Об альтернативном вычислении ковариантных производных с приложением к проблемам механики, физики и геометрии Текст научной статьи по специальности «Физика»

РАЗДЕЛ II. ФИЗИКА

УДК. 514.83

DOI: 10.18384-2310-7251-2019-1-16-45

ОБ АЛЬТЕРНАТИВНОМ ВЫЧИСЛЕНИИ КОВАРИАНТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ С ПРИЛОЖЕНИЕМ К ПРОБЛЕМАМ МЕХАНИКИ, ФИЗИКИ И ГЕОМЕТРИИ

Гладков С. О.

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет) 125997, г. Москва, Волоколамское ш., д. 4, Российская Федерация Аннотация. С помощью предложенного в работе несложного математического подхода продемонстрировано строгое вычисление символов Кристоффеля, а также тензора Римана, заведомо имеющих правильную геометрическую размерность, что является чрезвычайно важным при решении огромного класса чисто физических задач. В качестве примеров рассмотрены четыре ортогональные системы координат, две из которых это сферическая и цилиндрическая, являющиеся стандартными при изложении любого курса тензорного анализа, а две другие представляют собой параболическую систему координат и ортогональную двухмерную, для которых также продемонстрировано вычисление символов Кристоффеля, оператора Лапласа и тензоров Римана и Риччи, все компоненты которых автоматически имеют правильные геометрические размерности. Продемонстрирован ряд физических приложений описываемого формализма. Рассмотрен пример не ортогональной двухмерной системы координат, с помощью которой приводится подробное вычисление символов Кристоффеля обоих родов и находится выражение для оператора Лапласа с приложением к задачам теории упругости и гидродинамики.

Ключевые слова: тензор деформаций, тензор напряжений, уравнение Навье-Стокса, метрический тензор, ковариантное дифференцирование, оператор Лапласа, ортогональная система координат, символ Кристоффеля, тензор Римана.

ALTERNATIVE CALCULATION OF COVARIANT DERIVATIVES WITH AN APPLICATION TO THE PROBLEMS OF MECHANICS, PHYSICS AND GEOMETRY

S. Gladkov

Moscow Aviation Institute (National Research University) Volokolamskoe shosse 4,125997 Moscow, Russian Federation

© CC BY Гладков С. О., 2019.

VJV

Abstract. Based on a simple mathematical approach proposed in the paper, we demonstrate a rigorous computation of the Christoffel symbols and the Riemann tensor that obviously have a regular geometric dimension, which is extremely important in solving a huge class of purely physical problems. As examples, we consider four orthogonal coordinate systems, two of which are spherical and cylindrical, i.e. standard for describing any course of tensor analysis, and the other two are parabolic and orthogonal two-dimensional coordinate systems, for which the Christoffel symbols, the Laplace operator, and Riemann and Ricci, whose all components automatically have the correct geometric dimensions, are calculated. A number of physical applications of the described mathematical formalism are demonstrated. An example of a nonorthogonal two-dimensional coordinate system is considered, with the help of which a detailed calculation of the Christoffel symbols of both kinds is given, and an expression is found for the Laplace operator with application to the problems of elasticity theory and hydrodynamics.

Keywords: strain tensor, stress tensor, Navier-Stokes equation, metric tensor, covariant differentiation, Laplace operator, orthogonal coordinate system, Christoffel symbol, Riemann tensor.

Введение

При внимательном знакомстве с теорией ковариантного дифференцирования (см., к примеру, монографии [1-4]) всё время возникает вопрос, связанный с обоснованием правильной размерности метрического тензора или символов Кристоффеля и тензора Римана. Этот момент является ключевым при решении огромного класса не только различных физических задач, но и чисто математических.

Действительно, если, к примеру, выбрать сферическую систему координат и записать её метрику в обычном виде, то имеем:

dl2 = dr2 + r W + r2 sin2 е^ф2, (1)

Для неё всегда вводятся обозначения компонент ковариантного метрического тензора в стандартном виде, как gn = 1, gee = r2, £фф = r2sin2e, [1-3]. При рассмотрении общего случая ортогональной системы координат вместо (1) обычно используется выражение через коэффициенты Ламе hi [2]. То есть

dl2 = Ы dx2 + h2dx2 + h2dx2, (2)

При сравнении (2) с (1) все компоненты h1, h2, h3 легко написать.

Как известно [4; 5], метрику в самом общем виде можно представить, как:

dl2 = gikdx'dxk = dxidx', (3а)

где gik - компоненты ковариантного метрического тензора, dxi - дифференциалы контравариантных координат, а dxi - дифференциалы ковариантных координат. Напомним, что по повторяющимся индексам всегда подразумевается суммирование [1].

Если записать определение метрики в виде суммы квадратов, то есть как (см. соответствие на примере (9) и далее):

dl2 = dxi 2 = dx2 (3б)

и воспользоваться заданным законом преобразования к новым переменным, а именно:

х,. = х,. (xk), (4)

где соответственно x - это ковариантные координаты, а X - контравариантные, то, пользуясь определением элемента длины в виде (3б) и подставляя в него преобразования (4), приходим к соотношению, справедливому в любой системе координат:

дх дх

dl2 = dx2 = dx'2 = —-—-dx'dxk = gikdxidxk = gikdxidxk = dxjdx', (5) дх' dxk

Надо заметить, что соотношение (5) имеет довольно важное значение и доказывает, что при написании различных типов преобразований, в знаменатели которых входят квадраты дифференциалов, ровным счётом не имеет никакого значения, каким образом мы будем писать соответствующие вторые производные, то есть должно иметь место ковариантное тождество (см., например, (9)):

52 52 52

5x,2 5x'2 5xi 5x'

(6)

справедливое в любой ортогональной системе координат (сокращенно СК), доказательство которого на конкретных примерах будет приведено чуть ниже.

дх

Возвращаясь к (5), заметим (см. [1]), что с помощью базиса g„,í = —-. Можно

дх'

ввести ковариантный метрический тензор [5]:

дх„ дх„

дх' дх

(7)

С его же помощью определяются и символы Кристоффеля первого рода [1].

Г _дхп д xn (8)

дх' dxk dx1

Как видим, символ Кристоффеля симметричен по индексам k, l и эта формула будет нами использоваться далее.

Мы не станем применять выражение для символа Кристоффеля через линейные производные от метрического тензора, как это приводится, например, в [1-5], а будем пользоваться только определением (7), как наиболее понятным и информативным с точки зрения размерности (см. ниже). Действительно, поскольку Xi и xk - это координаты, имеющие размерность единицы длины [см], то символ Кристоффеля, как видим из (7), должен иметь размерность обратной длины, то есть:

[F,ki ]_ 1

1

V см у

Visy

Причём подчеркнём, что это относится ко всем его двадцати семи компонентам, если говорить о трёхмерном пространстве. Действительно, если буква Г одна для всех компонент, то и размерность у всех должна быть одинакова. В противном случае имеет место довольно странная ситуация. В самом деле, если, к примеру, взять силу F с компонентами F¡, то можно было бы сказать, что Fl имеет одну размерность, а, скажем, F3 - другую. Это утверждение относится и к компонентам метрического тензора (6), для которого все его компоненты должны быть безразмерны. Точно такое же утверждение имеет место и в отношении

тензора Римана, размерность всех компонент которого есть -i. Фактически,

прозвучавший сейчас тезис и заставил нас взяться за написание настоящей статьи для того, чтобы продемонстрировать здесь простой и понятный алгоритм вычисления любой физической или геометрической величины с заведомо правильной размерностью, не используя при этом коэффициенты Ламе.

Масса примеров, рассмотренных далее и приводящих в итоге к правильным результатам, позволяет с уверенностью констатировать, что предложенный подход является корректным.

Ниже в качестве этих примеров будет приведено вычисление символов Кристоффеля и компонент тензора Римана в сферической (стандартной) системе координат, цилиндрической, и в более сложных случаях параболической системы координат, и двухмерной ортогональной и не ортогональной системах криволинейных координат. Также будут приведены некоторые примеры из теории упругости, и при этом автоматически будет строго доказана полная ненужность коэффициентов Ламе.

Основная часть

В любой ортогональной системе координат ковариантные и контравариант-ные компоненты символов Кристоффеля и тензора Римана тождественно равны [5], то есть:

Гikl =r'kl и Riklm = R'um.

В качестве наглядного примера рассмотрим классическую сферическую СК и, согласно (i), введём следующие соответствия:

dxl = dr, dx2 = rdQ, dx3 = r sin б^ф. (9)

При этом напомним, что переход от ковариантных декартовых координат к контравариантным сферическим имеет обычный вид:

xl = x = r sin б cos ф, x2 = y = r sin б sin ф, x3 = г = r cos б. (i0)

dx

Это значит, что базис gnJ = —- в общем виде можно представить как:

dxi

í \ gi

g 2

vg 3у

где, например, единичным вектор g1 есть:

f дх1 дх1 дх1 л

(11)

g1 =

ч

Эх1'дх2'дх3

(12)

/

Аналогично для g2 и g3. Все они, что вполне очевидно, образуют матрицу преобразований. Для нашего конкретного примера с помощью (9) и (10) легко получаем из (12)

g1 = (sin б cos ф, cos б cos ф, - sin ф)

и, аналогично,

g 2 = (sin б sin ф, cos б sin ф, cos ф), g3 = (cos б, - sin б, О).

Подставив их в (11), находим ортонормированную матрицу преобразований:

f sin б cos ф cos б cos ф - sin фЛ sin б sin ф cos б sin ф cos ф

cos б

- sin б

Как видно, её определитель

g = 1-

(13)

(14)

По определению метрического тензора, согласно (6), имеем:

Перемножая матрицу (13) на свою транспонированную, находим в результате метрический тензор в виде единичной матрицы:

0 0Л

0 1 0

>0 0 1

V /

(15)

А потому Гш = g¡sГк = Г, и Riklm = gisRsklm = R[lm. Что и требовалось доказать.

Совершенно понятно, что приведённое доказательство является общим для любой ортогональной системы координат (сокращённо ОСК). Что касается не ортогональной системы координат (сокращённо НСК), то с ней дело обстоит несколько сложнее, однако алгоритм доказательства остаётся тем же, но только в этом случае ковариантные и контравариантные компоненты будут не равны, то есть

Гк1 ^ r¡kl, Rklm ^ Riklm .

С помощью описанного простого правила вычислим теперь все компоненты символа Кристоффеля и начнём со сферических координат.

Как легко видеть, отличными от нуля будут только девять символов Кристоффеля. Это Ггее, Ггфф, Гефф, Геге = Гее г, Гфгф = Гффг и Гфеф = Гффе. Все остальные равны нулю. В качестве простого примера покажем, как следует правильно применять формулу (7). Для этого стоит подчеркнуть, что для метрического тензора, записанного в виде матрицы (15), применение общепринятой формулы для символов Кристоффеля второго рода, а именно

г -1 . д£ыЛ

1 и —

k1 2'

- + -

дx1 dxk dxs

(см. [1]) вызовет определённые затруднения (как видно, они просто равны нулю). Именно поэтому мы будем использовать общее выражение (7), согласно которому:

_ дх^ д Хп

1 1к1 — "

dx' dxkdx1

Вычисление символов Кристоффеля

В соответствии с определениями (9) получаем:

dxn д2xn dxi д2xi , dx2 д2x2 _ dx3 д2x3

22 ' — • ' —

Г _ri _г _rr _ —~n - "n _ —-1 " -1 I "2 " "2 +

J- 122 — J- 22 — í rfifi — Í flfl — _ . , — _ . , T _ . _ T

Эх1 (дх 2 )2 Эх1 (дх 2 )2 Эх1 (Эх 2 )2 Эх1 (дх2 )2

Подставляя сюда преобразования (10), а в знаменатель подставляя просто дифференциалы (9), находим в результате, что:

г — гг — Эх Э2х ду Э2у дг Э2г

1 гее — 1 ее — ~ Т + 1 Т + "

дг (где)2 дг (где)2 дг (где)2

2

дx д2x ду д2 у дг д2z

/

дг эе2 Эг эе2 Эг эе2

= — (-г sin2 е cos2 ф- г sin2 е sin2 ф- г cos2 е) = -—. (16)

г 2 г

С помощью этого нехитрого приёма можно легко найти и остальные компоненты символов Кристоффеля. Заметим здесь, что все они в результате применения преобразований (9) для дифференциалов и (10) для координат будут автоматически иметь правильную размерность. В итоге мы приходим к следующей таблице отличных от нуля правильных символов Кристоффеля, которые, как и

должно быть, автоматически все имеют размерность 1, где L - размерность длины (см. табл. 1).

Таблица 1. Символы Кристоффеля

Ггве — гее —-- r Гree — гее —-- r г — ге — ctgе А ефф — А фф — r

Г —Г — ге — ге — 1 1 еге — 1 еег — 1 re _ 1 er _ r г — г — гф — гф — 1 1 фгФ 1 ФФГ 1 ФГ ^ ГФ r

г — Г — гф — гф — ctg е 1 феф —1 ффе —1 фе _ 1 еф _ r

(17)

Тензор деформации

В качестве ещё одного примера применения описанного приёма вычислим компоненты тензора деформаций:

1

Uik — — 2

du, duk

'- + - k

dxk dx'

(18)

где вектор деформаций в декартовой системе координат есть и = (и1, и2, из).

При переходе к любой криволинейной системе координат формула (18) уже не будет представлять собой тензор, а потому следует вспомнить, что тензором в криволинейной системе координат является ковариантная производная от вектора [1]. Это означает, что обобщение формулы (18) на кривое пространство в инвариантном виде следует записать как следующее симметричное выражение:

u'k=2 ((()>k+(gksus),' )>

(19)

где запятая перед индексом традиционно означает ковариантную производную, а метрический тензор по своим свойствам позволяет проводить поднимание и опускание соответствующих индексов. Напомним, что контравариантный метрический тензор ¿к является обратным к ковариантному gik и подчиняется в случае произвольной криволинейной СК соотношению [1; 4]:

gsgsк =ьк, (20)

где 5к - единичная матрица, или просто символ Кронекера в смешанных инвариантных компонентах. В связи с равенством (20) подчеркнём ещё раз, что когда речь идёт об ОСК, его можно писать, не различая ковариантных и контравари-антных компонент, то есть в виде:

gisgsk = gisgsk = gísgsk =5к = 5к = 5к.

Для осуществления ковариантного дифференцирования в (19) следует вспомнить [1], что ковариантная производная от метрического тензора равна нулю, то есть gik,s = 0 (теорема Риччи), поэтому из (19) сразу же следует, что:

Uik = 2 (gisU% + gbUSi),

(21)

а потому, с помощью правила вычисления ковариантнои производном согласно [1], имеем:

дик

- + FfSuS

,i dxi

Для ковариантного тензора деформаций тогда получаем:

Uik = -

1

Г du dxk -rkUs

Л + ^ duk

dxi

-rkus

^ dui + duk ydxk dxi j

-YSkus.

(22)

(23)

Из определения (23) видно, что тензор деформаций, во-первых, является симметричным по индексам, то есть ш = ш, а во-вторых, величиной безразмерной, как и должно быть. С помощью (23) для всех шести отличных от нуля его компонент имеем:

_ dui _ дщ г1 г2 г3 _ dur г г г

Ыц _——- +1 iilul _——- — I nui — I ii u2 — г 11u3 --г rrrur — г 9rru9 — г фггщф .

dx1 dxi dr

Согласно же таблице 1 видим, что все символы Кристоффеля здесь равны нулю. Поэтому

dur

dr

(24)

Далее:

u22 = uee = -^—2 Г 22u = — Г reeur — Teeeu — T^eeu^ Согласно таблице 1:

du Г j = 1 due

--Г 22 uj —--

dx2 r de

1 due Г 1 due ur

uee = reerur = .

r de r de r

Следующий диагональный элемент:

du<p 1_j 1 3u(

(25)

dx3

r sin e d(

Благодаря таблице 1, получаем отсюда:

1 du( ur ctg e

u(( =---+---+--ue.

r sin e d( r r

(26)

Теперь найдём недиагональные элементы тензора деформаций. Согласно (23) имеем:

= 1

u12 = ure = _ 2

du1 du2

—- + —-

vdx2 dx1

Г 'r^uj =1

1 dur + due r de dr

-Г rreur — Teeru — r^err

Из таблицы 1 находим, следовательно,

_ 1

ure _ — 2

1 dur + due r de dr

ue_ r

Далее

U23 _ Ue9

и, благодаря таблице 1,

1 '3u2 du3 Л — Г e 1

— + —3 U _ —

2 vdX3 dx2 у ф ' 2

1 due + 1 Эиф

r sin e Эф r de

(27)

"ГeфeUe — Гфeф иф — Г ^eU

Щф _ ■

1 due + 1 Эиф

r sin e Эф r de

щ ctg e

(28)

Наконец,

u13 _ _ ~

1 du3 Л Г rфU/ 1

— + —1 _ —

2 .dX3 Эх1 у 2

1 dur Эuф

r sin e Эф dr

"Г ггф ur re^ ue ^ффг^^ф •

Подставляя сюда отличные от нуля символы Кристоффеля, имеем в итоге:

, С -Ч -Ч \

1 dur + Эuф

r sin e Эф dr

Uф r

(29)

Объединяя, таким образом, формулы (24) - (29) в таблицу, получаем (см. табл. 2):

Таблица 2. Тензор деформаций

1 f 1 dur due Л ue ure _ uer _— r—- + —-- 2 ^ r de dr у r 1 f 1 dur дщ Л uф uгф _ UФr _ . A + -л 2 ^ r sin e дф dr у r

1 f 1 due +1 Эuф Л u<pctge ueф _ u<pe _ Л + Л ■ 2 ^ r sin e дф r de у r

dur urr — "I" dr 1 due ur uee _ ::::- + r de r 1 du<p ur ctge UФФ _ л ' ^ ' ' ' ue r • sin e дф r r

Тензор напряжений

Остановимся ещё на одном физическом примере из теории упругости и вычислим компоненты тензора напряжений = в сферической системе координат. По определению, приведённому, например, в [2], имеем для него:

с 1 \

аik _ 2ц

uik — 5,kU + K biu, 3 )

ViV

где ц - модуль сдвига, а К - коэффициент всестороннего сжатия. Все остальные обозначения известны. Замечательным в этоИ формуле является то, что согласно (23), мы сразу же можем приступить к вычислению всех шести отличных от нуля

Е

его компонент. Если ввести здесь более привычные обозначения ц = —;-г и

K =

E

3 (1 - 2а) легко получаем:

2 (1 + а)

, где E - модуль Юнга, а а - коэффициент Пуассона, то из (30)

а,, =

а22 =

(1 + а)(1 -2а) -аК + а(22 + Щ3 Я, (1 + а)1-2а) ß1 -а)22 + а(и11 + "33 Я,

а 33 = -

E

(1 + а)(1 -2а) [(1 -а)"33 +а(11 + U22)] • В сферических обозначениях с учётом таблицы 2 находим:

а rr =

аее

(1 + а)(1 -2а)

E

/ чЭмг (1 +а

1 дие 1 диф 2ur ctg е

--+---- +-+ ие

r эе r sin е Эф r r

(1 + а)(1 -2а)

E

ur / \ 1 дие —+(1 -а)——+а r v 'r эе

диг 1 диф ctg е

-+---- + . ие

dr r sin е Эф r

(1 + а)(1 -2а)

и-+(1 -а)

1 диф ctg е

Ч---ие

r sin е дф

+ а

ди + 1 дие dr r де

(31)

(32)

(33)

Аналогично для недиагональных элементов тензора напряжении получим: с 12 = а21 = 2цм12, а23 = а32 = 2цм2з, ав = а31 = 2цмв.

В сферических обозначениях тогда с учётом таблицы 2 будет:

Е

а ^ = аеr

аеф = афе = ■

2(1 + а)

V

а гф афr

2(1 + а)

E

f 1 диг + дие Л vr де дr у 1 дие + 1 диф

ие_ r

r sin е дф r де

иф ctg е

2(1 + а)

1 диг + диф

r sin е дф дr

иф r

Собирая (31) - (34) в общую таблицу, имеем (см. табл. 3):

Таблица 3. Тензор напряжений

а л = аеr ="

2(1 + а)

V

г 1 дur + ди, Л vr де дr у

r

аеф = афе =

2(1 + а)

E

1 дие + 1 диф

2(1 + а)

r sin е дф r де

1 дur + диф

иф ctgе

r sin е дф дr

r

а„ =

(1 + а)(1 -2а)

/ ч дur (1

Г1 дие и. 1 диф ctg е

+ 2— +-- ~ ф + ^ ие

r де r r sin е дф

//

/

а ее =

(1 + а)(1 - 2а)

иг 1 - а дие

—+---—+ а

r r де

диг 1 диф ctg е

-+--+ ие

дr r sin е дф r

\\

J J

На этом примере мы пока что остановимся и поговорим теперь об операторе Лапласа А, имеющем чрезвычайно важное значение для всего аппарата теорети-ческои физики.

Оператор Лапласа

Для его вычисления в любых криволинейных координатах можно воспользоваться компактной и очень красивой формулой, приведённой в [1], а именно:

Ä=_L ±(rggkA?

^g дх' ^ дхк

(35а)

где g - определитель ковариантного метрического тензора.

В классической же монографии [2] оператор Лапласа приводится в другом виде, а именно,

Л = ——f Г—

„Jg дх' ^ дх'

(35б)

Попробуем теперь разобраться с этими двумя формулами (35а) и (35б) более подробно. Если исходить из выражения (35а), то при его применении для любой ортогональной системы координат из него получается стандартная формула, которую все записывают через коэффициенты Ламе Н, где индекс I = 1, 2, 3, то есть как:

Л =

1

Н1Н2Н3 дх1

НН.

Н

д 1

-+-

( 1. 1. \

дх1 Н1Н2Н3 дх2

НН

д 1

- + -

2

дх2 Н1Н2Н3 дх3

3

, (35в)

дх3

Что касается выражения (35б), то оно даёт правильный ответ лишь в двух случаях, а именно, только для сферических и цилиндрических координат. Покажем

Действительно, в случае сферических координат имеем для элемента метрики:

dl2 = dr2 + r W + r2 sin2 е^ф2.

Поэтому определитель метрического тензора g = r4sin2e, и вводя по уже знакомому правилу частные дифференциалы

dxr = dr, dxe = rde, dxф = rsinedф,

перепишем (35б) в виде:

л 1 dg Э Э2

А =-----+--. (35г)

2g Эх' Эх' (Эх'' )2

После подстановки сюда частных дифференциалов и определителя находим:

1 дг4яп2 9 Э Э2

А =---+-- =

2г4 sin2 9 Эх' Эх' (дх' )2

1 дг^т2 9 Э 1 дг4яп2 9 Э Э2 Э2 Э2

-+---+-+-+ -

2r4 sin2 е dr Эг 2r4 sin2 е r2эе эе Эг2 r2эе2 r2 sin2 еЭф2

2 Э Э2 ctgе Э Э2 Э2 i Э , Э

=--+-+ —--+-+-=--r2 — +

r Эг Эг2 r2 Эе r2Эе2 r2 sin2 еЭф2 r2 Эг Эг

1 Э _ Э 1 Э2 +--sin е—+-

r2sinеэе Эе r2sin2еЭф2

То есть, хорошо всем известное выражение:

л 1 Э 2 Э 1 Э2 1 Э2

А =--r2 — +--+--. (36)

r2 dr dr r2 эе2 r2 sin2 е Эф2

Аналогично можно показать, что в цилиндрической системе координат

л 1 д Э 1 Э2 Э2

А =--r— +--+-. (37)

r Эг Эг r2 Эф2 Эх2

А вот теперь давайте рассмотрим другой, но тоже относительно простой пример, когда имеется лишь ортогональное двухмерное многообразие, характеризуемое преобразованиями вида:

х =

Р -п2

7 = (38)

Как легко видеть, эти преобразования действительно являются ортогональными, а его метрика даётся выражением:

dl2 = dx2 + dy2 = ((2 + n2 )d(2 + ((2 + n2 )d n2.

(39)

Из (38) и (39) элементарно следует, что размерность новых «координат» п есть -у/Г, где Ь - длина.

Согласно (39) определитель ковариантного двухмерного метрического тензора, который даётся ортогональной матрицей

(2 +n2

(2 + n2

будет равен:

g = ((2+n2 )2.

И значит, якобиан перехода есть:

I = Л =(2 + n2.

(40)

(41)

(42)

Поэтому, в соответствии с (35б) и с помощью простого алгоритма получения (36), казалось бы, что оператор Лапласа с учётом нашего правила замены частных дифференциалов должен иметь вид:

л 1 dg Э Э2

А =-----+ -

2g Эх' Эх' (дх' )2

1

1

э((2+n2)2 Э

+

1

1

д((2 + П2)2 Э

2 ((2 +Л2 )2 ((2 +n2) Э( Э( 2 ((2 +Л2 )2 ((2 +n2) Эп Эп

1 Э2 1 Э2

-+-

+

+

((2 +п2 )Э(2 ((2 + п2 )Эп2

2(

+

2п

Э 1

-+-

Э2 1

-+-

((2 +Л2 )2 Э( ((2 + Л2 )2 Эп ((2 +п2 )Э(2 ((2 + п2 )Эп2

= Г^Т [д(((2 + п2 ))г+ЭП((2 + п2 )) ((2+п2)2 Ld(v Э( э^ Эп.

То есть

А =

((2+п2 )2

|((2+п2 ))(+Эп((2+п2 )

(43)

Однако надо сказать, что выражение (43) является неверным. Чтобы в этом убедиться, найдём оператор А при помощи прямого дифференцирования, или, как говорится, вычислением прямо «в лоб». Эта процедура совсем несложная, но требует внимания. Действительно, в двухмерном случае, как легко показать, будет иметь место следующая общая формула для оператора Лапласа А2:

1

ViV

А 2 =

(д^ 2 + ГдО 2 д2 -+ 2 + Г дп J

\дх у 1ду У дС2 \дх у 1ду у

d2 A с d А д

-+ А 2 с— + А 2 п— +

дп2 дС 2 дп

+ 2

дСдп+дСдп

дх дх ду ду

дСдп'

(44)

л д2 Э2

где Д2 =--I--, а преобразования от декартовых координат х, у к новым

Эх2 Эу2

координатам п имеют совершенно произвольный вид:

X = х(п)> у = у(п)> (45)

но при котором имеет место и изоморфное (обратное) преобразование вида

£ = £(х,у), П = п(х,у). (46)

В трёхмерном (и вообще в любом и-мерном) случае формула (44) легко обобщается на любое изоморфное преобразование:

х = х(,п,ф), у = у(,П,ф)> ^ = г(,п,ф), £ = £(х,у,г), п = п(х,у,г), ф = ф(х,у,г), (47)

которое позволяет, согласно алгоритму получения (44), представить оператор Лапласа в виде:

А з =

+

^2 ГдС)2 ГдС

дх

2 /-чй\2

+

чдУу

+

дг

+

дх

2 \2 \2

+

дп

кдУу

+

дп

дг

дп2

( дфЛ| 2 + дф^1 2 + Гдф J

V дх у 1ду У V дг J

дС

д2 д д д --+ А 3с--+ А 3 п--+ А 3ф--+

Л 1 J J J I Л J I "N

дф2 дС дп дф

+

+2

дСдп+дСдп+дСдп

дх дх ду ду дг дг

дСдп

-+ 2

дС дф + дС дф + дС дф ] д2

дх дх ду ду дг дг J д^дф

+2

дп дф + дп дф + дп дф

дх дх ду ду дг дг

дфдп

(48)

д2 д2 д2

Здесь Д 3 =--I---I---трёхмерный оператор Лапласа. Заметим, что для

дх2 ду2 дг2

любых ортогональных преобразований слагаемые, пропорциональные смешанным производным по аргументам п, ф и п, ф, в (44) и в (48) исчезнут и, соответственно, получатся два совсем простых выражения

А 2 =

ЗС

Чдх/

+

ду

дС2

+

/-.Л2

дп

Чдх/

+

дп

ду

д2 . д . д . . +А2СдС+А2■ (49)

V2V

А з =

+

dqy Гэп2 гэ^

дх

+

\дУ;

+

dz

dq2

+

дх

2 (-Л Л2 /Л Л2

+

dn

кдУу

+

dn

dz

dn2

+

Г дф^ 2 + дф^1 2 +

V дх j 1дУ У V dz J

д2 д д д

--+ А 3с--+ А 3 n--+ А 3ф—.

дф2 dq dn дф

(50)

Чтобы вычислить теперь правильный лапласиан, применим формулу (49) к нашим преобразованиям (38), для которых обратное преобразование будет иметь вид:

^ = х2 + У2 + У,

П = х 2 + У2 ^ • (51)

dq i

В результате найдем, что — =

dq

дх 2^х2 + y 2 ' dy 2^1 х2 + y2

и поэтому

22

di Чдх/

+

di чдУу

х2+q4

q2 n2+q4

4 (х2+y2 )q2~4q2 ri2+n

2

4

q2+n2

22

Аналогично

dn

Чдх/

+

dn

чдУ/

i

-. Можно также легко проверить, что обе

+п2

функции (51) являются гармоническими, то есть они обе удовлетворяют уравнениям:

А 2 q = A 2 п = 0.

Таким образом, с учётом всех этих формул мы строго доказали, что для ортогональных преобразований (38) оператор Лапласа должен иметь следующий правильный вид:

X 1 Г d2 d2

А2 =--+-

2 q2+n2 Vdq2 dn2

(52)

который, заметим, получается и из общего также правильного выражения (35а)!

Таким образом, мы убедились, что формула (35б) действительно «работает» только в случае сферических и цилиндрических координат.

Рассмотрим теперь более сложный трёхмерный случай, и введём в рассмотрение весьма удобные при решении ряда задач (см., к примеру, [6, с. 159] параболические координаты по формулам:

= Vqncosф, y = 7qn sinф, z = -—n.

Обратное преобразование от (53) будет иметь вид:

q = ((2 + y2 +z2 + z), r| = ((x2 + y2 + z2 -z), &ф = У.

(54)

Как видно из (54), новые переменные q, п могут быть одновременно либо положительными, либо отрицательными. В решениях (54) они выбраны положительными. Элемент метрики согласно (54) тогда будет иметь вид:

2

dl2 = dx2 + dy2 + dz2 =

(n dq + qd n) cos ф - д/^п sin фdф

2V qn

+

+

1 I--1 2

—y=(r|dq + qdn)sin ф + vqn cos фdф + -(dq-d|) = 2\qr J 4

(rdq+qdr)2+qW+1(q-dr) = 4+1*+5+1*,'. (55)

4qn 4 4q 4 n

А, значит, частные дифференциалы есть:

dxq =1 /q +Гdq, dxr =1 /q + rdr, dx9 = 2 у q 2 у r

Как видно из (55), определитель метрического тензора равен

(q+n)2

4

а, потому, якобиан перехода равен

i=4g =

q+n

(56)

(57)

(58)

Эти формулы понадобятся нам позднее, когда будут вычисляться символы Кристоффеля. Согласно общей формуле (50) находим необходимые нам производные:

эq = Эп = х эq = Эп = у эq = г+1 дп = г 1

дх дх т' ду ду т' дг г дг г

где

r = ^J х2 + У2 + z2

Поэтому

^d^2 r^&V

vdxy

+

dq

dy

+

д!

vdzy

х y2 = — +—+

ri+г4 2 r

4q

q+r.

Аналогично

гэпл

VdxZ

2 Л2 i~\ \2

+

dn

чдУу

+

ЭП

V dz У

4n

q+r.

Далее Э!=1 - xL _dÜ=1 - у! dl=I - zi

дх2 r r3 dy2 r r3 dz2 r r3

. ^ 3 1 2 4

А потому А 3С =---= — = --■

r r r С+п

4

Аналогично получим А 3 п =

Подставляя все найденные формулы в общую формулу (50), будем иметь в результате:

т 4£ д2 4п д2 4 д 4 д 1 д2

Д3 = _...+-—+ --— + --—+ : -

С + п дС2 С + пдп2 С + п дС С + пдп Сп дф2

4 д _ д 4 д д 1 д2

"Стг + 7-TT- (59)

^ + д£, ^ + п дп дп ^п дф2

Как и следовало ожидать, этот оператор Лапласа совпадает с приведённым в [5, с. 159], а потому в нашем распоряжении имеются проверенные и правильные результаты (52) и (59), которые будем считать «эталоном» для дальнейших доказательств.

Как видим из сравнения «эталонного» решения (52) с решением (43), полученному из формулы (35б), решение (43) является неверным, хотя, как мы обращали уже внимание, в сферических и цилиндрических координатах формула (35б) приводит к правильному ответу! Подобное совпадение, как известно, называется исключением из правил.

Вместо формулы (35б) приведём сейчас простую формулу, которая имеет правильный вид и приводит к корректным результатам в любой ортогональной системе координат.

Для начала надо вспомнить, что вектор градиента, определяемый как

и = Уу,

является ковариантным вектором.

Действительно, в компонентах имеем для него:

и = ^. (60)

Эх'

Это означает, что ковариантная производная для него должна быть записана в виде [1]:

ди'

иик - и Г к. (61)

дхк

Поэтому свёртка по индексам г, к даёт:

ди

и', ' =-и - ик Г к. (62)

дх

Подставив сюда (60), находим искомое выражение для правильного оператора Лапласа в любых ортогональных координатах:

Л = _П — • (63)

(Эх' )2 дхк )

В качестве примеров, иллюстрирующих корректность формулы (63), снова разберём всё те же рассмотренные выше криволинейные системы координат.

Сферические координаты

Для сферических координат с преобразованиями (10) используем уже готовые результаты вычислений символа Кристоффеля (17), а именно:

Г _Г __ 1 Г _ГГ _-1 Г _Ге _ СЪ6

1 гбб 1 66 у 1 гее ее > ©ее ее •

r r r

Тогда из (63) имеем:

д= d2 _rt A = Z_ +1+ 1 iL _гГ

(дх' )2 " dxk dr2 r2 эе2 r2 sin2 еЭф2 " dr

_Г0_д__Ге. э

J- и _ . А а

rde r sin еде

Ü -1Ü 1 э2 _(гг Гг ))_(г0

dr2 + r2Э02 + r2sin2еэе2 (l00+lee)dr (ee)rd0 =

д2 1 d2 1 d2 2 d ctg0 э - -+--+--+--+- 6 -

dr2 r2 эе2 r2 sin2 0 Эф2 r dr r2 Э0

1 Э , Э 1 Э^э 1 Э2

=--r2—+--Sin 0— +--. (64)

r2 dr dr r2 sin 0 Э0 Э0 r2 sin2 0 Эф2

Как видим, получилось правильное выражение для оператора Лапласа в сферических координатах обычного дивергентного вида.

Двухмерные ортогональные координаты

Для преобразований (38) с метрикой (39) частные дифференциалы есть:

dx1 = dxс =-^2 +n2 d^, dx2 = dxn = д/С2 + n2dv\. (65)

Поэтому нужные нам символы rk будут иметь вид:

г = 1 dx„ Э2x„

1 сс = -

э^ э^2

1

(2 +п2) v

з

(2+п2 )2

Г

П = 1 эх„ э2х„ =_

(( + п2 ) (2 +п2)) эп э^2 (2 +П2)

= 1 дхи д2xn _ r

1 ЕЕ =

S ((2 +|2)) д| dq2 ((2 +|2 )) rq = 1 дхи д2хи = q

г rr = "

™ 3 dq dr2 3'

ч = г( =_П

((2 +|2 )2 dq дП ((2 +|2 )

Г(П = = 3 , ГГг = ГГП = 3 . (66)

(q2+r2 ) (q2+r2 )

А потому, согласно (63) и (66) имеем:

А-dL1 д

(дх' )2 " dxk q2+r2 dq2 q2+r2 dr2 ( +гГГг - (+ГГг ) эП =

д2 1 д2 ( )

q2+п2 дq2 q2+п2 дп2

Сравнивая (67) с (52), убеждаемся в их полной эквивалентности.

Параболические координаты

Для преобразований (54) и метрики (56) частные дифференциалы имеют вид:

йхт = — — + пД—, йхп = — ———Дп, йхф ^л/^п^ф. (68)

2\ q 2\ п

а потому интересующие нас символы Кристоффеля будут равны:

и =г qki

q дх 'Ё+П dq dxkdxl

^"Cos^ d2.лл/Ёп cosф + ^т1 sinф д ТЁП sinф +

q + П dxkdx q + r dxkdxl

+ Ш ^ (i-n), г-.=г.= 2,ГГ *xn 32

lq + n dxkdx Vi + r d| dxkdxl

Л d 2 1=- VI ■ d2 /г— .

-cos ф л ^ ) -y/qr cos ф + ^— sin ф—-—г vir sin ф +

q + П dxkdx q + r dxkdxl

+ Ж((-Г)-ril=r,. - ' ^ ^

iq + r dxkdx " Ф Vir d ф dxkdxl

1 • d2 /Т" 1 d2 гт— .

^sm ф л ^ ; ^(r cos ф+ ,— cos ф—-—г vir sin ф +

dxkdxl Vir dxkdx

1 d2

+2ЛП dxdäx^ ((-r)- <69>

Как отсюда видно, во всех трёх выражениях последнее слагаемое тождественно обращается в нуль, так же как и компоненты символа Кристоффеля Пф, для

любых к, l■ Поэтому для двух верхних символов будем иметь:

2

П« = 4 Сп 3 cosф^ТСcosф + 4 Сп 3 sinф^Гл/^sinф =

(С+п)3 дС (С+п)3 дС = 4 Сп ü Jl =__п_

3 дС2 v^ 3 >

(С+п)2 дС (С+п)3л/С

П =—cosф—Л/Сп cosф+--^ sinф-^л/Сп sinф =

С^л/С+Л дф^ СпТС^ дф^' ^

1 с д2 1=-

=—, , П =-г- cos ф-л/сп cos ф +

да) пп (С + п)) дп^ 4^л/п . д2 /=- . 4^Л/Сп д2 Г л/С

+ 3 sinфт-^ч/Сп sinф = 1Л/Ъ3 —л/п =--^г,

(С+п)3 дп (С+п)2дп (С+п)2

гпп = 4 пл^ 3 coscosф + 4 пл^ 3 sinsinф =

(С+п)3 дп (С+п)3 дп

= = . ^

(С+п)2 дп2 (С+п)3 Тп

Гп д2 /гп , УС . д2 /гп .

Гфф cos cos ф+сп/^sin sin ф=

Г^ =--■ (70)

Уп(С+пГ (С+п)3

Подставляя (70) в общее выражение (63) с учётом частных дифференциалов (68), найдём:

д2 Гк д = 4£, д2 + 4п д2 + 1 д2

А =-т-П — = ^ ..+.,'+:

(дх )2 " дхк с+пдс2 С+пдп2 Спдф2

^гп (П+Ппп+Пфф ))дс- (Пс+Ппп+np ^'^п ==

4С д2 4 п д2 1 д2

^ -+-1--+ -

С + п дС2 С + пдп2 Сп дф2

- 2.

ii+n

n

я

n

vi+n

Э2

(i+n)M V^+л) (i+n)^

л/i i 1

+

(i+n)2

4 n Э2

(i+n)Vn Vn(i+n)

_э_

_э_ dn

i + ndi2 i + ndn

4

+

1 Э2

+

d ü d

in дФ

4 Э Э 1

n—+

+

i + n di i + ndn Э2

i + ndi di i + ndi dn in Эф2

(71)

Как видим, полученный ответ, так же, как и предыдущие, для оператора Лапласа полностью совпадает с приведённым выше «эталонным» выражением (59). Для цилиндрических координат все получается также.

Таким образом, абсолютно понятно, что общая формула (63) позволяет нам находить правильные выражения для оператора Лапласа в любой ортогональной криволинейной системе координат.

Как мы это доказали на конкретных примерах, продемонстрированный выше способ показывает полную корректность предложенного подхода. Действительно, с его помощью можно находить правильные по размерности любые ковариантные производные и геометрические характеристики в произвольной криволинейной системе координат (символы Кристоффеля, тензор Римана, тензор Риччи, скорость, ускорение, направляющие косинусы и др.).

Подчеркнём, что вычисления по формуле Г'к1 = 1 gis

dgsk + dgsi dgu

\ dxl dxk dxs j

\

, приво-

димой в каждом учебнике по тензорному исчислению, сразу же заводят в тупик, поскольку все они тождественно обращаются в нуль благодаря отмеченному выше факту, что метрический тензор в ортогональной системе координат представляет собой просто символ Кронекера, поскольку метрика всегда может быть представлена в виде:

й\2 = (Эх1 )2 + (Эх2 )2 + (Эх3 )2 + (Эх4 )2 +... (72)

Заметим, что во всех вычислениях, которые были приведены выше, нигде не использовалось такое понятие, как коэффициенты Ламе, о которых также подробно написано в учебниках по тензорному исчислению. По большому счету, эти коэффициенты, вообще говоря, и не нужны вовсе, поскольку приводят только к путанице в размерностях.

В качестве ещё одного показательно примера вычислим компоненты тензора Римана для двухмерной ортогональной системы координат, выбрав в качестве

ViV

контравариантных преобразования (38) с метрикой (39) и с частными дифференциалами (65):

dx1 = dxc =д/С2 +п2 dC, dx2 = dxп = л/Е2 + п2

Согласно общему определению для тензора Римана [1; 4], имеем для него

дп дп-

ni _ d1 km d1 kl , Ti Tn Т-! Т^и (ТХ\

Rklm — дх1 Tx^ и km nmi kl ■ (73)

Поскольку каждый индекс пробегает всего два значения, то всего компонент тензора Римана будет 24 = 16. По индексам l, m он антисимметричен, а потому для двух координат Е, п будет = - Rkпс ■ Эти компоненты будут отличны от

нуля, а все остальные, а именно р|е, ^пп, R-сс, R-пп, Р^Е, RE—, ^СС, Р-пп, будут

равны нулю.

В самом деле, для них имеем: РЕ — FE Fи FE Fи — П рп — Т^п Fи Т^п Fи — РЕ — FE Fи FE Fи — п

РЕЕЕ _ 1 rf1 ЕЕ 1 иЕ* ЕЕ _ и> Л— _ 1 ип! пп i ип1 пп — «> Л— — i ип! пп i щ! пп _ и>

CEE — иЕ ЕЕ иЕ ЕЕ — — 1 ип1 — 1 ип1 — — — 1 ип1 — 1 ип1 —

?п _ п рЕ — рп — А РЕ _ рп _ Fc Fи FE Fи

НЕЕ ~ 0, РпЕЕ _ РЕпп _ 0, РЕпп _ РпЕЕ _ и^ Еп 1 ип1 Еп

Для отличных же от нуля, то есть для

РЕ = RЕ РЕ = РЕ Р п = R п Р п = R п

РЕЕп _ РЕпЕ, РпЕп _ РппЕ, РЕЕп _ РЕпЕ, РпЕп _ РппЕ

получаем:

Р Е = РЕ = дПЕп дПсЕ | ПЕ пп ПЕ пп РЕЕп = —РЕпЕ = dxЕ - dxп пЕП Еп -П -1 ЕЕ,

дппп dnl

dxЕ dxп

рЕ _ рЕ _ пп U^, rtrE Г Г^Г гп Г^п РпЕп _ _ e л п ЕЕ пп Еп пЕ пЕ пп 1 пп1 пЕ,

дппп дПпЕ Е Е

рп _ рп _ Еп _ЕЕ ^ F^ FE Fп FE J_Fп Fп F^ Fп

РЕЕп = ЕпЕ = dxЕ - dxп +П ЕЕП Еп -1 Еп1 ЕЕ +1 пЕ1 Еп -1 пп1 ЕЕ,

дП дП Рп = Рп = ш пп пЕ + Пп ПЕ Пп ПЕ

РпЕп = РппЕ = dx Е дх п+1ЕЕ1- 1 Еп1 пЕ-Отсюда, согласно проведённым выше вычислениям (66) имеем:

РЕ = Р Е = дПЕп дПсЕ + ПЕ Пп ПЕ Пп _

РЕЕп = РЕпЕ = dx Е дх п +1 пЕ1 Еп 1 пп1 ЕЕ =

= 1 д п 1 д _Е_+

л/Е7^^7 дЕ (2 +п2 )) л/Е7^^7 дп (2 +п2 )

+_п___Е___п___Е_= 0

Т 3 3 3 3 й'

(Е2+п2 ) (Е2+п2 ) (Е2+п2 ) (Е2+п2 )

дП дП^ е е е е

РЕ = РЕ =д1 пп пЕ + Пс ПЕ ПЕ ПЕ +ПЕ пп ПЕ Пп =

РпЕп _ РппЕ _ dxЕ дхп ЕЕ — Еп пЕ пЕ пп 1 пп1 пЕ _

n

Vi2 +n2 di

(i2+n2)

2

Vi2+n2 dn

n

(i2+n2)

+

n

(i2+n2)

2

+

/

(i2+n2):

2

2

V

(i2+n2)

v(i2+n2)) 1

(i2+n2 )2

pn _ pn _ in _OLm Fn Fi T^n F? I Fn T^n F^ Fn —

%n = -Rini = dxi _ gxn +r ii1 in -1 in1 ii +1 ni1 in -i nn1 ii =

Vi2 +n2 di

(i2+n2)

2

+

л

Vi2+n2 dn

(i2+n2)

+

(i2+n2)

Л2 / + -

/

(i2+n2)

2

л

2

л

v

drn drn

Rn = Rn = 01 nn n? . rn 1 rn ri =

Rnin = Rnni = dx i dx n+1ii1nn 1 in1 ni =

(i2+n2)

(i2+n2) 1

(i2+n2 )2

1

n

1

+

Vi2 +n2 di n

(i2+n2)

Vi2 +n2 dn n

+

(i2+n2 )2 = 0

(i2 + n2)) (i2 + n2 ) (i2 + n2 ) (i2 + n2 )

Итак, мы нашли, что отличны от нуля лишь четыре компоненты тензора Римана, а именно:

nin nni

pn _ pn _

Riin = _Rini =

1

(i2+n2) 1

(i2+n2 )

(74)

Зная отличные от нуля компоненты, легко получить теперь скалярную кривизну в рассматриваемом двухмерном случае, как свёртку тензора Римана:

2

R = Rkki = Riii + ^Пп< = + ^Пп5 + Riin + Rnnn =

(i2+n2 )2

(75)

Тензор Риччи, согласно определению, есть тензор второго ранга, определяемый как Я/к = gísR5ppk, а потому он будет представлять собой матрицу 2 х 2, то

есть:

1

ViV

Rik —

(2+п2)

0

((+п2)

(76)

Аналогично можно вычислить кривизну и в любой другой системе координат, однако, это будут уже значительно более громоздкие вычисления. Заметим, что описанный выше подход был применён и в статьях [7-9].

Не ортогональная криволинейная система координат

В качестве заключительной части этого сообщения рассмотрим теперь не ортогональную криволинейную СК, и продемонстрируем «работу» нашего метода на примере преобразований вида:

х = иу,

u2+v2 2

(77)

После абсолютно понятных простых вычислений можно прийти к следующему выражению для элемента метрики:

й\2 =(и2 + V2)й и2+4иу й и й у+(и2+V2)й V2. (78)

В соответствии с намеченным выше алгоритмом вычислений полагаем, что

йх1 = V и2+V2 й и,

йх2 = V и2+V2 й V. (79)

Поэтому из (78) следует, что

4^

dl2 —(dx1)

+

u2 + v

-dxldx2 + (dx2) .

(80)

Из (80) видно, что метрический тензор, как и должно быть, автоматически оказывается безразмерным, и имеет вид:

1

2uv

V u2+v2

2uv

u2+v2

1

(81)

Его безразмерный определитель есть:

/ 2 2 V u2 - v2

u2+v2

где u ^ v.

Поэтому контравариантный метрический тензор gik — g-kl будет таким:

f 2, 2 л2

u2 + v2

u - v

1

2uv

V u2 + v2

2uv

1

(83)

Элементарное вычисление символов Кристоффеля первого рода в соответствии с изложенным выше алгоритмом с использованием формулы (8) приводит нас к следующим выражениям:

п = JL п =п = = п = JL

^ vvv . , ^ vuv ^ vvu vuu . ,

dx2 dx1dx2 q3

u

П =— Г =Г =

uvv uuv uvu

дxn d2xn v

dx1 x1dx2 q3

, П uuu ,

(84)

где q

= Vu2 + v2 ■

Следовательно, контравариантные компоненты символа Кристоффеля второго рода определяются, как:

Г ^ = я Г _ + ^ ™ Г = ( ™ V + £ ™ и )) =

ч

1

i 2 . l\2 u2 + v2

(u2+v2)

2

2u2v

v--

u2+v2y

(u2 - v2 ))u2+v2

Пuv = guvПvvv + guuПuvv = (guv v + guu u)) =

fix 2 V u2+v2

u - v

(u2+v2)

2uv2 Л

3

2 V

u -

q u

(u2 - v2 ))u2 + v2

nuu = gvvПvuu + gvuПuuu = (gvv v + gvu u)) =

q3

i 2 , 2 '\2 ' u2 + v2

(u2+v2)

2u2v u2+v2

(u2 - v2))

П uu = guv П vuu + guu П uuu = (guv v + guu u)) =

u2+v2 u

q3 (u2 - v2 ))u2+v2'

Пv

v

= gvv П vvu + g vu П uvu = (g vv u + gvuv )) =

q3

u2+v2

(u2+v2)

2

2v2u u--

v u2+v2y

u

(u2 - v2 ))u2 + v2

П uu = guv П vvu + guu П uvu = (guv u+ guuv )) =

1 ( u2+v2 > 2 ( 2 2vu2

q3 v u2 - v2 ) V u2+v2 ,

(u2 - v2 ))u2 + v2

(85)

В соответствии с формулой (63), тривиальное обобщение которой на произвольную криволинейную СК имеет вид:

д — g'k

( д2 -гр АЛ

dxidxk ' dxp

(86)

позволяет нам привести следующую цепочку вычислений:

f \

-гр

luu dxP

(dxi )2

Д 2 — g'k + 2 g uv

__г p

ydx'dxk ' дxp

2

—__г uv-—

dx1dx2 дxp

+

f \

1 vv dxP

(dx2 )

(87)

Подставляя сюда найденные выражения для символов Кристоффеля из (85) и недиагональные компоненты метрического тензора из (83), получаем:

Д 2 — ■

u2+v2 ( д2 д2 Л

(u2 - v2 )2

д u2" +д v2

4uv

2 - v2 )2 д u д v

(u2 - v2)

D,

где

d — (g uurp + 2 guv rp + gvv rvv)— —

v ' дxp

— (guuruu + 2guv ruv + gvv rvv) + (guu Пи + 2guv ruv + gvv rvv ) — -

^x1 дx2 q

д 1 ( u2 + v2V

V u - v у

4uv

(u2 - v2 ))u2 + v2 u2 + v2 (u2 - v2 ))u2 + v2 (u2 - v2 ))u2 + v2

д 1 ^ 112 + ~

+—

дu q

u2 + v2

V " v У

X

4uv

(u2-v2))u2 + v2 u2 + v2 (u2-v2))u2 + v2 (u2-v2)) 2u(u2 + 3v2) д 2v(v2 + 3u2) д

_д_

дv '

(u2—v2 )3 дu (u2—v2 )3 д

В итоге получаем:

Л 2 =

u2+v2 ( Э2 Э2 - + -

дu2 дV2

4uv

(u2 _ v2 )2 д u д v

(u2 _ V2 )2 2u(u2+3v2) д + 2v(v2+3u2) д

(u2 _ v2 )3 д u (u2 _ v2 )3 д v

(88)

Чтобы убедиться в корректности формулы (88), воспользуемся теперь эталонным выражением (49), которое в наших переменных можно записать как:

Л 2 =

f л \ д u 2 + (л Л д u 2 д2 -+ f л \ д v 2 + (л \ д v

1дх V 1ду V д u2 1дх V 1ду )

д2 A д . д

--+ Л2 u--+ Л2 v--+

д v2 д u д v

+ 2

д u д v + д u д v

дх дх ду ду

д u д v

Из (77) обратное преобразование имеет вид

u+

v = V2 (х + У)> u_ v = >/2 (у _ х) •

(89)

(90)

Откуда:

= У х+у+4У_; S

л1-х + у _4у_:

v =

(91)

Поэтому:

Л 2 u =

_L _д!

л/2 дх:

(х + у+Уу_х 1

+

_L _д!

л/2 ду: 1

(х + у +л/ у _ х ) =

W2 (х + у )з 4л/2 (у _ х )2 1 1

4л/2(х + у)з 4л/2(у _ х)зз 2^2 (х + у)з 2л/2 (у _ х)2

Аналогично:

Д 2 v —

S дx2

(+yy - x ) + "1= yj (( + y-4у-х ) —

+

-s/2 ду2 1

1 1

-r +-

4V2(x+y)2 (y - x)2 1

+

4-J2 (x + y)2 4-J2 (y - x)2 2V2 (x + y)2 2^2 (y - x)2 Согласно (90):

Д 2 u ——

1 2u(u2+3v2)

(u + v )3 (u - v )3 (u2 - v2 )3

1 1 2v(v2+3u2)

Д2 v —--j +-j —---r^ •

(u+ v) (u- v) (u2 - v2)

(91)

'д uV

Vdxy

'д uV

чдУ/

/

2

+

Vx+y 4y~x) Wx+y y[y-

2

+

1 1

+ -

x + y y - x

(Эу л 2 дx

д u д v + д u д v _ 1

dx dx dy dy 8

1

2 +

1 1 +

(u + v) (u- v)

V

2

(u2 - v2 )2

dv v dy у

(u2 - v2)

2

Vx+y Ь-x)Wx+y V/-

1 1

Г+-

+

1

+ -8

/

1

Vx + y л/у - x Jwx + y

\

1 1

Г+-

1 1

V x + y y - x J

2uv

(u2 - v2 )2

Согласно (89) имеем:

Д 2 —

u2+v2 ( d2 d2 -+-

(u2 - v2 )2

vd u2 d v2y

4uv

2 - v2 )2 d u d v

(u2 - v2)

2u(u2 + 3v2) d + 2v(v2+3u2) d

(u2 - v2 )3

d u

2 - v2 )3 d v

(u2 - v2)

л

Сравнивая (92) и (88), убеждаемся в их полной эквивалентности. Таким образом, наше утверждение, сформулированное несколько выше, может считаться доказанным.

Стоит ещё раз подчеркнуть, что предлагаемый подход вычисления является, на наш взгляд, значительно более рациональным, чем использование коэффициентов Ламе, поскольку автоматически приводит в результате к физически правильным размерностям, что является чрезвычайно важным именно при решении различных физических задач.

В заключение стоит отметить несколько основных моментов, дающих краткую характеристику описанного выше подхода.

1. Предложен простой формализм, позволяющий правильно вычислять любые тензорные физические характеристики, в частности, из гидродинамики и теории упругости, в криволинейном пространстве с заведомо правильной физической размерностью.

2. Доказано, что коэффициенты Ламе, часто используемые в теории упругости и гидродинамике, не имеют никакого значения и приводят только к путанице в размерностях. Продемонстрированный выше подход не связан с подобного рода проблемой.

3. Приведено правильное выражение для оператора Лапласа (63), справедливое в любой ортогональной криволинейной системе координат, и его обобщение (86) для произвольной СК.

4. Рассмотрены физические и геометрические примеры, иллюстрирующие корректность описанного выше подхода.

1. Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике: пер. с англ. / под ред. Г. В. Коренева. М.: Физматлит, 1963. 411 с.

2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория упругости. Т. 7. М.: Наука, 2004. 246 с.

3. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. Т. 1. М.: Наука, 2001. 189 с.

4. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. Т. 2. М.: Наука, 2002. 502 с.

5. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1967. 664 с.

6. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Т. 3. М.: Наука, 2004. 752 с.

7. Гладков С. О. К вопросу о линеаризации основного уравнения ОТО // Инженерная физика. 2017. Т. 19. № 10. С. 19-27.

8. Гладков С. О. К вопросу о взаимодействии полей разной физической природы // Инженерная физика. 2018. Т. 20. № 3. С. 17-31.

9. Gladkov S. O. To the question of a common field theory // Journal of Physics: Conference series. 2018. Vol. 1051: XX International Meeting "Physical Interpretations of Relativity Theory 2017". P. 012029.

Заключение

Статья поступила в редакцию 24.12.2018 г.

ЛИТЕРАТУРА

REFERENCES

1. MacConnel A. J. Applications of Tensor Analysis. New York, Dover Publication, 2011. 352 p.

2. Landau L. D., Lifshits E. M. Theory of Elasticity, Course of Theoretical Physics, Vol. 7. London Elsevier, 2005.

3. Landau L. D., Lifshits E. M. Mechanics. Oxford, Pergamon Press, 2000. 170 p.

4. Landau L. D., Lifshits E. M. The Classical Theory of Fields, Course of Theoretical Physics, Vo. 2. Oxford, Pergamon Press, 1971.

5. Rashevskii P. K. Rimanova geometriya i tenzornyi analiz [Riemannian geometry and tensor analysis]. Moscow, Nauka Publ., 1967. 664 p.

6. Landau L. D., Lifshits E. M. Quantum mechanics, Course of Theoretical Physics, Vo. 3. Oxford, Pergamon Press, 1965.

7. Gladkov S. O. [To the problem of linearization of the basic equation of the general relativity]. In: Inzhenernayafizika [Engineering Physics], 2017, vol. 19, no. 10, pp.19-27.

8. Gladkov S. O. [To the problem of the interaction between the fields of different physical nature]. In: Inzhenernaya fizika [Engineering Physics], 2018, vol. 20, no. 3, pp. 17-31.

9. Gladkov S. O. To the problem of a common field theory. In: Journal of Physics: Conference series, 2018, vol. 1051: XX International Meeting "Physical Interpretations of Relativity Theory 2017", pp. 012029.

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ

Гладков Сергей Октябринович - доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры математического моделирования № 311 Московского авиационного института (национального исследовательского университета); e-mail: [email protected]

INFORMATION ABOUT THE AUTHOR

Sergey O. Gladkov - Doctor in Physical and Mathematical Sciences, professor, professor at the Department of Mathematical Modeling no. 311, Moscow Aviation Institute (National Research University);

e-mail: [email protected]

ПРАВИЛЬНАЯ ССЫЛКА НА СТАТЬЮ

Гладков С. О. Об альтернативном вычислении ковариантных производных с приложением к проблемам механики, физики и геометрии // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика. 2019. № 1. С. 16-45. DOI: 10.18384-2310-7251-2019-1-16-45

FOR CITATION

Gladkov S. O. Alternative calculation of covariant derivatives with an application to the problems of mechanics, physics and geometry. In: Bulletin of Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics, 2019, no. 1, pp. 16-45. DOI: 10.18384-2310-7251-2019-1-16-45