .
Обозначим через ж4, р2- адаптированные локальные координаты в расслоении 1-струй 71Н. Локальные координаты в расслоении Н (расслоение голоном-
ных г-струй сечений) обозначим через ж4, р^,...,^, к = 1,..., г (имеет место
()
Для любого сечения а С Н, заданного уравнением 2 = 2 (ж1, ж2), можно рассматривать поднятые сечения (поднятия) аг С 7г Н, заданные уравнениями г = г (ж1, ж2); Рз1,---,зк = г^!,...,^^, к = 1,...,г. Дифференциальное уравнение (5) можно записать в более общем виде
и (ж1,ж2,г,р1,р2,Р11,Р12,Р2^ =0. (5'')
На поднятии а2 С 72Н произвольного сечения это уравнение принимает вид (5). Решения г = г (ж1, ж2) уравнения (5) — это сечения а С Н, на поднятиях которых уравнение (5) удовлетворяется тождественно.
Замечание 1.1. В качестве главных форм на Н можно, в частности, выбрать так называемые контактные формы
ш = ^, = - к = ^ ..., Г
которые обращаются в нуль на контактных распределениях в Н (о понятии контактного распределения см. [1, гл. IV, § 3]).
Заметим, что поднятия аг С Н сечений а С Н (и только они) являются интегральными многообразиями системы Пфаффа
ш2+1 =0, =0, к = 1,...,г - 1,
где ш2+1, ш2^1 2к к = 1,..., г — 1, - контактные формы.
Мы начинаем изучение отображений Бэклунда с рассмотрения специальных связностейЩ в главных расслоениях к г* Н, кД*Н и кЖ*Н (фактор-многообразия многообразия реперов порядка к) при к = 1 и к = 2 (см. разд. 2). Многообразие 1-струи 71Н является общей базой для каждого из расслоений 1г* Н, 1Д*Н, 1^*Н. Расслоения 2г*Н, 2Д*Н, 2^*Н имеют общую базу 72Н. Структурной группой для 1г*Н и 2г*Н является 1-мерная группа для 1Д*Н и 2Д*Н - группа 5Х(2), для 1Ж*Н и 2Ж*Н - группа СЬ(2). Заметим, что можно ограничиться рассмотрением специальных связностей только в к г* Н и кД*Н, так как задание специальной связности в кЖ*Н равносильно заданию специальной связности в кД*Н (см. Замечание 2.2).
Нам интересны в первую очередь специальные связности в кД*Н, определяющие представления нулевой кривизны для наперёд заданного дифференциального
5''
ности, у которых формы кривизны обращаются в нуль на решениях уравнения 5''
Заметим, что связности, определяющие представления нулевой кривизны, могут быть заданы также в отличных от k R* H главных расслоениях над базой Jk H, но со структурной группой G, которая является подгруппой группы SL(2) (см. [5] и [25]).
Следующий раздел (разд. 3) мы начинаем с рассмотрения расслоений, ассоциированных с главными расслоениями kr*H и kR*H. При этом, следуя [8], используем следующие обозначения. Главное расслоение с базой B и структурной группой G обозначаем P(B,G). Ассоциированное с ним расслоение с типовым слоем Э (Э - пространство представления структурной группы G) обозначаем Э (P (B, G)) .Для нас представляют интерес связности в ассоциированных расслоениях Э (kR*H), k = 1, 2, с одномерным типовым слоем. Связность в Э (kR*H), dim Э = 1, мы называем связностью Бэклунда класса k для дифференциального уравнения 2-го порядка (5"), если она порождена специальной связностью в k R*H, определяющей представление нулевой кривизны для уравнения (5'').
P(Jk H, G) G
пы SL(2)) определяет представление пулевой кривизны для дифференциального
5'' Э P Jk H, G
k 5''
лунда являются, в частности, связности Бэклунда для эволюционных уравнений (см. [4 7]) и связности К аула Хопфа [25]. Очевидно, что уравнение Пфаффа
0 = 0 (8) а
вполне интегрируемо в том и только в том случае, когда сечение а С H является решением дифференциального уравнения (5) (здесь 0 - форма связности, соответствующая связности Бэклунда, а 0 - форма 0, рассматриваемая над сечением а С H).
Уравнение Пфаффа (8) определяет отображение
H D а ^ £ С Э (kR*H) , dim Э = 1, (9)
а
при котором любое решение а С H дифференциального уравнения (5'') переходит в сечение £ С Э (k R*H), dim Э = 1, являющееся решением уравнения Пфаффа
а
(8) при заданном а С H. Мы называем отображение (9) отображением Бэклунда класса k, соответствующим дифференциальному уравнению (5''), а уравнение (8) -уравнением Пфаффа, определяющим. отображение Бэклунда.
В случае, когда в качестве главных форм выбраны контактные формы, уравнение Пфаффа (8) эквивалентно системе уравнений с частными производными (мы называем её систем,ой Бэклунда), которая имеет весьма специальный вид (см.
k=2
Замечание 3.1):
yi = Ыу2 + ЙУ - ЙЛ • zii + (+ ^У - ^l) • zi2 + Х21У2 + Xiy - Xii, У2 = (<Й2У2 + ЙУ - Й?) • z12 + (^У2 + ^У - • z22 + Х22У2 + Х2У - Xi2,
где
Й Й2, й2> ^ Xi, Хш x2i> « = 1 2 (11)
1 2
зависят ОТ x1, X2, Z, Zi, Z2.
Установлено (см. Теорему 3.1). что:
1) если для дифференциального уравнения 2-го порядка существует отображение Бэклунда класса 1. то оно квазилинейное уравнение:
2) если для дифференциального уравнения 2-го порядка существует отображение Бэклунда класса 2. то в случае, когда функции (11) удовлетворяют условиям:
dz1 + 2 dz2 v2 = 0,
dz1 — M + dz2 = 0,
d^i — M + = 0,
dz1 dz2
оно квазилинейное, а в случае, когда эти условия не выполнены, оно является уравнением типа Монжа Ампера
Z11 • Z22 - (Z12)2 + Pzii + Qzi2 + Rz22 + S = 0, (13)
где P, Q, Д, S зависят от x1, x2, z, zi, z2.
В разд. 4 рассматриваются дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие преобразования Бэклунда класса 1 одного специального типа (так называемые стандартные преобразования Бэклунда [26]). В разд. 5 установлено существование отображений Бэклунда класса 2 для уравнения z11 • z22 — (z12)2 + c2 = 0, c = const.
2. Специальные связности, определяющие представления нулевой кривизны
2.1. Главные расслоения кг*Я, кД*Я и кЖ* Я, к = 1,2. Рассмотрим главные дифференциальные формы ш1, ш2, расслоенного многообразия Я.
Они удовлетворяют структурным уравнениям
= ш} Л ш}, ¿ш^1 = ш} Л ш2+1 + ш2+1 Л ^2+1.
В процессе правильного продолжения (см. об этой процедуре в [11]) возникает
1, 2, . . .
слоений Д1Я, Д2Я,...). При этом формы
г 2+1 2+1 i 2+1
ш , ш , ш} , ш}, ш2 + 1 (14)
Д1 Я
этапе продолжения возникают формы
„2+1 „г „г „2+1
„jfc , „jfc, „j, 2+1, „2 + 1,2 + 1,
(15)
где формы ш2+1 и ш} к симметричны по нижним индексам. Формы (14) и (15) в совокупности представляют собой систему структурных форм расслоения Д2Я. Заметим, что формы ш2+1, ш2^1 одновременно являются главными формами в многообразии 1-струй 71 Я, а формы ш2+1, ш2+1, ш2+1 - главными формами в многообразии 2-струй 72Я. Можно выделить три фактор-многообразия Д1 Я
• многообразие V*Н со структурными формами ш®, ш2+1, ш2+1, $, где $
= ш1 + ш2;
• многообразие 1Д*Н со структурными формами ш®, ш2+1, ш2+1, ш, ш2, ш2,
где ш = ш| — ш2 ;
о
• многообразие 1 Ж*Н со структурными формами ш®, ш2+1, ш2+1, ш®.
Можно выделить также три фактор-многообразия многообразия Д2Н:
• многообразие 2г*Н то структурными формами ш®, ш2+1, ш2+1, ш2+1,
• многообразие 2 Д* Н со структурными формами ш®, ш2+1, ш2+1, ш?+1,
1,
ш
• многообразие 2Ж*Н со структурными формами ш®, ш2+1, ш2+1, ш1, ш®.
1 2
I
Каждое из многообразий
кг* Н, к Д*Н, кЖ*Н, к = 1, 2, (16)
имеет структуру главного расслоения. Многообразие 1-струй 11Н является общей базой расслоений 1г*Н, 1Д*Н и 1Ж*Н, а многообразие 2-струй 12Н - общей базой расслоений 2г*Н, 2Д*Н и 2Ж*Н. Структурными группами расслоений (16) (как при к = 1, так и при к = 2) являются группы 5Х(2), СЬ(2) соответственно. Совокупность слоевых форм в кг*Н состоит го одной формы $; формы ш, ш2, ш2 - слоевые формы в к Д*Н; формы ш] - слоевые формы в к Ж*Н (как при к = = 1 к = 2
инвариантные структурные формы соответствующей группы.
Среди связностей. заданных в главных расслоениях (16). инвариантным образом выделяются специальные связности [4]. то есть связности, у которых все
ш1, ш2
В дальнейшем для нас будут представлять интерес специальные связности, определяющие представления нулевой кривизны. Напомним, что связность в главном расслоении над базой 1кН (к = 1 или к = 2) называется связностью, определяющей представление нулевой кривизны, для заданного дифференциального уравнения, если её формы кривизны обращаются в нуль на решениях этого уравнения (говоря точнее, на поднятиях решений) и только на решениях.
2.2. Специальные связности в кг*Н, к = 1, 2. Если в расслоении кг*Н
к = 1 к = 2
купность форм связности состоит из одной формы $, которая имеет следующий вид:
$ = $ + ш1 + ш2.
Коэффициенты и зависят от ж®, г, р-, если к = 1, и от ж®, г, р, рк1, к=2
— 2 — 1 ^ш — Л^ш2 — ш^ — ш22 = 0, 3 ^2 — 2 ^2$ + 2^2ш — — ш^ — ш22 = 0.
(17)
Здесь равенство нулю имеет место по модулю главных форм. Форма связности $ удовлетворяет структурному уравнению
= П. (18)
где П = Дш1 Л ш2 + ••• - форма кривизны (многоточием обозначена сумма слагаемых, содержащая произведения главных форм, отличные от ш1 Л ш2).
Можно выбрать в качество главных форм контактные формы w® = dx®, w2+1 = dz — p® dx®,
w„-
2+1 = dpj — pjfc dxk, w^1 = dpjfc — pjfci dx1.
(19)
При таком выборе главных форм ш® = 0 (следовательно, $ = 0) и форма связности $ принимает вид
$ = ¿ж1 + ^2 ¿ж2.
При этом в случае к =1
dh2 / dh2
R = я- • Pu + я- я dpi \ dp2 dpi
dh^ dh1 dh2
• P12 — â- • P22 + • P1 —
dp2 dz
dh1 dh2 dh1
dz P2 dx1 dx2 '
a в случае k = 2
dh2 / dh2 R = â--P111 +
dpn
dhi
\dp12 dpu
• P112 +
dh2
dhi
dp22 dp12
• p 122 —
(20)
dh1 dh2 / dh2 dh^ dh1
Я--P222 + â- • P11 + я--я- • P12 — Я-
dp22 dp1 V dp2 dp1 / dp2
• p 22
dh2 dh1 dh2 dh1 dz P1 dz P2 dx1 dx2
На поднятии любого сечения a С H контактные формы об-
ращаются в нуль (см. Замечание 1.1) и структурное уравнение (18) принимает вид:
d $ = R dx1 Л dx2,
где R - это коэффициент R, рассматриваемый на поднятии сечения a С H. Урав-нонио
R = 0 (22)
является при k = 1 квазилинейным уравнением 2-го порядка. При k = 2 уравнение (22) является, вообще говоря, уравнением 3-го порядка. Вместе с тем среди специальных связностей, заданных в 2r*H, существуют и такие связности, для которых уравнение (22) является уравнением 2-го порядка (см. далее Пример 2.2). Имеет место следующая лемма, доказательство которой содержится в [25]:
Лемма 2.1. Если в 2r*H задана специальная связность и в качестве глав-
(19) (22)
2
коэффициепты связности имеют вид
h® = y • P1® + ф • P2® + X®, i = 1, 2, (23)
где y, ф, x1, X2 _ функции переменных x1, x2, z, p1, p2.
Заметим, что в этом случае в силу (21) и (23) уравнение (22) при к = 2 принимает следующий вид:
3ф ( , ч2\ . . дХ2 А
д^Т - 3^) • I"11 • "22 - ("12) ) -Ч3" • "2 + + • "11 +
д^ 3ф 3ф 3x2 3хЛ
ТТ" • --г— • "2 + 7ГГ — + "я---я- • "12 +
3" 3" 3ж1 3ж2 3"2 3"1 /
3ф , 3ф 3%Л , 3x2 3x1 , 3x2 3x1 п
"5" • + — я— • "22 + • "1--5— • "2 + — "БТ = 0.
3" 3ж1 3"2 / 3" 3" 3ж1 3ж2
Оно является квазилинейным уравнением, если функции и ф удовлетворяют условию:
3р2 3р1 ' ( )
и уравнением типа Монжа Ампера (13), если условие (24) не выполнено. Очевидно, что рассматриваемая специальная связность определяет представление нулевой кривизны для дифференциального уравнения 2-го порядка (5"), если левая часть уравнения (5'') отличается от Д множителем. Следовательно, справедлива
Теорема 2.1. Если для дифференциального уравнения с частными производными 2-го порядка (5'') существует специальная связность в 1г*Н, определяющая представление нулевой кривизны, то уравнение (5'') - квазилинейное.
(5'')
в 2г*Н, определяющая представление нулевой кривизны, и в соотношениях (23) функции ^ и ф удовлетворяют уеловию (24), то уравнение (5'') и в этом случае - квазилинейное. Если же условие (24) не выполнено, то уравнение (5'') яв-
(13)
1 г* Н = Р2, ^2 = 1п "
определяет представление нулевой кривизны для обобщённого уравнения теплопроводности
"1 — " • "22 = 0.
Действительно, па любом сечении а С Н форма связности
$ = "2 ¿ж1 + 1п " ¿ж2
а
удовлетворяет структурному уравнению
= - ("1 — " • ¿22) ¿ж1 Л ¿ж2. а2
2 г* Н
2 2 Л-1 = у • Р11 • 1п ((Р1)2 + (р2)2 + -) + " ^2 = у • Р12 • 1п ((Р1)2 + (Р2)2 + 1)
определяет представление нулевой кривизны для классического уравнения Мон-жа- Ампера (2). В самом деле, на каждом сечении а С Н форма связности
/2 \ 2 $ =( у • "11 • 1п (("1)2 + ("2)2 + ^ + И ¿ж1 + у • "12 • 1п (("1)2 + ("2)2 + ^ ¿ж2
удовлетворяет структурному уравнению
= - а2-
' ( )2 +(^1)2 + (^2)2 + М ¿1
2 2 _ 1^11 • ^22 — (¿ц) + 1
¿2
(^)2 + Ы2 + 1
¿ж1 Л ¿ж2.
2.3. Специальные связности в кД*Н, (к = 1, 2). В случае, когда специ-
к Д* Н к = 1 к = 2
~ , 1 , 2 ~2 2,21,22 ~1 1 , 11, 12 ш = ш + 71ш + 72ш , шх = шх + 7иш + 712ш , ш2 = ш2 + 721ш + 722ш .
Коэффициенты связности
71, 72Ъ 721, 72, 722, 722
(25)
в случае к = 1 зависят от ж®, г, р, а в случае к = 2 - от ж®, г, р, рк1. Они удовлетворяют дифференциальным уравнениям
1
1
(26)
¿71 — 271$ — 2— (72 + 27210 ш2 + 2721ш2 — ш11 + ш22 = 0,
¿72 — 172$ + 272ш — 2722 ш2 — (71 — 2722) ш2 — ш12 + ш22 = 0, 1 3
1 — 2^ 1 $ — 2Т2 1 ш + (т 1 — 7 и) ш 2 — ш 2 1 = 0 ^ — 17l22$ — 2 Т 22ш + 72 ш 2 — 72 1 ш22 — ш 22 = 0,
¿721 — 2 721$ + 172 1 ш — 722 ш 2 — 71 ш2 — ш2 1 = 0, 1 3
¿7222 — 2722$ + 2722ш — (72 + 7220 ш2 — ш22 = 0. Здесь равенство нулю имеет место по модулю главных форм.
к Д* Н кг*Н
К1 = 71 + 2722, К2 = —72 + 2712.
(27)
Действительно, нетрудно проверить, что дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют коэффициенты К-1 и К-2, вычисленные по формулам (27), имеют вид (17).
Формы связности ш, ш2, ш2 удовлетворяют структурным уравнениям
¿ш = 2ш2 л ш2 + п, ¿ш2 = ш л ш2 + п2, = ш2 л ш + п2, (28)
где П = Д12ш2 Л ш2 + • • • , П2 = Д212ш1 Л ш2 + • • • , П2 = Д212ш1 Л ш2 + • • • - формы
кривизны (многоточием обозначены суммы слагаемых, содержащих произведения
ш1 Л ш2
Напомним, что инвариантные структурные формы структурной группы ЙХ(2) (обозначим их ш, ш2, Щ,) удовлетворяют структурным уравнениям этой группы:
¿ш = 2ш2 Л ш2, ¿ш2 = ш Л ш2, ¿ш2 = ш2 Л ш.
Если в качестве главных форм выбраны контактные формы (19), то ш = ш2 = = ш21 = 0
^ 1 О 0 1 0 0 1 11 10 / \
ш = 71 ¿ж + 72 ¿ж , с?2 = 721 ¿ж + 722 ¿ж , ш2 = 7ц ¿ж + 7ц ¿ж . (29) При этом если к = 1, то
$72 (^72 д7Л ^71 ^72
Д12 = • Р11 + я--Б"" • Р12 — я--Р22 + • Р1 —
др1 \др2 др1 / др2 дг
д71 , д72 д71 , , о ( 1 2 1 2
|'2 "<1110/1 2 1 2 \
дг Р2 + джг — дж2 + +2 21 • ^ — 722 • 7") ,
Д
112
дт12 др1
Р11 +
д722
д7?1
др2 др1
• Р12
дт|1 др2
Р22 +
, д7l22 дг
д7и , д722
дг
• Р2 +
д7и , 2 2
дж1 дж2
+ 72 1 • 72 — 7 22 • 7 ь
Д
212
д722 , (д722 д72Л д721
~ —----— • рц---— •:
Я • Р11 + ^--"я- • Р12 — ^--Р22 +
др1 V др2 др1 / др2
, д722 + • р1 дг
д721 , д722 д721 , 1 1
дг
• р2 +
дж1 дж2
+ 722 • 71 — 721 • 72,
к=2
д72
Д
12
. , _дТ2 ^71 , . , __ __ ,
Я р111 + Я--Я- • р112 + Я--Я- • р122 —
дрц \дри дрц/ \ дрц дрц
( д72 д71 \
д71 , д72 д72 д7Л д71
Я--р222 + • р11 + я--• р12 — я- • р22 +
др22 др1 \др2 др1 / др2
, д72 д71 . д72 д71 . о ( 1 2 1 2 )
+ •р1 — •р2 + — дж! + 2 ^ •— •7")
Д
^ , (д7l22 д7и
112
др
и
• р 111 +
\дрц дри
( д7l22 д721 N
• р112 + я--я- • р122
V дрц дрц/
д7 2
11
др22
р222 +
д72
12 „ , (д722
др1
• р 11 +
д721
\ др2 др1
• р 12
д72
11
др2
р22+
+
д7l22 д7и
дг
• р1 —
дг
р2 +
д722 дж1 дж2
д72
1 2 2 + 72 1 • 72 — 7 и • 7 Ь
в1
Д2 2
д72
22 „ 1 (д722
др
• р111 +
и
д721
\дрц дри
• р 112 +
д722
д7221
др22 др12
• р 122 —
д7221 р , д722 р , (дТ22 _ . р д721
др22
• р222 +
я р11 + I я др1 \ др2
я I • ри — я др1 / др2
р22+
+
д722 дг
• р 1
д721 , д7212
дг
• р2 +
д7:1
дж1 дж2
21 1 1
+ 722 • 71 — 721 • 72.
2
2
Заметим, принимая во внимание Замечание 1.1. что в этом случае на поднятии любого сечения а С Н структурные уравнения (28) принимают вид
' ¿¿5 = 222 Л ¿2 + Д12 ¿ж1 Л ¿ж2, а а а а
= ¿5 Л 22 + Д212 ¿ж1 Л ¿ж2,
а а а а
¿¿2 = ¿52 Л ¿5 + Д212 ¿ж1 Л ¿ж2.
Уравнения
Д12 = 0,
Д2112
0,
Д1212
0
(30)
являются при к = 1 дифференциальными уравнениями 2-го порядка. При к = 2 уравнения (30) являются, вообще говоря, уравнениями 3-го порядка. Вместе с тем существуют и такие связности в 2Д*Н, для которых уравнения (30) являются уравнениями 2-го порядка (см. далее Пример 2.5). Имеет место следующая лемма, доказательство которой проводится аналогично доказательству Леммы 2.1:
Лемма 2.2. Если в 2Д*Н задана специальная связность и в качестве главных форм выбраны контактные формы (19), то уравнения (30) являются диф-
2
коэфнрициенты, связности имеют вид
7г = У • Р1® + Ф • Р2® + Х®,
У2 • Р1г + ф2 • Р2г + Х1г, 721г = У2 • Р1г + ф2 • Р2г + Х2г.
711
(31)
Здесь г = 1,2; у, у2, у2, Ф, Ф2, Фг, Х®, Х2®, х2® _ функции переменных ж1, ж2, г, Р1, Р2-
Д12,
Д2112, Д1212
Д
12 =
дф ду
ч^Р1 дР2
+ 2
12 у2 у!
Ф2
Ф2
(р11 • Р22 - (Р12)^ +К Р11 + ^1 Р12 + М1 Р22 + ^1,
( дф2
ду2
Д112 = I дР1 дР2
у1 у
ф2 ф
'(РИ • Р22 - (Р12)2) + К Р11+^2 Р12+М2 Р22+^2,
Д
212
/ дФ1 _ дУ.
\ дР1 дР2
у у121
ф ф2
(р11 • Р22 - (Р12)^ +К3Р11+ЬзР12+М3Р22+Жз,
где К®, Ь®, М®, Ж®, г = 1, 2, 3, зависят от ж1, ж2, г, Р2, Р2.
Д12, Д1212, Д2112
нения 2-го порядка (5") множителем, рассматриваемая специальная связность в 2Д*Н определяет представление нулевой кривизны для уравнения (5"). Таким образом,справедлива
Теорема 2.2. Если для дифференциального уравнения с частными производными 2-го порядка (5") существует специальная связность в 2Д*Н, определяющая представление нулевой кривизны, то уравнение (5'') - квазилинейное.
Если для дифференциального уравнения (5'') существует специальная связность в 2Д*Н, определяющая представление нулевой кривизны, и в соотношениях (31) функции (11) удовлетворяют условиям (12), то уравнение (5'') и в этом случае - квазилинейное. Если же условие (12) не выполнены, то уравнение (5'')
(13)
Пример 2.3. Специальная связность в 2Д*Н с коэффициентами связности
г 2 1 г 1 1 г 1
71 =СО!32' Ти = -- 4Р1' 72! = - 2 8т 2 + 4
г 2 1 г 1 1 г 1
72 = СОБ^' Т12 = 281П2 + 4Р2' 722 = 2 81П 2 - 4^2
определяет представление нулевой кривизны для уравнения синус-Гордона
г12 = Б1П г.
В самом деле нетрудно убедиться в том. что
Д12 =0, Д212 = 1 ("12 - Б1п г), д212 = -1 (^12 - Б1п г)
ст ст 2 ст 2
на поднятии любого сечения а С Н.
Пример 2.4. Специальная связность в 2Д*Н с коэффициентами связности
71 = 1Р1, 711 = 7211 = е2/2,
72 = - 1Р2, 712 = ^^^ 722 = 0 определяет представление нулевой кривизны для уравнения Лиувилля
¿12 = е2.
Действительно, нетрудно проверить что
Д12 = - ("12 - е2), Д112 = 0, Д212 = 0
ст ст ст
а С Н
Пример 2.5. Специальная связность в 2Д*Н с коэффициентами связности
71 = 2 Р2 • Р11 - 1, 721 = -Р2 • Р11, 72 1 = Р2 • Р11 - 1,
72 = 2Р2 • Р12 - 1, 722 = -Р2 • Р12, 72 2 = Р2 • Р12 - 1 определяет представление нулевой кривизны для уравнения
"И • "22 - ("И)2 + "2 • "И - "2 • 212 = 0. В самом деле нетрудно проверить, что
Д12 = -2 ^11 • "22 - ("И)2 + "2 • "11 - "2 • "12^ , Д212 = "11 • "22 - ("12)2 + "2 • "11 - "2 • "12,
Д212 = - ("11 • "22 - ("12)2 + "2 • "11 - "2 • "12^ а С Н
2.4. Специальные связности в kЖ* H, k = 1,2. Можно рассматривать также специальные связности в кЖ*Н, k = 1, 2. Формы связности в этом случае имеют вид
—i - - . — i I t^ï к
Wj = Wj +1 jk W .
При этом будем предполагать, что rjk = Г^ • Коэффициенты связности в случае k = 1 зависят от z, pj , а в случае k = 2 - от z, pj, pkl. Они удовлетворяют дифференциальным уравнениям
drjk+j wm - r^j - rjm w™ - wjk = (32)
Здесь равенство нулю имеет место по модулю главных форм.
Замечание 2.2. Заметим, что задание специальной связности в kK*H равносильно заданию специальной связности в k Д*Н.
В частности, специальная связность в Ж* H с коэффициентами rjk порождает специальную связность в k Д*Н с коэффициентами:
Y1 =Г^ - Г?2> 7ii =Г?1> 72 =r1i - rli, Y2I =r2i,
Нетрудно проверить, что дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют коэффициенты rjk (25), вычисленные по формулам (33), имеют вид (26).
3. Связности Бэклунда и отображения Бэклунда, системы Бэклунда
Наряду с главными расслоениями (16) можно рассматривать ассоциированные с ними расслоения. Напомним (см. разд. 1, п. 1.2), что, следуя [8], мы обозначаем символом P (B, G) главное расслоение с базой B и структурной группой G. Ассоциированное с ним расслоение с типовым слоем Э ( Э - пространство представления структурной группы G) мы обозначаем Э (P (B, G)). Заметим, принимая во внимание Замечание 2.2, что, исследуя связности в ассоциированных расслоениях Э (kr* H) , Э (kR*H), Э (kЖ*H), можно ограничиться изучением связностей в Э (k r* H) и Э (k Д*Н) .О собый интерес представляют для нас связности в ассоциированных расслоениях Э (kR*H) , k =1, 2, с одномерным типовым слоем.
Напомним сначала (см. [8]), что связность, заданная в главном расслоении P(B, G), порождает связность в ассоциированном расслоении Э(Р(B, G)). Если при этом dim Э = 1, то совокупность форм связностн в Э (P (B,G)) состоит из одной формы в, которая имеет следующий вид:
0 = dY - CA (Y) • WA.
Здесь WA - формы связности в P (B, G), индексы A, B, C пробегают значения 1,..., dim G, а коэффициенты Ca(Y) удовлетворяют тождествам Ли:
d£s • Ce - d£c • Cb = Ca Cac dY,
где CBc _ структурные константы групиы Ли G. Форма в удовлетворяет структурному уравнению
d0 = 0 А (- f WA) - CaOa,
где - формы кривизны, соответствующие связности, заданной в P(B,G).
Yli
722 :
- Fi " г 12,
Fi г 22.
(33)
Имеет место
Лемма 3.1. Форму связности в в ассоциированном рас слоении Э(Р (B,G)) можно представить в виде
в= х {dy + ¿2 - y£ - y2 ¿l} , х = 0, (35)
где ¿в, ¿в2, _ формы связности, заданной в fcP*H.
Доказательство. Форма связности в Э (fc Д*#) имеет следующий вид
в = dY - e (y) • ¿в - е2 (y) • ¿2 - el (y) • ¿2,
где ¿в, ¿в2, ¿2 _ формы связности, заданной в Тождества Ли, которым удо-
влетворяют коэффициенты e(Y), £2 (Y), (Y), имеют в данном случае следующий вид:
e • de2 - e2 • de = e2 dY,
e • del - el • de = -el dY, (36)
e2 • del - el • de2 = 2edY.
e2 e 2
e
e2 • el + (e)2 = 0. (37)
Заметим, что при этом
el = 0, (38)
так как в противном случае из (37) следует, что e = 0, и тогда в силу равенств el = = e = 0 го первого уравнения системы (36) следует соотношение e2 =0. Однако
e, e 2 , e2
иметь места. Приняв во внимание (38), представим форму в следующим образом:
e 11 dY + e ~ + e2 ~ l + ~2
= -en - ^T + eiuj + ei ¿2 + w l
и введем новую переменную
У = - ^ (39)
У = е1 (у). (39)
Дифференцируя (39), получим (принимая во внимание второе уравнение системы (36)):
'У
- е^=(40)
Из (39) и (37) следует, что
е = -у • е2, е2 = -у2 • е1, (41)
и в силу (40) и (41) форму 0 можно представить в виде (35), где х = -е1 = 0, что и требовалось доказать. □
Напомним (см. разд. 1), что связности в Э (ЙД*Н) , ё1т Э =1, мы называем связностями Бэклунда класса к для заданного дифференциального уравнения
(5''), если они порождены специальными связностями в кД*Н, определяющими представления нулевой кривизны для уравнения (5''). Наряду со связностя-ми Бэклунда общего типа существуют особые связности Бэклунда, порождённые специальными связностямп в P (JkH, G) (где группы SL(2)), опре-
деляющими представления нулевой кривизны (см. упоминание о них в разд. 1). Уравнение Пфаффа (8):
в = 0,
а
где в - соответствующая связности Бэклунда форма в, рассматриваемая па пода
нятии произвольного сечения а С Н, вполне интегрируемо тогда и только тогда, когда а С Н - решение уравнения (5''). Оно определяет отображение (9):
Н D а ^ £ СЗ (кД*Я0 , dim Э = 1,
а
которое мы условились (см. разд. 1) называть отображением Бэклунда класса к, соответствующим дифференциальному уравнению (5''). Уравнение (8) мы называем уравнением. Пфаффа, определяющим отображение Бэклунда.
Заметим (принимая во внимание Лемму 3.1), что в случае, когда в качестве главных форм выбраны контактные формы (19), уравнение Пфаффа (8) имеет
dy - ( -7и + У • Yi + y2 • 7ai ) dx1 - ( + У • 72 + У 2 • YgJ dx2 =0
а а а а а а
и, следовательно, эквивалентно системе уравнений с частными производными
'yi = —Y2i + y • 7i + y2 • 72i,
Г2 а 2 аi (42)
y2 = -722 + y • 72 + у2 • 722,
ааа
которую мы называем системой Бэклунда. Здесь 72i; 7j, 72j, i = 1, 2, - коэффи-
а а а
циенты связности в кД*Н, определяющей представление нулевой кривизны (рассматриваемые на сечении а С Н).
('у)
Систему Бэклунда (42) можно также посредством замены y = tg —2~ представить в форме
' 'yi = 72i - 72i + 7i • sin('y) - (72i + 72i ) • cos('y),
а а а а
'У2 = 722 - 722 + 72 • sin('y) - (722 + 722 ) • cos('y)
ааа
либо посредством замены y = e( y) в форме
(42')
'yi = 7i + 72i • e(''y) - 72i • e-(''y),
а а а
''У2 = 72 + 722 • e(''y) - 722 • e-(''y).
(42 )
Замечание 3.1. Заметим, что система Бэклунда (42), соответствующая отображению Бэклунда класса 2, имеет в силу (31) вид (10)
yi = (>2у2 + ^У - • zii + (^2У2 + ^У - • zi2 + x2iy2 + Xiy - Хи>
У2 = Ыу2 + ^У - • zi2 + (^2У2 + ^У - • z22 + х22У2 + Х2У - Х22
а
Имеет место следующая теорема, которая является следствием Теоремы 2.1:
Теорема 3.1. Если дифференциальное уравнение с частными производными 2-го порядка (5'') допускает отображение Бэклунда класса 1, то оно - квазилинейное.
(5'') 2
(13)
(10) (11)
(12)
Замечание 3.2. Теорема 3.1 является уточнением известного ещё с 1906 г. результата А.Р. Форсиса [27]. который установил, что в случае, когда дифференциальное уравнение 2-го порядка допускает преобразование Бэклунда. оно имеет вид
т("11 • "22 - (гц)2) + Р "11 + Я "12 + Д "22 + & = 0,
где Р, Я, Д, Т являются функциями переменных ж1, ж2, г, "1, "2-
Пример 3.1. Рассмотрим отображение Бэклунда класса 1. для которого си-
42'
'1 г г 1 /г\
У1 = 2"1 + ^п У • СОв 2 + СОБ У • Б1п 2 = 2"1 + ^п [У +2) ,
1 г г 1 / г X (43)
У2 = - 2 "2 +в1п У • СОБ 2 - СОБ У • в1п2 = - 2 "2 +в1п [у - 2) .
Соответствующая связность Бэклунда порождена связностью в 1 Д*Н, определяющей представление нулевой кривизны для уравнения синус-Гордона (Пример 2.3).
Заметим, что это отображение является автопреобразованием уравнения синус-Гордона. Действительно, продифференцируем первое из уравнений (43) по ж2, а второе — по ж1. После сложения получим
(2у)Ц = в1п(2У).
Пример 3.2. Рассмотрим отображение Бэклунда класса 1, для которого си-
(42'')
Г + е ' (44)
-2* -75е2/2-у.
Соответствующая связность Бэклунда порождена связностью в 2Д*Н, определяющей представление нулевой кривизны для уравнения Лиувилля (Пример 2.4).
Система (44) определяет преобразование уравнения Лиувилля в волновое уравнение
У12 = 0. (45)
Действительно, заметим, что
У12 = 1 "12 + 72 е2/2+у ^1 "2 + У2^ ,
уи = 2"21 е*/2-у(1 г1 - У1) . В результате сложения этих уравнений (принимая во внимание (44)) получим (45).
Пример 3.3. Рассмотрим отображение Бэклунда класса 1. для которого система Бэклунда имеет вид
= у — 2 + 22, у у ' (46)
У2 = —у + 1п 2.
Это отображение является преобразованием Бэклунда уравнения
21 = 2 • 222 + 2 1п 2 — 22 (47)
в уравнение
У1 = у + еу+у2 ( —1 + У2 + У22) . (48)
В этом можно убедиться следующим образом.
1. В результате дифференцирования первого уравнения системы (46) по ж2, второго уравнения по ж1 и последующего вычитания мы придём (принимая во внимание уравнсния(46)) к уравнению (47).
2. Из второго уравнения системы (46) следует, что 2 = еу+у2. Следовательно, 22 = еу+у2 (у2 + У22). Подставляя эти выражения в первое уравнение системы (46), получим (48).
Заметим, что в данном случае мы имеем дело с особым преобразованием Бэклунда. Действительно, для соответствующей связности Бэклунда формами связности являются формы
й = ¿ж1 — ¿ж2, £>2 = (2 — 22) ¿ж1 + 1п 2 • ¿ж2, = 0.
Это означает, что связность Бэклунда порождена связностью (определяющей представление пулевой кривизны), заданной в расслоении Р (^ 1Н, О), где О -подгруппа группы 5Х(2), определённая уравнением Пфаффа й2 =0 (об инвариантных структурных формах и, й2 группы 5Х(2) см. разд. 2, п. 2.3).
Пример 3.4. Система
Гу1 = 22 • 211 + (2 22 • 211 — 1) • у + (22 • 211 — 1) • у2,
[У2 = 22 • 212 + (2 22 • 212 — 1) • У + (22 • 212 — 1) • У2
является системой Бэклунда, определяющей отображение Бэклунда класса 2 для уравнения
211 • 222 — (212)2 + 22 • 211 — 22 • 212 = 0.
Соответствующая связность Бэклунда порождена связностью, определяющей представление нулевой кривизны для этого уравнения (Пример 2.5).
4. Преобразования Бэклунда класса 1 одного специального типа («стандартные» преобразования Бэклунда )
Отображение Бэклунда класса 1 условимся называть стандартным, если в одном из уравнений системы Бэклунда коэффициенты являются функциями одного переменного 2 (допустим для определенности, что это коэффициенты 72, 722, 722),
2
Заметим, что стандартные отображения Бэклунда являются преобразованиями Бэклунда. Действительно, в этом случае 2 = 2 (у, у2) и, следовательно, 2^ =
= ф (у, у1, у2, у 12, у22) . Подставив эти выражения в первое уравнение системы Бэк-
у
Прпмером стандартного преобразования Бэклунда является преобразование, рассмотренное в Примере 3.3.
Приводом ещё один пример стандартного преобразования Бэклунда. Пример 4.1. Рассмотрим систему
1 ( "2 А 1 2
У1 = - 2 - -2) •У - 4г •У ,
г 1 2
У2 = - 2 • у + 2 у ^
которая, как нетрудно проверить, является системой Бэклунда. определяющей стандартное автопреобразование уравнения Бюргерса
"1 + г • "2 - "22 = 0. (49)
Заметим, что это преобразование особое (как и преобразование, рассмотренное в Примере 3.3).
Замечание 4.1. Уравнения 2-го порядка, допускающие стандартные преобразования Бэклунда, имеют вид
Р1 (", "1, "2) • "12 + Р (", "1, "2) • "22 + Я (", "1, "2) = 0, (50)
так как в этом случае каждое из уравнений системы (30) имеет вид (50). Среди уравнений вида (50) содержатся, в частности, уравнения
"22 - Н (г, "1, "2) = 0.
Замечание 4.2. Нетрудно убедиться в том, что уравнения г22 -Н (г, г2) = 0, допускающие стандартные преобразования Бэклунда, имеют вид
"22 - ¥ (г, "2) • "1 - а (г, "2) = 0.
В частном случае, когда ¥ (г, г2) зависит только от г и не обращается в нуль, такое уравнение можно записать следующим образом:
"1 - / (") • "22 - 9 (г,"2) = 0(/ (г)=0) .
Можно доказать (см. [26]), что имеет место
Теорема 4.1. Если дифференциальное уравнение
"1 - / (") • "22 - 9 (г,"2)=0, / (г) = 0,
допускает стандартное преобразование Бэклунда, то оно имеет вид
где
"1 - / (г) • "22 - е (г) • ("2)2 - П (г) • "2 - С (г) = 0, / (г) = 0, (51)
/ (г) Л Гп (") • / (*К1П / (*К ,2
с(г) = + В/-(г) +
Здесь А, В, С - константы, / (г) = ехр ^^ / , символами
! Ш /* <'> / Ш 'г, / 'г (52)
обозначены произвольно вы,бранные первообразные.
Замечание 4.3. Нетрудно проверить, что уравнение (51) в случае А2 + В2 = 0 допускает стандартное преобразование Бэклунда, для которого система Бэклунда имеет вид
у1 = Ву + а • ^22 • / (2) — | П (2) / (2) ¿2 — А ] / (2) ¿2 + к1
у2 = —Ау + а • /2) ¿2 + ^ ,
где а, к1, к2 - константы. При этом а = 0, а константы к1 и к2 связаны соотношением А&1 + Вк2 — С = 0.
Уравнением такого типа является, в частности, уравнение (47) (см. Пример 3.3). В этом случае / (2) = 2, £ (2) = п (2) = 0, А = В = 1, С = 0.
Первообразные (52) выбраны следующим образом:
/ * = /"•* = '
(следовательно, / (2) = е0 = 1),
J / (2) ¿2 = J 1 • ¿2 = 2,
/ Ш ¿2 = / I = "2,
¿2 = 0.
Система Бэклунда для уравнения (47) (система (46)) имеет вид (53), где а = 1, к1 = к2 = 0.
А=В=С=0
нетрудно проверить, стандартное преобразование Бэклунда, для которого система Бэклунда имеет вид
'у! = (ау2 + Ьу + се • (22 • / (2) — I П(2/ (2) ¿2) , у2 = (ау2 + 6у + с)-(/ /2) ¿2 +1%
где а, 6, с - константы, а2 + б2 + с2 = 0, и, следовательно, посредством подходя-
у
зованпе Коула Хопфа.
А=
=В=С=0
преобразованиям Коула Хопфа. Таким уравнением является, в частности, уравнение Бюргерса (см. Пример 4.1). Оно является уравнением вида (51), где / (2) = 1, £ (2) = 0, п (2) = 2, А = В = С = 0.
5. Существование отображений Бэклунда класса 2 для уравнения гц • z22 — (z12)2 + c2 =0, c = const
Имеет место
Теорема 5.1. Уравнение
Z11 • Z22 — (Z12)2 + c2 =0, c = const
(54)
допускает отображение Бэклунда класса 2, для которого система Бэклунда имеет вид
V = (А у2 + А у + А2) • гп + (В2 у2 + В у + В2) • (г12 + с), у2 = (А2 у2 + А у + А2) • (^12 - с) + (В22 у2 + В у + В2) • ^22,
где A, A?, A?, B, B?, B2
A? A A? . ,,
1, констант'Ы, npичем rg I „i „ „? I = 2.
B2 B B1,
Доказательство. Чтобы доказать теорему, достаточно построить специальную связность в 2Д*Н, определяющую представление нулевой кривизны для уравнения (54). Такой связностью является связность с коэффициентами связности (31), где
У = A,
Ф = B,
у2 = -A2, Ф? = -b?, x2i = — cB?,
у?
Ф2 = B2,
Xi = cB,
c2i = -c
X2i = cB2,
X? = -cA, X?? = cA?, X?2 = -cA2.
Действительно, рассматривая структурные уравнения, которым удовлетворяют формы связности, можно заметить, что на поднятии любого сечения а С Н эти уравнения имеют вид:
du = a 2U? Л U2 - a2 a?
? du a2 ? = u Л u + a a 2
du2 a? 2 = U Л U - a? a
A? A2 B2 в?
A A2
B B2?
A2? A
в2 в
(zn • z?? - (гц)? + c?) dx2 Л dx?,
(zn • z?? - (zn)? + c?) dx2 Л dx?, {zn • z?? - (zn)? + c?) dx2 Л dx?,
что и требовалось доказать.
□
Summary
A.K. Rybnikov. Backlund Maps in View of the Theory of Connections.
Study of Backlund transformations is one of the most interesting topics in the theory of partial differential equations. These transformations are used for searching of solutions (in particular, solit.on solutions) of nonlinear equations. At the same time Baklund transformation is the instance of differential-geometric structure generated by a differential equation.
The notion of Backlund transformation is a particular case of more general notion of Backlund map. In the present work the theory of Backlund maps is treated as a special chapter of the theory of connections.
Key words: Backlund transformation, differential-geometric object., differential-geometric structure, connection in principal or associated bundle, connection defining the representation of zero curvature for a given partial differential equation.
Литература
1. Васильев A.M. Теория дифференциально-геометрических структур. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987. 190 с.
2. Pirani F.А.Е., Robinson B.C. Sur la définition des transformations de Bäcklund // C.R. Acad. Sc. Paris, Serie A. 1977. - T. 285. P. 581 583.
3. Pirani F.A.E., Robinson B.C., Shadwick W.F. Local Jet.-bundle Formulation of Bäcklund Transformations. Dordrecht. (Holland): Reidal, 1979. 132 p.
4. Рыбников A.K. О специальных связпостях, определяющих представление пулевой кривизны для эволюционных уравнений второго порядка // Изв. вузов. Матом. 1999. .Ys 9. С. 32 41.
5. Рыбников А.К., Семёнов К.В. Связности Бэклупда и отображения Бэклупда, соответствующие эволюционным уравнениям второго порядка // Изв. вузов. Матем. 2004. Л» 5. С. 52 68.
6. Рыбников А.К. Теория связпостей и проблема существования преобразований Бэклупда для эволюционных уравнений второго порядка // Докл. РАН. 2005. Т. 400, № 3. С. 319 322.
7. Rybnikov A.K. Theory of connections and the problem of existence of Backlund transformations for second-order evolution equations. URL: www.arXiv.org/math.DG/0405432.
8. Евтушик JI.E., Лумисте Ю.Г., Остиану H.M., Широков А.П. Дифферепциалыю-геометрические структуры па многообразиях // Проблемы геометрии. Итоги пауки. М.: ВИНИТИ, 1972. Т. 9. С. 5 246.
9. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Труды Моск. матем. о-ва. 1953. Т. 2. С. 275 382.
10. Ла,птев Г.Ф. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований // Труды 3-го Всесоюз. матем. съезда. Москва, 1956. М.: АН СССР, 1958. Т. 3. С. 409 418.
11. Лаптев Г. Ф. Основные ипфипитезимальпые структуры высших порядков па гладком многообразии//Труды геометр, семинара. М.: ВИНИТИ, 1966. Т. 1. С. 139 189.
12. Ла,птев Г. Ф. Структурные уравнения главного расслоенного многообразия // Труды геометр, семинара. М.: ВИНИТИ, 1969. Т. 2. С. 161 178.
13. Ла,птев Г.Ф. К инвариантной теории дифференцируемых отображений // Труды геометр, семинара. М.: ВИНИТИ, 1974. Т. 6. С. 37 42.
14. Bianchi L. Ricerche sulle superficie a curvatura constante e sulle elicoidi // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. 1879. V. 2. 285 p.
15. Lie S. Zur Theorie der Flächen konstanter Krümmung, III, IV // Arcli. Mat.li. Naturvidensk. 1880. Bd. 5, H. 3. S. 282 306, 328 358.
16. Ибрагимов H.X. Группы преобразований в математической физике. M.: Наука, 1983. 280 с.
17. Rogers С., Shadwick W.F. Bäekluud Transformations and their Applications. New York, London: Academic Press, 1982. 334 p.
18. Bäcklund A. V. Zur Theorie der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung // Mat.li. Ann. 1880. Bd. 17. S. 285 328.
19. Barboux G. Leçons sur la Théorie Générale des Surfaces. Part 3. Paris: Gauthier-Villars, 1894. 512 p.
20. Goursat Е. Le Probleme de Backlund (Memorial des Sciences Matliematiques. Fasc. VI). Paris: Gaut.hier-Villars, 1925. 53 p.
21. Clairin J. Sur les Transformations de Baecklund // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., 3-е ser. 1902. Supple 19. P. 1 63.
22. Рыбников А.К., Семёнов К.В. О геометрической интерпретации отображений Бэклунда // Инвариантные методы исследования па многообразиях структур геометрии, анализа и математической физики: Тр. участников междупар. копф. пам. Г.Ф. Лаптева. Москва, 1999. М.: Изд-во мех.-матем. фак. Моск. ун-та, 2001. Ч. 2. С. 172 193.
23. Hermann R. Pseudopotentials of Est.abrook and Walilquist, the geometry of solit.ons, and the theory of connections // Pliys. Rev. Lett. 1976. V. 36, No 15. P. 835 836.
24. Wahlquist H.D., Estabruuk F.B. Prolongation structures of nonlinear evolution equations // J. Math. Phys. 1975. V. 16. P. 1 7.
25. Рыбников A.K. Теория связпостей, преобразования Коула Хопфа и потенциалы дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка // Изв. вузов. Матем. 2007. № 9. С. 50 70.
26. Рыбников А.К. Теория связпостей и преобразования Бэклунда для общих дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка // Докл. РАН. 2005. Т. 405, № 1. С. 26 29.
27. Forsyth A.R. Theory of Differential Equations. Part 4. V. 6. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1906. 596 p.
Поступила в редакцию 15.05.09
Рыбников Алексей Константинович кандидат физико-математических паук, доцепт мехапико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова. Е-шаП: arybnikovemail.ru
