Представление экстремальных функций в явном виде для широкого класса линейных функционалов над пространством Н1 Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 517. 53

В.Г. РЯБЫХ, Г.Ю. РЯБЫХ

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ В ЯВНОМ ВИДЕ ДЛЯ ШИРОКОГО КЛАССА ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ НАД ПРОСТРАНСТВОМ Н1

В работе найдены в явном виде экстремальные функции для широкого класса функционалов над пространством Харди Н.

Ключевые слова: пространство Харди, экстремальная функция, линейный функционал.

Пусть ш - существенно ограниченная функция на т = : И = 1}, и

Нр - пространство Харди в единичном круге. Обозначим через 1Ю линейный функционал над Н1, определяемый формулой (всюду в дальнейшем

и = еи X = е‘9):

1 г ---------- —

1Ш (X) =—\ X (И )а (И У1в, X £ НО,а £ Ь_ Н» . (1)

2р Т

Здесь Н10 - множество функций из Н1, равных нулю в начале координат.

Назовем функцию f £ Н10 экстремальной функцией для функционала I, если 1 (I) = |ИИ1 11| =1- Будем считать % £ Н» функцией наилучшего приближения для а £ L¥ , если

уга1 тах \а (X ) - % (X ) = inf уга1 тах \а (X ) - а(£ ) = dist(а ,Н ).

II На» а£ Н» II На»

Известно, что экстремальная функция существует не у любого функционала над Н1, в то же время наилучшее приближение а реализуется всегда.

Старая проблема, стоящая со времен Э.Ландау (1916 год), заключается в том, чтобы найти условия существования и единственности экстремальной функции в пространстве Н1, а также указать эту функцию.

Первая часть задачи была решена одним из авторов в [1]. Экстремальные функции для функционала (1) с рациональными ш были найдены в [2].

В данной статье будут указаны экстремальные функции для а £ Ыра п Н» .

Нам понадобятся следующие теоремы.

I. (ТЕОРЕМА 1 из [1])

Пусть ф (||ф||Н2 = 1) и ¥ £ Н2 - решения системы уравнений:

I (I) — XI! (I)® (I) + )

_____ _ для п.в. t из Т. (2)

! (I) — XII (I)® (I) + 1а2(1)

(а1 и а2 - некоторые функции из Н2 ,а А - вещественное число.) Тогда

X — 1/

10. При 1 ~ / \ И существуют такие решения системы (2), что:

1) для п.в. I е Т выполняется 1^)| — !(I)|,

2) экстремальную функцию функционала (1) можно представить в виде f (I) — ||l(|)|!(!)| .

20. Если 1 (|11|Н2 — 1) и ! е Н2 - решения системы (2), то:

1) для п.в. I е Т выполняется \1^)| — !(I)|,

2) наименьшее положительноеА равно ,

3) II! — f - экстремальная функция.

11. (ТЕОРЕМА 3 из [1])

Обозначим

г, 1 Г ✓ ч ^ч® + (I) -® + (С ),

Т(у)(С ) — — I У (I)® (I)----------——. Ж (3)

2т Т I - С

(здесь интеграл понимается в смысле главного значения).

Тогда оператор Т:

10) при (о е L¥ непрерывно отображает L2 в Н2;

20) является положительным оператором над пространством Н2;

30) если ® е ¥МО П L¥, то оператор Т является компактным оператором из L2 в Н2.

III. (ТЕОРЕМА 4 из [1])

Если у функционала (1) существует экстремальная функция, то Ф и V из теоремы I являются решениями интегрального уравнения

I2 ч® + (I) -® + (С )т^ч^

у (С) — ^“1® (I)— „ у (I)dl, (4)

2лг Т I - С

I — 1/ -

в котором 1 — /\|||, ®^) — ® + (I) -® (I), а интеграл понимается в

смысле главного значения.

IV. (ТЕОРЕМА 1 из [2].)

Пусть функция 1 (||||Н2 — 1) является решением уравнения (4),

X2 — V —

соответствующим характеристическому числу / ||/||2' а и - проек-

ция XI® на Н0 , тогда:

1) экстремальная функция существует и представима в виде f = £ Ф¥ ; і /12равно наименьшему характеристическому числу оператора Т;

2) \Щ\2 = ||г|| = г (т), где г (Т) - спектральный радиус оператора Т

Начнем с вывода нового, более общего, условия существования экстремальной функции (ранее в [3, 4] было доказано, что она существует при Н¥ + с).

ТЕОРЕМА 1. Если в (1) ®е УМО, то существует экстремальная функция.

Доказательство. Для случая, когда о є УМО, но ї L¥ , будем пользоваться для представления функционала І є Н¥ формулой

1 (х) = 1ІШ1Р*(0®^ >||х - Рп\\Ні ® 1

2— 1 п® ¥ г

Так как о є УМО, то существует последовательность {®п} непрерывных на Т функций, таких что \\® - ®п\\вМО ® 0 [5] (замечание после доказательства теоремы 5.2 из главы VI).

Пусть теперь {/П},||/\\ £ 1, - последовательность многочленов, для которой выполняется І(/п) ® ||і||. На основании компактности в себе относительно равномерной сходимости функций пространства Н1 внутри единичного круга выберем из {/п} подпоследовательность, равномерно сходящуюся на упомянутом множестве. Будем считать, что сама {/п} сходится к £ Можно доказать, что |\/\\ £ і -

і г —

Обозначим Іп(х) = ——] х® п^>х є Ні0- Имеем

2— т

\і(/т) - І (/ )| = \І (/т - /)\ £ \(І - Іп )/т\ + |(І - Іп )/\ +

— _[ (/т -

—1 з

.(5)

2—1 Т

По теореме Феффермана ([4], глМ, теорема 4.4):

|(/ — / ) f I < С|\ю - ® I < Се

IV т | || п\\ВМО I

|(/ — 1п )/\ < С\\ю — ю\\ < Се

\к п^ | || п\\вмо

при фиксированном п* > N и произвольном е > 0.

В силу теоремы о слабой сходимости граничных значений функции, принадлежащих Н1, из равномерной сходимости {/п} к f внутри единичного круга вытекает ([5], лемма 4.1), что для любой функции ф е С

выполняется / /тф(Зг ® J Это означает, что и третье слагаемое

Т т

из (5) может быть сделано меньше е , откуда / (/) = lim / /) = V

П® ¥

Теорема доказана.

Теперь приступим к построению в явном виде экстремальных функций для функционалов вида (1), образованных липшицевскими функциями ® . Заметим, что в [2] вычисляются экстремальные функции для функционалов с рациональными ® .

Введем следующие обозначения (в дальнейшем будем придерживаться символики из [6]):

Ах = А& =

Ък & k

(к-1)Р к2^-

г п , е п

,к = 1,2,...п, Ах = А& = А,С к є Ах ,tз є А

5 55 у\ хк \ \ & к \ ’Г»к Як^ з

Определим функцию К(V, 1) следующим образом:

к а, 1)=

1 * (С ) -® (') *(Гz * ,

2п

С - Ї 0, г = і

Очевидно, что К (£>1), за исключением одной точки, является граничным значением функции, аналитической по первой переменной в единичном круге, и имеет слабую особенность на окружности. Положим,

К

С 1С 2"С рІ1І 2 ...Іп

г V к 2 2 0

К (С 1,11)." К (С 1, £,). . к (С 1,г р ) к (С 1, о... )п К

к (С, ,£1)... к(С, ,г,). .. , К .. , * К )п .. , К

к (Ср,11)." к (С р ,1,). .. К (СР ч р) к (С р, О... )п ... р К

К ((„О... К(А,г, ).. К(І1,ч р ) К (І1Л)" К (*., іп )

К(1п ,£1)... К(<пЧ ).. . К (іп ,г р) К (іп, О". К (іп , іп )

Очевидно, что К

С 1С 2 . .'С рІ112 ...Іп рІ1І2'"Іп

V У

, являясь суммой произведений

граничных значений функций, аналитических по переменным Су , сама будет такой же.

Как обычно, пусть 1к = е1 к,

(- 1) п 1п

п= 0

D(C £ , I) = X

п!

(- 1)пI

К

/ і і і ^ *Г2-*- 1п

І112...Іп

dв (в 1..Вп);

рп V

/І1І2".ІпС 4

п= 0

п!

К

1112"! £

рп V 1 2 /

dв (в 1".вя).

Здесь и далее рп = [0,2р ] X [0,2р ] X ... X [0,2р ].

Положим:

Вр = В

ССр ї_ Г ЛС£2-ірг,‘,-г.

Т1Т2■■■Т р

= \

К

Т1Т2 • • Т р^2 • • • Іп

dq Я• .в„) ;

ГС 1С 2 • • С р 1 = К (С С 2 • •с р 1

Т1Т 2 • V Т р 0 Т1Т 2 • V •Тр 0

£с

Теперь миноры Фредгольма определим с помощью ряда

/

Dp (С?) = D

(7)

(С С 2- ••С р 1 = 2 (-1)п Яп р-1 \В ( С1С 2^ •С р 1

Т1Т 2 • V ••Т р 0 п= О п! \ п уТ1Т 2 • •Т р )

М (0,. ,0И) . (8)

Заметим, что ряд (8) сходится равномерно относительно С у ?у и, следовательно, Dp есть граничное значение функции, аналитической по каждой из переменных С k •

Следующие теоремы почти дословно повторяют доказательства теорем из [6] (с. 62-71).

ТЕОРЕМА 2. Миноры Фредгольма удовлетворяют следующим интегральным уравнениям (г = е‘е) :

(С^ ••С р \ Я

V V ••Т р 0

D

я\к (С,,, г) Э

О

С.-С

= 2= (- 1)а + ' К(С, ха )Э

Z1•••Zb-,-с

а = 1

Я

Т1-Т р

= 2 (- 1)а" К((, Та )Э

Сl••^f-£„ 1:{

Та - 1Та + 1" Т ^

Я dв ,' = ^^•^р^ С1-С'- 1^ь+1-С

+

(9)

і = 1

2Р

Я \ К (г ,Та) Э

С 1-Са- СаСа + 1-С р

Т 1“Т а- 1їТ а + !•• Т р

'- ^ ' +1 Т, Т Т Т

1* • • а - 1 а + 1* * р

Я

d arg г ,а = 1,2, • • • , р^

Разложим определитель Вр по элементам строки ' :

Вр

п

= \2 (- 1Г# К (С, ,Т а ) К (Т • •С_'-1С' +1 • • С ^ • -'п

^ ^ !••• ^ а-:Г а + 1***^ р11*** 1п

(10)

dQ (^••.Яр) +

_

\2 (-1)'+р+'К(С,,Іг)К

V /

^•••Ср-С,+1-СрЛ-г л

т 1 •• .т г, •••ї л +, •••ї

1 р 1 г - 1 г + 1 п

V

/

dq (Я1-Яп )• (11)

Каждое слагаемое из первой суммы представим в виде

_р (С С С С ^

Ь 1---ъ ь- ^ Ь +1"'^ р

71 7 1^ 1 7

М*** * а - 1* а + !•••*' р

2 (- 1)“ + ' К (С, Та ) Вп

а = 1

Р

Я

+

(- 1) р +р+'К С т,) к

Во второй сумме сделаем замены, положив X. = ґ, ?,.+1 = х,, . . . , гп = гп_х,

после чего слагаемые второй суммы будут выглядеть следующим образом:

С 1 • • • С р - 1С р + 1 • • • С рҐ1 • • • Ґі- 1ҐҐі + 1 • • • Ґп- 1

Т1.....Т рҐ1..-Ґі- 1ґі + 1 •••ґп- 1

V /

Теперь перенесем строку t на место между строками р - 1 и р + 1 т.е. совершим і- 1 + р - р инверсий, что равнозначно умножению этого слагаемого на (- 1)і-1+р-р , следовательно, рассматриваемый член преобразован к виду

к (С., ґ) к

С \---C ь - р+1---С р^1—*г - 1^г+1-- .п -1

^1.....^ р^***. - 1 г + 1**** п - 1

V У

Мы доказали, что рассматриваемое слагаемое в (11) можно представить в виде

п |к(Ср ,ґ)й arg^ | К|

С 1•••С р-1ґС в+1••■С р t1••• Ґі-1 tі+1••• Ґп-1

р-

т1

р+

•Т X... X. 1 ґ.+1 ••• ґ 1

р 1 і-1 і+1 п-1

йв1...йв 1

1п-1

Заменяя в (12) значение интеграла по рп-1 на Е^-1, имеем

2к

- п | к (тр ,овп-1

С !•••£«-1X Ср+,-С

к.

р+1 т

й arg ґЕп

£ к (С. т) Еп_.

а = 1

С 1-Ср-1X Ср+.-С

Т1 Т Т 1 т

" 1 а -1 а +1 • • •* р

2к

- п \к(С р ,ґ)Еп-1

(12)

С 1... С

т1•••т р

V /

С 1--Ср- 1Ґ Ср+1•••С

т1.

(13)

р+1 т

( 1)п 1п + р - 1

Умножив (13) на ----------------- и суммировав его по п, получим (9).

п!

Разлагая определитель Вр по столбцу а и рассуждая подобным же образом, получим и второе равенство теоремы.

ТЕОРЕМА 3.

\р -1 г~>( р)

йв (вх..вр)

(- 1) р -1D(р )(Я) = ^

рр

Доказательство. Положив в первой из формул (6)

" ґ1. ••Ґр \ 1

ґ1. V ••Ґр 0

запишем ее

< =\к\

Рп

так: D(A ) = 1 + £

й

Ґ1...Ґ Ґ1...Ґ

(- 1)” 1

/

піп

п!

Ґ1...Ґ •••Ґ

йв (вl••.вя), йп, следовательно,

= I ^^1 *1"' "п"-п + р

J І Ґ1...Ґ •••Ґ +

п+ р \ 1 п п + р

йт =

(14)

Р

\Л ат8г,.. Л аг8т „ \ *1 ^ ^ р£. .

Рр Рп у1 р 1

т,...т р*1...*я

Лв (в^в) =

г1.. .г

= [-8 1 '1'"' р \ п К-Т р

Рр

Л argг1...d а^т

Подставляя выведенные значения коэффициентов в ряд, выражающий В(р), получим

В(р )(Я) = £

(- 1)п+р 1 п!

[ в Г1’"7р J п\

рр

1 —- р

Л а^т^.Л а^т;

Из этой формулы, используя определение ВР , имеем

(- 1) р- 11р -1В(р )(1) = £

(- 1) п+р 1

\В

рр

п!

ґ,...ґ

1 р

ґ,...ґ

1 р

вп

т1-гр т1-т р

Л argт1•••d argт п =

1 Лт

Теорема доказана.

Число к назовем рангом 1 , если

В(1) ° В(С ,т ,1) ° В

В

В (С С 2 > 1 ° В (С ,-С К - ! \ 1 ° о,

Т1Т 2 т К-

V / V )

С1 -С К \ 1 ф 0.

Т1 •••Т К 0

ТЕОРЕМА 4. Ранг 1 не превосходит его кратности как корня

0(1) .

Доказательство. Пусть 1 будет корнем 0(1) кратности к. Тогда

0(1) = В'(Я) = ... = О(к-1)(1) = 0,0(к)(1) Ф 0.

Поэтому

'и.. л

в|

п* * * ‘•А-*1-*к

1

Лв (в1..вк) = (-1)*1к- 1в(*41) ф о.

Это означает, что существует набор таких С1 ...СТі ..гк, при которых

В(к) ф 0.

Обозначая теперь через к наименьшее число, обрывающее цепочку

'С 1-С л-1

Т 1---Т К- 1

1

(15)

получим утверждение теоремы.

Следствие. Из равенств (15) следует существование С' ,?’е СК, таких что

В(С •, т") ф о, а В

{;...{;-с+1...С К

Т 1 .. -Т а - 1Т а + 1.. Г К

1

0. (16)

п = 1

п = 1

Р

Р

ТЕОРЕМА 5. Пусть число 1 имеет ранг к и является корнем кратности к уравнению D(1') = 0 . Тогда любое решение ф уравнения

2р

Ф (С ) =1\к (С ,г )Ф (г )Л arg г (17)

можно представить в виде

д В V (К) = І С

і ;-і к ; ,..к ;

X 1......х‘

R

\

Я

(18)

*=1 ок (С \г*)

Здесь Ск е С, а С '• ,?) - некоторые комплексные числа, по модулю равные единице, независящие от ф, а Я < к .

Доказательство теоремы дословно повторяет соответствующее рассуждение, приведенное в[6].

ТЕОРЕМА 6. Пусть 12 , наибольший положительный корень определителя Фредгольма D(1), имеет кратность к. Тогда существуют 2Я,Я <к комплексных чисел С1,С2,...,СЯ и С12,С22,...,С'Я , таких что экстремальную функцию можно записать в виде

/а) = £ С1<р„^)І СV,(О,t € Т . (19)

к = 1 к = 1

Здесь Vк € Аа п Н” - аналитические функции, выражаемые через миноры Фредгольма.

Верно и обратное утверждение. Нормированная функция f из (19) является экстремальной для функционала (1).

Доказательство. Действительно, на основании теорем I, III функцию f можно представить в виде произведения функций /(:) = tФ (:(t),Ф ,¥ € Н2, каждая из которых является решением

Я2

Фредгольмого уравнения Y =--------Т^) , ядро которого имеет слабую осо-

2рі

бенность. Следовательно, по теоремам 4 и 5 существуют натуральное число к (ранг уравнения Фредгольма) и собственные функции, выражаемые через миноры Фредгольма, и 2к комплексных чисел С/,С2,...,Ск и С2,С22С^2 , таких что выполняется:

Ф (') = І О , (');

г О) =І С;<р „ (t).

к = 1

Отсюда и следует формула (19).

Обратное утверждение выводим из теоремы 5 и теоремы IV. Теорема доказана.

Таким образом, в статье доказано, что экстремальная функция упомянутой выше задачи имеет следующий вид:

f (t) =t £ c;^i (t )E Cjb(tx \t

= i.

к =1

к =1

Библиографический список

1. Рябых В.Г. Необходимое и достаточное условие существования линейного функционала над Hi./ В.Г. Рябых // Сиб. мат. журнал. - 2007. -Т.48. - №6. - С.1351-1360.

2. Рябых В.Г. Норма линейного функционала в пространстве Hi. / В.Г.Рябых, Г.Ю.Рябых // Вестник Таганрогского государственного педагогического института. - 2008. - №1. - С.59-64.

3. Carleson L, Jacobs S. Best uniform approximation by analytic function Arciv Math. 1972, 10, 219-229 p.

4. Хавинсон С.Я. Основы теории экстремальных задач для ограниченных аналитических функций и их различных обобщений: учеб. пособие для ФПК / С.Я. Хавинсон. - М.: МИСИ, 1981. - 92 с.

5. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. / Дж. Гарнетт. - М.: Мир, 1984. - 4б9 с.

6. Привалов И.И. Интегральные уравнения. / И.И. Привалов. / ОНТИ. - М.-Л., 1935. - 248 с.

Материал поступил в редакцию 10.02.09.

V.G.RYABYKH, G.Y.RYABYKH

A PRESENTATION OF EXTREMAL FUNCTIONS IN THE EXPLICIT FORM FOR THE WIDE CLASS OF LINEAR FUNCTIONALS ON Hi - SPACE

In this work extremal functions for the general class of functionals above Hardy space H* was founded in the explicitly form.

Linear functional l(x)e H** , which is given by the form

2p

l(x) = --- [ x(e'° )w(e'°) dO , x e H*, x(0) = 0 ,

2p 0

where w(z)e Lipa n H¥ .

This article proves that the extremal function of the above-mentioned task can be presented in the following form:

f(t)= t-i Cj,(t)£ cij,(t), 11 = *.

k = 1 k = 1

where R £ k , k - order of the largest positive root of the Fredholm's determinant D(l), C*, C2 , ... , CR and C*2, C22 , ... , CR - certain complex numbers, and j k e Lipa n H¥ - functions, defined in the Fed-holm's minor form for integral equation

г(4) = 21 J w(t)w(,)-w(x)Y(,)d,, 4 = *.

2p 7 |t|=! t - 4

РЯБЫХ Владимир Георгиевич (р.1937), доцент (1969) кафедры «Теория функций и функциональный анализ» Южного федерального университета,

кандидат физико-математических наук (1966). Окончил Ростовский государственный университет (1961).

Научные интересы - теория пространств Бергмана, теория пространств Харди, приближение случайных процессов линейными агрегатами. Опубликовал более 60 научных статей. ryabch@aaanet.ru

РЯБЫХ Галина Юрьевна, заведующая кафедрой «Математика» ДГТУ, кандидат физико-математических наук (1981), доцент (1985). Окончила Ростовский государственный университет (1976).

Научные интересы - интегральные операторы с разностным ядром в пространствах с весом, проблемы звукоизлучения в процессах резания.

Имеет более 40 научных статей. ryabch@aaanet.ru