Мультипликативные интегралы от матричных функций, порожденных представлениями алгебр Ли Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

MATHEMATICS

УДК 512.64 ББК 22.143 К 59

Козлов В.А.

Кандидат физико-матаиатических наук, доцент, зав. кафедрой математического анализа Армавирского государственного педагогического университета, e-mail: shagin196@ yandex.ru Паланджянц Л.Ж.

- , анализа Майкопского государственного технологического университета, тел. (8772) 57-03-53

Мультипликативные интегралы от матричных функций, порожденных представлениями алгебр Ли Д

(Рецензирована)

Аннотация

В статье предлагается метод вычисления мультипликативного интеграла от матричных функций, порожденных представлениями алгебр Ли A1.

Ключевые слова: мультипликативный интеграл, представления алгебр Ли.

Kozlov V.A.

Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Head of Mathematical Analysis Department of the Armavir State Pedagogical University, e-mail: shagin196@ yandex.ru

Palandzhyants L.Zh.

Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Mathematics and System Analysis Department of Maikop State University of Technology, ph. (8772) 57-03-53

Multiplicative integrals of matrix functions generated by the representation of Lie algebras A1

Abstract

The paper proposes a method for calculating the product integral of the matrix functions generated by the representations of Lie algebras A1.

Key words: multiplicative product integral, representation of Lie algebras.

В данной статье приводятся достаточные условия, при выполнении которых матричная функция произвольного порядка интегрируется в конечном виде. Условия интегрируемости порождены условиями интегрируемости матричных функций второго порядка, порожденных представлениями алгебр Ли A1. Используя теорию представлений групп и алгебр Ли и интегрируемые матричные функции второго порядка, условия интегрируемости можно перенести на матричные функции произвольного порядка. При малых размерностях алгебр Ли некоторые результаты получены в работе [1]. Достаточные условия, о которых идет речь в статье, связаны с интегрируемостью некоторых нелинейных дифференциальных уравнений типа нулевой кривизны [2].

П

|E + A(t)dt,

(11)

где A(t ) = (aij (t )) - гладкая матричная функция, i, j = 1,2,3. Введем обозначения:

au n = au n і + а,! n 1 + a,2 n ,a2, и i + a^ „ .аз, и і ;

11, n 11, n—1 11,n— 1 12,n—1 21,n— 1 12,n—1 31,n— 1 ’

a12 n = a19 „ 1 + an n 1 a^ и 1 + a^ „ 1 a99 n 1 + 013 и 1 a39 „ 1 ;

12,n 12,n—1 11, n—1 12,n—1 12, n—1 22,n—1 13,n —1 32,n—1 ’

a13,n = ai3,n—1 + a11,n—1a13,n—1 + a12,n—1a23,n—1 + °13,n— 1°33,n— 1 ;

A = a12a13,1 — a13a12,1 , n = 1,2 , aij,0 = aij .

Пусть дан следующий мультипликативный интеграл

і і iE

+

2a(t) 2b(t)

0

c(t ) 0

0 2b(t)

c(t ) — 2a(t )

dt,

(1.2)

где а(1), Ъ(1), е(1) - гладкие функции, для которых справедливы равенства:

1. 3Ъ / Ъ = (а132а12 - а122а13)/А;

2. (Ъ'/Ъ)'- 2(Ъ'/Ъ)2 - 4а(Ъ/Ъ) + 4(а' + а2 + Ъс) = (а12 2а131 -а13 2а121)/ А ;

3. 2а' - 4аа' + 2Ъс - 2Ъ'с - 2а((Ъ' / Ъ) + (Ъ' / Ъ)2 + 2аЪ' / Ъ) =

= а11,2 + ( а11а13,1а12,2 + а13а12,2а11,1 + а13,2а12,1а11 - а13,2а11,1а12 ) / А .

Тогда имеет место равенство:

JE + A(t )dt = JE

+

2a(t) 2b(t) 0

c(t) 0 2b(t)

0 c(t ) — 2a(t )

dt

(13)

Доказательство. Запишем систему линейных дифференциальных уравнений, соответствующую интегралу (1.1):

У1 = 0цУ1 + a12У2 + a13У3 ,

У 2 = a21y1 + a22y 2 + a23 y3,

y3 = a21y1 + a22y 2 + a23 y3.

(1.4)

Из системы (1.4) получаем систему

У1 = 0пУ1 + a12У2 + a13У3 ,

y1= + 012лУ 2 + al3,lУз,

y1 = a11,2 y1 + a12,2У 2 + a13,2 y3.

(1.5)

Из двух первых уравнений системы (1.5) выразим у2 и у3 через y1, у[, y[ :

П

П

У2 = —

72 А

Уі -аііУі

а

у1 а11,1у1 а13,1

У3 = —

3А

У1 - а11У1

а

у1 а11,1у1 а12,2

(1.6)

Подставим равенства (1.6) в третье уравнение системы (5). Тогда для у1 из системы (1.5) получаем следующее дифференциальное уравнение:

У1 А (а13,2а12 а12,2а13)У1 + а (а12,2а13,1 а13,2а12,1)у1 +

+ (а11,2 + (—а11а13,1а12,2 + а13а12,2а11,1 + а13,2а12,1а11 — а13,2а11,1 а12 ) / А)У1 .

(1.7)

Запишем систему линейных дифференциальных уравнений, соответствующую интегралу (1.2):

г\ = 2аг1 + 2Ьг2, г'2 = ег1 + 2Ьі3, г' = - 2аг„.

Из системы (1.8) соответственно получаем:

(18)

^ = — (г' - 2аі,),

2 2Ь 1 1

г3 = -^-(- (-^ + 2а)і! - 2Ьег1) .

3 4Ь^ і 4 ь

(1.9)

Для функции г1 из системы (1.7) получаем следующее дифференциальное

уравнение:

гТ = (3Ь/ Ь)г[+ ((Ь/ Ь)' - 2(Ь/ Ь)2 - 4аЬ/ Ь + 4(а' + а2 + Ье))+

+ (2а" - 4аа' + 2Ье' - 2Ь'е + 2а((Ь / Ь)' + (Ь / Ь)2 + 2аЬ / Ь) г1. (110)

Из линейно независимых решений уравнения (1.7) и соотношения (1.6) строится фундаментальная матрица решений системы (1.4), то есть вычисляется мультипликативный интеграл (1.1). Аналогично из линейно независимых решений уравнения (1.9) и соотношения (1.8) строится фундаментальная матрица решений системы (1.8), то есть вычисляется мультипликативный интеграл (1.3).

Таким образом, из условий 1-3 следует, что системы (1.4) и (1.8) эквивалентны. Отсюда вытекает равенство (1.3). Теорема 1 доказана.

Замечание 1. Условия 1-3 можно упростить. Из первого условия можно выразить Ъ(^), а из третьего условия - с(^). Тогда для вычисления а(^) из второго условия возникает нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка.

Приведенное выше коэффициентное преобразование подынтегральной матричной функции можно связать с калибровочным преобразованием мультипликативного интеграла (1), при котором подынтегральная матричная функция будет порождена пред-

2

ставлением алгебры Ли А1 со старшим весом о.

Замечание 2. Подынтегральная матричная функция мультипликативного инте-

грала (2) есть представление матричной функции

аЬ

У е - а у

со старшим весом

1

1

2

О

I 1 /Е

+

а Ь

Л.

У с - а у

Известно [2], что условие

с(1) | Ь(1 )Л = 2а(1)

(1.12)

обеспечивает интегрируемость в конечном виде мультипликативного интеграла.

Непосредственно можно убедиться, что условие (1.11) обеспечивает также интегрируемость в конечном виде мультипликативного интеграла (1.2). В самом деле, интегрируя по частям, получаем:

п V 2Ь($ ) 0 \ п ' 0 2Ь 0 " 2 а 0 0

1Е+ ф) 0 2Ь(г) Л = }е+. 0 0 2Ь + с 0 0

V 0 с(г) 2 1 V 0 0 0 , V 0 с 2 1

' 1 2 \ЬС 2 _ Ь п /1 2 \ ЬЛ 2 Ь (N1 сз 4^2 0 0 ^

= 0 1 2 Ь •\ Е + 0 1 2 Ь с 0 0 X

0 V 0 1 0 V 0 1 V 0 с — 2а у

X

2 Ь & 2 [2 ЬсИ ^ Г1 2 ^ЬЛ 2|2ЬсИ ^ п а 2Г 0 0 ^

0 1 Ь 2 Л = 0 1 2 ^ЬЛ • |Е+ с 0 0

0 0 1 У 0 V 0 1 У V 0 с — 2а у

Л ■■

1 2| ЬЛ 2|2 ЬЛ 0 1 21 ЬсИ

0 0

1

V

/

ехр(-12аЛ) 0 0

|с ехр(-12аС )Л 1 0

ехр(| 2аЛ) • |с ехр(-12аЛ ^ ехр(-| 2аЛ )|сС1 ехр(| 2аЛ)

Таким образом, условия 1-3 и (1.12) обеспечивают интегрируемость в конечном виде мультипликативного интеграла (1.1).

2). Теорема 2. Пусть дан мультипликативный интеграл

|Е + А(^ ')дХ,

(2.1)

где А(^) = а ^)) - гладкая матричная функция, I, ] = 1,2,3,4 Введем обозначения:

а-\-\ п = а,, п 1 + а,, и 1 + а19 и 1а91 и, + а^ и ,аз, и, + а,4 и ^41 и 1.

11, п 11,п— 1 11,п— 1 12, п—1 21, п—1 13,п-1 31,п-1 14,п—1 41,п—1 -

п

а19 „ = а19 „ 1 + аи п 1 а19 и 1 + а19 и 1 а99 и 1 + а^ и 1 а39 и 1 + а^ и 1 а49 и 1,

12, п 12,п— 1 11, п—1 12,п—1 12,п— 1 22,п— 1 13,п—1 32,п—1 14,п— 1 42,п— 1 ’

а^ п = п 1 + аи п 10^13 п 1 + а.12 п 1 а^ п 1 + 0^13 п 1 а^з п 1 + о.лА п 1 а4з и 1.

13, п 13,п— 1 11, п—1 13,п-1 12, п—1 23,п—1 13, п —1 33,п— 1 14,п—1 43,п—1 -

а14 п = а13 п 1 + а11 п 1 а14 п 1 + а19и 1 а24 п 1 + а13п 1 а4 п 1 + а14 п 1 а44 п 1,

14, п 13,п—1 11, п—1 14,п—1 12,п— 1 24,п— 1 13,п—1 4,п—1 14,п—1 44,п—1 5

а12 а13

А = а12,1 а13,1 а14,1 , п = 1ДЗ , ау.,0 = ау-

а12,2 а13,2 а14,2

Введем обозначения:

ф1 = (а12,3А31 — а13,3А32 + а14,3А33) ,

Ф2 = '^(_°12,3А21 + а13,3А22 — а14,3А23) , ф3 ='^(°12,3А11 — а13,3А12 + °14,3А13),

ф4 (а12,3(°11А11 а11,1А21 + °11,2А31) + °13,3(а11А12 а11,1А22 + а11,2А32) +

+ 014,3(—°11А13 — а11,1А 23 + а12,2А33))У1,

где А. - соответствующие миноры матрицы (а. п).

Пусть дан следующий мультипликативный интеграл, порожденный представле-

нием со старшим весом

1Е

г3а 3Ъ 0

с а 4Ъ

+

0 0

0 с — а 3Ъ

У 0 0 с — 3а

&.

где а(1), Ъ(1), с(1) - гладкие функции, для которых справедливы равенства:

1—4. ф (ац, а12, а12, а14, а21, а22 , а23, а24, а31, а32, а33 , а34, а41, а42, а43 , а44) =

= /(а,Ъ, с,г1,г2,г3,г4), ^ = 1,2,3,4,

где функции / и г, определены ниже.

Тогда имеет место равенство:

+

3Ъ 0 0

а 4Ъ 0

с -а 3Ъ

0 с — 3а

&.

(2.2)

(2.3)

Доказательство. Запишем систему линейных дифференциальных уравнений, соответствующую интегралу (2.1):

у = апУ1 + а 2 у 2 + а 3 У3 + а 4У4, г = 1,2,з,4.

(2.4)

3

О

п

п

0

Из системы (2.4) получаем систему

Уі

(п )

Ё аіг,п-іУг .

(2.5)

і=1

Из трех первых уравнений системы (2.5) выразим у2, у3 и у4 через у,

/у т

У1 , У :

1

У2 = _ 2 А

Уі - аііУі У" - аіі,іУі

У 4

а13 і4 аі

а13,1 а14,1

а13,2 а14,2

і2а

=і

=А а12,1

і

Уз = _ 3 А

а

Уі - аііУі

аі2,і У аіі,іУі

а

а

аі2,2 У аіі,2У і аі4,2

а

Уі - аііУі

із

із,і у" - аіі,іУі

аі2,2 аі3,2 У — аіі,2 Уі

(2.6)

Подставим равенства (2.6) в четвертое уравнение системы (2.5). Тогда для у из системы (2.5) получаем следующее дифференциальное уравнение:

,(4)

Уі' = РіУі + ^2 Уі +^3 Уі + ^4 Уі.

(2.7)

Запишем систему линейных дифференциальных уравнений, соответствующую интегралу (2.2):

¿і = 3агі + 3Ъz2,

¿2 = cz1 + az2 + 4Ъг3, ¿3 = cz2 - az3 + 3Ъz4, ¿4 = cz3 - 3аz4.

(2.8)

Из системы (2.8) соответственно получаем:

^ = ¿(^ - 3azl), ^ = і(^ 3Ъ 4Ъ

--- /

і ( ' + Ч

Z4 =ТГ (z3 + аЬ - с^'

3Ъ

(2.9)

Легко заметить, что функции 2,,, ^ = 1,2,3,4, выражаются через г1.

Для функции ^ из системы (2.8) получаем следующее дифференциальное уравнение:

(4)

^ ) = Г ^ + Г2 z2 + г3 zз + г4^

(2. 10)

где

гі = 3((а" + 9аа' + 2Ъ'с + Ъс + 7аЪс + 9а3) + 3аа' + Ъ'с + 7аЪс + 9а3 +

+ с(Ъ/!' + 7а'Ъ + 5аЪ + і3а 2Ъ + 11Ъ 2с), г2 = 3((Ъ/!' + 7аЪ + 5аЪ + і3а 2Ъ + 11Ъ2с)' + 3Ъ(а/!' + 9аа + 2Ъ'с + Ъс + 7аЪс + 9а3) +

+ аЪ + 4аЪ + 6аЪ' + і3а 2Ъ + ПЪ 2с) + с(Ъ2 + 4ЪЪ + 12aЪ2),

r3 = 12(3b'2 + 4bb' + Wabb' + Юа'Ь2 + 22a2b2 + 11Ъ3с), r4 = 216b'b2.

Используя соотношения (2.9), уравнение (2.10) можно привести к виду:

Z1 = W\ Z1 + W2 Z2 + W3 Z3 + W4 Z4 ,

(2.11)

где функции ^^ = 1,2,3,4, выражаются через функции а, Ь, с и т,, , = 1,2,3,4.

Из линейно независимых решений уравнения (2.7) и соотношения (2.6) строится фундаментальная матрица решений системы (2.5), то есть вычисляется мультипликативный интеграл (2.1). Аналогично из линейно независимых решений уравнения (2.11) и соотношения (2.9) строится фундаментальная матрица решений системы (2.8), то есть вычисляется мультипликативный интеграл (2.2).

Таким образом, из условий 1-4 следует, что системы (2.7) и (2.11) эквивалентны. Отсюда вытекает равенство (2.3). Теорема 2 доказана.

Непосредственно можно убедиться, условие (1.12) обеспечивает также интегрируемость в конечном виде мультипликативного интеграла (2.2). В самом деле, интегрируя по частям, получаем:

I 1 iE

+

Л 3a 3b 0 0 ^ ' 0 3b 0 0 N

с a 4b 0 П Г 0 0 4b 0

dt = fE +

0 с - a 3b J 0 с 0 3b

. 0 0 с - 3a , 0 0 с 0 ,

dt х

П

х JE+

1 - 3Jbdt 6J2 bdt - 6J2 bdt

1 - 4 J bdt 6 J2 bdt

0 1 - 3Jbdt

(3a 0 0

0

c a 0 c

a

0

0

0

У 0 0 c - 3aj

х

0

0

1

х

Г1 dt . 3 6 J2 bdt 6j dt 2 (Г1 VO dt 3 ‘2 bdt 6J '2 bdt'

0 1 4 ("bdt 6 i 2 bdt ГГ0 1 4 fbdt 6 2 bdt

J J dt = J J

0 0 1 3J dt Г0 0 1 3 jbdt

V 0 0 0 1j V 0 0 0 1j

^ 3a 0 0 0 ^

П t с a 0 0

х E + dt.

J 0 с - a 0

v 0 0 с - 3a j

х

Таким образом, условия 1-4 и (1.12) обеспечивают интегрируемость в конечном виде мультипликативного интеграла (2.2).

к

В общем случае нужно рассмотреть представление со старшим весом о, соответственно с подынтегральной матричной функцией:

Л ка кЬ 0 • • • 0 0 0 Л

с (к - 2)а (2к - 2)Ь ••• 0 0 0

0 0 с (к - 2^)а (8к - (^ - 1)^)Ь 0 0 .

0 0 0 ••• ••• 0 0

0 0 0 • с (к + 2)а кЬ

у 0 0 0 • 0 с - ка;

Помимо условия (1.12) можно рассмотреть серию условий на элементы исходной матричной функции второго порядка, возникающие при мультипликативном интегрировании по частям и приводящие к преобразованию Бэклунда для некоторых нелинейных дифференциальных уравнений типа нулевой кривизны [2].

Кроме того, для удобства вычислений следует воспользоваться калибровочным преобразованием подынтегральных матричных функций интегралов (2.1) и (2.2).

Примечания:

1. Palandzhyants L.Zh. Representations of Lie algebras and integrations of system of linear differential equations // Труды ФОРА. 2001. № 6. С. 132-134. URL: http://fora.adygnet.ru

2. Паланджянц J1 Ж. Мультипликативное интегрирование по частям и преобразование Бэклунда // Труды ФОРА. 1996. № 1. С. 6575. URL: http://fora.adygnet.ru

References:

1. Palandzhyants L.Zh. Representations of Lie algebras and integrations of system of linear differential equations // FORA Works. 2001. No. 6. P. 132-134. URL: http://fora.adygnet.ru

2. Palandzhyants L.Zh. The multiplicative integration into parts and transformation of Backlund // FORA Works. 1996. No. 1. P. 65-75. URL: http://fora.adygnet.ru