CC BY
41
МАТЕМАТИКА
MATHEMATICS
УДК 512.64 ББК 22.143 К 59
Козлов В.А.
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики, физики и методики их преподавания Армавирской государственной педагогической академии, Армавир, sha-gin196@yandex.ru Паланджянц Л.Ж.
- ,
- -го университета, Майкоп, тел. (8772) 57-03-53, levonmgtu@rambler.ru
О криволинейном мультипликативном интеграле
(Рецензировано)
Аннотация
Предлагается метод вычисления криволинейного мультипликативного интеграла от матричных функций произвольного порядка. Интегрирование ведется вдоль прямоугольника на плоскости с помощью интегрального представления соответствующего обыкновенного мультипликативного интеграла и разложения подынтегральных матричных функций в ряд по степеням независимых аргументов. Ключевые слова: мультипликативный интеграл, кривизна.
Kozlov V.A.
Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Department of Mathematics and Methodology of Teaching, Armavir State Pedagogical Academy, Armavir, e-mail: shagin196@yandex.ru
Palandzhyants L.Zh.
Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Higher Mathematics and System Analysis Department, Engineering-Economics Faculty, Maikop State University of Technology, Maikop, ph. (8772) 57-03-53, e-mail: levonmgtu@rambler.ru
On a curvilinear multiplicative integral
Abstract
The paper proposes a method for calculating the curvilinear integral of the matrix multiplicative functions of arbitrary order. Integration is carried out along the plane of the rectangle using the integral representation of the corresponding ordinary multiplicative integral and expansion of the integrands of matrix functions in powers of independent variables.
Keywords: multiplicative integral, curvature.
В статье приводится метод вычисления криволинейного мультипликативного интеграла вдоль замкнутого прямоугольника на плоскости, основанный на интегральном представлении обыкновенного мультипликативного интеграла и разложении подынтегральных матричных функций в ряд по степеням независимых аргументов. В работе [1] вычисление было основано на дифференциальном представлении обыкновенного мультипликативного интеграла. Тем самым доказано следствие из работы [1]. Рассмотрим криволинейный мультипликативный интеграл второго рода
П
I = JE + P(x, y)dx + Q(x, y )y, (1)
c
где P( x, y ) и Q( x, y) - достаточно дифференцируемые матричные функции произвольного порядка; c - прямоугольник на плоскости с вершинами в точках (0,0), (x,0),
Наша цель - вычислить приближенно интеграл (1), считая, что прямоугольник c ограничивает область малой площади и доказать тем самым следствие из теоремы [1].
Для вычисления интеграла (1) воспользуемся интегральным представлением мультипликативного интеграла, известным как матрицант соответствующей системы
t
п
линейных дифференциальных уравнений Y' = A(t )Y, где Y (t ) = JE + A(t )dt, A(t ) - дос-
0
таточно дифференцируемая матричная функция произвольного порядка. При этом матрицант имеет вид:
Y (t ) = E + | A(t )dt + | A(t) I A(s)dsdT
+ ■
(2)
a a
Имеет место следующее равенство:
|E + Pdx + Qdy = |E + Q(0,y)dy ■ JE + P(x, y)dx ■ Je + Q(x, y)dy ■ JE + P(x,0)dx . (3)
Каждый из четырех обыкновенных мультипликативных интегралов в равенстве (3) может быть вычислен с помощью формулы (2) и разложения в ряд по степеням независимых аргументов подынтегральных матричных функций Р(х, у) и Q(х, у) .
Рассмотрим разложение в ряд по степеням независимых аргументов подынтегральных матричных функций мультипликативных интегралов /к, к = 1,2,3,4.
п I I
11 = |E + P(x,0)dx = | Е +
0
y y
п п
12 = JE + Q(x, y )dy = J Е +
rn
I
i=0
diP(0,0) X_ dxi i!
+ •
dx .
m
I -
k!
x---------+ y-
dx dy
Q(0,0) + •
y
П
m
k!
x-----+ y—
dx dy
P(0,0) + •
dy.
dx .
п
14 = JE + Q(0, y )dy = JЕ +
rn
I
dQ(0,0) xi
+ ■
dy.
=0 ду1 1!
Применим формулу (2) к интегралам /к, к = 1,2,3,4.
Для вычисления интеграла 11 формулу (2) запишем в следующем виде:
I1 = E + |P( x,0)dx + |P( x,0)|P(t ,0)dtdx +JP( x,0)JP(t ,0)|P(s,0)dsdtdx + ■
Тогда, после интегрирования по переменной х, интеграл / примет вид:
Ii = E + P ■ x +
dP г) 2
—+P dx
x
+
. dP _dP^ x3
P - P— + 2—P
dx dx
3!
+
+
. dP . dP „2 „ dP „ _
4 P2 — + 3—P2 + 2 P—P + 2 dx dx dx
V dx J
d 2P d 2P „ d 3P
P+
dx3
x
4!
-+•
(4)
t T
a
0
0
C
x
0
x
2
Аналогично для вычисления интеграла / 2 формулу (2) запишем в следующем виде:
/2 = Е + | Q( х, у)йу + | Q( х, у) | Q( х, г )йгйу +1 Q( х, у) | Q( х, г) | Q( х, s)dsdtdx
0 0 0 0 0 0
Тогда, после интегрирования по переменной у , интеграл / 2 примет вид:
• у +
+ •
/ 2 = Е +
'о+—0х+—_—0х^
Q Эх Эх2 2 Эх3 3!
Q 2 +—0+
Q Эу
—0 Э 2Q ЭQ
0— + ——+ —Q Эх ЭхЭу Эу
х+
+Q
—0 V Эх у
Э 20, Э2^, Э 0
Эх Эх
Эх Эу
у
+
,—У, ЭQ
0 -0^- + 2^0 + + ^-Q +
+
Э20 ^ ЭQ ЭQ ЭQ
——Q +——+Q—Q ЭхЭу Эу Эх Эх
\ л х ) )
у
3!
+
Эу Эу V Эх Эх
—о+-,
Эу Эу
3Э0Q2 -4Q2 —0 + 2Q —0Q + 2 Эу
V Эу )
+
гл — 0 — 0 ЭQ
+ 0~п- + ^Т Q + ^Г
* Эу2 Эу ^ Эу3
4!
+ •
Для вычисления интеграла /3 формулу (2) запишем в следующем виде:
0 0 0 0 0 0 /3 = Е + |Р( х, у)йх + |Р( х, у)|Р(г, y)dtdx +1Р( х, у)|Р(г, у)|Р(^, y)dsdtdx + •
Тогда интеграл /3 примет вид:
/3 = Е +
_Р _—Ру_—Р /_—Р у3 л
Эу Эу2 2 Эу3 3!
• х +
7,2 ЭР
Р-----------+
Эх
„ЭР Э2Р ЭР _
Р----------+—Р
Эу ЭхЭу Эу
• у+
^ЭРЛ 2
пЭ2 Р Э2 Рп Э3Р
+ Р ------- + Р---------г +------Г- Р----------7
^ Эу) Эу Эу ЭхЭу
- +
_ РЗ _ Р —р + 2 ЭРр +
Эх Эх
2 ЭР ЭР 2
Р — + — Р +
Эу Эу
+ -
Э2Р „ ЭР ЭР „ЭР
-Р+
+Р
ЭхЭу Эх Эу Эу
л л •у
х
3!
-+
. ЭР „2 . „2 ЭР _ „ ЭР „ _
_ 3— Р2 + 4 Р2-2Р—Р + 2
^ЭРЛ 2
Эх
Эх Эх
V Эх J
+
Э2Р Э2Р „ Э3Р
+ Р зхг + Эх»
Р
Эх3
х
4!
- + •
Для вычисления интеграла / 4 формулу (2) запишем в следующем виде:
у у г у г $
/4 = Е + |Р(0, у)ф + |Р(0, у) |Р(0, г ^г^х +1Р(0, у) |Р(0, г) |Р(0, s)dsdtdy + -0 0 0 0 0 0
Тогда, после интегрирования по переменной у , интеграл / 4 примет вид:
/4 = Е _ Q • у + Q2 +
Э0
Эу.
у
2
+
2 —°0 _ Q —0 _ Q
эу
эу
у
3!
+
+
4Q2 —0_3 ^О2 _2Q—°£ + 2
2^, -ч -ч 2^. 2^. -ч 2^.
Эу Эу Эу
^Эул2 чэу у
Э20, Э2о_ Э3о
у
4!
+ •
Теперь предстоит перемножить интегралы /к , к =1,2,3,4 в следующем порядке:
2
2
х
2
3
I = /4 • /3 • /2 • /. Для удобства вычислений найдем отдельно произведения /2 • /1 и /4 • /3,
а затем вычислим интеграл I.
Опуская промежуточные вычисления, получаем:
12 • /1 = Е + Р •х + б • .У +
ЭР
Эх
+ Р2
-+
дб
ду
+бб
2
+
х
+ бР
• ху +
+
Р3 +
—, Р
дх
+—Р
х
х
3!
■ +
б3 +
^, б ду
б
+ — б
у
3!
+
+
2/пЛ
од б п ^>дР 2 д б
2 —Р + б + бР +—
х х х 2
х у
+
б
—Р + дУ
, б"
х
2/П Л
„ дб ^2 п д б + 2б — + б Р + ——
дх дхду
ху
+
+
Р, ■ дР" , Р + 3 ■ — Р2 ] Р 2 +—Р + 2 Г дР ^ 2 + " д2 Р" Р,
. дх _ _ дх ’ _ х 1дх; 1 х2 1- 1
Э2 Рп д3 Р + дх2 + дх3
х
"41
-+
+
б,
б
у
,б
+ 3
б
у
б2
+—б2 + 2
у
' дбл 2 V дУ у
+
б, 2б у 2
2б 3б
+ 2-Щ- б + ^г
у 2 у 3
у
4!
+
+
бР3 + б
эр р
х
Р
2
+ б—Р + 3------+ 3—Р1 +^ + 3Р
х х х х х3 х 2
ху
(б2 — + б2 Р2 + —— + —Р2 + 2
х
у х у
дб
дх
,б
Р + 4б—Р + 2Эб + 2
х х у
3!
2б х 2
+
б
+
Г^\2
+ 4б
д2б + 4( дб
дх2
дх
+ 2
д3б
х 2 у
22 х у
4
+
+
б3 Р +
б
у
, б
Р +—бР + 3б—б +
у х
дб
дх
б
, б
+дбдб +д2б о у х х у б
ху
3!
+ •
Аналогично вычисляя /4 • /3, получаем:
/4 • /3 = Е - Р • х - б • у +
Р2 - Р
У
у
х
2
- +
б2-
+
- Р3 +
ЭР дх ,
Р
+—Р х
х3
-------+
3!
- б3 +
+
Р Р
2Р-— + б- бР2 +
у х
2Р
х у
- +
дРР
у
V
ху
дб
Эу.
дб ду ,
у
2
+
бР -
Р
у
ху +
б
+
б
+—б уб Р
у
3!
+
^°Р + 2^—— б2 Р
2
у
у
2Р
у 2
ху
+
+
/ Р, ' дР" , Р + 3 Р2 дР" - — Р2 + 2 ( дР \ 2 + р,д р 1
V . дх _ дх _ х Vдх; |_ дх2 ]
д2Р„ д3Р
+ 2 дх2 Р
х 3
х
4!
- +
+
б,
Ж
ду.
+
бР3 - б
,б
Р
+ 3
б2,
2 дб
у
б 2
у
б2 + 2
' дбЛ2 V ду у
+
б, 2б б, у2
+ 2д2бб - дб ду2 б Эу5
дх
Р
-б Р Р -х
Р,
ЭР
ду,
Р
Р 2 Р Р Р
+ 3Р—Р +
у х у х у
ху
3!
у
4!
+
+
2
х
2
2
2
2
2
+
дP d2 P
_ 4QP — + 2Q —---------------2Q
ду дxдy
эр
ду ,
P
+Q2 P2 - Q2
дР _ dQP 2 + dQdP+
дх ду ду дх
д2 P + 2P—- + 2
P2
+
д2 P ду2’
P
д3 P
х у 2
22 х у
+
+
Q3 P _
д£
ду
Q
дQ
д2 P
P-^ QP + 3Q—- _ 3Q2 — + 3
P Q P 3 P
ху
3!
+ •
у у 2 у у у у 3
Таким образом, вычисляя / = /4 • /3 • /2 • /1, получаем криволинейный мультипликативный интеграл (1) вдоль прямоугольника с с вершинами в точках (0,0), (х,0), (х, у), (0, у) на плоскости, имееющий вид:
П 3
\Е + Рек + бф = Е + ( - Ру + бР - Ре ) + (, Р] - 4Р,Р) +
+
(_[P, [Q, P]_ 2[P, Qx ]+[p, P, ]+[Q, Px ]+Qxx _ Pу Iх)+
+
2 3
1Q, [P, Q]+2p, P ]_[p, Qy ]+[Q, Qx ]_ P„+Q„ )+(, q]_ 4Qfi))+
+ (_ 2P4 + 6[[P,, P], P] + [ P2, P, ] + 2[ P, P„ ] + 4P,,P _ 2( P, )2)+
+ (_ 2Q4 + (у, Q], Q]+[Q2, Qy ]+2[Q, Q„, ] + QQ _ 2Q )2 )+
+ (2[[Q, P], Q] _ [[Q, P2], Q] + 4[ PyP, Q] + 2[[Py, P],Q]+4[ PQ, P]+[[Q, P, ], Q] _ _ [[P, Q, ], P]+2[[Qx, Q], P]+4[Q, PQ+[Q„, P, ]+[ P, P„. ]+2[Q, Px, ]+
22
+ 2Q, P] + 2Q,Q + 2PP„ _ 4PyQ, _ P„,, + 2Q„,)^+
+ ([Q3, P] + 3[QP, Q]Q + 3[[Q, Py ], Q] _ [Q,[Q,, Q]] + [Q, Q], P] + 3[QP, Qy ]+[QyQ, P] +
+ 3Q.P, Q]+[Q„, Qx ] _ 2QJ2, + 3[Q, P„. ] + 3[Q>., P„ ]+Q, Q] _ 2QQ,, _ P^)^+
+ ([Q, P5]+3P[ PQ, P] _ 3[ P,[Qx, P]]+[Px, PQ] +[[P, Py ], P]+[[Px, P], Q]
+
+ [8Р,, Р] + [РРх, о] + [Рх, Ру ] - 2РуРх + 3[Ох, , Р] + 3[а,, Рх ] + 6РРуР - 2РуР + 0.„ ^ + -
Таким образом, получено представление криволинейного мультипликативного интеграла с точностью до четвертой степени переменных интегрирования.
Примечания:
References:
1. Козлов В.А., Паланджянц ЛЖ. О вычислении 1. Kozlov V.A., Palandzhyants L.Zh. The computa-
криволинейного мультипликативного интегра- tion of a curvilinear multiplicative integral // The
ла // Вестник Адыгейского государственного Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natu-
ral-Mathematical and Technical Sciences. 2013.
университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2013. Вып. 2 (119). Iss. 2 (119). P. 23-29.
C. 23-29.
URL: http://vestnik.adygnet.ru
URL: http://vestnik.adygnet.ru
4
c
