CC BY
112
УДК 537.8:514.7:621.372.81
Уравнения Максвелла в криволинейных координатах
Д. С. Кулябов, Н. А. Немчанинова
Кафедра систем телекоммуникаций Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Россия
При записи уравнений Максвелла в криволинейных координатах обычно используется громоздкий векторный формализм. Предлагается заменить его более простым тензорным описанием.
Ключевые слова: волноводы, уравнения Максвелла, тензорный формализм.
1. Введение
В исследованиях интегрально-оптических волноводов можно выделить два этапа: исследования регулярных планарных волноводов и исследования нерегулярных интегрально-оптических векторных волноводов. В тех и в других исследованиях решаются уравнения Максвелла с использованием граничных уравнений. Планарные волноводы образованы стопкой плоских параллельных диэлектрических пластинок и тонкоплёночных слоёв, так что все границы плоские и параллельны между собой. Это обусловило запись уравнений Максвелла и граничных условий в декартовых координатах. Исследование нерегулярных интегрально-оптических волноводов с круговыми и сферическими симметриями границ раздела побуждают к использованию криволинейных координат. Имеется большое число публикаций в этом направлении. Все они имеют дело с «векторной формой» уравнений, для которой характерна большая громоздкость выражений. Использование «тензорной формы» записи уравнений представляется нам более простой и изящной. Чтобы продемонстрировать эквивалентность двух форм, мы подробно приводим параллельно все используемые выражения в тензорной и векторной форме, а также формулы перехода между ними.
Предлагается следующий алгоритм преобразования. Уравнения в векторном формализме в декартовых координатах преобразуются в тензорную запись путём формальной замены оператора V на ковариантную производную V». Затем производится замена координат. После этого тензорная запись переводится в векторную.
В данной работе рассматривается трёхмерное пространство. Индексы пробегают диапазон % = 1, 2, 3.
2. Преобразование координат в тензорном формализме
Напомним, как производятся преобразования дифференциальных операторов [1].
Градиент:
grad у = ^гаё = V
Поскольку ^ — скаляр, то можем заменить ковариантную производную на частную:
^гаё = ^^ = дм. (1)
Таким образом, при преобразовании координат компоненты градиента не изменяются.
Статья поступила в редакцию 30 декабря 2010 г.
Авторы выражают большую благодарность профессору Севастьянову Л. А. за помощь в постановке и решении проблемы.
Распишем в компонентах:
, дш i дш 2 з
grad ip = ттт e + e + e.
w ' ff/y1 /~1/у>2 /~1/у>3
дх2
дх3
(2)
Дивергенция:
diva = V ■ а = Viai = - Г}^' = + = —^Ü (V^). (3)
Распишем в компонентах:
diva = —= V9
d(—gav) + d(—ga2) + d(—ga3)
дх1
дх2
дх3
(4)
Ротор:
rot а = [V, а] = V х a = (rot a)^. (rot a)¿ = V,- afc = Eijk ak;j,
(5)
где Егэк — тензор Леви-Чевиты, выражающийся через ег^к — символ Леви-Чевиты следующим образом:
1, Р(г,у,к) — чётная перестановка; = £г°к = { -1, Р(ъ,3, к) — нечётная перестановка; 0, среди г,], к есть равные.
Ецк = у/децк; Егдк = ег^к.
Поскольку в (5) фигурируют члены типа а^-], то связности сокращаются, и мы можем заменить ковариантную производную на частную:
(rot a)i = Eijk ak,j.
(6)
Распишем в компонентах:
rot a =
—9
ei e2 e3
д д д
дх1 дх2 дх3
а1 0,2 аз
1Í даз да2
—9\ дх2 дх3
ei +
da1 da3 дх3 дх1
e2 +
да2 да1 дх1 дх2
es . (7)
Лапласиан можно получить из (3) для дивергенции, положив аг = д%д
Ар = diva = — di( л/ддг° dó у).
(8)
3. Соответствие между тензорной и векторной записями
векторов
В то время, как в тензорном формализме обычно используется координатный базис вг = а/вх1, в векторном формализме базис задаётся как ё» = д/дз\ где — элемент длины по соответствующей координате [2].
Считая систему координат ортогональной, запишем ds2 = gudxldxl = hf(dx1)2, где hi = /дй = Vv^ — коэффициенты Ламе. Обычно для коэффициентов Ламе суммирование по индексу не производится. Заметим также, что ^/д = hih2h,3.
Расписывая вектор в тензорном и векторном виде, найдём соотношение между этими формализмами (векторный вид будем помечать шапочкой):
. d d -10 f = fV- = f1-— f = Pê = P— = fz — -— J J e J dxj, J J e J ds{ J hidxi.
Таким образом для контравариантных компонент:
f=h- г. (9)
Аналогично для ковекторов: f = Дег = /¿dx% f = fiê1 = fid sг = fihidxг.
Таким образом для ковариантных компонент:
fi hi fi.
4. Дифференциальные операторы в произвольной системе
координат
Для градиента из (1) и (9) получаем:
gradp = dipé1 = -r-dip6t.
hi
Распишем в компонентах:
1 dp „i 1 dp „2 1 dip яз
gra P h\ dx1 6 h2 dx2 6 h3 dx3 6 .
Для дивергенции из (3) и (9) получаем:
diva = -^di^tf) = -^di^/Дh-^ .
Распишем в компонентах: div a = 1
hih2h3
'd(h2h3â1) + d(hih3â2) + d(hih2à3)
d xi
d x2
d x3
Для ротора из (6) и (3) получаем:
rota = —= е tjkak,j 6i = --= etjkdj (hfcâfc )6j.
Распишем в компонентах:
rot a =
1
hih2h3
hiêi h262 h363
d d d
d xi d x2 d x3
hi ai h2 a2 h3 a3
h2h3
d(h3<Î3) d(h2Û2)
d x2
d x3
6i +
+
hih3
d(hiâi) d(h3Û3)
d x3
d xi
62 +
hih2
d(h2Â2) d(hiôi)
d xi
d x2
63.
1
1
1
Для лапласиана получаем запись, эквивалентную (8). Распишем в компонентах:
А р =
1
h1h2h3
д дх1
/h2h3 д^ \ + /hih:
I h1 дх1 J дх2 \ h2
,ддЛ +
дх-,2 I
д
д х:
í hih2 др \ I h3 дх3 I
5. Некоторые криволинейные координаты
5.1. Цилиндрические координаты
В рамках стандарта ISO 31-11 координаты (х1 , х2, х3) обозначаются как (р, р, z). Закон преобразования координат от декартовых к цилиндрическим:
х = р cos р, у = р sin р, Z = Z.
Закон преобразования координат от цилиндрических к декартовым:
' р = л/ж2 + у2,
р =arctg (ж),
Z = Z.
Метрический тензор:
'10 0 9ij = I 0 Р2
0
v0 0 1
9гз =
10
0 1/Р2 00
0 0
Vd = р.
Коэффициенты Ламе: hi = hp = 1, h2 = hv = р, h3 = hz = 1.
Символы Кристоффеля: Г22 = — р, Г^ = Г22 = —. Остальные символы Кри-
стоффеля равны нулю.
р
5.2. Сферические координаты
В рамках стандарта ISO 31-11 координаты (ж1 ,х2,х3) обозначаются как (г,§,р). Закон преобразования координат от декартовых к сферическим:
х = г sin§ cos р, у = г sin § sin р, z = г cos §.
Закон преобразования координат от сферических к декартовым: ' Г = л/ж2 + у2 + Z2,
л/ж2 + у2
§ = arccos
л/ж2 + у2 + Z2
р = arctg ^ .
) = arctg (^р2)
Метрический тензор:
9íj =
\0
г 0
0 0
г2 sin2 ßj
дгз =
/1
0 0
0 1
0
0
0 1
/д = г2 sin
Г»2 ei п 2 ф J
Г2 Sin
Коэффициенты Ламе: hl = hr = 1, h2 = = r, h3 = hv = r sin
Символы Кристоффеля: Г22 = —г, Г33 = —г sin2 •&, Г21 = Г22 = Г?3 = Г§1 = -,
г
Г23 = — cos $ sin Г33 = Г32 = — ctg "9. Остальные символы Кристоффеля равны нулю.
6. Уравнения Максвелла в криволинейных координатах
Будем рассматривать уравнения Максвелла в системе СГС [3,4].
V X S = —i f;
с at
V V 1dD 4п ->
н = clor + -Г; (10)
V ■ D = 4жр;
V В = 0.
Здесь Е и Н — напряжённости электрического и магнитного полей, Б и В — электрическая и магнитная индукция, ] и р — плотности тока и заряда.
Будем считать среду линейной, изотропной, однородной и не обладающей диссипацией. Для изотропной среды В = рН, Б = еВ, где р и е — магнитная и диэлектрическая проницаемости среды. В силу линейности среды сигнал можно разложить на сумму монохроматических волн, которые можно рассматривать в
комплексной форме: = Е(г) ехр(—шЬ). Переход к действительным полям
осуществляется следующим образом:
Е(г, Ь) = ЯеЕ(г, Ь) = 2 Е(г) ехр(-^) + Е* (г) ехр(^)
где Е(г) — комплексная амплитуда.
При отсутствии источников (р = 0, ^ = 0) уравнения Максвелла (10) для комплексных амплитуд сводятся к следующему виду:
V X Е = ikpH;
V X Й = —iksÉ; V- Е = 0;
V- н = 0,
(11)
где к =--волновое число.
Решать можно двумя путями: записать уравнения Максвелла сразу в векторном виде, либо произвести вычисления в тензорном виде, а результаты перевести в векторный вид.
0
6.1. Решение в векторном виде
Запишем уравнения Максвелла (11) в криволинейных координатах в векторном виде (тильду писать не будем во избежании громоздкости).
1 ~д(ИзЕз) д(Ъ,2Ё2)
h2 h3 д х2 - д х3
1 'д^Е^ дЦ13Ё3)
hi ha д х3 дх1
1 ~д^2Ё2) д(ЪлЕ1)
hi h,2 дх1 - д х2
1 д^зН3) д (h2H2)
h2h3 д х2 - д х3
1 д(ЪлН i) д (h3H3)
hiha д х3 - д х1
1 д^Н2) д (hiH 1)
hih2 дх1 - д х2
: ikfiH1;
- ikfiH2;
- i kpH3; -i ke E1; -i ke E2; -i ke E3;
д(НфзЕ1) + д(ЬлК3Е2) + д(ЬлК2Е3) _
""Г о .. о ""Г о .. ч 0;
дх1 д fahaH1)
дх1
дх2
+ д (hi h3H2) +
д х2
д х
д^^Н 3)
д х
0.
(12a) (12b) (12c) (12d) (12e) (12f)
(12g) (12h)
Система переопределена, так как для шести переменных имеем восемь уравнений. Следовательно, необходимо ввести два координатных условия.
Электромагнитное поле в волноводе не является чисто поперечным, но и имеет и продольную составляющую [3]. В зависимости от того, какое из полей имеет продольную составляющую, можно выделить ТЕ-волну (электрическое поле не имеет продольной составляющей) и ТМ-волну (магнитное поле не имеет продольной составляющей). Очевидно, что в линейной среде общее решение можно разделить на ТЕ-моду и ТМ-моду.
Считая, что волна распространяется вдоль координаты ж3, будем искать решение в виде ТЕ-моды ( E3 _ 0) и ТМ-моды (Нз _ 0). Начнём со случая ТЕ-моды. Идея решения заключается в введении новой потенциальной функции U и выражении через неё компонент Ei и Hi.
Считая, что для криволинейных координат справедливо условие (первое координатное условие)
Ьз _ 1, (13)
из (12g) получим:
Ei _ E1 _
i кц ди
2 i кц ди
h2 д х2
E2 _ Е2 _
h1 д х1
(14)
Подставляя Ei в (12b) и E2 в (12a), получим:
И _ И1 _ -1(h2ди\ И _ И2 _ _1hi(15)
ni И ^дх^Уыдх1) , И2 И hi дхг yh2 дх2 j . ( )
Для выполнения (121) после подстановки (15) необходимо, чтобы криволинейные координаты удовлетворяли также следующему условию (второе координатное условие):
9 ' — (16)
дх3
Из (12e) получаем: Н3 = Н3 = k2epU + чения в (12c), получаем уравнение для U:
т2] =0.
д2и
д(х3)2
Подставляя полученные зна-
hiho
ди\
дх1 I hi дх1 j дх2 \ h2 дх2 у
+
д2и
д(х3 )2
+ k2epU = 0.
Аналогично для ТМ-моды. Исходя из симметрии системы (12), решения для
ТМ-моды можно получить механически заменой Ei ^ Hi, Hi ^ Ei. Вместо функции U будет аналогичная функция V.
6.2. Решение в тензорном виде
Теперь решение будем выполнять в тензорном виде, а получившийся результат переведём в векторный вид.
Проведём все рассуждения аналогично предыдущему пункту. Запишем уравнения Максвелла (11) в криволинейных координатах в тензорном виде (тильду писать не будем во избежании громоздкости).
1
7
1
7
1
7
1
7 1
7 1
7
дЕ3
д х2
дЕо д х
дЕ1 дЕз
д х — д х1
'дЕо дЕ1
д х1 дх2
дН3 дНо
д х2 — д х
дН1 дН3
д х — д х1
дНо дН1
д х1 д х2
- ikpH : ikßH2; ^ ikpH3; —iksE —iksE 2; —iksE 3;
дЕ1 дЕ2 дЕ3
д х1 + дх2 + д х
дН1 дН 2 дН 3
д х1 + д х2 + д х3
= 0; = 0.
Будем использовать первое координатное условие, аналогичное (13):
= 1 = Н3 = 1.
Из (17g) получим (учитывая также (3) и (18)):
Р = п Р1 = п Г = п Р2 = п
Е, = ^ 1Е = ^1 — , Е2 = д^Е = -^22 — -Хг,
Ёх = — Е1 = = 1 Е2 = -ди
кг к2 дх2' к2 Ьг дх1'
(17a)
(17b)
(17c)
(17d)
(17e)
(17f)
(17g) (17h)
(18)
1
Подставляя Ei в (17b) и E2 в (17a), получим (опять учитываем (3) и (18)):
ri _ 9ii д (д22 dU
^gdx3 \ sfgdx1
922 д
тт_ TTl _ И1^ а22 и _ тт2 _ У22 " fil
Hl _ giiH _ vj^i , Н _ 922Н _ ^^
Vö дх3
( dU ^
\V9dx2 J ,
Н _ — Н _ — — (-2 —
1 hi 1 h2 дх3 \ hi дх1
Н _ -1Н = .1 (hi ^U
2 h2 2 hi дх3 \ h2 дх2
д / \
Аналогично (16) введём второе координатное условие: ( — ) =0. Из (17е) получаем (используя (3) и (18)):
Н3 = к2е fiU +
д2и
Н з _ н
д(х3)2 Н _ 9ззН3~~3 h3"3~™^ ' д(х3)2'
Подставляя полученные значения в (17c), получаем уравнение для U:
Н3
1 „ ,, ~ д2и
Hi3 _ 7-Н3 _ k2£fiU +
1
д
дх1
i922 ди_\ + _д_ igi! дЦ_^
I yfg дх,1 J дх2 \ дх? I
д 2U l2 тт п + дЩ2 + к £Ци _ 0.
7. Заключение
Использование тензорного формализма при оперировании векторами в криволинейных координатах представляется оправданным. Более того, наиболее предпочтительным является использование в вычислениях именно тензорного формализма, а переход к векторам — только в результирующих выражениях. При этом использование тензорного формализма предпочтительно в неоднородных и неизотропных средах, а также при использовании неортогональных координат.
Литература
1. Дубровин Б. А, Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — М.: Наука, 1986. [Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Sovremennaya geometriya: Metodih i prilozheniya. — M.: Nauka, 1986.]
2. Морс Ф. М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. — М.: Издательство иностранной литературы, 1960. [Mors F. M, Feshbakh G. Metodih teoreticheskoyj fiziki. — M.: Izdateljstvo inostrannoyj literaturih, 1960.]
3. Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. — М.: МИР, 1988. [Vayjnshteyjn L. A. Ehlektromagnitnihe volnih. — M.: MIR, 1988.]
4. Денисов В. И. Лекции по электродинамике. — М.: УНЦ ДО, 2005. [Denisov V. I. Lekcii po ehlektrodinamike. — M.: UNC DO, 2005.]
UDC 537.8:514.7:621.372.81
Maxwell's Equations in Curvilinear Coordinates D. S. Kulyabov, N. A. Nemchaninova
Telecommunication Systems Department Peoples Friendship University of Russia Miklukho-Maklaya str., 6, Moscow, 117198, Russia
When writing the Maxwell equations in curvilinear coordinates, usually used a vector-based formalism. Proposed to replace it by easier tensor-based formalism.
Key words and phrases: waveguide, Maxwell's equations, tensor formalism.
