CC BY
6
МАТЕМАТИКА MATHEMATICS
УДК 512.647+517.373 ББК 22.143+22.161.12 К 59
Козлов Владимир Анатольевич
Доцент, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики, физики и методики их преподавания Армавирского государственного педагогического университета, Армавир, e-mail: [email protected] Паланджянц Левон Жирайрович
Доцент, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики и системного анализа инженерно-экономического факультета Майкопского государственного технологического университета, Майкоп, тел. (8772) 570353, e-mail: [email protected]
О структуре подалгебры полиномиальных мультипликативно интегрируемых матричных функций второго порядка. IV
(Рецензирована)
Аннотация. Рассматривается задача о полиномиальных криволинейных мультипликативных интегралах. Выявляется структура подалгебры мультипликативно интегрируемых матричных функций второго порядка. Исследование проводится по степеням полиномиальных кривых.
Ключевые слова: криволинейный мультипликативный интеграл, мультипликативная интегрируемость, матричные функции, подалгебра.
Kozlov Vladimir Anatolyevich
Associate Professor, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Department of Mathematics, Physics and Methodology of Teaching, Armavir State Pedagogical University, Armavir, e-mail: [email protected]
Palandzhyants Levon Zhirayrovich
Associate Professor, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Higher Mathematics and System Analysis Department, Engineering-Economics Faculty, Maikop State University of Technology, Maikop, ph. (8772) 570353, e-mail: [email protected]
On subalgebra structure of polynomial multiplicatively integrated matrix functions of the second order. IV
Abstract. In this paper, we investigate the problem of the polynomial curvilinear multiplicative integrals. The publication reveals the structure of subalgebra of the multiplicatively integrated matrix functions of the second order. The research is conducted according to degrees of polynomial curves.
Keywords: curvilinear multiplicative integral, multiplicative integrability, matrix functions, subalgebra.
Постановка задачи. В данной статье продолжены исследования, начатые в работах [1-3]. Рассмотрим полиномиальный криволинейный мультипликативный интеграл
п
JE + P(x, y)dx + Q(x, y)dy, (1)
c
вдоль кривой с полиномиальной параметризацией c : x = xn (t), y = ym (t), n, m e N, t e R , x, y e R2; P(x, y) и Q(x, y) - полиномиальные матричные функции второго порядка.
Подынтегральную функцию интеграла (1) будем называть полиномиальной мультипликативно интегрируемой. Множество таких функций обозначим через M (P, Q).
Целью работы является продолжение изучения структуры множества M(P, Q) при малых степенях подынтегральной матричной функции. Исследование ведется индукцией по степеням полиномиальных кривых c : x = xn (t), y = ym (t) , вдоль которых берется интеграл, при этом выполнено одно из двух условий: n = 0 или m = 0 .
Будем рассматривать линейные относительно х и у подынтегральные матричные функции:
(
Q( x, y) =
P( x, y) =
Л
а,
а
Л .iß ßi2Л
а
•x +
22
' У,
У1 У12 (Sil 5 Л
V21 У 22
' X +
VS21
5
' У,
Vß21 ß22 J
а,ßjG R
i, j = 1,2.
22 J
Вдоль кривой c : x = xn (t), y = ym (t) криволинейный мультипликативный интеграл (1) превращается в обыкновенный мультипликативный интеграл
п
Y р ) = J E + Ap )dt,
где A(t) = (P( Xn (t), ym (t)) хП (t) + Q( Xn (t), ym (t)) ym (t)).
Далее, spA(t) = 0, J spA(t)dt = const, det Y (t) = const (см., например [1]). Первообразная Y(t) удовлетворяет уравнению Y' = A(t)Y .
Перейдем к исследованию структуры множества M(P, Q) индукцией по степеням полиномиальных кривых deg xn (t), deg ym (t). Случаи
1. deg Xn (t) = deg ym (t) = 0, 2. deg Xn (t) = 1, deg ym (t) = 0, 3. deg Xn (t) = 0, deg ym (t) = 1 рассмотрены в работах [1, 2].
Случай 4. Пусть deg Xn (t) = 2, deg ym (t) = 0. Тогда c : |X(t) = a2t2 + Qit + ^ '1 y(t) = ¿0.
Не ограничивая общности, можно считать, что a2 Ф 0, b0 Ф 0. dX = (2a2t + a1 )dt, dy = 0, A(t) = (2(aj )a^ )t3 + (3(aj )a1a2t2 + ((aj )(a12 + 2a0a2) +
+ 2(ßj )a2b0)t + (aj )a0 ai + (ßj )aib0 + (5j )aib0, h j = 1,2. Так как spA(t) = 0, то в силу аддитивности функции sp получаем систему уравнений:
а11 +а22 = 0
3(а11 +a22)a1a2 = 0, Гап +а22 = 0,
< или <
2(ßii +ß22)a2b0 = 0, 1ßii +ß22 = 0.
(ß11 +ß22)aib0 = 0.
Перейдем к решению уравнения Y' = A(t)Y, где Y(t) = (cjjt2 + djjt + eij), i, j = 1,2 , Y '(t) = (2c jt + d j ).
Вычислим произведение A(t)Y(t) :
A(t )Y (t) = (2(a )a^t3 + 3(ay. )aia2t2 + ((аг] )(a2 + 2a0 a2) + 2(ßy. )ab )t + + ((av Hai + (ßl} )ab ))' ((ctj )t2 + (dl} )t + (el})) =
= 2((aici j +a-2 c2 j ))a22t 5 + (2(aidij +a-2 d2j )a22 + 3(aicij +a-2 c2j )aia2)t 4 + +(2(a-iei j +a-2e2 j )a22 + 3(aidi j +a-2d 2 j )aa + (aici} +a-2c2} )(ai2 + 2a0 a2)+ + 2(ßici j +ß2c2 j )a2b0)t3 + (3(aiei j +a-2e2 j )aia2 + (aid1 j +a-2d2 j )(ai2 + 2a0a2) + + 2(ßiei j +ß2 e2 j )a2b0 + (aid1 j +a-2 d2 j )a0 ai + (ß1d1 j + ß2 d 2 j )aib0)t + + (aiei j +a-2e2 j )a0ai + (ßiei j +ß2e2 j )aib0) .
(2)
(4)
Приравнивая коэффициенты полиномов (4) и Y '(t), получаем систему уравнений, которая при a2 ^ 0, b0 ^ 0 примет вид:
'ai1C1 j +аг 2 С2 j = 0,
агА j + а 2 d 2 j = 0, ч Ке1 j +аг2e2 j )a2 + (ß1C1 j + ß2C2 j )b0 = 0 3(anex j +аг2e2 j )aia2 + 2(ß1d1 j + ßi2d2 j )a2b0 + (ß1C1 j + ß2C2 j VA = 0 (aiiei j +аг2e2 j )(a' + 2a0a2) + 2(ß1e1 j + ßi2e2 j Kb0 + (ß1d1 j + ß2d2 j VA = 2(Cj ), Ke1 j +a2e2 j )a0a1 + (ß1e1 j +ß2e2 j VA = dj •
Выполним последовательно следующие преобразования системы (5):
1 ур4 - а1уРз; 2- УР 5 - a1 УР4; 3- aУР6 - aУР5-
Тогда система уравнений (4) примет вид: (dy. ) = ^(Cj ),
ai1C1 j +аг 2C2 j = 0
(ai1e1 j +аг 2 e2 j )a2 + (ß1C1 j +ß2C2 j )b0 = 0,
a
(a1e1 j +аг 2 e2 j )a1 + (ß1C1 j +ß. 2C2 j ) — b0 = 0,
a2
(aгlel, +аг 2 e2 , )a0 «2 + (ß1e1, +ß 2 e2 j )a2b0 = (Cj )-
(5)
a
Выполним преобразования системы уравнений (5): yp4 —-yp3.
a2
a,
(djj) - -l(c./ ) = 0,
«2
аг1С1 j +аг 2C2 j = 0
(6)
{алех ] +а12 е2} )а2 + (Дс ] + Д 2с2; )Ъ0 = 0,
(-Сг] ) + ((«11а0а2 + Д-1а2Ъо)е1 ] + («12а0а2 + Д2а2Ъ0)е2] = 0
Далее, выполним преобразования системы уравнений (6): апур3 -Д1Ъ0ур2. Следовательно, получаем систему уравнений:
a,
(dy.) - ^(Cj) = 0, a2
аг1С1 j +аг 2C2 j = 0
(7)
(Д2Ъ0 -ДЛа2 )С2] + (а11е1 ] +а12е2] )а2 = 0, _(-С1] ) + ((а11а0а2 + Д1а2Ъ0)е1 ] + (а12а0а2 + Д 2а2Ъ0)е2] = 0. В четвертой группе уравнений выразим с2] через е1 ] и е2], а затем подставим в третью группу уравнений:
(dj ) - ^ ) = 0, a2
аг1С1 j +аг 2С2 j = 0,
(8)
(аг1 + (ß2b0 - ßi1b0at2)(a21a0 + ß21b0))e1 j + (аг2 + (ß2b0 - ДгАаг2)(a22a0 + ß22b0))e2 j = 0,
(-Cj ) + (a-1a0a2 + ß1a2b0)e1 j + (аг2a0a2 + ß2a2b0)e2 j = 0-
Четвертую группу уравнений системы (8) разобьем на две (при 1 = 1 и 1 = 2) и в пер-
а,.
вой из полученных групп (i = 1) заменим c.. на —— c2. (аг1с1j -ai2c2. = 0) при i = 1:
а
а
-С2 . + (апаоa2 +ßna2bo)e1 + (а12a0a2 + ß12«2b0)ß2 j = 0
а
(9)
- ^2 j + (a21a0a2 +ß21a2b0)e1 j + (a22a0a2 + ß22a2b0)e2 j = 0
21 2 0 1 .
22^-^2 ' ^22 2 0 / 2j
В системе (9) исключим в первом уравнении с2у, для этого выполним преобразование
а
УР1 +—12УР2, получим подсистему:
а1
(а^ + ДД +ааa0 ¿0)^1 j + (а^ + ßi2b0 + а12а22
0 1 ^11^0 1 "0 1 ^Ю/П j 1 Ч^12"0 1 /^12^0
11 а11
- ^2 j + (^^21a0a2 + ß21a2b0)e1 j + (a22a0a2 + ß22a2b0)ß2 j = 0
а1
a0 +
al2ß22 а11
¿0)^2j = 0,
(10)
'2 у 1 |_^21а2Ь0)е1 у
Вернемся к системе (8):
(^ ) - ^ ) = 0, а2
аг1С1 у +02С2 у = 0 ( )
(01 + (Дг2Ъ0 - Рг1ЪОг2)(а21а0 + ^21Ь0))е1 у + (^2 + (Дг2Ъ0 - ДА0г2)(022а0 + Д22Ъ0))е2у = 0 (11)
(2о2ао + апДпЪ0 +°12°21а0 -°12^21Ъ0)е1 у + (°11°12а0 + а11Д12Ъ0 + °12°22а0 + а12Д22Ъ0)е2у = 0
(-С1 у ) + ((021а0а2 + Р21а2Ъ0)в1 у + (022а0а2 + Д22а2Ъ0)е2 у = 0
Для того чтобы система (11) имела ненулевые решения, должны быть пропорциональны уравнения второй группы при г = 1 и г = 2, уравнения третьей группы - при г = 1 и г = 2, уравнения четвертой группы - при г = 1 и г = 2. То есть следующие равенства (определяющие соотношения) должны выполняться (при этом в четвертой группе воспользуемся системой (2): а11 + а22 = 0, Д11 + Д22 = 0, и заменой а22 = -а11):
а11 а12а21,
а11 + (ß12b0 ^^12 Ь0 )(^^21a0 +ß21b0) = а12 + (ß12b0 - ß11 а12 Ь0)(а22 a0 +ß22b0)
а21 + (ß22b0 - a22ß21b0 )(a2la0 + ß21b0 ) а22 + (ß22b0 - a22ß21b0 )(а22a0 + ß22b0 ) ' а11 + (ß12b0 -ß1lal2b0)(a2la0 + ß21 b0 ) _ а12 + (ß12b0 - ß1lal2b0)(a22 a0 +ß22b0)
(12)
апД1 + а12 ß2
а11 ß12 + а12 ß2:
В знаменателях третьего уравнения системы (12) использовано первое соотношение системы (12): а11а22 =а12а21 и условие 8рЛ(1) = 0, из которого следует: а22 =-а11. Теперь в системе (12) можно удалить зависимые уравнения и считать е2у свободными. После удаления пропорциональных уравнений получаем систему:
a
(d. ) - -L(c. ) = 0, a2
a■lcl. +a2c2. = 0 (а11 + (ßl2b0 b0^^12 )(^^21 a0 +ß21b0))el j +
+ (а12 + (ß12b0 - ДАа12 )(a22a0 + ß22b0 ))e2 j = 0, - c2j + (a2la0a2 +ß2la2b0)el j + (а22a0a2 + ß22a2b0)ß2j = 0
Тогда c1 j =-а12e2 j; из условия а11 +а22 = 0 следует а22 = -1:
а1
а1
. _ «12 + (ß12b0 - ^b0«12)(«22a0 + ß22b0) e 1 j 2 j' «11 + (ß12b0 - ß11b0a12)(a 22 a0 + ß22b0 )
0 12 22 0 22 0
с _ « a a +ß ab « aa + ß ab ) «12 + (ß12bo -ßnbo«12)(«22ao +ß22bo))c
C2j _ («22a0a2 +ß22a2b0 -(«21a0a2 +ß21a2b0)-TTTT-ЗТГ-TT-0 , ч )ß2j ,
«11 + (ß12b0 -ß11b0«12)(a21a0 +ß21b0)
C _ (« a a «12 ß a b + (« a a «12 ß a b ) «12 + (ß12b0 -ß11b0«12)(«22a0 +ß22b0))e (14)
C1 j _ («12a0a2--ß22a2b0 + («11a0a2--ß21a2b0)-TTTT-TTT-3-TT~)ß2 j , (14)
«11 «11 «11 + (ß12b0 -ß1lboal2)(a22ao +ß22b0)
d _ a1 e _ (« aa «12 ß ab + ( « aa «12 ß ab ) «12 + (ß12b0 -ß11b0«12)(«22a0 +ß22b0))e
d1 j _-e1 j _ («12 a0 a1--ß22 a1b0 + (-«11a0 a1--ß21a1b0)-TTTT-TTT-3-ö , 4)e2 j ,
a2 «11 «11 «11 + (ß12b0 ß11b0«12 )(«21a0 +ß21b0)
d _ a (« a +ß b « a +ß b ) X «12 + (ß12b0 -ß11b0«12)(«22a0 +ß22b0))e а 2 j _ a1 («22a0 + ß22b0 - («22a0 + ß22b0) X-77T~u-7T~L-W-О и \ )в2 j '
«11 + (ß12bo -ß1lboal2)(a2lao +ß21bo)
Формулы (14) образуют общее решение системы (4), а, следовательно, и уравнения УУ 1 = Л(г) в случае 4. Вместе с определяющими соотношениями (12) формулы (14) полностью описывают структуру алгебры М(Р, Q).
Случай 5. Пусть хп (г) = 0, ут (г) = 2 . Т \х(г) = ^
Тогда с: \
{у(г) = Ъ2г2 + Ъхх + Ъ0.
dx = 0, йу = (2Ъ2г + Ъ1 )йг. Л(г) = ((/„■ )а0 + (8г1 )(Ъ2г2 + Ъ1г + Ъ0 )(2Ъ2г + Ъ) =
w/yj^0 1 V2
_ 2(S„)b2t3 + 3(Sj)blb2t2 + ((Sj)(b2 + 2bob2) + 2(^.)a0b2)t + ((StJШ + (y.)a0b0), i, j _ 1,2.
По нашему условию SpA(t) _ 0 . Тогда S11 + S22 _ 0, yn + y22 _ 0 .
Решим уравнения Y' _ A(t)Y относительно Y . Многочлен Y(t), как и в предыдущем случае, имеет неопределенные коэффициенты и степень 2.
Y(t) _ (с/ + djt + e j), i, j _ 1,2, Y'(t) _ 2Cjt + di}. A(t)Y(t) _ (2(Sj)b2t3 + 3(Sj)blb2t2 + ((Sj)(b2 + 2bob2) + 2(ytJKb2)t +
+ (Sj ш + (y. )aA)) ■ (hv)) • (Cjt2 + d jt + e j) _ _ 2(SlClj +S2C2j)b2t5 + (2(Sldj +S2d2j)b2 + 3(SlClj +S2C2j)blb2)t4 + + (2(3e j + Si2e2 s )b2 + 3($М; +Sl2 d2; )\b2 + (S^; +Si2C2; )(b2x + 2bp2) + + 2(rnCl j +^2 j )«ob2)t 3 + (3(Slel j +S-2e2 j )b1b2 + (Sld1 j +S2 а2 j )(bl2 + 2bob2) + + 2(Гг1а1 j +7г2а2 j )a0b2 + (S1C1 j + S2C2 j )b0b1 + (Yr1C1 j + Yr2C2 j )a0bl)t' + + ((Slel j +S2e2 j )(b12 + 2b0b2 ) + 2(Yrlel j +Yr2e2 j )a0b2 + (SrA j + Sr2d2 j )b0b1 + + (Yr1d1 j + Yi2d2j )a0b1 )t + ((Slelj + S2e2j )b0b1 + (Ytlelj + Yr2e2j )a0b1 ).
Здесь заметим, что данный случай 5 симметричен предшествующему случаю 4. Решение нетрудно получить по формулам (12) и (14). Достаточно произвести в них замену:
«j , ßj ^Yj , a2 ^ b2 , al ^ b1, a0 ^ ^ b0 ^ a0.
Примечания: References:
1. Козлов В.А., Паланджянц Л.Ж. О структуре подал- 1. Kozlov V.A., Palandzhyants L.Zh. On structure of
гебры полиномиальных мультипликативно интег- subalgebra of second order polynomial multiplica-
ририуемых матричных функций второго порядка. I tively integrated matrix functions. I // The Bulletin of
// Вестник Адыгейского государственного универ- the Adyghe State University. Ser. Natural-
ситета. Сер. Естественно-математические и техни- Mathematical and Technical Sciences. 2017. Iss.
ческие науки. 2017. Вып. 4 (211). С. 54-59. URL: http://vestnik.adygnet.ru
2. Козлов В.А., Паланджянц Л.Ж. О структуре подалгебры полиномиальных мультипликативно интег-ририуемых матричных функций второго порядка. II // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2018. Вып. 1 (216). С. 49-53. URL: http://vestnik.adygnet.ru
3. Козлов В. А., Паланджянц Л.Ж. О структуре подалгебры полиномиальных мультипликативно интег-ририуемых матричных функций второго порядка. III // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2018. Вып. 2 (221). С. 17-20. URL: http://vestnik.adygnet.ru
4 (211). P. 54-59. URL: http://vestnik.adygnet.ru
2. Kozlov V.A., Palandzhyants L.Zh. On subalgebra structure of the polynomial multiplicatively integrated matrix functions of the second order. II // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2018. Iss. 1 (216). P. 49-53. URL: http://vestnik.adygnet.ru
3. Kozlov V.A., Palandzhyants L.Zh. On subalgebra structure of the polynomial multiplicatively integrated matrix functions of the second order. III // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2018. Iss. 2 (221). P. 17-20. URL: http://vestnik.adygnet.ru
