CC BY
62
Сер. 4. 2009. Вып. 3
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
ФИЗИКА
514.822:514.752.8+530.12:531.51:537.1
В. Р. Крым
ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ КВАНТОВАНИЕ ЗАРЯДОВ В ТЕОРИИ КАЛУЦЫ-КЛЕЙНА
Введение. В теории Калуцы-Клейна [1-3] рассматривают многообразие N = = М4 х X с метрическим тензором
д(и,1>) = д(и,г’) — а2ю('ы)ю(г>), (1)
где Ю - пфаффова форма, определяющая левоинвариантное распределение в соответствующем главном расслоении Р(N,11 (1) х Би(2) х Би(3)), д - метрический тензор на М4 лоренцевой сигнатуры (+, —, —, —). Для чисто электромагнитного поля
3
Ю = ^2 Л8йхв + йх4, где Л8 - 4-потенциал электромагнитного поля, х4 - коорди-
8 = 0
ната на А". В метрический тензор д часто вводят второй масштабирующий множи-
- о ( 3 л\2
тель: д(и,и) = д(и,и) — а2 ( ^ А8и8 + фйж4(«)I . Это делают, чтобы размерность пя-
4=0 '
той координаты была метр. В этом нет необходимости, так как размерность х4 может отличаться от размерности других координат. Кроме того, имеет место формула
п 9 з -.2
д(и,и) = д(и,и) — а2ф2 (4 ^2 А8и8 + с1х4(и)) . Следовательно, это эквивалентно мас-
^ф я=0 '
штабированию Ли ^ Ли/ф и а ^ аф. Мы будем считать, что ф =1. Скорость света принята равной единице, поэтому размерность 4-потенциала - вольт, а размерность пятой координаты х4 - В-м. Размерность а - В-1.
Кроме введения дополнительного множителя ф, в теории Калуцы-Клейна пытаются связать массы частиц с периодом («радиусом» окружности X = Б1) координаты х4 на X. Нам представляется, что это невозможно, так как масса частицы отражает ее энергию, а для определения энергии частицы необходимо найти совместное решение уравнений Дирака и Максвелла (или Клейна-Гордона и Максвелла). Существование таких совместных решений было доказано сравнительно недавно [4-6]. С другой стороны, теория уже стала очень громоздкой. Поэтому мы в настоящей работе предлагаем топологическое квантование, которое не связано с массами частиц.
Кроме того, в современных работах по теории Калуцы-Клейна встречается одна историческая ошибка: перед слагаемым электромагнитного поля в функционале действия стоит неправильный знак. Происхождение этой ошибки связано с тем, что в ранних работах [7-10] использовалась другая сигнатура метрического тензора. Затем А. Лихне-рович издал свою книгу [11] по этой теории, где уже использовалась современная сигнатура (+, —, —, —), но формулы Жордана-Тири он не исправил. Эта ошибка повторяется в современных работах [12-14]. Также в них встречаются неправильные формулы
© В. Р. Крым, 2009
для символов Кристоффеля для метрического тензора (1) [14]. Поэтому в настоящей работе мы провели весь соответствующий вывод.
Для электромагнитного поля нами установлено, что период вдоль координаты х4 равен Ь = 2пН/е = 4,135669^4-10_ 15 В-м. Мы вычисляем правую часть по современным данным, но на это уравнение можно смотреть и как на соотношение между периодом Ь, фундаментальным зарядом е и постоянной Планка Н. Возможно, что две или три из этих величин медленно меняются со временем. Это может быть существенно в космологии при исследовании ранних стадий эволюции Вселенной.
Уравнения геодезических на N5. Рассмотрим 5-мерное многообразие N5 = = М4 х Б1 с метрическим тензором
g(u, u) = g(u, u) — a2ffl(u)2
(2)
где Ю = ^2 Аав,х8 + dx4, А8 - 4-потенциал электромагнитного поля, х4 - координа-
я=0
та на Б'1. Проекция на М4 геодезической у в (Ж5,д) представляет собой траекторию движения частицы в присутствии электромагнитного поля. В теории Калуцы-Клейна эта проекция, вообще говоря, меняет каузальный характер кривой, т. е. из пространственноподобного пути может получиться времениподобный. Метрический тензор и 4-потенциал электромагнитного поля не зависят от пятой координаты х4. Это условие инвариантно, если при любых преобразованиях координат х ^ у:
дук
дх4
= 0, k = 0.........3,
ду4
дх4
= const.
гг д дук д дук п д/г л ду4
При этом условии = ы ®УДем считать, что -т^
ству, это расслоенное пространство.
Матрица метрического тензора на N:
(3)
±1. По суще-
(4)
Она имеет лоренцеву сигнатуру (+, —, —, —, —) [15]. Детерминант д = —а? с1е1 д. Обратная матрица
(^),,=0...3 -И1')/
(9ij а~ AiAj) 3 —аґ(Аі)і=о,...,з
~a2(Aj)j=о,..,з —сг
g-1
— (A) )j=o,..,3
= 0,..,3
ASAS - -j
s=0 a
(5)
где Ai = Ё gisAs и (gij)id=ot..,3 = (gij)
)-1 j )i,j=0,..,3
матрица обратного (четырехмерного)
метрического тензора.
Вычислим символы Кристоффеля симметричной римановой связности: =
| ^Якъ т-г
= ~й* + - а#- Пот™"У
— 1 (дg)к 2 дA) 2 дAk дgki 2 дAk 2 дA^
Гьіі,- = - -4^ - а Ак—-Л- - а2А,—± + - а2А—- - а2Ак—^~
2 у дх1 дх1 дх1 дх° дх° дх°
дgi) 2 . дAi 2 дA)\ .
-----~+arAi~^J + агА>'Т^к ) > hJ,k = 0, ...,3, (6)
дxk
g
а также
2 / ЗА; ЗАЛ
1; ' 2 V /л,- ■ (7)
= =^{Щ_дАЛ = ^_р (н]
кЬ4 Що 2 дх3 ) 2 ^
Гй|44 = Г4|й4 = Г4|4й = ° Г4|44 = 0. (9)
Теперь поднимем первый индекс при помощи метрического тензора М5:
4 _ з
Гу = ^2 9квГя|у- Из (5) следует правило для любого Хк\ Хк = ^2 9к8Хв — АкХ4,
5 = 0 5 = 0
3 / з і \
и X4 = -^2 А8Х8 + (I] А3А3---------------і)х4. Поэтому к = 0,..3):
о = 0 ^о — 0 а '
г«=Не (Ь - - «ч Т&+Ш-** -
45 = 0
_о.,лал _ ^ + сРА аА+а2АіВЛ1\+А,,а2/'Щ зд-Л
дх3 дх* дхв дхя / V дх1 дх3 ))
_2
Таким образом, Г,^ = Г*- — + А,Г^к), а также
—к —к а2 г- ( 9Ап дА,
Г —Г — Пкз —ІІ и^3 \ “ р к ПП
1 - 1 - •> \я^-я^1- “Т^ > (11)
в=0
2 ^ V дхв дх3
_______и
Г44 = 0, ././•• <•.........3. (12)
Следующие компоненты понадобятся в разделе 3 (і, і = 0,..., 3):
Г*=-ІуА*(И£і±-а2А^ + ^ - а2А^
3 2 ^ у <9жг дх1 дх3 дх3
ддц 2 . дАі 2 дА;\ 1 / дА; дА* N
“ + агА^ +" 1 /у,-) + 2 ('~ё7 + ) =
~±А, (ГЬ - І;/- - • '("'-"'Л (13)
М 3 2 3 г 2 г ^ 2 I дХ дх3 / v у
0
Г4 -Г4 - а2\-А°(дАз дЛЛ-а2\-А Г
5=0 4 у 5 = 0
Г44 = о, ^ = о,..., 3.
Рассмотрим функционал энергии Б(х(-)) = ^ Ь(х(1), х(1)) А, где Ь(х,и) = ~дх(и, и).
ТОГ о г о г
Из уравнений Эйлера = ^иЬ ^ = следует, что = — а2Сд(и) =
2
и
Q = const. Уравнения геодезических имеют вид й ^2 Т^иги3 = 0, т. е.
i,j=0
3 3 3
uk + 'У ] Тц 'а иР + ^ " I :;" ' " ' + ^ =0, к = 0,. .., 4.
i,j=0 j=0 i=0
Метрический тензор и 4-потенциал электромагнитного поля не зависят от пятой координаты х4. Поэтому ю(Х) = ^/а2 постоянно вдоль кривой. Следовательно,
Это уравнение движения частицы общей теории относительности [16], у которой отношение заряда к массе равно Q = q/mc2, в электромагнитном поле. Итак, эффективная связность, действующая на частицу, совпадает с классической симметричной римано-вой связностью на М4.
Отметим, что это уравнение не однородно по £. Поэтому параметризация геодезической существенна. Принято считать, что геодезическая на М4 имеет натуральную параметризацию: д(и,и) = 1 или д(и,и) = —1. Кроме того, из (15) следует, что физическая размерность параметра Ь - метр. Из уравнения (14) следует, что координата х4 при движении частицы возрастает как Q/a2t. Величина а определяется уравнениями Эйнштейна: а2 = 2ке0/е2 = 3,6764678 • 10~54 В~2, где £0 = 8,854187 • 10~12 Ф/м - диэлектрическая проницаемость вакуума, к = 1,8659218 • 10~26 м/кг - гравитационная постоянная Эйнштейна. Поэтому можно ожидать, что времениподобному пути на М4 соответствует пространственноподобный путь на Ж5, т. е. в теории Калуцы-Клейна при проектировании геодезических причинность не сохраняется.
В литературе встречаются [14] неправильные формулы для символов Кристоффеля в базисе {вк}к=0,..,з, где вк = дк — Акд4. В действительности формулы такие:
(14)
s=0
Уравнения геодезических принимают вид
Поэтому
i,j=0
Используя (10) и (11), получаем
j=0
к = 0,..., 3,
(15)
i,j=0
j=0
Различие между теорией Калуцы-Клейна и стандартной моделью с неголоном-ным распределением состоит в том, что в теории Калуцы-Клейна х4 возрастает как с1/(те?а?)Ь (14). Это слишком большое число: 1/(с2а2) = 1/(2кео) = 3,026• 1036 В-кг/Кл, следовательно, для электрона е/(тес2а2) = 5,32 • 1047 В. В неголономном варианте х4 возрастает как Се2, если смещение частицы в направлении координат х0,..., х3 равно е, где С определяется тензором напряжённости электромагнитного поля Г. Это теорема о параллелепипеде [17].
Уравнения поля на ЛГВ. Рассмотрим тензор кривизны Ж5. Как обычно, Д(ы, г>) ■
4 _■
• ги = ^2 Я jkl'^v3ukvlдi. Поэтому
г,у,к,1 = 0
4
е' оы = дкГц - +е (тзИг1 - вдя). (16)
я=0
Используя (10), для индексов в диапазоне г,], к,1 = 0,..., 3 получаем, что
—; а2
КзЫ = К'зЫ + у (А^Ж + - А-ЧкРё - +
а2 а4 3
+ -(2 Р/Щк + - Р^Ркз) + Ь* Ь/Г - АЖ). (17)
в = 0
Далее.
2 3 2 3 4 3 д4^ = -д4,м = - т Е А0Апр1°р8т, (18)
в=0 в=0 в,т=0
—а2 а4 3
ц'ш = - укрп + Ег- ь/г - (19)
я = 0
—' —' а2 ■ а4 3
Д jм = —И ^к = ——— "У^А^Р^Рз'^ (20)
я=0
—' —' 4 3
Д 4к4 = — Д 44к =---~Г 'У^, РкЯ 8. (21)
я = 0
_ 4
Тензор Риччи определяется, как ^ Н ^па'-
т=0
2 3 2 3 4 3
Щх = Щ1 - у Е (А^г,гРт + АЯтЦ™) - у Е + Т Е
т=0 т=0 т,5=0
(22)
Далее,
„2 3 л4 3
На = Дм = “у Е У”>Ят + Е (23)
т=0 т,в=0
4 3
Д44 = у Е Р™Рт8- (24)
4
т,5=0
Поэтому
Д? = Rl~Y Е AigjsVmFsm + у E Fjmpim, (25)
m,s=Q
2 3
Ч = -\ E 9jsymFsm, (26)
3 2 3
—4 лп ^ a
Щ = -J2AjRil + -V E AjAlymFjm+
2
j=Q j,m=Q
3 ,2 3
П1 1 a2
+ - E MFimFmi + ^ E V'"F'm - E ртартз, (27)
2 ^ j mi • 2 ^ m ‘ 4
j,m=Q m=Q m,s=Q
2 3 2 3
—4 a \ л -г-- m a \ л 77 Tp'ms
Й4 = - E AsVmFsm ~ ~ E (28)
2 ^ m s 4
m,s=Q m,s=Q
Скалярная кривизна имеет вид
_ a2 3
Д = Д+Т Е F”»-F’"S- (29)
m,s=Q
Чтобы получить уравнения Эйнштейна в присутствии электромагнитного поля, следует выбрать a2 = 2k£Q/c2 = 3,6764678 • 10-54 В-2, где eQ = 8,854187 • 10-12 Ф/м- диэлектрическая проницаемость вакуума, к = 1,8659218 • 10-26 м/кг - гравитационная постоянная Эйнштейна. Следовательно, a = 1,9174117 • 10-27 В-1.
Очень удобно перейти к следующему некоординатному базису: {ek}k=Q,..,3, д4, где ek = dk — Ak д4. Первые четыре компоненты контравариантных векторов не ме-
4 3 3
няются: Xkdk = ^ Xkek + (^ AkXk + X4)д4. Для ковариантных векторов
k=Q k=Q k=Q
соответствующая замена дуального базиса состоит в том, что необходимо перейти
3
к {dxk}k=Q>,..,3, W, где W = ^2 Akdxk + dx4. Тогда Xs ^ Xs — ASX4, потому что
k=Q
33
^2 Xsdxs + X4dx4 = ^2 (Xs — AsX4)dxs + X4W. Для дважды ковариантных тензоров
s=Q s=Q
Xji ^ Xji — AjX41 — AiXj4 + Aj AiX44. Для тензора Риччи это означает, что
3
Rji = Rji + у Е рзтр^ (30)
=Q a2 3
Д4г = Дм = — Е VmFim. (31)
Для трижды ковариантных тензоров Xjki ^ Xjki — AiXjk4 — AkXj4i — AjX4ik + + Ak Ai Xj44 + Aj Ai X4k4 + Aj Ak X44i — Aj Ak Ai X444. Для тензора кривизны
a2
R’jki = R'jki + у (2F/'Ftk + Fk'FLj - Ft'Fkj), (32)
a2
fl‘4fci = y(V,Ffc‘-VfcF,‘)> (33)
a2
R'jk 4 = -R'jik = - — ykFj\ (34)
a4 3
Rl4fc4 = ~Ri44k = - у E ^
s = 0
a4 3
Д444г = R4 414 = -y E AmFisFsm. (36)
m,s=0
Следует отметить, что в базисе {efc}fc=o,...,3, З4, метрический тензор имеет вид <?(е*, ej) = = 9iji 4) = 0, = 0,..., 3, и ~g(d4,84) = —о2. Поэтому индексы в диапазоне
G,..., 3 поднимаются, как обычно, но, чтобы поднять индекс 4, выражение необходимо 2
поделить на —a .
Лихнерович использовал так называемый «ортогональный» базис с векторным полем 1/ad4 и соответствующей дифференциальной формой ara в дуальном базисе. Для перехода к этому базису каждую контравариантную X4 компоненту следует умножить на a, а каждую ковариантную X4 компоненту следует поделить на a. Мы сравнили полученные формулы с формулами Лихнеровича [11, с. 119, 191]. Оказывается, что Лихнерович указал противоположный знак для второго слагаемого в скалярной кри-
/ 2 3 \
визне (29) R[ = R — ^4" FkiFklj. Та же ошибка в тензоре Риччи (30), (31) и в тензо-^ k,l=0 ' ре кривизны (32), (34), (35). Лихнерович признает лоренцеву сигнатуру метрического тензора (4). Но при расчетах он предположил, что метрический тензор положительно определен [11, с. 114]. Он не изменил своих формул [11, с. 190], переходя к теории Жордана-Тири [7, 8, 10] и к теории Калуцы-Клейна.
Рассмотрим теперь вариационный принцип для N5. Дифференциальная форма a/— det д dx° A dx1 A dx2 A dx3 инвариантна к преобразованиям координат на М5 с гладкой структурой (3). Действительно, после преобразования координат форма dx0 Adx1 Adx2 Adx3 умножается на детерминант матрицы Якоби, а тензор gij умножается слева и справа на обратную матрицу Якоби. Для любой непрерывной (или измеримой) функции f : M5 —— R определён следующий интеграл:
f da = f (х) \J — det g(x) d,x°dx1 dx1 d,x3, (37)
JQ Ju
где П - 4-мерное C 1-гладкое подмногообразие N5, трансверсальное к векторному полю д4. Предположим, что множество П задано параметрически h : U — П, где U С R4 - 4-мерное подмногообразие. Для достаточно малой области U первые четыре функции hl можно принять за координаты. Тогда П определяется отображением
(ж0,..., ж3, ж4(ж0,..., ж3)). Поэтому интеграл функции f{x)\J— det д{ж) по U корректно определён (f не зависит от x4 как скалярное поле классической физики).
Функционал действия для поля имеет вид [16, 18-21]:
S=~— [ Rd,a+- [ W do, (38)
2к J Q c JQ
где к = 8%Gn/<? = 1,8659218 • 10~26 м/кг - гравитационная постоянная Эйнштейна, Gn = 6,6725985 • 10~и м3/(кг-с2) - гравитационная постоянная Ньютона [22],
W - скалярное поле, определяющее действие материи (для электромагнитного поля
3 3
W = — ^ FijFl:i — AkJk, причём в силу (29) первое слагаемое уже учтено в ска-i,j=0 k=0
лярной кривизне N5, Jk - плотность 4-тока), с - скорость света.
Итак, уравнения поля на M4 совпадают с уравнениями Эйнштейна в присутствии электромагнитного поля, потому что эффективная кривизна, действующая на материю, такая же, как и для 4-мерного многообразия с метрическим тензором gj в присутствии электромагнитного поля.
Квантование электрического заряда на многообразии M4 X S1. Известно, что в стандартной модели сохраняются барионный и лептонный заряды, причем их сохранение не вытекает из калибровочной инвариантности относительно группы U(1) х SU(2) х SU(3). Пока все экспериментальные данные подтверждают, что эти заряды строго сохраняются [23]. Чтобы получить законы сохранения этих зарядов, можно добавить еще одну окружность S1 в базу главного расслоения P(M4 xS 1,U(1) х SU(2) х х SU(3)) (или несколько окружностей). Тогда должно появиться дополнительное калибровочное поле. Но можно рассмотреть теорию с лагранжианом L = гу*уМ(дц —
— *d^)y, где это поле равно нулю, но калибровочная инвариантность сохраняется. Тогда базис основного для этой модели левоинвариантного распределения будет иметь вид ek = dk — Akd4 — (дкф)дб, k = 0,..., 3. Но в теории Калуцы-Клейна сама группа U(1) главного расслоения P(M4, U(1) х SU(2)) рассматривается как такая окружность, поэтому таких трудностей не возникает.
3
Рассмотрим оператор Дирака вида D = —ih^2, Уkek. Тогда уравнение Дирака имеет
k=0
вид
3
Уk eky = my,
k=0
где yk - матрицы Дирака (они определяются уравнением yjyk + уkyj = 2gjkI4, где I4 - единичная матрица четвертого порядка), у - волновая функция частицы, h - постоянная Планка, m - масса частицы. При наличии гравитационного поля gjk и yk зависят от точки x многообразия M4. Классические матрицы Дирака определяются
( 0 а^\ k
как уМ = (ц о I, М = 0,..., 3, где Ok, k = 1, 2, 3 - инфинитизимальные операторы
соответствующего представления группы SU(2), ~ - кватернионное сопряжение. Если
3
метрический тензор не тривиален, то yj (x) = ^ Pj (x)yk, где Pj - некоторый оператор,
k=0 k k
3
приводящий метрический тензор к диагональному виду P^naeP k = gjk. Предпо-
a,p=0
ложим, что волновая функция зависит следующим образом от пятой координаты:
\|/(ж) = ехр ^у-г’4^ ф(-г’); (39)
где e - фундаментальный заряд, и ф со значениями в Cn не зависит от x4. Это очень близко к подходу Н. Я. Виленкина [25]. Тогда е&\|/(ж) = ехр (^‘г’4) [рк ~ ЩАк{х)) ф(ж), и для ф получим классическое уравнение Дирака
(дк - j-Ak ) ф = шф.
k=0 h
В квантовой механике импульсу частицы pk соответствует оператор —iKdk, причём в присутствии электромагнитного поля импульсу pk соответствует оператор —iKdk — — eAk. Пятой компоненте импульса в предлагаемой теории р4 соответствует оператор
—iKd4. Оператор —iKd4 можно интерпретировать как оператор заряда, так как величина р4 интерпретируется как заряд [20]. Оператор заряда, имеющийся в литературе, достаточно тензорно умножить на —iKd4, и предположить (39). Точнее, следует заменить фундаментальный заряд e, входящий в оператор заряда*, на —iKd4. После этого все выводы совпадут. Поскольку 4-потенциал электромагнитного поля и метрический тензор не зависят от координаты x4, оператор заряда коммутирует с оператором Дирака. Поэтому оператор заряда можно включить в алгебру наблюдаемых. Волновая функция частицы должна быть собственной функцией оператора Дирака с собственным значением m, оператора заряда и, возможно, других наблюдаемых.
Известно из большого количества экспериментальных данных, что заряды всех элементарных частиц кратны заряду электрона (фундаментальному заряду e). Предлагаемая модель позволяет объяснить это теоретически. На многообразии M4 x S1
д
траектории векторного поля д4 = гомеоморфны окружности. Поэтому множе-
ство собственных функций оператора заряда счетно: функция x4 ^ exp(i^x4/K) может быть задана на окружности длины L, только если Z = 2nkK/L, к Є Z. Это может служить объяснением квантования электрического заряда. На окружности собственные функции оператора заряда с собственным значением ke должны иметь вид exp(ikex4/К), к Є Z. Отсюда можно вычислить, что период вдоль координаты x4 равен L = 2nK/e = 4,І35669±4 • І0~15 В-м.
Для частиц с целым спином необходимо рассматривать уравнение Клейна-Гордона. Для применения описанной схемы к данному случаю достаточно заменить в этом уравнении dk на ek = dk — Ak д4. Те же рассуждения доказывают существование топологического квантования в этом случае.
Для электромагнитного поля нами установлено, что период вдоль координаты x4 равен L = 2nK/e = 4,І35669±4 • І0~15 В-м. Мы вычисляем правую часть по современным данным, но на это уравнение можно смотреть и как на соотношение между периодом L, фундаментальным зарядом e и постоянной Планка К. Возможно, что две или три из этих величин медленно меняются со временем. Но наблюдения квазаров этого не подтверждают.
Возникает задача представить подобным образом все константы взаимодействия, присущие стандартной модели (т. е. электрический, три лептонных и барионный заряды), и на этой основе построить единую геометрическую модель. Эта проблема обсуждается в статье [27].
Литература
1. Kaluza T. I. Zum Unitatsproblem der Physik // Sitzungsber. d. Preuss. Akad. 1921. P. 966-972.
2. Klein O. Quantentheorie und funfdimensional Relativitatstheorie // Zeits. f. Phys. 1926. Vol. 37. P. 895-906.
3. Bailin D., Love A. Kaluza-Klein theories // Reports on Progress in Physics. 1987. Vol. 50. P. 1087-1170.
* Так как после вторичного квантования 4-току соответствует оператор ^ = еу*у^у, то оператор заряда имеет вид [26].
4. Esteban M. J., Sere E. Stationary states of the nonlinear Dirac equation: a variational approach // Comm. Math. Phys. 1995. Vol. 171. P. 323-350.
5. Esteban M. J., Georgiev V., Sere E. Stationary solutions of the Maxwell-Dirac and the Klein-Gordon-Dirac equations // Calculus of Variations. 1996. Vol. 4. P. 265-281.
6. Esteban M. J., Lewin M., Sere E. Variational methods in relativistic quantum mechanics // Bulletin of the AMS (in print).
7. Jordan P. Erweiterung der projecktiven Relativitatstheorie // Annalen der Physik. 1947.
B. 1. H. 4-5. P. 219-228.
8. Lichnerowicz A., Thiry Y. Problemes de calcul des variations lies a la dynamique classique et a la theorie unitaire du champ // Comptes Rendus Acad. Sci. Paris. 1947. Vol. 224. P. 529-531.
9. Thiry Y. Les Equations de La Theorie Unitaire de Kaluza // Comptes Rendus Acad. Sci. Paris. 1948. Vol. 226. P. 216-218.
10. Thiry Y. Sur la regularite des champs gravitationnel et electromagnetique dans les theories unitaires // Comptes Rendus Acad. Sci. Paris. 1948. Vol. 226. P. 1881-1882.
11. Lichnerowicz A. Theories relativistes de la gravitation et de l’electromagnetisme. Paris: Masson, 1955.
12. Ivanov R. I., Prodanov E. M. On the field equations of Kaluza’s theory // Phys. Lett. (B). 2005. Vol. 623. P. 235-243.
13. Modern Kaluza-Klein theories / ed. by T. Appelquist, A. Chodos, P. G. O. Freund. Reading: Addison-Wesley, 1987. 615 p.
14. Srivastava S. K. Some Aspects of Kaluza-Klein Cosmology // Pramana-Journal of Physics. 1997. Vol. 49. N 4. P. 323-370. (http://www.ias.ac.in/jarch/pramana/49/00000330.pdf)
15. Beem J., Ehrlich P. Global Lorentzian Geometry. Marcel Dekker, 1981. 460 p.
16. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля: теоретическая физика: В 10 т. Т. 2. М., 1988. 512 c.
17. Вершик А. М., Гершкович В. Я. Неголономные динамические системы. Геометрия распределений и вариационные задачи // Итоги науки и техники. Сер.: Современные проблемы математики, фундаментальные направления. Т. 16. М., 1987. С. 5-85.
18. Misner Ch. W., Thorne K. S., Wheeler J. A. Gravitation. W. H. Freeman, 1973. 1278 p.
19. Крым В. Р. Уравнения геодезических для заряженной частицы в объединённой теории гравитационных и электромагнитных взаимодействий // Теор. мат. физика. 1999. Т. 119. № 3.
C. 517-528.
20. Крым В. Р., Петров Н. Н. Уравнения движения заряженной частицы в пятимерной модели общей теории относительности с четырёхмерным неголономным пространством скоростей // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2007. Вып. 1.
С. 62-70. (http://lanl.arxiv.org/abs/0706.3166v1)
21. Крым В. Р. Уравнения Эйнштейна в отсутствие материи на пятимерном многообразии с каузальной структурой // Записки научн. сем. ПОМИ РАН. 1999. Т. 261. С. 155-166.
22. Сена Л. А. Единицы физических величин и их размерности. М, 1988. 432 c.
23. Yao W. M., Amsler C., Asher D. et al. The review of particle physics // J. Phys. (G). 2006. Vol. 33. N 1. P. 1-1232. (http://pdg.lbl.gov)
24. Вершик А. М., Гершкович В. Я. Неголономный оператор Лапласа // Пробл. мат. анализа. 1990. Т. 11. С. 96-108.
25. Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1991. 576 c.
26. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Квантовые поля. М.: Физматлит, 1993. 333 c.
27. Крым В. Р., Петров Н. Н. Главные расслоения и проблема топологического квантования зарядов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2009. Вып. 1. С. 10-17.
Принято к публикации 26 декабря 2009 г.
