Геометрия строго псевдокосимплектических многообразий Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE. 2019. No. 1

УДК 514.76 DOI 10.23683/0321-3005-2019-1-33-40

ГЕОМЕТРИЯ СТРОГО ПСЕВДОКОСИМПЛЕКТИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЙ © 2019 г. А.Р. Рустанов1, А.И. Юдин2, Т.Л. Мелехина3

1Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет, Москва, Россия,

2Институт мировых цивилизаций, Москва, Россия, 3Финансовый университет при Правительстве РФ, Москва, Россия

GEOMETRY OF STRICTLY PSEUDO-COSYMPLECTIC MANIFOLDS

A.R. Rustanov1, A.I. Yudin2, T.L. Melekhina3

1National Research Moscow State University of Civil Engineering, Moscow, Russia, 2Institute of World Civilizations, Moscow, Russia, 3Financial University under the Government of the Russian Federation, Moscow, Russia

Рустанов Алигаджи Рабаданович - кандидат физико-математических наук, кафедра прикладной математики, Институт фундаментального образования, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет, Ярославское шоссе, 26, г. Москва, 129337, Россия, е-mail: [email protected]

Юдин Алексей Иванович - кандидат физико-математических наук, Институт мировых цивилизаций, Ленинский пр., 1/2, корп. 1, г. Москва, 119049, Россия, е-mail: udindad@gmail. com.

Мелехина Татьяна Леонидовна - кандидат физико-математических наук, доцент, департамент анализа данных, принятия решений и финансовых технологий, Финансовый университет при Правительстве РФ, пр. Ленинградский, 49, г. Москва, 125167, Россия, е-mail: TMelehina@fa. ru

Aligadzhi R. Rustanov - Candidate of Physics and Mathematics, Department of Applied Mathematics, Institute of Fundamental Education, National Research Moscow State University of Civil Engineering, Yaroslavskoe Highway, 26, Moscow, 129337, Russia, e-mail: [email protected].

Aleksey I. Yudin - Candidate of Physics and Mathematics, Institute of World Civilizations, Leninsky Ave., 1/2, bld. 1, Moscow, 119049, Russia, e-mail: [email protected]

Tatyana L. Melekhina - Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Department of Data Analysis, Decision Making and Financial Technologies, Financial University under the Government of the Russian Federation, Leningradsky Ave., 49, Moscow, 125167, Russia, e-mail: TMelehina@fa. ru

Рассматриваются почти контактные метрические многообразия класса С9 в классификации Чинья и Гонзалеза, являющиеся обобщением косимплектических многообразий. На пространстве присоединенной G-структуры получена полная группа структурных уравнений многообразий класса С9; вычислены компоненты тензоров Римана - Кристо-ффеля и Риччи; подсчитаны компоненты ковариантного дифференциала структурного эндоморфизма структуры класса С9. Получены условия, при которых С9-структура является косимплектической. Исследованы С9-многообразия постоянной кривизны. Доказано, что SPCs-многообразие размерности больше 3 является многообразием нулевой постоянной кривизны и локально эквивалентно произведению вещественной прямой на комплексное евклидово пространство Сп, снабженное стандартной эрмитовой метрикой, размерности 3 - многообразие неположительной кривизны. Установлено, что полное SPCs-многообразие Эйнштейна является либо риччи-плоским косимплектическим многообразием, а значит, голоморфно изометрично накрывается произведением вещественной прямой на риччи-плоское келе-рово многообразие, либо компактно и имеет конечную фундаментальную группу. Подсчитаны скаляры а и Ь г}-Эйн-штейнового SPCs-многообразия. Вводится структурный тензор первого рода, исследованы свойства введенного тензора SPCs-многообразия. На пространстве присоединенной G-структуры подсчитаны компоненты ковариантной производной структурного тензора первого рода. Выделены два класса SPCs-многообразий. Изучено локальное строение первого класса SPCs-многообразия.

Ключевые слова: келерово многообразие, почти контактные метрические многообразия, косимплектические многообразия, тензор Римана - Кристоффеля, тензор Риччи, пространство постоянной кривизны.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2019. No. 1

In this paper, we consider almost contact metric manifolds of class C9 in the Chinea and Gonzalez classification, which are a generalization of cosymplectic manifolds. On the space of the adjoint G-structure: a complete group of structural equations of the varieties of class C9 is obtained; the components of the Riemann-Christoffel and Ricci tensors are calculated; the components of the covariant differential of the structure endomorphism of the structure of the class C9 are calculated. Conditions are obtained when the C9-structure is cosymplectic. C9-manifolds of constant curvature are investigated. It is proved that an SPCs-manifold of dimension greater than 3 is a manifold of zero constant curvature and is locally equivalent to the product of the real line and the complex Euclidean space Cn equipped with the standard Hermitian metric. And in dimension 3, it is a manifold of nonpositive curvature. It is proved that the full Einstein SPCs-manifold is either a Ricci-flat cosymplectic manifold, which means that it is holomorphically isometrically covered by the product of the real line and the Ricci-flat Kahler manifold, or is compact and has a finite fundamental group. The scalars of a and b Tj-Einstein SPCs-manifolds are calculated. A firstkind structural tensor is introduced, the properties of the introduced SPCs-manifold tensor are studied, and the components of the covariant derivative of the first-order structural tensor are calculated on the space of the adjoint G-structure. Two classes of SPCs-manifolds are distinguished and the local structure of the first class of SPCs-manifolds is studied.

Keywords: Kahler manifold, almost contact metric manifolds, cosymplectic manifolds, Riemann-Christoffel tensor, Ricci tensor, space of constant curvature.

1. Введение

Рассматриваются почти контактные метрические многообразия класса С9 в классификации Чинья и Гонзалеза. В работе [1] выделены 12 классов почти контактных метрических многообразий. Приведены тождества, их характеризующие, в терминах кова-риантной производной фундаментальной 2-формы этих многообразий. Там же рассмотрены некоторые примеры данного класса многообразий. Интерес к этому классу многообразий объясняется тем, что он является естественным обобщением класса косим-плектических многообразий. К сожалению, этот класс многообразий практически не изучался геометрами. Его частичное исследование приведено в диссертации Р.Р. Валеева [2]. Поскольку не все работы Р.Р. Валеева отражены в широкой печати, все его результаты, используемые в данной работе, приведены с доказательствами и соответствующими ссылками.

Работа структурирована следующим образом. В пункте 2 приводятся предварительные сведения о почти контактных метрических многообразиях. Для почти контактного метрического многообразия ц2п+1 строится специализированный репер (А-ре-пер), определяющий подрасслоение главного расслоения реперов со структурной группой {е} X и(п). Эта конструкция называется пространством присоединенной С-структуры. Записана первая группа структурных уравнений почти контактной метрической структуры на пространстве присоединенной С-структуры. Вводятся структурные тензоры и классификация Кириченко почти контактных метрических структур.

В пункте 3 дается определение Сд-многообразия и записывается полная группа структурных уравнений. В пункте 4 подсчитываются компоненты тензо-

ров Римана - Кристоффеля и Риччи на пространстве присоединенной С-структуры и скалярные кривизны. Здесь же получена классификация SPCs-многообразий постоянной кривизны и риччи-плос-ких £РС5-многообразий, исследованы эйнштейновы и ^-эйнштейновы £РС5-многообразия, приведены аналитическое выражение и свойства первого структурного тензора. В пятом пункте выделены два класса £РС5-многообразий и получена локальная характеризация первого класса.

2. Предварительные сведения

Пусть М - гладкое многообразие размерности 2п + 1; Х(М) - Сш-модуль гладких векторных полей на многообразии М. В дальнейшем все многообразия, тензорные поля и т.п. объекты предполагаются гладкими класса Сш.

Определение 1 [3, 4]. Почти контактной структурой на многообразии М называется тройка Ф) тензорных полей на этом многообразии, где п -дифференциальная 1 -форма - контактная форма структуры; % - векторное поле - характеристическое; Ф - эндоморфизм модуля Х(М) - структурный эндоморфизм. При этом = 1;^°Ф= 0; Ф(0 = 0; Ф2 = —1й + г]® £.

Если, кроме того, на М фиксирована риманова структура д = (•,•> такая, что (ФХ, ФУ) = (ХД> — —ц(Х)у(У), X, У е Х(М), то четверка Ф, д = = (у)) называется почти контактной метрической (короче, АС-) структурой. Многообразие, на котором фиксирована почти контактная (метрическая) структура, называется почти контактным (метрическим (короче, АС-)) многообразием.

Кососимметричный тензор П(Х, У) = (X, ФГ>, Х,У е Х(М) называется фундаментальной формой ЛС-структуры [3].

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2019. No. 1

Пусть (т], Ф, д) - почти контактная метрическая структура на многообразии М2п+г. В модуле Х(М) внутренним образом определены два взаимно дополнительных проектора т = и I =

= -Ф2 [3, 5]. Таким образом, Х(М) = £ © М, где £ = 1т(Ф) = кегг/ - так называемое контактное распределение; сИт£ = 2 п; М = 1тш = = кег(Ф) = Ь(^) - линейная оболочка структурного вектора (причем I и т являются проекторами на подмодули £, М соответственно). Очевидно, распределения £ и М инвариантны относительно Ф и взаимно ортогональны; Ф2 = —(ФХ, ФУ) = = (Х,У),Х,У е Х(М), где Ф = Ф|£. Следовательно,

{Фр,3р |£} - эрмитова структура на пространстве £р.

Комплексификация Х(М)С модуля Х(М) распадается в прямую сумму Х(М)С = О^- © О—1 © О0 собственных подпространств структурного эндоморфизма Ф, отвечающих собственным значениям 0. Проекторами на слагаемые этой прямой суммы будут, соответственно, эндоморфизмы [5]: п = а о I = —1(Ф2 + V—1Ф), тг =

= а о I = 1 (-Ф2 + V—1Ф), ш = ¿^ + Ф2, где а =

= — V—1Ф, О = 1(1(1 + ^1—1Ф).

Отображения ар: £р —> и ар: £р —> Оф/"1 являются изоморфизмом и антиизоморфизмом соответственно эрмитовых пространств. Поэтому к каждой точке р е М2п+1 можно присоединить семейство реперов пространства Тр(М)с вида (р, £°, £1, ..., £п, £1,..., £п), где £а = Цар (еа), £ц = !2ар(е а), £0 = где {еа} - ортонормированный базис эрмитова пространства £р.Такой репер называется Л-репером [3, 5]. Легко видеть, что матрицы компонент тензоров Фр и др в Л-репере имеют вид /0 0 0

(Ф|) = (0 ^ 0 )-Ы = \о 0 —V—1 /„

/1 0 0\

= (0 0 L

(1)

ное, индексы ¿,у, к,1,... пробегают значения от 1 до 2п; а, Ь, с, й,... - от 1 до п; положим а = а + п,а = = а, 0 = 0. Пусть (и, (р) - локальная карта на многообразии М. Согласно основной теореме тензорного анализа, задание структурного эндоморфизма Ф и римановой структуры д = (■,■) на многообразии М индуцирует задание на тотальном пространстве ВМ расслоения реперов над М системы функций {Ф]}, {^¿у}, удовлетворяющих в координатной окрестности = п-1(и) с ВМ системе дифференциальных уравнений вида

¿Ф] + - Ф^б/ = Ф]кшк, dgij- gkjöi - diktf = 9ij,kшk,

(2)

\0 1п 0/

где 1п - единичная матрица порядка п. Хорошо известно [3, 5], что совокупность таких реперов определяет С-структуру на М со структурной группой {1} X и (п), представленной матрицами вида 100

(0 А 0), где Леи(п). Эта С-структура называ-\0 0 А/

ется присоединенной [3, 5].

Пусть (М2п+1, Ф, = (у)) - почти контакт-

ное метрическое многообразие. Условимся, что на протяжении всей работы, если не оговорено против-

где {б/} - компоненты форм смещения и римановой связности V соответственно; Ф| к, д^^ - компоненты ковариантного дифференциала тензоров Ф и g в этой связности. Более того, в силу определения римановой связности Ч д = 0. Следовательно, дц,к = 0. (3)

С учетом (1) и (3) соотношения (2) на пространстве присоединенной С-структуры запишутся в виде [3, 5]

Фь,* = 0,ФЩ = 0,Ф°* = 0, Г-\ /цт

да _ __гь>а ,,каа_ ^_^а ..к

&Ь = ~2~ФЬ,кШ ,&Ь =--~ФЬ,кШ ,

9$ = V—1Ф0кшк,в$ = —1—1Ф01кшк,

60 = —V—1Ф0,ХА° = V—1Ф0,Х, е} + е} = 0,0° = 0.

Кроме того, в силу вещественности соответствующих форм и тензоров ш1 = ш1,9} = 6-, ЧФ|к = = ЧФ-'о, где С ^ ? - оператор комплексного сопряжения.

С учетом полученных соотношений первая группа структурных уравнений римановой связности йш1 = —в] А ш] на пространстве присоединенной С-структуры почти контактного метрического многообразия запишется в следующей форме, называемой первой группой структурн^1х уравнений почти контактного метрического многообразия [3, 5]: йш = СаЪша А шь + СаЬша А шь + +С%ша А шь + Саш А ша + Саш А ша;

dva = -9j} Ашь + ВаЬсшс Ашь +

+ВаЬсшь А шс + Ваьш А шь + Ваьш А шь; йша = 9% А шь + ВаЪсшс А шь +

+ВаЬсшь А шс + ВаЬш А шь + Ваьш А шь, где ш = ш° = п*(г]); п - естественная проекция пространства присоединенной С-структуры на многообразие М; Ш1 = д^ш1,

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2019. No. 1

, V-1 V-1 - ,

Dab _ __гъа D c ___гЪ^ nabc _

B С =--— ФЬ,с' Bab ФЬ,с> B -

= —ф i,

2 b'c

sf—1

Babc ---j-ф%fi,Bab - {b,Bab -

1

-•ab

cab - V-^0a,g],cab - -V-^0„.M,

[a,b]'

Съа = —V—Т(Ф0,а + Ф^), са = -V—1Ф00,О, са = V—1Ф0,О.

Введем обозначения [5]:

V—I „ _ V—1

Ca.bc - .

2 " ФВ,с' Cabc ---— ФЬ,с>

РаЪ = V—1Ф0,е; ¿аъ = —V—1ФО,Ь .

Рассмотрим следующие системы функций на пространстве присоединенной С-структуры [5]:

1) В = [В1]к}; Ваъс = ВаЪс; Ваъе = ВаъС; все прочие компоненты семейства В - нулевые;

2) С = СаЪс = СаЪС; Саъс = СаЪс; все

прочие компоненты семейства С - нулевые;

3) О = ОаЪ = ВаЪ; ОаЪ = ВаЪ; все прочие компоненты семейства ^ - нулевые;

4) Е = {Е^}; ЕаЪ = ВаЪ; ЕаЪ = ВаЪ; все прочие компоненты семейства Е - нулевые;

5) = ¿аъ = ¿аЪ; ¿аъ = ¿0,; все прочие компоненты семейства Е - нулевые;

6) С = Са = Са; Са = Са; все прочие компоненты семейства С - нулевые.

Эти системы функций определяют тензоры соответствующих типов на многообразии М, которые называются первым, вторым, ..., шестым структурными тензорами ЛС-структуры [5]. Структурные тензоры АС-структуры обладают следующими свойствами [5]:

1) Ф о В(Х,У) = —В(ФХ,У) = В(Х, ФУ);

2) ((В(х,г),г>> + ((г,В(х,г))) = 0;

3) Ф о С(Х, У) = —С(ФХ, У) = —С(Х, ФУ);

4) (( С(Х, У),2>> + <(У,С(^)>> = 0; (4)

5) Ф о О = —О о Ф;

6) Ф о Е = Е о Ф;

7)Фо^ = —^оФ;

8е£(х,у,г еХ(М)).

Рассмотрим линейные пространства В, С, С, £, Т тензоров на £, обладающих свойствами (4) [5]. Эти тензоры С-линейны либо С-антилинейны по соответствующим аргументам, а соответствующие им И-линейные пространства имеют естественную структуру С-линейного пространства. Рассмотрим

прямую сумму Т = Ъ©С©Ъ©£©Т©£. Пространство В распадается в прямую сумму Во©В1 подпространств бесследных и примитивных тензоров, С -в прямую сумму С0@С± подпространств квазисимметричных и абсолютно кососимметричных тензоров; С и Т - в прямую сумму симметричных и кососимметричных тензоров: С = Ъо©Ъ1, Т = То©Т1; подпространство £ - в прямую сумму подпространств бесследных и скалярных эндоморфизмов модуля £■. £ = £о©£1. Таким образом, пространство Т внутренним образом распадается в прямую сумму 11 подпространств: Т = = ®оФ®1® СО© =

= ©к=1Тс. Хорошо известно [5], что эти подпространства (в каждой точке многообразия) неприво-димы относительно естественного действия группы и (п) на £т (т е М), так что указанное разложение «максимально мелкое». Соответственно, внутренним образом определены 211 = 2048 различных классов АС-структур в зависимости от того, в какое из подпространств попадет набор структурных тензоров данной АС-структуры. В [5] предлагается обозначать эти классы символом АС-Ы, где N - десятичное число, в двоичной записи которого на к-м месте стоит нуль, если составляющая соответствующего структурного тензора, лежащая в подпространстве Тк, равна нулю.

3. Строго псевдокосимплектические многообразия

Рассмотрим почти контактные метрические многообразия класса С9 в классификации Чинья и Гон-залеза [1]. Они характеризуются тождеством [1]: МП)(У,г) = г,(г)Чу(г1)(ФХ) — Л(У)Чфх(л)г; (5) Х.У.1 еХ(М).

Тождество (5) равносильно следующему: УХ(Ф)У = Л(У)^ФХ^ — (ФХ, ЧуЫ, (6)

Х,У е Х(М).

Расписав (6) на пространстве присоединенной С-структуры, получим

Предложение 1. Компоненты ковариантного дифференциала структурного эндоморфизма АС-структуры класса С9 на пространстве присоединенной С-структуры удовлетворяют соотношениям:

Ф0 =Ф^ = 0-ФС- = Ф£ = 0-фЪ = Фа~ =

Фъ,с ФЪ,с 0; Фъ,а ФЪ,а 0; Ф0,а Фо,Ъ

= 0- ФО = ФО>,- ФО ~ = ФОг- Фъ„ = ФЪп = 00; ФЪ,а Фа,Ъ; ФЪ,0 Фа,Ъ- Фа,О Фа,0 0;

гЬа — сЕ>а — фО — СЕ)0 — П фо,о = фо,о = Ф а.,0 = Ф а,0 = 0.

Предложение 2. Пусть 5 = (Ф,%,ц,д) - АС-структура на многообразии М. Тогда следующие утверждения равносильны:

1. 5 - АС-структура класса С9.

2. В = С = = Е = Е1 = С = 0.

3. 5 - АС-68-структура.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2019. No. 1

При этом 5 - косимплектическая структура тогда и только тогда, когда О0 = ¿0 = 0.

Предложение 3. Первая группа структурных уравнений почти контактной метрической структуры класса С9 на пространстве присоединенной С-структуры примет вид

аш = 0; с1ша = —ва Лшъ + РаЪшЪ Л ш;

dwa = вЦ Л шь + FabM° Л ш,

(7)

где Fab - V—-%Fab - -4—-Ф°а,ь'рЪа - раЪ'

Fba - Fab> Fa^ - Fab-

Замечание. В [4] вводится почти контактная метрическая структура, названная строго псевдокосим-плектической (короче SPCs-) структурой и определенная как квазикосимплектическая, для которой имеют место условия: dr] - 0; Ф ° УХ(Ф)(ФУ) -

- 0; VX, Y £ Х(М). Первая группа структурных уравнений AC-структуры класса C9 совпадает с первой группой структурных уравнений SPCs-структуры. Поэтому AC-структуру класса C9 мы будем обозначать как SPCs-структуру. Многообразие, снабженное SPCs-структурой, будем называть SPCs-многообразием.

Из(7)следует

Предложение 4. SPCs-структура является ко-симплектической тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной G-структуры Fab -

- Fab - 0.

Применяем стандартную процедуру дифференциального продолжения первой группы структурных уравнений SPCs-структуры.

Теорема 1. Полная группа структурных уравнений SPCs-структуры имеет вид

dw - 0; dua - —в£ Ашь + Fabvb А ш; d(üa - да А wb + Fabwb А ш; d9b + в? А вь -- Abc<wc А ша- Fbcaшс А ш + FacbMc А ш,

где Aad - A[ad] - 0 где A[bc] - Abc - 0.

При этом справедливы соотношения: dFab + Fcbdc + Facdb - Fabcwc + Fabсшс +

+Fab0w; dFab — Fcbda - Facdb - FabcwC + +FabC шс + Fab0ш, (8)

где Fa[öc] - Fa[bc] - 0.

4. Тензоры Римана - Кристоффеля и Риччи

Для тензорных компонент формы римановой связности имеем следующие соотношения на пространстве присоединенной G-структуры [3, 5]:

ваъ - V—1 Фав,квк; в§ - — V—1Фь,квк; eg -

ik. аа _ ак.

= V-ГФ а,квк; ва = -V-1 Фа0,квк; в0а =

= -V-ГФа,квк; в0 = /-1Фа,квк; в0 = 0; в/ +

+в/ = 0. (9)

С учетом предложений 1 и 3 соотношения (9) для £РС5-многообразий примут вид

ва- = 0; в£ = 0; боа = —РаЪШъ; во = (10)

= —РаЪшЪ; ва = РаЪшЪ; в0 = РаЪ шЪ.

Продифференцировав внешним образом (10) с учетом теоремы 1, получим

йва = 0; йвОа = 0; <2в0а = ¿еЪвеа Л шъ — —Расъшъ Л шс + РаЪ0шЪ Л ш — РасРсЪшЪ Л ш; dвaa = —¿съвЦ Лшъ+ РаЪСШЪ Лшс + ¿аЪ0ШЪ Л Ш — —¥ас¥сЬШъ Л ш; йваО = Рсъвса Л шъ — Раъсшь Лшс —

—РаЪ0шЪ Л ш + РасРсЪшЪ Л ш; йв0 = —РсЪваа Л шъ + +РасЪшЪ Л шс — РаЪ0шЪ Л ш + РасРсЪшЪ Л ш. (11) Рассмотрим вторую группу структурных уравнений римановой связности [3, 5]:

' (12)

dej = -ei л в к+1як,вк л в к

где {ffjk ¡} G С œ(BM) -компоненты тензора Римана -Кристоффеля.

Расписывая (12) на пространстве присоединенной G-структуры, учитывая (11) и (12), для компонент тензора Римана - Кристоффеля получим

г>0 _ и псЬ. г>0 _ _п . п0 _ _паЬ0.

Rab0 = Раср ' Rab0 = гаЬ0> Rab0 = Г '

Й0 _ г? с, р0 _ пас . Dа _ лай , пайп .

аЬс = -раЬ ' Kâbc = р b; Kbcd = АЬс + ? rbc

Щей = -2?а[сР|Ь|й]' КЙасй = -2?а[с?|Ь|й]. (13)

Присоединим соотношения, полученные с учетом свойств тензора Римана - Кристоффеля. Остальные компоненты - нулевые.

Пусть М - ^РС^-многообразие постоянной кривизны к. Тогда его тензор римановой кривизны удовлетворяет условию [5]:

R(X,Y)Z = k(X(Y,Z) - Y(X,Z));X,Y,Z G X(M). (14)

Равенство (14) на пространстве расслоения реперов можно записать в виде

Rijki = k{gik3ji- gjk3u). (15)

На пространстве присоединенной G-структуры соотношения (15) равносильны следующим равенствам:

R0а0b = kSbb' Rаbcd = к{Р'с^Ьй — ^a^b)'

Rabcй = Rabcй = 0 (16)

Так как 0 = Rabclз = к(5а5й — ^a^b), то свернув это равенство сначала по индексам a и с, затем по - Ъ и d, получим к(п — 1)п = 0. То есть либо к = 0, либо п = 1, т.е. dimM = 3. Поскольку Р^РсЬ — D__hxb

-РасРсЪ = К0а0ъ = kSЬ, то, свернув это равенство по индексам а и Ь, получим к = — ~Ха,ъ|Раъ12 — 0. Равенство имеет место тогда и только тогда, когда многообразие является косимплектическим.

Таким образом, доказана

Теорема 2. Пусть М - £РС5-многообразие постоянной кривизны к. Тогда в размерности 3 кривизна к — 0, больше 3 - к = 0, т.е. многообразие является косимплектическим.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2019. No. 1

Пусть М - ^РС^-многообразие размерности больше 3 является многообразием постоянной кривизны к. Тогда, согласно изложенному выше, к = 0 и ?ас = РсЬ = 0. Из (13) и (16) следует + = —к5а5ь, т.е. А^ = 0. Как известно [5], косимплектическое многообразие локально эквивалентно произведению келерова многообразия на вещественную прямую. В силу условия Л^? = 0 келерова составляющая голоморфно изометрична комплексному евклидову пространству Сп, снабженному стандартной эрмитовой метрикой ((у)) = йэ2, в каноническом атласе задаваемой соотношением &52 =^а=\йга&2а [6,7].

Таким образом, доказана

Теорема 3. ^РС-многообразие размерности больше 3 является многообразием нулевой постоянной кривизны и голоморфно изометрично произведению вещественной прямой на комплексное евклидово пространство Сп, снабженное стандартной эрмитовой метрикой ((•,•)) = йэ2, в каноническом атласе задаваемой соотношением йБ2 = Ха=1 dzadza.

Ковариантные компоненты тензора Риччи на пространстве присоединенной С-структуры вычисляются по формуле Бу = —Щк [3, 5], которая на пространстве присоединенной С-структуры SРСs-многообразия, в силу (13), принимает вид

Б00 = —2^аЬ^Ьа'; Б0а = Ба° = —^ЬаЬ; Б0а =

_ с _ и^а . с _ г .с - _ т?аЬ0. с ~ _ ^

= Ба0 = —г Ь;БаЬ = ^аЬ0; БаЬ = г ;БаЬ = (17) _ с„ — лЬс БЬа пас.

Скалярная кривизна £РС5-многообразия на пространстве присоединенной С-структуры вычисляется по формуле

X = дЧ'Бц = 2Ба& = 2 (18)

Поскольку Б00 = О = —2РаЬРЬа = —2 X X £ а,ьРаьРаь = —2 2а,ь|^аь|2 ^ 0, равенство будет выполняться тогда и только тогда, когда = 0. Согласно предложению 4 справедлива

Теорема 4. Кривизна Риччи £РО-много-образия в направлении структурного вектора неположительна; она равна нулю тогда и только тогда, когда многообразие является косимплектическим.

Так как косимплектическое многообразие локально эквивалентно произведению келерова многообразия на вещественную прямую [5], то предыдущей теореме можно дать другую формулировку.

Теорема 5. Кривизна Риччи SРСs-многообразия в направлении структурного вектора неположительна; она равна нулю тогда и только тогда, когда многообразие локально эквивалентно произведению келерова многообразия на вещественную прямую.

Следствие 1 [4]. Риччи-плоское £РО-много-образие локально эквивалентно произведению келерова многообразия на вещественную прямую.

Пусть SPCs-многообразие является многообразием Эйнштейна, т.е. его тензор Риччи удовлетворяет условию S = ед, где е = сonst называется космологической постоянной (в координатной форме Sij = ед;;). Распишем условие эйнштейновости на пространстве присоединенной G-структуры: S00 =

= £д00 = £; S0а = £д0а = 0; Sab = £даЬ = 0;

Sab = £даЬ = £öb, т.е. с учетом (17) получим

-2Fab^ba = £д00 = £; -Fbab = £д0 а = 0; Fab0 = ££lab = 0; Лас = £да}у = £&а.

Учтем, что £ = -2FabFba = -2ZablFabl2<0. Если е = 0, то X ab|Fab|2 = 0. Следовательно, F = 0. Согласно предложению 4, многообразие является риччи-плоским косимплектическим, а значит, согласно [5], локально эквивалентно произведению риччи-плоского келерова многообразия на вещественную прямую. Свернем равенство Sab = А^с = = sSjb по индексам аиЬ. Тогда Aab = £n, 2j = en, X = ~£ < 0. Таким образом, справедлива

Теорема 6. SPCs-многообразие Эйнштейна является многообразием неположительной скалярной кривизны.

В частности, если оно имеет ненулевую скалярную кривизну, т.е. если е < 0, то по классической теореме Майерса [4] в случае полноты М оно компактно и имеет конечную фундаментальную группу.

Комбинируя вышеизложенное с теоремой 6, получим следующий результат.

Теорема 7. Полное SPCs-многообразие Эйнштейна является либо риччи-плоским косимплекти-ческим многообразием, а значит, голоморфно изо-метрично накрывается произведением вещественной прямой на риччи-плоское келерово многообразие, либо компактно и имеет конечную фундаментальную группу.

Пусть М является ^-Эйнштейновым SPCs-многообразием, т.е. его тензор Риччи S удовлетворяет условию S = ад + Ьг] ® ] [8] (в координатной форме Sy = аду + Д которое на пространстве присоединенной G-структуры равносильно следующим равенствам:

S00 = -2FabFba = а + Ь; S0a = -Fbab = 0; Sab = Fab0 = 0; Sab = Aac = a^a. (19)

Свернув четвертое уравнение полученной системы по индексам а и b, получим Aab = an, т.е. а =1 Aab. Тогда из первого равенства имеем

Ь = -a - 2FabFba = -iAabb - 2FabFba. Итак, доказана

Теорема 8. Для ^-Эйнштейновою SPCs-многообразия

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2019. No. 1

1 п

п = — Aab-п = Aab;

1

b = --AZ-2FabFab.

Как и в [5], введем в рассмотрение семейство функций на пространстве присоединенной С-структуры Г = {Г1;}; Га6 = Гай; Гаь = ГаЬ; все прочие компоненты семейства Е - нулевые. Из (8) следует, что система функций F = {Г на пространстве присоединенной С-структуры - глобально определенный тензор типа (2,0) на многообразии М. Назовем этот тензор структурным тензором первого рода. В силу условия Fа й = Fa¡J этот тензор является эрмитовым оператором в модуле Оф относительно стандартной эрмитовой метрики.

Поскольку £ - тензор типа (0,1), его компоненты на пространстве расслоения реперов многообразия М удовлетворяют уравнениям й^1 + ^в} = , где ^ ^ - компоненты тензора Т = Ч%. Расписывая эти соотношения на пространстве присоединенной С-структуры с учетом (9) и того обстоятельства, что на этом пространстве = 0, = 0,(0 = 1, получим, что $ = —ГаЬ; $ = 0; % = 0 £| = —Гай; $ = = 0; ^,0 = 0. Таким образом, можно сформулировать

Предложение 5. На пространстве присоединенной С-структуры матрица оператора Т = Ч ^ имеет вид /0 0 0 \

(F) = ( 0) = ( 0 0

ч0

(ГаЬ)

(Fab) ). 0

(20)

Предложение 6. Оператор Т = Ч^ обладает свойствами: 1) Т о Ф = Ф о Т; 2) (Т(Х), У) = = (Х,Т(У)); УХ, У е Х(М).

Компоненты оператора Т = Ч на пространстве расслоения реперов многообразия М удовлетворяют уравнениям dТj + — Т^б^ = Т[кшк. Расписывая эти соотношения на пространстве присоединенной С-структуры с учетом (7), (10) и (20), получим

Предложение 7. На пространстве присоединенной С-структуры тензор ЧТ имеет следующие ненулевые компоненты:

т0 _ иЬсп . гг0 _ пасп . гга _ тл Т а,Ь = —Г Гса; Т а,Ь = -F гсЬ; Т 0 ,Ь = (21)

— сасг- . <та _ п. Та — паЬс. <тта —

= —г ГсЬ; Т Ь,к = 0; Т,с = —Г ; Т Ь,с =

— —рчЬ. гга _ _паЬ0. «тгй _ _пЬсп . тта _

г с; Т/5,0 г ; •Г0,Ь г гса; ТЬ,с

_ _/7 . _ _/7 с, _ _р . _ п

= гаЬс; ТЬ,с = гаЬ ; -ГЬ,0 = гаЬ0; Т £,к = 0.

Остальные компоненты - нулевые. Следствие 2. Пусть М - £РС5-многообразие. ЧТ = 0 тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной С-структуры: 1) ГйсГса = 0;

2) Fabc = 0; 3) Fabс = 0.

a b

Следствие 3. Пусть М - SРСs-многообразие. Если ЧТ = 0, то многообразие является косимплек-тическим.

5. Классы ^РСх-многообразий

В работах [3, 5] введен класс ЛС-многообразий класса К1. Поступим аналогично, но несколько изменим обозначения.

Определение 2. £РС5-многообразие назовем многообразием класса Д1, если его тензор римановой кривизн^! удовлетворяет условию К(%,Ф2Х)% = 0; УХ е Х(М).

Теорема 9. £РС5-многообразие является многообразием класса Я1 тогда и только тогда, когда оно является косимплектическим.

Доказательство. Пусть М - £РС5-многообразие класса R1. Тогда R(^ Ф2Х)^ = 0. Это соотношение на пространстве присоединенной С-структуры примет вид Я^0^Ф2)]кХк = 0, т.е. Д0%ДЙ + Я^Х,, + +^0ЬХЬ + Хь = 0. Последнее равенство будет выполнено тогда и только тогда, когда Кд0й = 0, #006 = 0, т.е. с учетом (13) Г„сГсй = 0, ГаЬ0 = 0. Свернув это равенство по индексам а и Ь, получим 2 а,ьIГць 12 = 0,т.е. Гай = 0. Согласно предложению 4, многообразие является косимплектическим, для которого имеет место тождество Я(Ц,Ф2Х)Ц= 0; УХ е Х(М), что и требовалось доказать.

С учетом сделанного выше замечания последнюю теорему можно сформулировать следующим образом:

Теорема 10. £РС5-многообразие класса Я1 локально эквивалентно произведению келерова многообразия на вещественную прямую.

Определение 3. £РС5-многообразие назовем многообразием класса К2, если его тензор рима-новой кривизны удовлетворяет условию Я(Ф2Х,Ф2У)% = 0; УХ е Х(М).

Поскольку тензор римановой кривизны SРСs-многообразия удовлетворяет тождеству Я(Ф2Х, Ф2У)% = Я(ФХ, ФУХ; УХ е Х(М), то предыдущее определение можно переформулировать следующим образом.

Определение 4. SРСs-многообразие назовем многообразием класса К2, если его тензор рима-новой кривизны удовлетворяет условию И(ФХ, ФГ)^ = 0; УХ е Х(М).

Пусть М является £РС5-многообразием класса Я2, тогда И(Ф2Х,Ф2У)% = 0; УХ е Х(М). Как и выше, расписав это соотношение на пространстве присоединенной С-структуры, можно показать, что это соотношение равносильно выполнению равенств И^аО = #оа0 = 0, которые с учетом (13) дают

ISSN O32l-3OO5 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2Ol9. No. l

Fabc = О. И наоборот, выполнение условия Fabc = = О влечет выполнение соотношений Rgab = Roab = О, следовательно, выполнение тождества R^2X, Ф2Г)^ = О; VX e Х(М). Таким образом, доказана

Теорема 11. SPCs-многообразие является многообразием класса R2 тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной G-структуры имеет место равенство Fabc = О.

Авторы выражают благодарность рецензенту и редактору за сделанные замечания, которые только улучшили статью.

Литература

1. Chinea D., Gonzalez C. Classification of almost contact metric structures // Annali di Matematica pura ed applicata (IV). 1990. Vol. CLVI. P. 15-3б.

2. Валеев Р.Р. Геометрия квазикосимплектических многообразий: дис. ... канд. физ.-мат. наук. М., 2004. 79 с.

3. Кириченко В.Ф., Рустанов А.Р. Дифференциальная геометрия квазисасакиевых многообразий // Мат. сб. 2002. Т. 19З, № 8. С. 71-100.

4. Кириченко В. Ф. Методы обобщенной эрмитовой геометрии в теории почти контактных многообразий // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. М.: ВИНИТИ, 1986. Т. 18. С. 25-71.

5. Кириченко В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях: 2-е изд, доп. Одесса: Печатный дом, 201З. 458 с.

6. Кириченко В.Ф. K-пространства постоянной голоморфной секционной кривизны // Мат. заметки. 1976. Т. 19, № 5. С. 805-814.

7. Watanabe Y., Takamatsu K. On a K-space of constant holomorphic sectional curvature // Ködai Math. Sem. Repts. 1973. Vol. 25, № 3. P. 297-30б.

Поступила в редакцию /Received_

8. Blair D.E. Riemannian Geometry of Contact and Symplectic Manifolds // Progress in Mathematics. Vol. 203. Boston, MA: Birkhauser Boston Inc., 2002. 203 p.

References

1. Chinea D., Gonzalez C. Classification of almost contact metric structures. Annali di Matematica pura ed applicata (IV). 1990, vol. CLVI, pp. 15-36.

2. Valeev R.R. Geometriya kvazikosimplekticheskikh mnogoobrazii: dis. ... kand. fiz.-mat. nauk [Geometry of quasicosymplectic manifolds.]. Moscow, 2004, 79 p.

3. Kirichenko V.F., Rustanov A.R. Differentsial'naya geometriya kvazisasakievykh mnogoobrazii [Differential geometry of quasi-Sasakian manifolds]. Mat. sb. 2002, vol. 193, No. 8, pp. 71-100.

4. Kirichenko V.F. Metody obobshchennoi ermitovoi geometrii v teorii pochti kontaktnykh mnogoobrazii [Methods of generalized Hermitian geometry in the theory of almost contact manifolds]. Itogi nauki i tekhniki. Problemy geometrii. Moscow: VINITI, 1986, vol. 18, pp. 25-71.

5. Kirichenko V.F. Differentsial'no-geometricheskie struktury na mnogoobraziyakh [Differential geometric structures on manifolds]. 2nd ed. Odessa: Pechatnyi dom, 2013, 458 p.

6. Kirichenko V.F. K-prostranstva postoyannoi golo-morfnoi sektsionnoi krivizny [K-spaces of constant holo-morphic sectional curvature]. Mat. zametki. 1976, vol. 19, No. 5, pp. 805-814.

7. Watanabe Y., Takamatsu K. On a K-space of constant holomorphic sectional curvature. Kodai Math. Sem. Repts. 1973, vol. 25, No. 3, pp. 297-306.

8. Blair D.E. Riemannian Geometry of Contact and Symplectic Manifolds. Progress in Mathematics. Boston, MA: Birkhauser Boston Inc., 2002, vol. 203, 203 p.

29 января 2019 г. / January 29, 2019