CC BY
18
МАТЕМАТИКА
MATHEMATICS
УДК 517.956 ББК 22.161.61 К 89
Куижева С.К.
Кандидат физико-матаиатических наук, зав. кафедрой высшей математики и системного анализа Майкопского государственного технологического университета, тел. 89184274441, e-mail: s. [email protected]
Паланджянц Л.Ж.
- ,
анализа Майкопского государственного технологического университета, тел. 89615967350, email: [email protected]
О характеристической системе уравнений для некоторого класса алгебраических дифференциальных уравнений
(Рецензирована)
Аннотация
Сформулировано понятие характеристической системы уравнений для некоторого класса алгебраических дифференциальных уравнений. В общем виде вычислена характеристическая система уравнений для определенного класса алгебраических дифференциальных уравнений. В качестве примера рассмотрены нелинейные дифференциальные уравнения пограничного слоя и уравнение Бенджамина-Бона, .
: .
Kuizheva S.K.
Candidate of Phisics and Mathematics, Head of the Department of Higher Mathematics and System Analysis, Maikop State University of Technology, ph. 89184274441, e-mail: [email protected] Palandzhyants L.Zh.
Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Higher Mathematics and System Analysis Department, Maikop State University of Technology, ph. 89615967350, e-mail: [email protected]
The characteristic system of the equtions for some class of algebraic differential equtions
Abstract
The concept of the characteristic system of the equations for some class of algebraic differential equations is formulated. The characteristic system of the equations for a certain class of the algebraic differential equations is calculated in a general view. The nonlinear differential equations of an interface and Benjamin-Bon-Mahoney’s equation for which the characteristic equations are found in an explicit form are examined as an example.
Keywords: algebraic differential equation.
В работе [1] рассматривалось представление характеристического уравнения для некоторого класса алгебраических дифференциальных уравнений, и было предъявлено преобразование, с помощью которого можно вычислить его характеристическое уравнение. Был приведен пример уравнения Кортевега-де Фриза-Бюргерса, для которого характеристический многочлен вычислялся в явном виде как многочлен четвертой степени относительно одного из параметров, входящих в преобразование. Тем самым был получен класс несингулярных точных решений.
В данной статье понятие характеристического уравнения обобщается на понятие
характеристической системы уравнений для алгебраического дифференциального уравнения вида
(1, и, иип) А(и, и, и",..., и (п))т + с = 0 , (1)
где А = (ау) - постоянная матрица (п +1) -го порядка, г, у = 1, п +1, и = и(х) е С“ (Я),
х е Я ; Т - транспонирование; с - постоянная.
Приводятся примеры уравнения пограничного слоя и уравнения Бенджамина-Бона-Махони, решение которых предлагается с помощью построения характеристической системы уравнений.
Подвергнем уравнение (1) преобразованию:
к
и(х) = ЕтУ , (2)
где т,,, 8 = 0, к - неизвестные параметры;
У = ЕРгУ, (3)
/ _
■ =0
где рг, г = 0,/ - неизвестные параметры, у = у(х) - гладкая функция переменной х е Я.
Преобразования (2) и (3) приводят уравнение (1) к многочлену по переменной у
с нулевыми коэффициентами, то есть имеет место алгебраическая система уравнений
относительно постоянных параметров т8,8 = 0, п, рг, г = 0,/, которую естественно
назвать характеристической системой уравнений для исходного уравнения (1). Вычислим характеристическую систему уравнения (1).
Лемма 1. Имеет место равенство:
И /| к
и = Е, щ1 ,т 0° т1 ■■■т1кУк+к+'"+1к, И=Е18. (4)
8>0 /0|/1|**’/к 1 8=0
к
Доказательство. Введем обозначение т8у8 = а8. Тогда и = Е а8 . Воспользуем-
8=0
ся полиномиальной формулой:
\к\ п! т
(а0 + а1 + - ■ат У = Е, , , ' а0к0 а1к1 , \к\ = Е к .
8>0 к0|к1|-кт| 8=0
В наших обозначениях индексов полиномиальная формула примет вид:
■ И И к
(а0+а1+• • ■ак)г = Е / |И / / | • а00а1 -ак, И=Е18.
8>0 /0|/1| —Ик | 8=0
Кроме того, а00а^1 ---ак = т00т1^ ---т^у11 +/2 + +/к, откуда следует равенство (4). Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Имеет место равенство:
к+у/
и (1) = Е V41, (5)
Чу =0
4}-1 +Г=4}
Где % = X 4-1°} Р.
41 + Г= 42
V Рг , -. а42
«4-1. Г = 0
5+Г=«2
Е 4іа4і Рг . а41 = Е Ш*Рг ■
4:.г=0 5.г=0
Доказательство проведем индукцией по у . Пусть у =1. Тогда имеет место равенство
и'=1 х тУ-1 -І X РгУ
V 8=0 У V г=0 У
Воспользуемся формулой перемножения многочленов
/
Е агУ • Е ЪУ = Е Е агЪ.
Ук ■
V г=0 У V1=0 У к=0 V г, 1=0 У
к+/ 8+г=Ч1
Тогда равенство (6) запишется в виде: и = ЕаЧуЧ1 , где а = Е8т8рг .
Ч1 =0 8,г=0
Пусть у = 2 . Тогда имеет место равенство
к+/ Л ( / Л
Е Ч1аЧ!уЧ1 -1 • ЕрУ I=ЕаЧ2уЧ
и =
V 41 =
к+21
,42
V Г=0
42 =0
гДе а42 = X 41а41 Рг ■
(6)
Предположим, что имеет место равенство
к+(}-1)1
и ( }-1) = X а4}-1 у4}-1.
4 }-1 =0
4 }-2 +Г=4}
гДЄ а4}-1 = X 4}-2а4}-2 Рг ■
4}-2,г=0
к+(} -1)1 і к+(}-1)1 +1 к+]1
Тогда и(}) = X 4}-1а4}-1 У4}-1 -1 • X РУ = X а4}У4 = Xа4}У4
4 }-1 =0
г =0
4} =0
4} =0
4 }-1 +Г=4}
где ач = Е Чу-1 аЧ ; рг . Лемма 2 доказана.
Чч-1,г=0
Теорема. Характеристическая система уравнения (1) имеет вид:
а
I
4} ,| 111 =0
4І!П;
4} +1111 =4*! П т5
5=0
П
5=0
~а4} =
0. 4} * 0. И1 = 115.
5=1
с. 4} = 0. І.} = 0.1. — . п.
(7)
Доказательство следует из лемм 1 и 2 путем перемножения многочленов и' и и(1) по формулам (4) и (5).
Вопрос о совместности характеристической системы уравнений (7) остается открытым. Для совместности характеристической системы уравнений для приведенных ниже примеров необходимо выполнение ряда условий:
к
Г
п
т
0
5. Г=0
1. Обозначим степень многочлена по у через &е§,(и1и(1)). Необходимо выполнения условия ёе§(и^ и(}1)) = де§(иІ2 и(}2)) хотя бы для двух пар индексов (І1. }1) и (і2 . }2). соответствующих максимальным степеням многочлена по у ■
2. Число параметров преобразования (2) и (3) равно к +1 + 2^ Число элементов матрицы А. входящее в характеристическую систему уравнений. зависит от к и і. поэтому обозначим это число через а(к. і) ■ Число параметров преобразования должно быть не менее числа коэффициентов многочлена по у. то есть необходимо выполнения условия к +1 +1 + а(к. і) > ёе§(^и(1)) ■
В случае і = 2.3.4 уравнение (3) в общем виде интегрируется в квадратурах^ Однако при і = 3 и і = 4 функция у = у( х) входит в интеграл уравнения (3) неявно ■ Например. при і = 3 уравнение (3) имеет следующий интеграл:
I - |(у3 -у1)
______К у2І__________= еР3А( х-х1)
I |(уз — у 2) I |(у2 - у1)
|у -|у -уз где х1 = х0-----1т1п(у0 -у1)у2-уз (у0 -у2)уз-у1 (у0 -уз)у1 -у2 ,
рзЛ
Л = (уз- у:)(у2- у з)(у 2- у:) < ^ Уl, < у 2 < у 2.
Это обстоятельство затрудняет записать в общем случае решение в явном виде, но дает качественную картину поведения решения при тех или иных начальных условиях. Отметим, что уравнения, рассмотренные в работе [2] с помощью теста Пенлеве, относятся к тем случаям, когда удается представить решение алгебраического уравнения в явном виде. В частности, для уравнения Кортевега-де Фриза - Бюргерса к = 2, / = 2, для уравнения Курамото-Сивашинского к = 3, / = 2.
Пример 1. Уравнение пограничного слоя (см., например, [3], с. 525)
ит + аии" = 0, (8)
где а - константа.
Сделаем следующую замену: и = т1 у + т0, у = р2у2 + р1 у + р0.
г, / № т »
Вычислим и , и , и , ии :
и = т1 р2у2 + т1 р1у + т1 р(},
и = 2т1р\у3 + 3т1т2 р2 у2 + (2т1т2 р{) + ад2 )у + щрр, и' = 6щр1 у 4 +12 рру3 + (Щр2 р 0 + 6т1р" р2 + т1рхр\ ) у2 +
+ (Щр0р^2 + щр!р2 )у + (2т1р0р2 + т1Ар2 )р0 ,
ии* = 2т1 р2 у 4 + (3т2 р1 р2 + 2т1 р^ т0) у3 + (2т2 р2 р0 + т12 р12 + 3т1 р1 р2 т0) у2 +
+ (т12№ + 2т^2р0т0 + т1А2т0)у + т1Лр0т0.
Подставим значения и , ии в уравнение (8). Получим следующую характеристическую систему уравнений для параметров т!,, 8 = 0,1; рг, г = 0,1,2 :
6т1 р23 + 2ат12 р2 = 0, (9)
12т1 р22 р1 + а(3т12 р1 р2 + 2т1 р2 т0) = 0, (10)
8т1Р2Р0 + 7т1Р1 Р2 + а(2т1 Р2Р0 + т1 Р1 + 3т1РіРітд = 0 . 8т1АР2 Р0 + т1Р3 + а(т12 Р1Р0 + 2т1Рі Р0 + т^.Р12) = 0.
2т1РіРІ + т1Р1Р0 + ат1Р1Р0т0 = 0 ■
Из уравнений (9) - (13) получаем:
7 7 а , 2а ,2
Р2 = к1т1. к1 =--; Р1 = к2т0. к2 =-—; т1Р1 = к3т0:
к3 = -
а
Решим уравнение у' = р2у2 + р1 у + р0 ■
Вычислим дискриминант квадратного уравнения р2у2 + р1 у + р0 = 0 :
В = р2 - 4Р2 Р0 = 4 а2 т02 - 4 •
9
а 2 --т п
1
т
а
-т
1 V
: 0 ■
т
(11)
(12)
(13)
а
Следовательно. у12 =
2 Р2
Таким образом, у = -р-----------------, где с - постоянная.
р2 р2( х + с)
С учетом решения квадратного уравнения, решение уравнения (8) запишется в
1
виде:
и = т
Р1
1
I Р2 Р2(х + С),
+ т0-
(14)
Учитывая. что
т р
1 1 + т0 = 0. из равенства (11) получаем. что и =-
3
2 р2 0 ' а( х + с)
есть решение уравнения (8), в чем можно убедиться непосредственной проверкой.
3 ”6 да 18
и =-------г, и =---------4, откуда следует
В самом деле. и =-18
равенство:
а( х + с)4
■ + а •
а( х + с) 3
6
а(х + с) а(х + с)
а( х + с)
= 0^
а( х + с)
Замечание. Известно [4], что если /(х) - решение уравнения Блазиуса /т +11" = 0, I"(х) ^ 0, то уравнение Ленгмюра 3уу" + (у')2 + 4уу" + у2 = 1 имеет ре-
42
шение у(^) = ±^- е /2(/ (х))32, где х выражается через ^ с помощью соотношения
х
I = -|I(8)^8. Таким образом, I = -31п(х + с), с - постоянная. При надлежащем выбо-
с
ре постоянной с можно получить очевидные решения у = ±1.
Пример 2. Уравнение Бенджамина-Бона-Махони (см^. например. [5]. а 261)
иг + их =Є(3иих + 2их ). £> 0^
(15)
Будем искать решение уравнения (12) в виде бегущей волны и(ї. х) = и (х + у0ї ). где у0 - некоторая постоянная^ Введем обозначение ^ = х + у0ї ■ Тогда уравнение (15)
3
3
3
запишется в виде
и^ + — ии§ - 2(у° +1) и^ = 0^ (16)
Интегрируя уравнения (16), получаем
и^ + — и2 - 2(у0 +1)и + с = 0. (17)
где с - постоянная.
3 2(У0 +1)
Обозначим а1 = —, а2 =---------0----.
V ^0
Сделаем следующую замену: и = т2у2 + т1 у + т0, у' = р2у2 + р1 у + р0.
Вычислим и", и2:
и' = 2т2р2у3 + (2т2р1 + т^ )у 2 + (2т2р{) + т^ )у + mlPo,
и = 6т2р2 у4 + (10т2р2р1 + 2т^.р^ )у 3 + (8т2р2р0 + 3тргр1 + 4т2р12)у 2 +
+ (6т2рЛ + 2т1р2р0 + ^1* )у + 2т2р02 + Щр^0 ,
и2 = т2у4 + 2т1т2у3 + (т12 + 2т0т2)у2 + 2т1т0у + т0 .
Подставим значения и , и2 , и в уравнение (17). Получим следующую характеристическую систему уравнений для параметров т!,, 8 = 0,1,2; рг, г = 0,1,2 :
6т2 р22 + а1т2 = 0, (18)
10т2 р2 р1 + 2т1 р22 + 2а1т1т2 = 0, (19)
8т2 р2 р0 + 3т1 р2 р1 + 4т2 р12 + а1 (т12 + 2т2 т0) + а2 т2 = 0, (20)
6т2 р1 р0 + 2т1 р2 р0 + т1 р12 + 2а1т1т0 + а2 т1 = 0, (21)
2т2 р0 + т1 р1 р0 + ат0 + а2 т0 + с = 0. (22)
Из уравнений (18) - (22) получаем:
6 2 6 1 2 а2 1 2
т2 =-----р2 , т1 = — PlP2, т0 =— Pl+T^, р 2 р 0) =-р1 .
а1 а1 2а1 2а1 2
Параметр р2 - произвольный. Для параметра р1 получаем биквадратное уравнение:
р1 + 4р12 + 3а2 + 4а1с . (23)
Решим уравнение у' = р2 у2 + р1 у + р0 в предположении, что характеристическое уравнение (23) имеет действительные корни. Найдем корни уравнения
р2у2 + Ау + р0 = р2(у2 +—у + —) = р2(у2 -у +
р2 р2 2
р1 р0 р0 р2 1 р12 1 поскольку — = -1, — = 2 = — ^-2 = — .
р2 р2 р22 2 р22 2
Тогда У = P2
12
У - 2
V 2 У
+1, откуда получаем у = 1 (l + tg(2^2(х + ^)), где с
постоянная.
Таким образом, получаем решение уравнения (17)
б
1a
u =-p2(y + y-ТГ-Т^Т)
a
12 б P
где У = 2 (2 + ((2 P2( x + ci)).
Замечание. Уравнение (17) имеет солитонное решение вида и (£) =
k
ch2 (а% + в)
где к1,а, в - неизвестные параметры.
В самом деле, подставив и(£) в уравнение (14), находим неизвестные пара-
метры:
k1 = 2
1 ЗМ
V0 + 1 2(V0 + 2)
cV
Зє
є
V0 +1
а =
Vo +1 о
—-----, в - произвольное число.
3evn
Примечания:
1. Куижева СХ., Паланджянц ЛЖ. О характеристических уравнениях для некоторого класса алгебраических дифференциальных уравнений // Доклады АМАН. 2011. Т. 13, № 2. С. 29-32.
2. . . -
линейных дифференциальных уравнений. М.; Ижевск: Инс-т компьютерных исследований, 2004. 306 с.
3. .
дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971. 576 с.
4. Burnside Robert R. Remarks on the equations of Langmur and Blasius // J. Math. Anal. and Appl. 1970. No. 2. P. 392-400. (РЖ Мат. 1970. 11Б197).
5. . .
: . - . .: Высш. шк., 1995. 301 с.
References:
1. Kuizheva S.K., Palandzhyants L.Zh. On the characteristic equations for some class of the algebraic differential equations // AMAN reports. 2011. Vol. 13, No. 2. P. 29-32.
2. Kudryashov N.A. Analytical theory of the nonlinear differential equations. M.; Izhevsk: The institute of computer research, 2004. 306 pp.
3. Kamke E. A handbook of ordinary differential equations. M.: Nauka, 1971. 576 pp.
4. Burnside Robert R. Remarks on the equations of Langmur and Blasius // J. Math. Anal. and Appl. 1970. No. 2. P. 392-400. (RZh. Math. 1970. 11B197).
5. Nakhushev A.M. Equations of mathematical biology: a manual for universities. M.: Vyssh. shk., 1995. 301 pp.
