К вопросу приложения второй ковариантной производной от векторной функции к задачам гидродинамики и теории упругости Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.765

DOI: 10.18384-2310-7251-2019-3-42-67

К ВОПРОСУ ПРИЛОЖЕНИЯ ВТОРОЙ КОВАРИАНТНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ОТ ВЕКТОРНОЙ ФУНКЦИИ К ЗАДАЧАМ ГИДРОДИНАМИКИ И ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Гладков С. О.

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет) 125080, г. Москва, Волоколамское ш., д. 4, Российская Федерация

Аннотация. С помощью изложенного автором ранее в статье «Об альтернативном вычислении ковариантных производных с приложением к проблемам механики, физики и геометрии» метода вычислен результат действия оператора Лапласа на ковариантную и контравариантную векторные функции. Найдены проекции векторов В и С, определяемые как В' = (АД)' и В = (АД),, на соответствующие криволинейные ортонормированные базисы е и е. Приведены общие ковариантные выражения для операторов АД и дгабсИ\/Д, справедливые в любой криволинейной системе координат. В качестве справочного материала вычислены проекции вектора С,' = (АД), в параболической системе координат. В качестве иллюстрирующего примера решена задача о кручении упруго-деформируемого вертикально стоящего цилиндрического тела в условиях его радиального неравномерного нагрева при условии, что его нижний торец жёстко закреплён. Ключевые слова: ортонормированный единичный базис, ковариантное дифференцирование, символ Кристоффеля, метрический тензор, параболические координаты, объёмное расширение, крутящий момент

APPLICATION OF THE SECOND COVARIANT DERIVATIVE FROM THE VECTOR FUNCTION TO THE PROBLEMS OF HYDRODYNAMICS AND ELASTICITY THEORY

S. Gladkov

Moscow Aviation Institute (National Research University) (MAI) Volokolamskoe shosse 4,125080 Moscow, Russian Federation

Abstract. Based on the method described in our paper "Alternative calculation of covariant derivatives with an application to the problems of mechanics, physics and geometry", we have calculated the result of the action of the Laplace operator on covariant and contravariant vector functions. The projections of the vectors B and C, defined as B' = (AA) and C = (AA), on the corresponding curvilinear orthonormal bases e1 and ei are found. The general covariant expressions for the operators AA and graddivA that are valid in any curvilinear coordinate system are presented. As a reference material, the projections of the vector C = (AA)/ in a parabolic coordinate system are calculated. As an illustrative example, the problem of torsion of an elastically

© CC BY Гладков С. О., 2019.

deformable vertically standing cylindrical body under the conditions of its uneven radial heating, provided that its lower end is rigidly fixed, is solved.

Keywords: orthonormal unit basis, covariant differentiation, Christoffel symbol, metric tensor, parabolic coordinates, volume expansion, torque

Введение

Вопрос, на котором мы хотели бы сейчас остановиться, относится к классической теории ковариантного дифференцирования, весьма подробно изложенной в многочисленных учебниках и научных монографиях (см., к примеру, [1-4]). Эта теория может применяться при решении огромного класса чисто теоретических проблем из области гидродинамики, теории упругости, электродинамики и теории поля. Сразу же следует заметить, что при использовании ортогональных систем координат (сокращённо - ОСК) все авторы (и отмеченные выше в том числе) используют размерные базисы, которые в итоге приводят и к разным размерностям компонент метрического тензора, символов Кристоффеля, тензора Римана и т. д. Это связано просто с тем обстоятельством, что используемый ими базис не ортонормированный. Всё наше нижеследующее изложение не будет страдать подобным недостатком, и также, как и в работе [5], мы будем использовать только ортонормированный базис, автоматически приводящий к правильным физическим и геометрическим размерностям соответствующих величин. Несложный алгоритм этого подхода, подробно изложенный в [5], поможет нам и в решении задач, составляющих суть настоящей статьи, посвящённой выяснению действия оператора Лапласа на ковариантную и контравариантную векторные функции с его приложением к проблемам гидродинамики и теории упругости.

При вычислении оператора Лапласа от скалярной функции обычно используется формула (см., например, [1]):

л 1 д

Д = ^—

y/g дХ

' д л

дхк

(1)

где g - определитель метрического тензора gik, - компоненты контравариант-ного метрического тензора, которая имеет общий вид и может быть применена к любой, и не только ортогональной системе координат.

Ортогональная система координат

В процессе решения широчайшего круга физических задач часто бывает удобным использовать не формулу (1), а несколько иную, на которой мы сейчас ненадолго остановимся. В самом деле, если ввести ковариантный вектор:

а =——, (2)

г дх'

где у(хк) - произвольная скалярная функция, дифференцируемая на некотором множестве, то согласно общим правилам ковариантного дифференцирования [1] имеем:

до-i TÍ

a 'k =dhk ikUl' (З)

где Гк1 - символ Кристоффеля второго рода, а по повторяющимся индексам, как

обычно, подразумевается суммирование.

Подставляя сюда (2) и сворачивая полученное выражение по индексам i, k, мы приходим к искомой формуле для оператора Лапласа, справедливой в любой ортогональной системе координат, и весьма удобной при вычислениях:

Д = ——--Гк —(4)

(dxi )2 " дхк ()

В качестве конкретного примера её приложения рассмотрим цилиндрическую систему координат.

Действительно, благодаря преобразованиям:

x = r cos ф,

y = r sin ф, (5)

г = г

квадрат метрики будет выглядеть как:

di2 = dr2 + r 2dф2 + dz2. (6)

В соответствии с алгоритмом, подробно описанным в [5], введём следующие частные дифференциалы:

dx1 = dr, дх2 = ^ф, дх3 = dz. (7)

В результате вместо (6) мы автоматически приходим к ортонормированной метрике:

\2 /_ -\2 /_ ,\2

di2 =(дх1 )2 +(дх2 )2 +(дх3 )2. (8)

Как видим, для метрики (8) метрический тензор есть просто символ Кронекера, то есть:

glk = g'k = 8* = 8'к = 8*. (9)

Поэтому, чтобы вычислить символы Кристоффеля, нам следует использовать уже не формулу [1]:

ri = — 1 ki = 2

1 ^ ^ Л

dgsi +dgsk dg kl

дхк дх1 дхs

(10)

поскольку в соответствии с (9) она даёт просто нуль, а изначальную формулу для символа Кристоффеля первого рода, приведённую, скажем, в [1; 2]:

Г _ дхп д хп (11)

дх' дхк дх1

Вышесказанное означает, что все наши последующие вычисления будут вестись только в ортонормированном базисе, автоматически обеспечивающем (как это уже было отмечено выше) правильную размерность всех физических и геометрических величин.

В итоге, в соответствии с преобразованиями (5) и с учётом дифференциалов (7), которые просто подставляем в знаменатели выражения (11), мы немедленно получаем, что отличными от нуля будут только две величины:

1 дхп д2хп 1

рф _ рф _ р _ р _

1 Гф — 1 фг — 1 фгф — 1 ффг —

г2 дф дгдф г

гг _г _ 1 дхп д xn _ 1 (12)

гФФ--1 гфф _ _ . (12)

r2 дг дф2 r

Поэтому согласно формуле (4), определению (7) и выражениям (12), находим:

д2 _ д д2 1 д2 д2 1 д

А _--Гк-_--1----1---1---_

(дх )2 " дхк дг2 г2 дф2 дг2 г дг

^ ^ 1 д2 д2

+--+-. (13)

г2 дф2 дг2

1 _д_ г дг

1 _д_ дг

Как и должно быть. Этот же результат, конечно, получается и из формулы (1).

Не ортогональная система координат

В том случае, когда мы имеем дело с произвольной криволинейной системой координат (в общем случае не ортогональной), можно воспользоваться формулой (1), но переписать её при этом удобно в несколько ином виде.

Дело в том, что для любой ортонормированной системы координат ковари-антные и контравариантные величины тождественны [2], то есть:

ГЫ = , Щс\т = ВчЫт ,

где Кыт - тензор Римана.

Это связано просто с тем фактом, что в случае бесконечно малых преобразований, если мы говорим о нелинейных преобразованиях на языке дифференциалов, метрический тензор в ОСК представляет собой, согласно (9), обычный символ Кронекера.

Поэтому в случае произвольной не ортогональной СК необходимо уже учитывать разницу между ковариантными и контравариантными компонентами, поскольку в этом случае у безразмерного метрического тензора будут отличны от нуля все недиагональные элементы.

Действительно, введём в рассмотрение контравариантный вектор щ = ¿каы, дУ и

где ак =——. В результате ковариантная производная от него с учётом леммы дхк

Риччи, согласно которой ковариантная производная от метрического тензора равна нулю, то есть gik,i = 0, будет иметь вид:

' к ) =• ду

f das p Л dxk-Г-aP

Подставляя сюда ак = —\ и сворачивая по индексам I, к, после несложных

дхк

преобразований мы пришли бы к формуле (1), как и должно быть, но в нашем подходе, в котором нет места коэффициентам Ламе, её необходимо представить следующим образом:

д = g'k

d2 isrp д

-g Гр-

дх' дхк

дхр

(14)

Отсюда сразу же видно, что при переходе к ОНСК следует просто считать, что ¿к = 5к = 5к, и мы приходим к формуле (3).

На примере двухмерного случая покажем, как необходимо проводить вычисления, автоматически приводящие к правильным физическим и геометрическим размерностям любых величин.

В качестве простого демонстрационного примера рассмотрим не ортогональные двухмерные преобразования, которые по каким-то причинам ни в одном известном нам учебнике по тензорному анализу никогда не разбирались.

Пусть

х = иу,

и2 + V2

Тогда элемент метрики будет иметь вид:

й12 = (и2 + у2и2 + 4иу й и й у + (и2+у2у2.

В соответствии с намеченным алгоритмом вычислений полагаем:

Эх1 = 4 и2 + у2 й и, дх2 = V и2 + у2 й у.

Поэтому из (15) следует, что:

й12 =(3X1 )2 4иу д ,д , ,з

(15)

(16)

^ + 4UV. дх1дх2 +(дх2)2

и2 + V2

(17)

(18)

Из (18) видно, что метрический тензор, как и должно быть, автоматически оказывается безразмерным, и имеет вид:

g'k

1

2uv

2 2 V u2 + v2

2uv

а его безразмерный определитель есть:

2

2 2 u2 - v2

2

vu2+v2 у

(20)

где u Ф v.

Поэтому контравариантный метрический тензор gik _ g-1 будет таким:

u2+v2

2

2 2 vu2 - v2 у

1

2uv

V u2+v2

2uv

1

(21)

Вычисление символов Кристоффеля первого рода по схеме, приведённой выше, приводит нас к следующим выражениям (за подробностями выкладок можно обратиться к работе [5])

Г _ — Г _ Г _ 0 Г _ —

А vvv 3 > А vuv А vvu u> А vuu 3 >

q q

Г _ — Г _ Г _ 0 Г _ —

1 uvv — 3 ' uuv — 1 uvu — u> 1 uuu — 3 >

q q

(22)

где q _*Ju2+v2.

Благодаря же формулам (22), отличные от нуля компоненты символа Кристоффеля второго рода будут такими:

Г vv _ gv Г vvv + gvu Ги„ _ (gvv + gvu )) _

q3

u2+v2

2

2 2 vu2 - v2 у

(u - v )2

u2+v2

(u2+v2)

(u+ v )2 Vu2 + v2

ГWv _ guv Г vvv + guu Ги„ _ (guu + g ™ )) _

Hu _ g ™ Г vuu + gvu Гuuu _(gvv + gvu )) _

q3

q3 (u + vf \Ju2+v2 (u- v )2 u

f 2 . 2 u2+v2

2 2 vu2 - v2 У

u2+v2

(u2 + v2)

u

(u+ v )2 Vu2 + v2

ГUu _ guv Г vuu + guu Гuuu _ (guu + gvu )) _

u

q3 (u+ v)2Vu2+v2

Г vu _ gvk Г к vu _ 0, Г vu _ guk Г к vu _ 0.

v

v

Далее, в соответствии с формулой (14), легко получается следующая цепочка простых преобразований:

/ \

Д =

+gv

д ГР д

— J- п-

дх' dxk

Э2

(Эх2 )2

дхр

дхр

д ГР д

А uu

(Эх1 )2

Э2 Э2 -+-

дхр

+ 2 gu

д ГР д

А UV

du2 Э v2

+

Эх1 Эх2 "" дхр ru д rv д

uu uu

+

2 g uv д2 q2 д u д v q д u q д v

ru д rVv д 2guv f A+rv

r uv ~ + r uv ^

q дu q дv

дu

(24)

Подставляя сюда найденные выражения для символов Кристоффеля из (23) и недиагональные компоненты метрического тензора из (21), получаем в итоге:

Д 2 = Л

д2 д2

Эй2 дv2

4uv

д2

1

u

1

(u2 -v2 )2 q2 (u+v)2 дu q2 (u+v)2 дv

1 v д 1 v д

q2 (u+v)2 дu q2 (u+v)2 дv

И окончательно, после простой группировки слагаемых, приходим к искомому ответу:

Д 2 =

1

(u2 + v2)

д2 д2 -+-

д u2 д v2

4uv

1

1

(u2-v2)2 дuдv (u2 + v2)(u+ v)

—+— д u д v

(25)

Стоит подчеркнуть, что излагаемый подход, на наш взгляд, является значительно более рациональным, чем использование коэффициентов Ламе в случае ортогональных координат. Заметим также, что их приложение к не ортогональным координатам мы нигде не обнаружили.

Выражение (25) получено в случае двухмерного преобразования, поэтому для него оператор Лапласа имеет довольно компактный вид.

Стоит также заметить, что если использовать не преобразования (14), а ортогональные преобразования:

х = иу,

7 = -

2 2 u2 - v2

2

то, как легко проверить, оператор Лапласа будет [5]:

1

Д2 =-

u2 + v2

д2 д2 -+-

д^ дv2

(26)

(27)

Из сравнения (25) и (27) видна не только их схожесть, но и принципиальная разница, отличающая ортогональные преобразования от не ортогональных.

Некоторые практические приложения римановой геометрии можно найти, например, в работах [6; 7].

Действие оператора Лапласа на контравариантный вектор

Рассмотрим теперь более сложную задачу. Пусть имеется некоторая непрерывная контравариантная векторная функция А, и нас интересует результат действия на неё оператора Лапласа, то есть вектор:

В = АЛ.

Тогда его проекции на оси х' будут:

Б' = (АЛ)' . (28)

Чтобы вычислить это выражение, найдём вначале первую и вторую ковари-антные производные от вектора А = (Л').

Для первой ковариантной производной имеем:

дА'

А'к = Бк + Гк/А ,

где Бк - смешанный по индексам тензор второго ранга. Вторая ковариантная производная будет:

(29)

B = dBk BkJ =lx

+Г \sBsk -г kB.

(30)

Её легко найти, если представить тензор Б1к в виде произведения контра-вариантного М и ковариантного N векторов, то есть как Б1к = М'Ык, и ис-

дМ'

пользовать известные правила их дифференцирования М\ =——+ ГкгМг,

дхк

к = дХк 'кЫз.

Подставляя в (30) определение (29) для тензора Б'к, немедленно получаем:

Bk ,l =

dB

dx

k +rlsBSk-rkiBi =-d dx

dA _ ä?+rk.AS

+ П

dxk +Г ksA

d2 A

dxk dx'

+ Г

Г"

и

, 3AS ЭА

ЭА'

dx"

+ Г'As

/

ks

dx

+ Г

dxk

-Г

kl

3A

dx"

+

г» -ri г»

dxl ks »s kl

As =

Э2A Г. 3As d (Pb As) Г» dA .

" + Гks -S ' + -S k -Гkl -S „ + R'klsAS,

dxkdxl

dxl

dxk

dx"

где тензор кривизны Римана определён как:

дГ' дГ'

Т)' _ ks ls , т' тп т' тп

Rkls -л l -Л k f1 lnl ks 1 nsi kl •

дх' дхk

(32)

Сворачивая выражение (31) по индексам к, I с учётом явного выражения (32), мы приходим к следующему результату:

,к у д2А' _ дAs ^ дА' (ДА) + 2>r'ks^—f-Г&— +

(дxk )

дxk

дхп

дГк

дх11

I р' тп р' тп

f 1 кп ks 1 nsi kk

As • (33)

Выделяя здесь оператор Лапласа в явном виде (см. выше и работу [5]), как:

Э

Д=-^-Г

(Эх' )2

kk

дхп '

получаем окончательно для вектора B' выражение:

dAs

в' =(да )' =да'+2rks ^+

дГ'

ks

dxk

I р' тп р' тп

f 1 кп1 ks 1 kk

As •

(34)

(35)

Действие оператора Лапласа на ковариантный вектор

Рассмотрим теперь другую задачу. Пусть имеется ковариантный вектор:

С = АЛ,

где А = (А 0, и нас интересует результат

С = (АЛ),. (36)

Так же, как и в разделе 4, найдём предварительно первые две ковариантные производные от вектора А = (А ,). Для первой производной имеем:

ЭА

дхк

Ahk = Bk -rskAs, (37)

где Б1к - ковариантный тензор второго ранга.

Для второй ковариантной производной (представляя этот тензор в фактори-зованном виде, как Б^к = М^к) получаем:

дВк дх1

B'k,/ = Л \ -Гв -ГsklBß• (38)

Подставляя в (38) определение (37) для тензора B k, немедленно находим:

= э2а' rs а rs dAs. rs дА

b'k,l = a',k,l = k l -Гк l -г/ k -ГЫ s +

дхk Эх' Эх' Эх10 дxs

+

f дГ5 Л

Гп T^s i Т~"п T~"s '

А „Ь "Г 1 j-jl

'lL пк ~ 1 klL 'п дхl

As. (39)

Сворачивая это выражение по индексам k, l, получаем:

Э2 Ai ^ dAs ^ dAi C =_— — 2Гs _- — Гs _- +

Ci — . л 21 ik и 1 kk - ^

(xk )2

dxk

dxs

Г" rs _L Г" rs

ik »k kk i»

=А-2ГSk Ш+

T-" T-s I T~"" T~"S

ik "k kk i"

.dTk

dxk

.dTL

dxk

As.

As =

(40)

Глядя на выражение (40), кажется, что оно справедливо только в ортогональной системе координат. Однако это не так. Действительно, в общем случае [8; 5] выражение (39) следует переписать в виде:

A'kj = gip

Э2 A

p ^ dAs dAs ^

г ps _^ ps _^ ps

dxk dxl pk dxl pi dxk

dA-p

dxs

+

+

ЭГ

"T" Fs "T" Fs

1 plL kl1 p" dxl

pk

As

(41)

Сворачивая это общее выражение по индексам к, I, приходим к интересующему нас результату:

C =(АЛ )= g*

d2 Ap (xk )2

2Г

dAs

pk

dxk

Г

kk

dAp

dxs

+

r

+

ЭГ

\

'V" T~"s j_ Г" Ts__pk

Г pkГ "k +1kkГ p" dxk V У

As

(42)

Опуская здесь индекс '', с помощью известного правила С' = gimCm получаем:

Ci = gim (AA)m =,

rmp

d2 Ap (xk )2

2Г

pk

aAs.

dxk

Г

kk

dAp dxs

+

r

+

ЭГ

\

"P" T^S _i_ P" ps pk

1 pk1 "k^ 1 kk1 p" dxk V У

As

= sp

d2 Ap (xk )2 Э2 Ai

2Г

dAs

pk dxk

Г

kk

dAp

dxs

i

+

ЭГ

pk

T~"" T~"s j_ Г" T__

Г pkГ "k +ikkГ p" dxk

As

(xk))

- 2Г s

dAs dxk

-Г

kk

dAi

dxs

r

+

ЭГ s

T" T^s "P" Ps _ ik 1 ik1 "k^ 1 kk1 i" '

\

=AA'-2ГSk dA+

T" T~"s i T" T^s

ik "k kk i"

dxk

dxk

As.

As =

(43)

Сравнивая (43) с формулой (40), мы видим их полную тождественность. Однако, если сравнить (43) с (35), то можно увидеть и весьма существенную

разницу между ними. Действительно, в общем случае векторы В, = (ДА), и С = (ДА)', как и должно быть, не совпадают. Рассмотрим теперь такое выражение:

А =

и найдем от него ковариантную производную второго порядка.

В силу леммы Риччи, согласно которой ковариантная производная от метрического тензора равна нулю, то есть gik,^ = 0, имеем:

AiXii = gis

д2As ^ dAn ^ dA - + Г?— + Г

дхк дх

к" дх1

+Ap

д2 As iS дхк дх1

+A

дхк

X

^ дAs ■Гк,— +

к' дх"

дГкР

дх^ , кр кг "Р

+ Г +Г g дAs +

+ Г к -~Г + Г i,s^~T - gis Г к1~--+

дх

дхк

'дП

дх

iks — Г" дgi" +Г Г" — Г" Г

1 1-е _ ■ т! i,"l ks 1 к, ins

дх

\

ks дх,

/

Но поскольку -g" = Гi", + Г^,, то отсюда следует, что дх'

д2 As дAs -As -As

Ai,k,, = gis , + Г iks -~г + Г ik^T - gis Г к,~--+

дхкдх1

дх,

дхк

дх"

+As

дГ

ks ( i", + Г "i, )+Г i,"A ks к,1 "

дх

(44)

Сворачивая выражение (44) по индексам k, l, получим выражение:

-As (дГ Ai,k ,k = gs AAs + 2^ — + A

дхк

iks

дхк

1 ks "ik 1 kk1 i"s

(45)

где введено сокращенное обозначение для обычного оператора Лапласа согласно (4).

Совершенно ясно, что, с целью введения правильного оператора Лапласа в криволинейных координатах, нам необходимо привести в соответствие друг с другом формулу (45) и формулу (40), которую запишем в виде:

-A

C = AAi - 2Гsк +

F"Ts _L Г" rs 1 ikL "k^L kk i" '

.-Ii

дхк

As.

(46)

Взяв среднее арифметическое от формул (45) и (46), получаем искомое общее определение для вычисления результата действия оператора Лапласа на ковари-антный вектор в произвольной криволинейной системе координат:

(АЛ)i = gisAAS + AAi +Г, dA:-гs dAs гskk

dxk i dxk

dAp + dAi

g'p dxs dxs

+

+

As

ЭГ

isk

dxk

Г" Г 'V" P

kk is" ik "sk

Л As r

+

T^" ps I P" ps

ik "k kk i"

.dn

dxk

(47)

В случае же ортонормированного базиса, в котором, как мы знаем [5], выполняются соотношения:

Гк = Г¡к!, А; = А, gik = 5к, (48)

имеем:

+

As 2

dxk

dA

(АЛ) =AAi +(\k -Гsik )dxk +

'(■T^isk Гsik ) + Г»kk (-T^si" Гis" ) + (Гs"k Г"sk )

(49)

Формула (49) и является той замечательной формулой, о которой почему-то в [1; 2; 8; 9], к сожалению, даже не упоминается. Между тем эта формула является основной при вычислении результата действия оператора Лапласа на любую векторную функцию и в любой (а не только в сферической и цилиндрической) ортонормированной системе координат.

Что же касается формулы (47), то она является обобщением действия оператора Лапласа на любую векторную функцию для произвольной криволинейной системы координат.

Посмотрим теперь, как «работает» формула (49) в сферической и цилиндрической СК, и начнём со сферической СК.

Оставляя лишь не нулевые символы Кристоффеля благодаря таблице, приведённой, скажем, в [5], согласно которой:

.1 Г = Г =-1

> А гфф _ 1 фф _ :

Г Г

Р — — —— Р — — —— Р — Р0 —

1 г00 _ 1 QÖ "" > гфф _ 1 фф _ > 1 0фф _ 1 фф _

ctg 0

, Г0Г0 = Г00Г = Г00 = Г0Г = — ,

р _ р _ рФ _ рФ _ J1 р _ р _ рФ _ рФ _

1 фгф _ 1 ффг _ 1 фг _ 1 Гф _ > 1 ф0ф 1 фф0 _ 1 ф0 _ 1 0ф _

ctg0

(50)

В соответствии с (49) для проекции на орт ег сферического единичного базиса (ег, ее, еф) имеем:

,ЭА5

+

As

dxk

(AA)r = AAr + (Ггsk - Гsrk )dxf+

(-T^rsk Гsгk ) + Г"kk (Гsг" Ггs" ) + Г"гk (Гs"k Г"sk )

dA0

= AAr + (Гг00 - Г0Г0 )—- + (Г гфф Гфгф)

dx ф

+

+ -

Ar

[rere (г гее — гел) + Гфгф (г гфф — Гфгф)

+

+

Ae

+

аф

дхе ' д

дх ф

(Ггее — геге) + гефф (rere — Ггее) + Гфгф (гефф — Гфеф) (Ггфф — Гфгф) + Гфее (Гфгф — Ггфф) + геге (Гфее — гефе)

+

Подставляя сюда символы Кристоффеля из (50) и частные дифференциалы рассматриваемого нами ортонормированного базиса:

дхг = dr, дхе = rde, дхф = rsinedф,

(51)

окончательно находим:

(ДА) =М -—— — 2 дАф 2Ar -2ctgeAe =

V /r = r -2 Tm -2 „,•„ Q „2 „2 =

r2 де r2 sin e дф

1 д (sin eAe) 1 дAф

Ar +----+"

= AAr--_ . .

sin б Эб sin б Эф

Далее, для проекции на орт еб получаем:

, dAs

+

As

дхк

(ДА)е = ДAe +(resk-г sek)^ +

((к —Г5ек ) + Г„кк (en —Ге5и ) + Г„ек (пк — Гnsk)

Mr

= ДAe+(Г ere—Гree) е + (ефф—Гфеф) ф

+

+A 2 д _дх е

+—Г 2 rree

+ At 2 " д

дх е

_ (rere —rree) + Гефф (rree —rere) + Гфеф ((фф —гфгф )

+

+

_ (Гефе —Гфее) + ~ф (Гефф — Гфеф) + Гефф (Гфее —Гефе) +

+

Гфее (Гфеф — Гефф) + Гееф ((еф — Гефф ) •

(52)

Подставляя сюда отличные от нуля значения символов Кристоффеля согласно (50) и частные дифференциалы из (51), находим:

(ДА)е=Ме+ ^ ^ — ^ ^

V >е е „2 ъа «2 „,•„ а

Ae

r2 де r2 sin е дф r2 sin2 е

Наконец, проекция на орт еф даёт:

2

2

2

(АЛ)ф = ААФ + - Гф)

ЗА

дхк

+

+ -

As

d k (ГФ5к Гs9k ) + Гпкк (Г5фи Гфхи ) + Гя<рк (Гsnk Гтк )

= ааф+(гфгф -Г ^^Ат+(гФее -Ге<ре))+(Гф0ф -Гефф))дА^+

+

+

Ar_ 2

Ае

дхф

' э

(Гфгф — Ггфф) + Гфее (Ггфф — Гфгф) + Гефе (Ггее — Геге)

+

-л е (Гфее — Гефе ) + _ ф (Гфеф — Гефф ) + Гефф(Гефе — Гфее ) + дхе дхф

+

Гфее (Гефф — Гфеф) + Гффе (Гефе — Гфее )

+

A

+ [Ггфф (Гфгф — Ггфф) + Гефе (Гфее — Гефе) + Гефф (Гфеф — Гефф ).

Подставляя сюда (50) и (51), будем иметь:

(АЛ) = ААф +--2— ^ + ^^ф

V >Ф ф „2 „.•„ а Zi,- „2 „.•„ а „2 „.•„

г2 sin е дф г2 sin е дф г2 sin2 е

(54)

Здесь, напомним ещё раз, обычный оператор Лапласа в сферической системе координат есть:

а=4 -

г дг

V дгу

+

1

г2 sin еде

sin е—

де

+

1

г2 sin2 е дф2

Собирая формулы (52), (53) и (54) воедино, получаем:

(АЛ)г =ААг — -Г

1 д (sin еАе) 1 дАф

Аг +----+ "

sin е де

sin е дф

(55)

(56)

(АЛ)е = ААе + "2

дАг ctgе дАф Ае

де sin е дф 2sin2 е

(57)

(АЛ )ф=ААф +

г2 sin е

дАг дф

+ctg е

Аф

дАе

дф 2sin е

(58)

Сравнивая проекции (54)-(56) с формулами, приведёнными, например, в монографии [8; с. 615], мы видим их полное совпадение.

Рассмотрим теперь ещё один пример. Пусть имеется цилиндрическая система координат, в которой отличные от нуля символы Кристоффеля есть:

Г =—1 Г =Г = 1

1 гфф — > 1 фгф — 1 ффг — >

Г Г

а частные дифференциалы:

dxr = dr, dxф = rdty, dxz = dz.

(60)

Используя формулу (49) для проекций вектора А на ортонормированный единичный базис ег, еф, ez находим для проекции на ег:

.ЭЛ.,

+

As

(AA)r = AAr +(Гrsk -Гsrk )dxk +

d

d k ("^^rsk Гsгk ) + Г»kk (Гsг" Ггs" ) + Г»rk (Гs"k Г"sk )

= AAr + (ггФф гфгф )

dAffi

dx ф

+

Ar

+ 2 [гфгф (ф гфгф

+

2 dxф

(Ггфф Гфгф)

Подставляя сюда (59) и (60), получаем:

(AA) = AAr

2 dAф Ar

(61)

г2 Эф г2

Для проекции на орт еф находим с помощью (49), оставляя лишь ненулевые символы Кристоффеля:

.ЭЛ,

+

As

dxk

(AA)ф =^+(1^ -Гsфk )) +

(i^sk - Гsфk ) + ^»kk (Гsф" - Гфs" ) + Г»фk (Гs"k - ^»sk )

dA A d

= ^ф +(ГфГф -Ггфф))_ + ~2 dx^(Гфгф Ггфф ) +

Am

+ :2фГ (Г -Г )

' ^ Гфф фгф 1 гфф }

Подставляя сюда (59) и (60), будем иметь окончательно:

(АЛ) = ААф + - ^ - Лф

I Лр ф г2 Эф г2

Наконец, для проекции на орт ez сразу же находим:

(АЛ ) =АЛг.

Собирая теперь (61)-(63) воедино, имеем:

2 ЭЛф Лг

(62)

(63)

(AA) = AAr

г2 эф г2

(AA)=AA+ 4 dA - AT,

v /ф г2 эф г2

(AA) = AAz.

2

2

В заключении к этому разделу ещё раз подчеркнём, что все вычисления будут нами вестись только в ортонормированных базисах.

Двухмерная ортогональная параболическая система координат

В качестве ещё одного весьма полезного приложения формулы (49) рассмотрим такой пример. Пусть имеется двухмерное ортогональное преобразование вида:

х = uv, 7 =

2 2 u2 - v2

2

(65)

Тогда метрика в переменных и, V будет:

С12 =(и2+V2)( и2+й V2 ) = (хи )2 + (хv )2,

где частные дифференциалы:

дхи =4и2 + V2йи, Э^ =4и2 + V2йV.

(66)

(67)

С помощью алгоритма, изложенного в [5] и немного выше, отличные от нуля символы Кристоффеля первого и второго рода есть:

Г =Гu =-

А uuu А uu

u V - Г = Гv =- Г = Гu = ■

О > А VVV А VV 2 > uvv А VV

u

(u2+V2 ) Г = Г"' = —

vuu uu

(u2 + V2 )

(u2+V2 )

3 ' 2

V V

- Г = Г = Г" = Г" = -

> а uuv а uvu А uv А vu

(u2 + V2 )2

Г = Г = Гv = Гv =-

А vvu А vuv А vu А uv

(u2 + V2 )

3 ' 2

u

(u2+V2 )

(68)

Найдём проекции оператора Лапласа, действующего на некоторую векторную функцию А (неважно при этом ковариантный он или контравариантный, поскольку речь идёт об ОНСК), на единичные орты еи и е^, в этом случае. Согласно (49), имеем:

ЭА5

+

А,

дхк

(АА)г = ДА +(Г«к-Г )^+

(Гг5к Г5гк ) + Гикк (Г5ги Г isn ) + Гшк (Г5ик Ги,к )

Откуда проекция на орт eu будет:

2

(АЛ)u = AAU +(Гusk -Гsuk)

dAs

dxk

- +

+ -

As

dxk

(usk rsuk ) + rnkk (rsun Гиsn ) + Гпиk (rsnk Гnsk )

+

Av

2 +

= AA +(Г -Г )). + (г -Г )). +

— L-^riu * \1 uvu 1 vuu f _ * \1 uvv 1 vuv f _ *

v ! dxu v ! dxv

+auIV (г -г )+г (г -г )1+

2 ^ uvu 1 vuu^ vuv^ uvv A vuv /J

"T (ruvu rvuu ) + ^ (uvv rvuv ) + (ruuu + ruvv ) (vuu ruvu ) +

ax u ax v

-(rvuu +rvvv )(vuv ruvv ) + ruuu (rvuu ruvu ) + ruuv (rvuv ruvv ))• (69)

Подставляя сюда (67) и (68), найдём:

/.л . . 2v dAv 2u dAv Au

(AA) =AAu +--—----—- + —

V u ( + v2 )2 d u (u2 + v2 )2 Э v 2

2v д 2u 2uv

-+-

2v2

2u2

(u2 + v2) (u2 + v2)

+

+

Av

2vu

dxu (u2 + v2)) ^ (u2 + v2)) ( + V) ( + V)

Или, окончательно:

(AA)u = AAu +

(u2+v2 )2

f dAv dAv „ Л

v--u--A

yd u Э v у

(70)

Аналогично, с помощью (49) получаем проекцию и на орт ет. Её легко найти благодаря простой замене и ^ V, V ^ и в формуле (70), то есть:

' ЭАи ЭАи Л

и—--V—--Av

(AA)v = AAv +

(u2+v2 )2

d v d u

(71)

В соответствии с определением (4) и частными дифференциалами (67) оператор Лапласа определяется согласно формуле:

Э2 Э2 A =-- +

1

(x u )2 (x v )2 (u2 + v2)

Э2 Э2 -+-

Э u2 Э v2

(72)

Таким образом, воспользовавшись явным выражением для оператора Лапласа (72), будем иметь из решений (70) и (71):

(AA) =(

(u2 + v2)

'Э2Au +Э2A л

v3 u2 Э v2 у

+

(u2+v2 )2

dAv dAv

u

d u d v

Au

, (73)

2

(AA)v =

(u2+v2)

д2 Av d2Av д u2 +"

Э v2

+

(u2 + v2^

' dA u

V

u

- v-

dAu д u

--Av

(74)

Задача о кручении цилиндра в условиях его нагрева

В качестве практического приложения приведённых выше формул вычислим деформацию упруго-деформируемого цилиндра в условиях его бокового кручения, когда крутящий момент направлен строго вдоль его оси г, при дополнительном условии, когда он ещё и нагревается благодаря приложенному в радиальном по отношению к оси цилиндра градиенту температуры. Считаем, что нижний конец цилиндра жёстко закреплён.

Согласно основному уравнению статической теории упругости [3], описывающему пространственное распределение вектора деформаций и при учёте теплового эффекта, имеем:

Аи + —graddivu = ^ - Кв VI + ^, (75)

1 - 2а Ц Ц Ц

Е

где а - коэффициент Пуассона, р - плотность материала, Ц = —.-т- модуль

2 (1 -а)

Е

сдвига, Е - модуль Юнга, g - ускорение силы тяжести, К = —.-г- коэффи-

3 (1 - 2а)

циент всестороннего сжатия (растяжения), Р = — дV - коэффициент тепло-

V\дтУх

вого расширения, Т - температура, V - объём тела, 5 - энтропия, £ - объёмная сила.

Для того, чтобы найти теперь проекции уравнения (75) на ортонормирован-ный базис ег, еф, е2 цилиндрической системы координат, нам следует воспользоваться общими выражениями для оператора Лапласа в соответствии с формулами (64). Легко заметить, что второе слагаемое в левой части уравнения (75) также представляет собой вторую ковариантную производную, но в отличие от выражения (44), его следует вычислять несколько иначе. Действительно, поскольку операция дифференцирования в этом случае представляет собой нахождение градиента от скаляра, то предварительно запишем общее выражение для ковариантной производной от некоторого произвольного вектора А. Имеем, считая этот вектор ковариантным:

А., =М.-г

А ,к = дхк г . Сворачивая его по индексам г, к, находим:

А =дА*-г$ А

к = дх* 1 к .

Записав от этого выражения градиент, получаем:

ЭЛ

k,k

д2Лк dAs

dx' dxk dx' dx'

Г s —

kk

ЭГ

kk

dx'

As.

(76)

С другой стороны, поскольку:

Л' = gisAs,

то, взяв ковариантную производную от этого выражения с учетом леммы Риччи, согласно которой gik,i, имеем:

Л' ,k = g'sAk =

■,k - s*

дЛ1+Г s Ai

ydxk +Г Л

dAs

dxk

+ Г шЛ'.

Сворачивая это выражение по г, к, получаем:

Ак,к = gks ЭЛ + Гкк'Л . Эхк

Выполнив для него операцию градиента, приходим к формуле:

ЭАк,к Э2А5 Эgь ЭЛ5 _ ЭЛ' ЭГкк1

~ = gks~ Г^ГТ + -ч ■■ -ч ,, +Г кк' ~ Г" + _ . А .

dx'

Поскольку:

dxk dx' dx' dxk

dgks

dx' dx'

(77)

(78)

dx'

' rks' + rsk',

то из (78) следует, что:

dAk ,k Э2 As ( \дЛ' dЛs ЭГ kks

' = gks Л ' + V1 ks' + Г sk'j^T' + Г kks ~ — +

dx'

dxkdx'

dxk

dx' dx'

Л

(79)

Но выражения (76) и (79) должны быть равны. Поэтому взяв от них среднее арифметическое, имеем окончательную формулу для операции graddiv, справедливую в любой криволинейной системе координат:

д2 л 1 ^ЭГкк_ ЭП,

(МЛ)'=2+gk Э2Л

1

+2

dxkdx'

(rk« +Tsk' )—- + Г kks

+ -2

V dx' дЛ ЭЛs

drkks ^ dHk Л

dx'

dx' dx'

Г

kk

(80)

В случае ортонормированной СК, благодаря равенствам rk' = rk, At = A', gik = 5'k, получаем из (80):

(gradd'vA) = d ,Лк +1

'' dx dx' 2

(rks' +Гsk' )—Г + (Гkks — Гskk

,Wk dx'

1

+ -

2

dx' dx'

dxk Лs

+

В случае рассматриваемой нами цилиндрической системы координат из общего выражения (81), если подставить в него символы Кристоффеля согласно (59) и дифференциалы из (60) для проекции на орт ег, будем иметь:

(graddivA) =■

д2Ar . 1 д2A9 _ д2Az _ 1 dAr

_ + __

+

_ + __

1 дAф Ar

дг2 r дrдф дгдr r дr r2 дф дr

1—(rAr) +1 ^^ r дr r дф дг

(82)

Для проекции на орт еф найдём: д2 Ak

(graddivA) = A

ф дхк дхф+ 2(Fksk Гskk )дхф + 2(ГЬф Г^

дAs

+

2

д (Г +Г ) 2 дГskk

ks^ ^ i sфk ) ^

дхk д2 Ak + дх1" дх ф 2

дх ф

дxk

гиФ" (rksn + rnsk 2rsnk )

Г

sфk

3A

дх""

+

1 (гфгф Ггфф К ф + 1 (гфгф ггфф )

дх ф

9A дх ф

+

+ (ггфф гффг )

дAф дxr

— Г

гфф

дAф дхГ

-Г

ффГ

+

Ar

д (Г +Г )_2дГГфф i 1 фГф ^ 1 Гфф ) ^

+

А-ф 2

дхГ (Г

Гфф + ГффГ

дх ф

) - Ггфф (Г

дАг

дх ф +

+

Гфф

Г

фГф

дх ф

) — ГффГ (ГГфф — ГффГ )

Подставляя сюда определения (59) и дифференциалы (60), приходим к искомому результату:

(о^л) = I д-А-+^ 1 +-1 ЭА

/ф r дг дф r

-л / 1 _д_ r дф

дф2 r дг дф r2 дф

1 д(Мг)+ 1 дAф + дAг r дг r дф дг

(83)

Наконец, проекция на орт ez даёт:

д2 Ak , 1 (Г -Г ))

^ ^ фгф 1 гфф J дх

(graddivA) =—-—-— 4 г дxkдхг

дА

д2 Ar

+

д2 A

ф

+

д2 Az

-+!(г.

дхГ дхг дхфдхг дхгдхг 2

фГф

" ГГфф )

3Ar дхг

Подставляя сюда (59) и (60), получим: (graddivA) г =

д2Ar , 1 д2Aф д2Az

+

+1 дAr

_д_ дг

дг дг r дфдг дг2 r дг Г1 д(rAr)+ 1 дAф + дAг Л r дг r дф дг

То есть, результаты (82)-(84) имеют тот традиционный вид, который и должен у них быть.

С учётом всего сказанного в соответствии с (49) и (79) уравнение (75), записанное в произвольной ортонормированной системе координат, должно иметь следующий вид:

" Э

Aui + ( - ГSik )-) + ~ v 'dxk 2

dxk

(risk Гsik ) + Гикк (Гsin risn )

+

+

1

d2Uk

1 - 2a I dxk dxi

+

+ rnik (snk - rnsk )) +

1 ^ \ dUs 1 / ч dUs duk

— ( ksk -Г skk + — ( ksi -Г sik sik --

us + —

2

(ksi +rsik )-2 d Skk

dxk

dxi ' 2V~ ' ^'dxk

' rnik (( + rnsk 2rsnk )

3x

Л

М-

+

= ±. (85)

где под объёмной силой £ подразумевается сумма всех объёмных сил, действующих на выделенный элемент объёма.

Таким образом, с учётом (64), (82) и (84), уравнения приводятся к виду:

Au,

Au<p +

2 3u9 u, + 1 д г2 Эф г2 1 - 2a дг

2 du, г2 Эф

---f + -

1 1 д

1 д , ч 1 Эи duz

--(ruг) +--- +—-

гдг г Эф dz

1 д(тг) 1 дщ duz

1 - 2a г Эф

- + -

+ -

дг г Эф dz

Л, м '

Л.

М

(86) (87)

Auz +-

1

1 - 2a dz

duz Эuг 1 du«

+

- + --

. . - + — dz дг г Эф г

А

М

(88)

С помощью уравнений (86)-(88) можно приступать теперь к решению нашей задачи, в которой на цилиндр действует крутящий момент М, приложенный к его боковой поверхности, и действующий по касательной к ней. При этом будем предполагать, что нас интересует распределение деформаций вдали от его нижнего закреплённого торца.

Чтобы найти объёмную силу £ возникающую благодаря этому кручению, поступим следующим образом. Поскольку момент сил, приложенных к боковым поверхностям цилиндра, вычисляемый относительно оси цилиндра есть М = [Б х И], где Я - радиус цилиндра, а Б - сила, приложенная к его боковой поверхности, то в скалярном виде это равенство можно представить как граничное условие:

Мг

Fp=-

R

Поэтому объёмная сила, отнесённая к единице объёма, будет:

= Mz_ = h VR nR3h'

(89)

где к - длина цилиндра.

Предполагая, что момент Ыг может действовать на любую внутреннюю область, которую можно представить в виде некоторого виртуального цилиндра радиуса г, то его зависимость от расстояния г можно записать как:

М, (г ) = М,—.

Это означает, что объёмная сила должна меняться по закону:

о

/ф(г ) = М,

nR5h

(90)

(91)

С помощью системы уравнений (86)-(88), при условии, что имеется нагрузка только в виде крутящего момента, силы тяжести и градиента температуры, приложенного перпендикулярно к оси цилиндра, легко прийти к следующей системе уравнений:

. 2 дщ Aur

r2 Эф

ur +

1

1 - 2g

2ur 1 д2иф Э2 - +--- + -

2 диф 1 dur

dr2 r ЭфЭг dzdr r2 Эф r dr r2

_-Kß ЭГ Ц dr '

2 dur 2 дщ 1

Auф + —----- + -

r2 дф r dr 1 - 2g

Mzr2

1 d2ur 1 d2^ 1 d2uz 1 dur

+

- + --

+

r дrдф r2 дф2 r dz дф r2 дф

rc^R5h'

Auz +-

1

1 - 2g дz

дщ + дur + 1 д^ + ur дz дr r дф r

Pg_ M- '

(92)

Оператор Лапласа в цилиндрических координатах имеет вид:

A = I—

r дr

V

+ -

1 д2

r2 дф2 дz2

+

(93)

В силу аксиальной симметрии задачи вектор деформаций можно искать в виде:

и = (иг (г),иф(г),и, ()). (94)

В результате, с учётом только радиальной части оператора Лапласа (93), из (92) следует весьма компактная система уравнений:

ЭЧ + 1 диг иг _ Kß(1-2а) дТ

дг2

дг

2|l(1 -а) дг'

д2иф 2 диф Мгг2

дг2 г дг щЯ5Н' д2и _pg(1 - 2а)

д^2

2ц(1 -а) '

(95)

Из нижнего уравнения прямым интегрированием немедленно находим:

Uz _

pg (1 - 2а)2 4ц(1 -а) ,

(96)

где обе константы интегрирования положены равными нулю.

Из верхнего уравнения в (92) методом вариации постоянных получаем:

С2 аг, \ а г 2 йТ

иг = С1г +----(Т-Т0)+--г2-аг,

г 2 у 2г* аг

йг

(97)

К р(1 - 2а)

где параметр а =--г-, а То - температура поверхности цилиндра.

2|(1 -а)

Полагая, согласно [3],

-, K _

2(1 -а) 3 (1 -2а)

найдем, что a ■

ß

3'

В силу конечности решения в нуле, следует считать, что С2 = 0. Интегрируя последнее слагаемое по частям и предполагая, что на границе радиальное смещение отсутствует, то есть:

иЛ _ 0,

1г _R

означающее, что С1 = 0, немедленно приходим к искомому решению:

иг _ ^Jг (Т0 - Т)йг.

(98)

Второе уравнение в системе (95) также легко решается методом вариации постоянных, и в результате мы приходим к такому ответу:

и<р _Сз + С4г3 +-г4,

где

M

b = (100) щЯ5Н

Из условия щ\г_0 = 0 следует, что С3 = 0. Задавая второе граничное условие в

виде:

приходим к ответу:

ф r -

—R

■■Uo, (101)

Г ..Л3

иф — Uo

r br3 (r - R)

+-i-. (102)

Найденные решения (96), (98) и (102) были иллюстрирующим примером применения метода ковариантного дифференцирования к конкретной физической задаче.

Заключение

В заключение отметим:

1. Благодаря предложенному алгоритму вычислений легко находятся символы Кристоффеля, автоматически обладающие правильной геометрической размерностью. При этом введение коэффициентов Ламе, как это делается во всех учебниках по тензорному исчислению, является абсолютно лишним.

2. Приведены общие выражения для проекций оператора Лапласа, действующего на ковариантную и контравариантную векторные функции.

3. Показано, что проекции векторов (ДА)' и (ДА), в ортонормированных базисах совпадают. В качестве справки приводится их подробное вычисление в сферических, цилиндрических и в параболических координатах.

4. На примере конкретной задачи теории упругости, решение которой мы не обнаружили в оригинальных источниках, продемонстрирована процедура подобного рода вычислений.

Статья поступила в редакцию 20.05.2019 г. ЛИТЕРАТУРА

1. Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложением к геометрии, механике и физике. М.: Физматлит, 1963. 411 с.

2. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1967. 664 с.

3. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория упругости. Т. 7. М.: Наука, 2004. 266 с.

4. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. Т. 2. М.: Наука, 2004. 524 с.

5. Гладков С. О. Об альтернативном вычислении ковариантных производных с приложением к проблемам механики, физики и геометрии // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика. 2019. № 1. С. 16-45.

6. Гладков С. О. К вопросу о линеаризации основного уравнения ОТО // Инженерная физика. 2017. Т. 19. №. 10. С. 19-27.

7. Гладков С. О. К вопросу о взаимодействии полей разной физической природы // Инженерная физика. 2018. Т. 20. №. 3. С. 14-31.

8. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 2003. 560 с.

9. Седов Л. И. Механика сплошной среды: в 2 т. М.: Наука, 1973.

10. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. Т. 6. М.: Наука, 2003. 733 с.

11. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Т. 3. М.: Наука, 2004. 752 с.

REFERENCES

1. McConnell A. J. Application of Tensor Analysis. New York, Dover, 1957. 318 p.

2. Rashevskii P. K. Rimanova geometriya i tenzornyi analiz [Riemannian geometry and tensor analysis]. Moscow, Nauka Publ., 1967. 664 p.

3. Landau L. D., Lifshits E. M. Theory of Elasticity. Vol. 7. Oxford, Butterworth-Heinemann,

1986.

4. Landau L. D., Lifshits E. M. The Classical Theory of Fields. Vol. 2. Oxford, ButterworthHeinemann, 1975.

5. Gladkov S. O. [Alternative calculation of covariant derivatives with an application to the problems of mechanics, physics and geometry]. In: Vestnik Moskovskogo gosudarstven-nogo oblastnogo universiteta. Seriya: Fizika-Matematika [Bulletin of Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics], 2019, no. 1, pp. 16-45.

6. Gladkov S. O. [To the question of linearization basic equation of RTG]. In: Inzhenernaya fizika [Engineering Physics], 2017, vol. 19, no. 10, pp. 19-27.

7. Gladkov S. O. [To the question of account the interaction between the fields of different physical nature]. In: Inzhenernaya fizika [Engineering Physics], 2018, vol. 20, no. 3, pp. 1431.

8. Landau L. D., Lifshits E. M. Electrodynamics of Continuous Media. Vol. 8. Oxford, Butterworth-Heinemann, 1984.

9. Sedov L. I. Mekhanikasploshnoi sredy: v2 t. [Mechanics of continuous media: in 2 volumes]. Moscow, Nauka Publ., 1973. 536 p.

10. Landau L. D., Lifshits E. M. Fluid Mechanics. Vol. 6. Oxford, Butterworth-Heinemann,

1987.

11. Landau L. D., Lifshits E. M. Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory. Vol. 3. Oxford, Pergamon Press, 1977.

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ

Гладков Сергей Октябринович - доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры математическое моделирование №311 Московского авиационного института (национальный исследовательский университет); e-mail: [email protected]

INFORMATION ABOUT THE AUTHOR

Sergey O. Gladkov - Doctor in Physical and Mathematical Sciences, Professor at the Department of Mathematical Modeling no. 311, Moscow Aviation Institute (National Research University); e-mail: [email protected].

ПРАВИЛЬНАЯ ССЫЛКА НА СТАТЬЮ

Гладков С. О. К вопросу приложения второй ковариантной производной от векторной функции к задачам гидродинамики и теории упругости // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика. 2019. № 3. С. 42-67. DOI: 10.18384-2310-7251-2019-3-42-67

FOR CITATION

Gladkov S. O. Application of the second covariant derivative from the vector function to the problems of hydrodynamics and elasticity theory. In: Bulletin of Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics, 2019, no. 3, pp. 42-67. DOI: 10.18384-2310-7251-2019-3-42-67