УДК 512.64 ББК 22.143 К 59
Козлов В.А.
Кандидат физико-матаиатических наук, доцент кафедры .математики и .методики преподавания Армавирской государственной педагогической академии, Армавир, e-mail: shagin196@yandex.ru Паланджянц Л.Ж.
- ,
- -, , e-mail: levonmgtu@rambler.ru
О вычислении криволинейного мультипликативного интеграла
(Рецензирована)
Аннотация
Предлагается метод вычисления криволинейного мультипликативного интеграла от .матричных функций произвольного порядка. Интегрирование ведется вдоль прямоугольника на плоскости с помощью дифференциального представления соответствующего обыкновенного мультипликативного .
: , .
Kozlov V.A.
Candidate of Physics and Mathematics, Assistant Professor of Department of Mathematics and Methodology of Teaching, Armavir State Pedagogical Academy, Armavir, e-mail: shagin196@yandex.ru
Palandzhyants L.Zh.
Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Higher Mathematics and System Analysis Department, Engineering-Economics Faculty, Maikop State University of Technology, Maikop, ph. (8772) 57-03-53, e-mail: levonmgtu@rambler.ru
The computation of a curvilinear multiplicative integral
Abstract
The paper proposes a method to calculate the curvilinear multiplicative integral proceeding from matrix
functions of any order. The integration is performed along a rectangle on the plane with the help of differential
representation of the corresponding ordinary multiplicative integral.
Keywords: multiplicative integral, curvature.
В статье приводится метод вычисления криволинейного мультипликативного интеграла вдоль замкнутой кривой на плоскости, основанный на дифференциальном представлении обыкновенного мультипликативного интеграла. Основные понятия теории мультипликативного интеграла изложены в работах [1-6].
Мультипликативные интегралы
Ub
|E + A(t )dt, (1)
a
nb
JE + A(t )dt, (2)
a
где A(t) - матричная функция произвольного порядка, называют прямым и обратным.
Связь между прямым и обратным мультипликативными интегралами задается формулой
иЬ Л 1 пЬ
|Е + Л(г)ёг = |Е - Л(г )ёг . (3)
) а
Для вычисления прямого мультипликативного интеграла применяется следующее интегральное представление, известное как матрицант соответствующей системы линейных дифференциальных уравнений:
У(г) = Е + jA(t)ёг + | |A(s)ds) IЛ(т)ёг+-
а а \ а у
Для обратного мультипликативного интеграла имеет место равенство
У (г) = Е + | Л(! )ёг + | Л(т) | A(s)dsdт
+ ■
Лемма 1. Для мультипликативного интеграла (1) имеет место следующее дифференциальное представление:
У (г) = Е + Л •г + (Л' - Л2— + (Л - 2 Л • Л - Л • Л + Л3— + ••• + Лп (г)^ +..., (4)
где Лп = Лп-1 • Л(г) - Л'п-1, Л = Е при соответствующих предположениях о дифференцируемости подынтегральной функции Л(!) .
Доказательство. Рассмотрим задачу Коши для матричного дифференциального уравнения первого порядка
ёУ
— = УЛ(г), У(!0) = Е, (5)
где Л(г) - известная матричная функция, У = У (г) - искомая матричная функция, определенные при г > г0, Е - единичная матрица. Будем считать матрицу Л(г) бесконечно
дифференцируемой и ограниченной.
Из уравнения (5) получаем:
—у -
— = -Л(0У-\ У-чо = Е. (6)
Проинтегрируем равенство (6) по частям, учитывая уравнение
Уч(0 = ЕУ- -Е = -Л(г)У"V + |—(лу4 ) = -Л(г)У"V + А Л2 - — У-Ыг.
1 ёг ёг
Продолжая процесс интегрирования по частям в силу уравнения (6), получаем ряд
У- -Е = -Л(г)У"V + (Л2 - — У-1 -— (л3 - 2Л Л + ЛЛ' + Л"У-1 — + ■ ■ • . (7)
2 —Л
V
Умножим обе части уравнения (7) на У справа и вычислим У (г). Тогда получаем равенство (4):
л ,3
У л- ) = Е + Л • г + (л2 - Л У— + (л3 - 2 Л • Л - Л • Л + Л'— + ••• + Лп (г У— + • ••,
а
а
где Ап а)=Ап-1 а) Л(г ) - А'п-1 (г), п=1,2, _, а0(г )=е .
Если ряд (4) сходится, то он является решением задачи (5). Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Мультипликативный интеграл (2) имеет следующее дифференциальное представление:
У (г) = Е + Лг + (Л2 - Л— +(Л3 - 2 ЛЛ - Л'Л + Л' —+••• + вп—+•••, (8)
3!
п!
где Вп = ЛВп , - В' ,, В0 = Е.
^ п п-1 п-1 5 О
Доказательство проводится аналогично лемме 1.
Лемма 3. Произведение двух рядов с матричными коэффициентами вычисляется по формуле:
I<2^■ IрпХ=І зI
т=0
т!
п=0
п! п=о п!
ОР-ХУ
і=о V' у
(9)
где
п
Vі У
п!
і!(п - і)!
---коэффициенты бинома Ньютона.
Доказательство проводится индукцией по п . Вычисления показывают, что справедливо следующее равенство:
IОп^Ъ^=Е+Ц 2ірі-іХ>Ьі +
т=0 Ш[ п=0 П- 11 і=0 V/
1 з (Ъ\ . .. і
А X ' /Л ТЛ 1 Ч — 1 -1-
3! і=0 Vі /
+т,I , О.Рз-х'у1-1+■■■+-I О,Рп-,Хуп +■
п! і=0 Vі /
откуда и следует утверждение леммы 3.
Лемма 4. Произведение двух рядов от двух переменных с матричными коэффициентами вычисляется по формуле:
^ ^ ^ і+1 — п
£ 4хУ ■ £ В^У1 = £ - £ ^у
і, 1=0 і, 1=0 п=0 у п* і, 1=0
(10)
где са = X
■ А В
кя п-к ,п - я •
к ,$=о Vк + ^ )
Доказательство проводится индукцией по п .
Рассмотрим криволинейный мультипликативный интеграл второго рода
|Е + Р(х, у )х + О(х, у )у.
(11)
Вычислим приближенно интеграл (11), считая, что кривая с ограничивает область достаточно малой площади.
Для вычисления интеграла (11) воспользуемся дифференциальным представлением мультипликативного интеграла, данным в лемме 1. Это необходимо, поскольку алгебраическая структура подынтегральной матричной функции неизвестна и невозмож-
т
п
с
но применить алгебраические методы вычисления мультипликативного интеграла, используя структуру матричной функции.
Теорема. Криволинейный мультипликативный интеграл (11) имеет следующее представление в виде ряда:
О ^
|Е + Рйх + Qdy = £Кг]хгу], (12)
с г, ] =О
где с - прямоугольник на плоскости с вершинами в точках (О,О),(х,О), (х,у),(О,у); Кц -матричные функции, зависящие от Р и Q, и их производных по переменным х и у :
У
і+] - к, і+] - я ’
1 гц (г + Л ~ 1 гЦ (г + Л ~~
Л = Ш*йг И, ‘Л' = Ш,йг )-0р■
дР (х О)
Рп(х,О) = Р(х,О)Рп-1 (х,О)---п-=^, п = 1,2,к, Ро(х,О) = Е .
дх
Q„(x, у)=№ y)Qn-l(x, у) -д° -д( x, у), п=1,2,к, Qo(x, У)=Е.
дУ
~ ~ дР (х у)
Рп (х, у) = Р( х, у) Рп-1( х, у)-п-д-^), п = 1,2, к, Р-( х, у) = Е;
дх
о,(О,у) = Q(О,у)й-1(О,у)-да'~-д(О’у). п = 1,2,к, Qo(О,у) = Е.
ду
Доказательство. Вычисляя интеграл по сторонам прямоугольника, получим разложение криволинейного интеграла в произведение четырех обыкновенных мультипликативных интегралов:
|Е + Pdx + Qdy = |Е + Q(О,у —у- |Е + Р(х,у —х- ]Е + Q(x,у —у -1Е + Р(х,О—х . (13)
с ух О О
Каждый из четырех обыкновенных мультипликативных интегралов в (12) может быть вычислен с помощью формулы (8) из леммы 2.
Воспользуемся формулой (8). Тогда
хп
|Е + р(х,0)х = £ Рп (х,0) — (14)
О п=О п!
дР (х О)
где Рп(х,О) = Р(х,О)Рп-1 (х,О)------п-1 ’ , п = 1,2,к, Р-(х,О) = Е .
дх
Аналогично для второго интеграла из равенства (11) получаем
|Е + о(х у О (x, у) —. (15)
0 т=0 т!
где °(x, у) = °(x, y)Qn-1(x, у) - Э(°п -д( x, у), п =Ъ2, • • ■, Qo( х у) = Е.
ду
Теперь вычислим произведение интегралов (14) и (15).
у х
о о ж т ж п
|Е+Q(x,у —у-1Е + °(x,у) — •£Рп(х,О)—.
Применяя лемму 3, получаем
Е°(x,у) -г-ЕРп(х,О)-г=Е Е
^ т! п=О п! п=О. п!
п
т=О п=О *1' п=О
^Рп-ху’1-г
(16)
Вычислим теперь третий и четвертый интегралы из равенства (12). Согласно свойству мультипликативного интеграла и равенству (3), имеют место следующие соотношения:
|е + Р(х, ——х = |Е - Р(х, у —х, (17)
О у
и
\Е + °(0, у —у = \Е - °(0, у —у. (18)
у О
Воспользуемся равенством (4) из леммы 1.
х
и ж лу»п
Iе - Р(х у )ск = £ Рп(x, у)—, (19)
-1 п!
п=О
^E-Q(О,y—у = Х^п(О,у)2-т, (20)
т=О
т!
~ ~ дР (х у)
где Р(ху)=P(x,у)pn-l(x,у) —п-д , , п=1,2,к, у)=Е;
дх
Q„(О,у) = Q(О,у)<~„-1 (О,у)-д<2п'.!(0,у), п = 1,2,к, Qo(О,у) = Е.
ду
Тогда из равенств (17), (19) и (18), (20) получаем
х
о ж п
|Е + Р(х у = £ р„ (х у) —, (21)
„г
- п=О ,1-
\Е+Q(o, у —у = X Оп (о, у)уг ■ (22)
- т=О т!
Произведение интегралов (21) и (22) равно
О
х
О
т
О
т=0
Е+о(0, Уку ■ |Е + Р(х У)х = ЕОп(0, У)^ ■ ЕРп(x, У).
■> ■> ^ т! 0 п!
х
п!
Применяя лемму 3, получаем
I й(°, у) -I р.(х- у) х=I 1I
т=0
т!
п=0
п!
п=0
V п! і=0 V' У
ОРп-гхгу”
(23)
Для окончательного вычисления исходного интеграла необходимо перемножить ряды (23) и (16).
Предварительно введем обозначения:
і і і
п=0 V п! і=0 V 1 У
ОРп-гх1уп
1 п (п
= і А,ху, і-і
,1=0
п=0 V п! і=0 Vі У
ОРп-і ху
= і А/у] ,
,1=0
1 £1 (і + 1 ^ ~ 1 ^1 Л
где А = 77^ V ОР, , 4 ^7-^71
ОР.
(і +1')! і^-=0^ 1 ) (і +1)! і^7=04 і )
Тогда, применяя лемму 4, получаем
^ ^ ^
Ё ^~1хгу Ё Ах у = Ё к1х>
і, 1 =0 і, 1 =0 і, 1 =0
■ А А
кя і+1 -к ,і+1 -я
где К. =-----------V
(і +1)! к7=0 4 к + я у
Теорема доказана.
Следствие. Криволинейный мультипликативный интеграл вдоль прямоугольника с с вершинами в точках (0,0), (х,О), (х, у), (О, у) на плоскости имеет вид:
+
\Е+Р<к+О<Іу = Е + ( - Ру + ОР - РО ) + ([(х, Р] - 4РхР )
с
+(- Р, [о, р- - 2[Р, Ох ]+ [р, р, ]+р, Рх ]+Ох - Ру )+
2 3
+ -Р, [р, О]+ 2р, Ру ]-[р, Оу ]+[О, Ох ]-р,+о, )+Ру, о]-4ОуО )+ + (- 2 Р4 + 6[[Рх, Р], Р]+[Р!, Рх ]+2[Р, Рх ]+4 РххР - 2( Рх )2 )+ + (- 2О4 + 6[[Оу, О], О]+[О2, Оу ] + 2[О, О,, ] + 4ОууО - 2(Оу )2)+
+ (2[[О, Р], О] - [[О, Р2], О]+4[р,р , О]+2[[р, , Р], О]+4[ Р,О, Р]+[[О, Рх ], О] -[[Р, Оу ], Р] + 2[[Ох, О], Р] + 4[О, Р]Ох + [Оу, Рх ] + [Р, Руу ] + 2[О, Р„. ] +
-2 2
+ 2[Оху , Р] + 2ОххО + 2РРуу - 4РуО, - Руу + 2Охху)^ +
0
0
т
п
+ ([Q3, P] + 3[QP, Q]Q + 3[[Q, P, ], Q] - [Q,[Q,, Q]] + [[Q,, Q], P] + 3[QP, Q, ] +
3
+[Q,Q, P]+3[Q,P, Q]+[Q,, Q, ] - 2Q,Q, + 3[Q, Pyy ] + 3[Qy, Py ]+[Qxy, Q] - 2QQx,, - P•„,) ^+
+ ([Q, P3]+3P[PQ, P] - 3[P, [Qx, P]]+[P,, PQ] +[[P, P, ], P]+[[Px, P], Q]
+
3
+ т, Р] + [ РРх, Q] + [Рх, Ру ] - 2РуР + 3[Q--, Р] + 3^, Рх ] + 6РРуР- 2 Р—Р + О-) ~—3У + -.
Таким образом, криволинейный мультипликативный интеграл вычислен с точностью до четвертой степени переменных интегрирования.
Примечания: References:
1. Гантмахер ФР. Теория матриц. М.: Наука, 1. Gantmakher F.R. Theory of matrices. M.:
1988. 552 с. Nauka, 1988. 552 pp.
2. Маитуров O.B. Мультипликативный иите- 2. Manturov O.V. Multiplicative integral //
грал // Проблемы геометрии. 1990. Т. 22. Problems of geometry. 1990. Vol. 22. P. 167-C. 167-215. 215.
3. Палаиджяиц Л.Ж. Геометрия мультипли- 3. Palandzhyants L.Zh. Geometry of multiplica-кативиого интеграла. Майкоп: Качество, tive integral. Maikop: Kachestvo, 1997. 94 pp. 1997. 94 c.
4. Козлов BA., Паланджянц ЛЖ. Развитие 4. Kozlov V.A., Palandzhyants L.Zh. Develop-
- ment of the theory of multiplicative integra-ния полиномиальных матричных функций. tion of polynomial matrix functions. Maikop: Майкоп: Магарин ОТ., 2010. 109 с. Magarin O.G., 2010. 109 pp.
5. Козлов BA., Паланджянц ЛЖ. Мультип- 5. Kozlov V.A., Palandzhyants L.Zh. Multipli-
cative integral and representations of Lie групп и алгебр Ли. Майкоп: Магарин ОТ., groups and algebras. Maikop: Magarin O.G., 2010. 92 . 2010. 92 pp.
6. Козлов BA., Паланджянц ЛЖ. Мультип- 6. Kozlov V.A., Palandzhyants L.Zh. Multipli-ликативный интеграл и вариационные за- cative integral and variational problems. Mai-дачи. Майкоп: Магарин ОТ., 2012. 104 с. kop: Magarin O.G., 2012. 104 pp.