CC BY
28
УДК 517.956 ББК 22.161.62 К 89
Куижева С.К.
Кандидат физико-матаматических наук, зав. кафедрой высшей математики и системного анализа Майкопского государственного технологического университета, Майкоп, e-mail: s. kuigeva @yandex. ru Паланджянц Л.Ж.
- ,
анализа Майкопского государственного технологического университета, Майкоп, тел. (8772) 5703-53, e-mail: [email protected]
О повторном коммутировании линейных дифференциальных операторов
(Рецензирована)
Аннотация
Рассматривается операция повторного коммутирования линейных дифференциальных операторов и уравнения нулевой кривизны, порожденные коммутирующими линейными дифференциальными .
: , .
Kuizheva S.K.
Candidate of Phisics and Mathematics, Head of the Department of Higher Mathematics and System Analysis, Maikop State University of Technology, Maikop, e-mail: [email protected] Palandzhyants L.Zh.
Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Higher Mathematics and System Analysis Department, Maikop State University of Technology, Maikop, ph. (8772) 57-03-53, e-mail: levonmgtu @ rambler. ru
On repeated commutation of linear partial differential operators
Abstract
The paper deals with the operation of repeated commutation of linear differential operators and zero curvature equation generated by commuting linear operators.
Keywords: differential operators, equation of zero curvature.
I. Рассмотрим кольцо дифференциальных операторов от двух образующих
В[дx,дy] = К-Эx + bidy + ,bi,Ci e C", i = 1,2.}.
Определим умножение в кольце В[Эx, Э ] следующим образом:
Э x 0 f (x> y ) = fx + fd x , Э y 0 f (^ y ) = fy + fd y ,
где f = f (x, y) - произвольная дифференцируемая функция.
Рассмотрим линейные дифференциальные операторы из этого кольца.
р = aiЭ x + ь-э y + ci, i =1,2 . (1)
Покажем, что коммутатор операторов (1) [P1, P2] = P1 o P2 - P2 o P1 принадлежит
кольцу дифференциальных операторов В[Э x, Э y ].
Теорема 1. Пусть P e В[Эx,Э y ], i = 1,2. Тогда [P1, P2] e В[Эx,Эy ].
Доказательство. Имеем
P1 0 P2 = (a1д x + b1д y + C1) 0 (a2д x + b2д y + C2 ) =
= ala2д2 Л ala2xдx Л alb2xд y + alb2дxд y + alC2x + alC2дx + bla2yдx + bla2дxд y + + b1b2 yд y + b1b2д 2y + b1C2 y + b1C2д y + Cla2дx + ClM y + C1C2 .
С другой стороны,
P2 0 P1 = (a2дx + b2д y + C2 ) 0 (alдx + b1д y + C1) =
2
= al^x Л a2alxдx + a2b1xд y + a2b1дxд y + a2C1x + alC2дx + b2alyдx + b2alдxд y +
Следовательно,
l2^ x ' “2“lxwx 1 “^lx^y 1 4-2^^ x^ y 1 “2b1x 1 W1^2W x 1 ^“ly^x 1 ^2“lw x” y hb1 yд y + b2b1д2y + b2C1 y + b2C^ y + C2a1дx + C2b1д y + C2<
іP1, P2] al2дx Л b12д y Л C12 Є Бід x , д y ] , где al2 = ala2x + bla2y - a2alx - b2aly ^ b12 = alb2x + b1b2 y - a2b1x - b2b1y C12 = alC2x Л b1C2y - a2C1x - b2C1y .
Теорема 1 доказана.
Это обстоятельство дает возможность организовать повторное коммутирование операторов (1).
Введем обозначения: p; = (at, b, c), Э = (д x, д y ,1). В этих обозначениях операторы (1) запишутся в виде Pt = pt д . Тогда коммутатор операторов (1) выражается в сле-
дующем виде:
і p^ p2] = pl2 'д ,
где pl2 = (al2 , b12 , C12) ’
al2 = ala2x Л bla2y - a2alx - b2aly ’ b12 = alb2x + b1b2 y - a2b1x - b2b1y ;
C12 = alC2x Л b1C2y - a2C1x - b2C1y .
Для операторов p1 и p12 осуществим повторное коммутирование. Введем обозначение p112 = іp1, p12]. Тогда в результате повторного коммутирования получаем:
p112 = al Pl2x + b1 p2 y - a2 plx - b2 pi y .
Аналогично вычисляется и p212 = іp2, p12]. Тогда получаем, что имеет место равенство:
pl12 + p212 = іР1 + p2 , і p^ p2]]. (2)
Выбирая операторы p1 и p2 определенным образом, из равенства (2) можно получить линейные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка.
Теорема 2. Пусть P = aдx Л u , L = bдy Л u , где u = u(x, y), a = a(x, y), b = b(x, y)
- некоторые достаточно гладкие функции. Пусть далее P1 = іP, L] - ab_їд y Л bayдx. Тогда
уравнение іP Л L, P1] = 0 равносильно уравнению
a2u^ -b2uyy Л (aax Лbay )ux - (bby Лab)uy = 0. (3)
Следствие. Очевидно, что:
1) если a(x, y) , b(x, y) - вещественные функции, то уравнение (З) есть уравнение
гиперболического типа;
2) если а(х, у) - вещественная функция, Ь(х, у) = I, то уравнение (3) относится к классу уравнений эллиптического типа;
3) если в качестве исходных операторов выбрать операторы Р = адх - и,
Ь = Ьд + и, то аналогом уравнения (3) будет уравнение параболического типа:
а2ихх + 2аЬиху + Ь2иуу + (аах + Ьау )их - (ЬЬу + аЬх )иу = 0. (4)
Утверждения теоремы 2 и следствия легко проверяются.
Следовательно, можно подобрать такие дифференциальные операторы первого порядка, что их нулевые коммутаторы порождают соответственно уравнения гиперболического, эллиптического (3) и параболического (4) типов.
Линейные дифференциальные уравнения в частных производных можно получить не только повторным коммутированием операторов первого порядка, но и соответствующим образом подобрав операторы второго и третьего порядков.
Теорема 3. Пусть даны дифференциальные операторы
Ь = д2 + д2у + и, Р = дх +д3у + ^дх + мду + г,
где и, v, м, г - достаточно гладкие функции от переменных х, у.
Предположим, что имеют место следующие соотношения между функциями:
3
V = ^и + С ( у) , (5)
3
м = 2 и + с2( х), (6)
3 3 1
г = — и — и — с , (7)
х 4 хх 4 уу 2 у
3 3 1
гу = 4 ихх - 4 иуу - 2 с2хх , (8)
с1 = с1(у), с2 = с2(х) - произвольные достаточно гладкие функции.
Тогда условие [ Р, Ь] = 0 равносильно уравнению:
4
иххх - ихуу + 2(С2 - с1)их + (С2х + С1у )и = с1 ууу + С2ххх + 3 С2(С2х + С1 у ) = 0. (9)
Доказательство. Вычислим коммутатор [Р, Ь] = Р о Ь - Ь о Р операторов Р и Ь. Имеем
Р о Ь = д 5+д3 д 2+ и + 3и д + 3ид2 + ид3 + д 3д2 + д 5+ и + 3и д + 3ид 2+ ид 3 +
х х у ххх хх х х х х у х у ууу уу у у у у
+ vд3 + vдхд2 + vux + vuдх + мдуд2 + мд3 + миу + миду + ги + гд2 + гд2.
Ь° Р = дх + д2д3у + vxxдх + 2^д2 + vд3 + мххд у + 2мхдхд у + мд уд2 + гхх + 2гхдх + гд2 +
+ д 2 д 3 +д 5 + VУУ д х + 2^ д хд у + vд хд 2 + мууд у + 2муд 2 + мд у + гуу + 2 гд у + гд 2у +
+ ид 3 + ид 3 + uvд х + имд у + иг .
Из условия [ Р, Ь] = 0 получаем следующие равенства:
3их = 2vx, (10)
3uy = 2wy, (11)
0 = 2wx + 2Vy, (12)
3uxx = 2zx + ^ + Vyy, (13)
3uyy = 2 Z y + wxx + Wyy , (14)
uxxx + uyyy + Vux + wuy = Zxx + Zyy . (15)
Из равенств (5) и (6) следуют равенства (10) и (11). Тогда равенство (10) перепишется в виде
0 = 2
V
или
f3 Л _ (3 + 2 •
2ux +c2x
2 uy + c1y V2
2
ux + uy + 3(c2x + c1y ) - 0- (16)
Выразим uy из равенства (16) и подставим в равенства (13) и (14). Тогда
3 3
z — — и — и , (17)
^хх 4 XXX 4 уух ’ V /
3 3
z —_ и — и . (18)
^уу 4 ууу 4 хху 4 ;
Легко проверить, что выполняется условие zXy = ZyX. В самом деле,
3 3 1 3 3 1
z — z — — и — и — с — и — и — с .
ху ^ух 4 хху 4 ууу 2 1УУУ 4 уух 4 ххх 2 х—
Учитывая равенство (16), получаем 3 2 3 2
Zxy — Zyx = 4(—их — 3 (с2х + с1у ))хх — 4(—их — 3 (с2х + с1у )) уу — С1ууу — и-уу — "4 и--х — ^2ххх
3 13 11
1 3
— c — 2 1ууу 4 uxyy
3 1
u +— c9
4 xxx 2 2
4 uxxx 2 c2xxx + 4 uxyy + 2 c1yyy 2 ^ ууу 4
С учетом соотношений (5), (6), (17) и (18) равенство (15) перепишется в виде уравнения (9). Теорема 3 доказана.
Замечание. Если c1(у) - с1 - const, c2(x) - c2 - const, то из уравнения (9) путем замены ux - р(x, у) получается уравнение гиперболического типа
Pxx -pyy - 2(c1 - c2)p.
Интересно найти дифференциальные операторы второго и третьего порядков, дающие уравнения эллиптического и параболического типов.
II. Рассмотрим алгебру B [Э] - B[dx, ], i - 0,1,- ••,n, дифференциальных операторов от нескольких образующих
B[d] - jb0 + g btd x\bt - bt (x^ x2 ^.^ xn )G Cn (Rn )>i - 0, n, n G # l
с операцией коммутирования Э ° Ь = ЭЬ + ЬЭ , где Э = Э х = Э / Эхг.
э
Отметим, что в случае, когда образующие — = р{, Ь = хг, алгебра В[Э] совпада-
Эхг
ет с алгеброй Вейля Ап (Я") (см., например, [1, с. 308]).
Пусть Р, Ье в[Э], [Р, Ь] = Р о Ь - Ь о р - коммутатор операторов Р и Ь.
Уравнение вида [Р, Ь] = 0 называется стационарным уравнением нулевой кривизны. Покажем, что условием нулевой кривизны являются уравнения гиперболического, эллиптического и параболического типов и их представления в виде стационарных уравнений нулевой кривизны.
Отметим, что случай дифференциальных уравнений от двух переменных рассмотрен в работах [2] и [3].
Теорема 4. Пусть даны операторы:
т Э " Э
1) Р = У — + и, Ь = У — + и ;
^ эxs к=т+1 Эхк
т Э " Э
2) Р = У------и , Ь = У — + и ;
£ Эх5 к=т+1 Эхк
т Э п Э
3) Пусть Р = У------------и , Ь = г V-------------+ и ,
5=1 Эх5 ^ Эх
Эх
к=т+1 Эхк
где г = Т-Г, и = и(х1, х2,..., хп) - некоторая достаточно гладкая функция, п е N . Введем в рассмотрение дифференциальные операторы:
1) Р = Р + Ь -1 [Р, Ь], Ь = Р + Ь + 2 [Р, Ь];
2) Р = Р + Ь -1 [Р, Ь], Ь = Р + Ь +1 [Р, Ь];
2 2
3) Р = р+ь - 2 ([р, ь] -[р, ь]) , Ь = р+ь+2 ([р, ь]+[р, ь]) .
Тогда условием равенства нулю коммутатора [р, ь]
являются уравнения:
Э 2и
Э 2и
5, ] =1ЭxsЭxj к, р=т+1 Эхк Эхр
= 0;
Э 2и
- +
Э и
■ +
Э2и
5, ] =1ЭxsЭxj 5=1, к =т+1 Эх5Эхк к, р =т +1 Эхк Эхр
= 0;
3) + е =0.
5, j=1ЭxsЭxj к, р=т+1 Эхк Эхр
Доказательство. 1. Вычислим коммутатор [Р, Ь] операторов Р и Ь.
Э2 и
Р о Ь:
Э ^ Г ^ Э ^ т Э ^ Э т Эи т Э ^ Э 2 > --------+ и о у -------------------+ и = >---------------- > -----------+ >------------+ и> ------------+ и> ---------------+ и ,
5=1 Эх
Эт
V к =т+1 Эхк у
Эх5 к = т+1 Эхк 5 =1 Эх5 5=1 Эх5 к =т +1 Эхк
Ь О Р =
+ и
V к=т+^хк У
« Э 1 ^ Э т Эи ^ Эи ^ Э т Э 2
> ------+ и = > ---------------> -------+ > ------------+ и У -----------+ и> ----------+ и .
Эх Эх ^ Эх Эх Эх Эх
V 5 =1 Эх5 У к =т+1 Эхк 5 =1 Эх5 к =т+1 Эхк к =т+1 Эхк 5 =1 Эх5
о
тогда
[р, ь] = р о ь - ь о р = У—- У —.
^дт ^ дт
=1 дт5 к = т+1 дтк
5 =1 к = т+1 '-^к
Введем в рассмотрение дифференциальные операторы
р = р+ь-1[р, ь], ь = р+ь+2[р, ь]
и вычислим коммутатор
[р, ь]=[р+ь, [р, ь]] = [р, [р, ь]]+[ь, [р, ь]]
р о ь] = Х^ + и о Х^- І
5 =1 Эх
ди
V 5=1 дт5 к=т+1 дтк У
Учитывая равенства
^ д ^ ди = ^ д 2и ^ ди ^ Э
5=1 дт, 5=1 Эт, 5>=1Эт,Эт;. 5=1 дт, 5=1 дт, ’
^ ^ 3^ = у Э2и ^ ди ^ Э
дт дт дт дт дт дт ?
5=1 ОЛз к=т+1 атк 5=1,к =т+1 ал5алк к=т+1 атк 5=1 ал5
получаем:
п гп л ^ д2и т дит д д2и ^ дит д т ди ^ ди
р о [р,ь] = > -----------------------------------------------------+ >->->-> -> -+и>---и > -------.
=1^ Эт; 5=1 Эт55=1 Э^, 5=1,к =т+1 дл^к к = т+1 дЛк5=1 ^ 5=1 Э^, к=т+1 ^
5, } =1^VS^VJ 5=1 ^^5 5=1 ^^5
Аналогично вычисляем
гл гі л ^ дит д ^ Эи т Э т ди ^ Эи
[р- ь1 0 р = ХзгХзТ - I +1^ - I ^
дт дт ІІА ІІА ІІА ІІА
5=1 и.Л, 5=1 и>Л5 к=т+1 илк 5=1 иЛ/5 5=1 и>Л, к=т+1 илк
Таким образом,
т Д21/
[р, [р, ь]] = р о [р, ь]-[р, ь]о р = •£ -—
т,п ~\2
д и
5,} =1ил5ил] 5=1, к=т+1 длsдлk
Вычислим коммутатор [ь, [р, ь]]:
(19)
ди "] (т ди
ь - [р. ь] = X +и - 2 £ - X
ди
У к=т +1 дтк у у ,=1 дт, к=т+1 дтк )
Принимая во внимание равенства
^ ди ^ ди _ mm.n Э2и + Эи Э
к=т+1 дтк , =1 дт, ,=1, к=т+1 дткдт, , =1 дт, дтк
Э ^ ди = Э2и ^ ди Э
дт дт дт дт дт дт
к =т +1 ит,к к =т+1 ит,к к, р =т+1ит'к р к =т +1 ит,к к =т+1 ит,к
получаем
г гп и ^ э2и ^ Эи ^ э т Эи
Ьо 1р,Ь| = > -------------------------+ > - > -+ и>
Эх Эх Эх ^ Эх Эх
5 =1,к = т+1 Эх5Эхк 5 =1 Эх5 к = т+1 Эхк 5 =1 Эх5
^ Э2и ^ Эи ^ Э ^ Эи - ^ эГэТ“ ^ ЭТ ^ э7_и ^ эГ
к, j=т+1 Эхк Эxj к = т+1 Эхк к = т+1 Эхк к = т+1 Эхк
Аналогично вычисляя
гл ^1 г т Эи ^ Эи ^ Эи ^ Э ^ Эи
1Р, Ь1 о Ь = > --- > -----и - > ----- >---------> --------и,
Эх Эх Эх Эх Эх
5 =1 ^х5 к=т +1 ихк к =т+1 {-/хк к=т+1 ихк к =т+1 '-^к
получим
т, п д2 " д2,,
[Ь,[Р,Ь]] = Ьо[Р,Ь]-[Р,Ь]оЬ = X ^- У ■ (20)
5=1, к = т+1 Эхк Эх5 к, j=т+1 Эхк Эxj
Из равенств (19) и (20) следует, что
т Э 2и " Э 2и
[Р+Ь, [Р, Ь]] = уА±_ - у .
5, J=lЭxsЭxJ к, р=т+1 Эхк Эхр
Следовательно, условием равенства нулю коммутатора [Р, Ь] является уравнение гиперболического типа
т Э2и п Э2и
у_А^- у = 0. (21)
5, j =1ЭxsЭxj к, р=т+1 Эхк Эхр
2. Вычислим необходимые коммутаторы
[Р, Ь]=£+ £ -да, [р,[р,Ь]] = + х Э2“
5=1 Эх5 к =т+1 Эхк 5, j=1ЭxsЭxj 5 =1, к =т+1 Эх5Эх;
т,п ^2 п
ь [р- ьи = у ^ + х
Таким образом,
к
т,п Э2 и ^ Э2 и
----------+ / ----------------
Эх Эх Эх Эх
5 =1, к =т +1 их5ихк к, р=т+1 ихкихр
э 2и „ э 2и -п э 2и
[Р + Ь, [Р, Ь]] = + 2 у + у
5, j=1ЭxsЭxj 5=1, к=т+1 Эх5Эхк к, р=т+1 Эхк Эхр
Следовательно, условием равенства нулю коммутатора [р, ь] является уравнение параболического типа
т Э2и „ К Э2и ^ Э2и
У--------+ 2 £ ----------------+ £ -------= 0. (22)
5, j=1ЭxsЭxj 5=1, к=т+1 Эх5Эхк к, р =т+1 Эхк Эхр
3. Вычислим коммутаторы
[р, Ь] = V ^ - г V —, [рЬ] = V — + г V —.
^Эт- ^ Эх ^Эх ^ Эх
5 =1 Эх5 к =т+1 Эхк 5=1 Эх5 к=т+1 Эхк
Введем дифференциальные операторы
Р = р+ь - 2 ([р, ь] -[РТЬ]), Ь = р+ь+2 ([р, ь]+[рЬ])
и вычислим коммутатор
[p, l] .
du
- і([P, L] -[Pl])_ i І f, 1 ([P, L]+PL])_ t Э
2 k=m+1 dXk 2 s=1 dX,
Тогда
[p, l ]=
P+L+i Y , P+L+Y —
dx dx
k =m+1 dXk S =1 dXs
m Э . ^ du ^ du
E------ + i E E ------------
s=1 dxs k=m+1 dxk s=1 dxs
m d du . ^ du
/ ------+ О ------------, i / ---------
^ dr ^ dX ^ dr
s=1 Xs k =m+1 Xk k =m+1 Xk
d2u
■+i Е
э 2i
Э 2i
■+ Е
э 2i
s> j
=1dxsdxj s=1, k=m+1 dxk dXs s=1, j =m+1 dxsdxj k, p=m+1 dxk dXp
Следовательно, условием равенства нулю коммутатора [р, Ь] эллиптического типа
d 2u
d 2u
+ 7
... ... ^ dX dX
s, j =1ux^xj k, p =m+1 uxkuxp
J=1dxsdxi
_ О.
является уравнение
(23)
Итак, нами подобраны операторы первого порядка, такие, что их нулевые коммутаторы порождают соответственно уравнения от многих переменных гиперболического (21), параболического (22) и эллиптического (23) типов. Тем самым решена задача о представлении линейных дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных в виде стационарных уравнений нулевой кривизны.
Примечания:
1. Кириллов А А. Элементы теории представлений. М.: Наука, 1978. 344 с.
2. . .
интеграл и некоторые его приложения // Пространства над алгебрами и некоторые вопросы теории сетей. Уфа, 1985. С. 160163.
3. . . -
альных уравнениях в частных производ-,
// -
вестия КБНЦ. 2002. № 1 (8). С. 35-42.
References:
1. Kirillov A.A. Elements of the representation theory. M.: Nauka, 1978. 344 pp.
2. Palandzhyants L.Zh. Multiplicative integral and some of its applications // Spaces over algebras and some problems of the network theory. Ufa, 1985. P. 160-163.
3. Kuizheva S.K. On some partial differential equations caused by commuting differential operators // KBNTs News. 2002. No. 1 (8). P. 35-42.
