Экстремальные функции линейного функционала над пространством Бергмана н'1 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517. 53 /. 57

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД ПРОСТРАНСТВОМ БЕРГМАНА Их'

© 2012 г. В.Г. Рябых

Южный федеральный университет, Southern Federal University,

ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090 Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090

Пространством Бергмана H'р ,0 < p < да , назовем подпространство пространства Lp(d), образованное функциями, аналитическими в круге D = {z eC :| z |< l}. Пусть ю — существенно ограниченная функция в единичном круге D. Обозначим через Sa подмножество единичной сферы из H\, на котором достигается норма функционала 1ш(x) = — JJx(z)a)(z)da, x e H\. Назовем

ж d

f e H'j экстремальной функцией функционала 1ю, если lm(f) = ||lj при ||f|| = 1. Sa пусто или является одноточечным множеством. Доказывается, что любую экстремальную функцию f можно представить в виде f = ФТ, Ф, Те H \, O(z) Ф 0, z e D, причем Ф(Т) является решением в H\ уравнения Фредгольма, а Т(Ф) — проекцией Фю(Тю) на H'2.

Ключевые слова: пространства Бергмана, пространства Hp (а), Hp', Ар , экстремальная функция.

Bergman space H' ,0 < р < да , of the disk D = \z e C :| z |< l} is the subspace of analytic functions in the space Lp(d). If f e H' , we

Г 1 ]17p

write ||f|| =J— JJ| f f da> . Let ю be an essentially bounded function on the unit disk D. Let Sa denote the subset of unit sphere of

P [ Ж D J

H 'j, on which the functional 1ш (x) = — JJ x(z)rn(z)da, x e H \ , attains its norm. The function f e H\ will be called extremal function of li-

ж d

near functional 1ю, if 1Ш (f) = ||l J, ||f || = 1. Sa is singleton set or an empty set. A complete description of set of extremal functions out of H is given in terms of functions Ф,Te H'2, Ф^) Ф 0,z eD, for which product ФТ e Sm and ^(ФТ) = ||lj. Ф(Т) is solution of the Fredholm equation in H\ , and Т(Ф) is projection Ф®(Т®) on H'2 .

Keywords: Bergman spaces, H (а) - space, H ' - space, А - space, extremal function.

Основные определения и обозначения

Пусть Бг = {геС:|г|<г},П = П; йг(д) = {геС :|7— д |<г}; Тг = {г е С :|г|= г}, Т = Т; 1г (д) = 1г(-)\йг (д) ; йа -плоская мера Лебега; экстремальная функция (э.ф.) / функционала /: //) = 11/1 1,11 /II = 1; линейный функционал

Заметим, что Ъп_! ,,и|(| ап | еш) =

I an | e"

Vi n 1 }

1 ап

/т(х) =1Л хтйа, те Ь„ ; пространство Нр': множе-я в

ство функций, аналитических в области Б и принадлежащих пространству Ьр (П), 1 < р <<х>; пространство

Н : множество функций, аналитических в Б, с ко-

нечной нормой

Г 1 2я

||H = sup\— j\f(reie)| p de

r : bnr (z) =1-1 П

m

z > n

r 1 ak1

r } k=i а,

. В произведе-

kz}

I an I

ЪпапI(I an Iee) =

1 _ e'(e-«)

j^j an IIak 1 ak _ 1 an 1 e''

k=1 ak I an I2 _ak I an I e"

I a_nf_ an _ Ian I eW an I an I2 -an I an I e'

-Ъ u ,(I a I ee) =

e n-ijan^ n 1 /

bn_i,anI(I anIee) .

1 < р <<х .

Первым начал изучать пространства Нр' М.М. Джрбашян в [1], символ Н2' использовался А.И. Маркушевичем в теореме о приближении в среднем аналитических функций полиномами в [2] и в статьях автора [3 - 6].

Основными результатами публикуемой статьи являются решения двух давних проблем о канонической факторизации функций из Н1' (теорема 3) и об общем виде экстремальных функций из этого пространства (теорема 4).

Лемма 1. Функция В (определенная ниже) непрерывна в П .

Доказательство леммы 1.

Пусть ^ - последовательность точек из Б. Через Ьпг (г) обозначим функцию Бляшке в круге радиуса

Л 1(в-а) ья-1,|а„|(| ап

1 — е

Следовательно, В непрерывна в Б. Лемма доказана.

Лемма 2. Условия Коши-Римана для функции В выполняются в П \ {а.}.

Доказательство леммы 2.

д 1 ( — ¡а д —в д ^

Введем операторы — = —I е--' е —I,

дг 2 ^ дг дв)

д 1 ( —в д . —¡в д \ ¡в -к.

— = — | е — +1 е —|, г = ге в. Можно утвер-

д г 2 ^ дг дв)

ждать, что, если в некоторой точке существует 1-й оператор, а 2-й равен нулю, то в ней выполняются условия Коши-Римана. Верно и обратное. Но из (1) вытекает

^=^ I(Впд(д+дАф=Впд (д),

дд 2я >р(д)

^ =± I (Бп^д + ре^У-д йф = 0.

дд 2я 1р(д) д

Следовательно, условия Коши-Римана для В выполняются в кольце | ап—11<| д |<| ап |, исключая только

точки | ал | е.

Докажем возможность «склейки» по Т^Л К|е'"}. Имеем

нии каждый множитель повторяется столько раз, какова кратность a .

Соглашение: в дальнейшем, если это не имеет значения для данного рассуждения, все a ., имеющие одинаковый модуль, будут иметь один и тот же индекс, в противном случае пишем I a. I e'а, где а последовательно принимает все значения arg a .

Через Bnr обозначим аналитическое продолжение функции Ъп г (оно является аналитическим в

C \ Г2 /an } и, в частности, в круге DB,R = r r > r ).

r ) , , ру r ' I an I )

Положим

1 2я

B(^) j Bnr (g+pge'e )de, (1)

2n 0

g = re'e,I an I< r <I an+i I (pg выберем так, чтобы d (g) e DR \ \an }). Функция В

непрерывна в кольце I an I<I z I<I an+i I, однако на она может быть определена с помощью как B , так и Bnr; 1-я совпадает там с bn-i r, 2-я - с bn r.

ÖB(I an I eie)

= B'n,IanI (g)|g=\a„\e'e = B'n_i,IanI (g)l

i- e

i(e-a)

g n-IanI ^ lg=IanIe'

12 Г

+ B n-i,IanI(g)|

Ian I2

nI ■>\g=\an\e

an -g

'lg=IanIe'e ^ eKe-a)

s

I a I2 - a g

I n I n^ },—

g=\an\e

= B'n-i,IanI (g)|g

eB(Ian \e'e),e^a .

ап\^ 'к^апе'в дд

Закончено доказательство леммы 2.

Лемма 3. Пусть функция (ре Н\(Щ) и ср(ак) = 0,

ак е П. Тогда Н(г) = принадлежит Н1' (Н1),

В(г)

причем j IH{re") I dt < Ц^Ц , jj IH(re") I rdrdt <

wh i

0 П

Доказательство леммы 3.

Пусть р(г) - функция, аналитическая в П , ее нули (ак,к = 1,2) принадлежат кругу П . Положим

Н(г) = (Zy, г е П . В(г)

Как это следует из аналитичности р в Б и свойств функции В, установленных леммами 1 и 2, Н(г) непрерывна в Б, не равна нулю в Б; всюду в Б, за

i/

p

a, - z

k

2

+

'e

a

'e

n

исключением точек а^, удовлетворяет условиям Ко-ши-Римана.

Воспользуемся теоремой 1 из [7].

Пусть функция Дг) = и(ху)+/'у(ху), г = х+гу, определенная в области J, обладает следующими свойствами:

1) и(х,у),у(х,у) имеют конечные частные производные и\,и' ,у'х,V (или конечные частные производные числа Дини) всюду в 3, кроме, возможно, множества, являющегося суммой конечного или счетного числа замкнутых множеств конечной одномерной меры Хаусдорфа;

2) и(х, у),у(х,у) удовлетворяют условиям Коши-Римана почти всюду (п.в.) в 3;

3) и(х, у), у(х, у) линейно непрерывны (по х и у);

4) |/(- локально суммируемая функция.

Тогда функция Д?) является аналитической в 3.

Заметим также, что из-за субгармоничности | <р |

выполняются неравенства

2п 2п

11Н(гв")| Л = 11 <р(тв")| Л <|

0 0

НЯ!

1. / = inf а- X

x принадлежит аннулятору Hir

2. Существует функция % из аннулятора, на которой достигается равенство inf а - x = а - %\\.

3. Для того чтобы Д была э.ф., необходимо и достаточно, чтобы п.в. на Б выполнялось соотношение

М =-( *)-*(*).

/(г)

Теорема 2. Пусть / = ФТ - э.ф. функционала 1Ш еН. Тогда ФеН\ (||ф|Н^ = 1) и ТеН\ - решения системы уравнений:

(Ф(/) = 1Т(/)® (/) + а (/) , г>

^^^ —для п.в. ( из Б

|Т(/) = 2Ф(/ )ю(0 + а2 (/)

(а и а - некоторые функции из Н\ ; Х = 1/||/ет|| -

вещественное число).

Доказательство теоремы.

Пусть Д- э.ф. Представим ее в виде / = ФТ, где Ф,ТеН'2. По теореме 1 п.в. в Б выполнено

(4)

|Ф|2 =|^|2 =!/!:

поэтому

|/(t)|_ |ф(^)| 2

/(t) Ф^то

JJ| H(reit) | rdrdt = JJ| p(re") | rdrdt < Щн, . (2)

Dr Dr 1

Лемма доказана.

Теорема 1. Если p е H\ ,p(ak) = 0, то ее можно представить в виде p(z) = Ф(z)T(z), Ф(z) ф 0, z еD,Ф,ТеH'2. Причем

<PIuit|[к фц . (3)

Доказательство теоремы.

Положим Ф(z) = H1/2 (z), T(z) = H1/2(z)B(z). На основании лемм 1-3 заключаем, что Ф и Т анали-тичны в Б; Ф(z) ф 0, z е D, так как этим свойством в D обладает H(z). Неравенства (3) следуют из (2).

Теорема доказана.

Замечание. Из свойств единственности проектора P из ¿2 (D) на H \ и его локальной аналитичности вытекает, что п.в. в Б выполняются равенства Ф( z) = P(H)(z) и Т( z) = P(HB)( z).

В дальнейшем нам понадобятся 4 теоремы из [8].

Теорема I. Если экстремальная функция (э.ф.) у линейного функционала над H' существует, то она единственна.

Т е о р е м а I I . Если линейный функционал 1Ю е H,а е C(D), то его э.ф. существует.

Те о р е ма II I. Если линейный функционал 1т е H,а е C:(D), то его э.ф. принадлежит Hx.

Теорема IV. Пусть а е L„(D), а x е L„(D) и x принадлежит аннулятору H '1, 1а е H. Тогда:

_ |T(t)|2 _ ф(t)T(t)"

имеем (Л = 1

T(t) 1 -

—(-L = (a(t) -%(t)).

Ф(t) /

т.е. п.в. на Б

Ф(/) = Я(Т(/)ю(/) -Т(/)ж(/))

Т(/) = Я(Ф(/)ю(/) -Ф(/ Ж))' Полагая а = , а2 = -АФ>Х, получим (4).

Теорема доказана.

Теорема 3. Если / = ФТ - э.ф. функционала /я е Н, то Ф, Т - решения системы линейных интегральных уравнений

Ф(z) = -JJ

Ж D

Л rrT(t)a(t)da(t)

(1 - tz)2

ЛfФ(t)а(t)dст(t)

—(z) = -JJ

ttD (1 - tz)2 Доказательство теоремы.

Умножим обе части равенства (4) на

(5)

(6)

da(f) (1 - tz)2 at (t)

проинтегрируем по области Б. Интегралы от ^

обращаются в нуль как от функции из аннулятора, а соответствующие интегралы от левых частей в (4) равны Ф(/) и Т(/) в силу равенства из [1]:

п б (1-/г)2 Теорема доказана.

Теорема 4. Если у функционала ¡шеНсуществует э.ф. Д, то ее можно представить в виде /(г) = Ф(г)Т(г), геБ, где ФеН\ - решение интегрально-

л,

п б Б (1 - /г) (1 -дг)

го

уравнения Ц/^)2 Ф(t) =

, Ф(t)a(t)do(t) — г

jT(z) = -JJ v v/ v 7 - проекция Фа из ¿2(Б) Ж D (1 - tz)2

на И',.

и

L

"Л

Доказательство теоремы. Перепишем (5) в виде || 1а||Ф(?) =

1 ff Y(z)m(z)d«( z)

— II-=-. Подставим значение Y из (6)

t D (1 - zt )2

Ф(*)т(*^«(*)

IIA2 Ф(' ) =1 iiTD -Zf)2 m( z)d-( z).

T d (1 - Zt )

Изменим порядок интегрирования

►J■ ф(t)=-L№)d*(f)ii А*?™'«% .

D (1 - Zt) (1 - z*)

T D

Теорема доказана.

Теорема 5. Если/-э.ф. функционала /т еН, то

/(г) = ЙМ? П о — гй П (.— ■ (7)

Равенство следует из теоремы 4.

Теорема 6. Если те Нх (Тя), Я > 1, то э.ф.

функционала /и е Наналитична в .

Доказательство теоремы.

Из теоремы II следует, что э.ф. существует и принадлежит Н ; из теоремы 5 вытекает, что утверждение теоремы 6 будет верно, если оно выполнено для каждого из сомножителей правой части (7).

Проведем доказательство для первого множителя.

и и и

Положим Ф(г) = 2Фг , Т(г) = 2Укгк , .(г) =Ъ®г .

Имеем

ш=^ z) Zidzi=f j z"idzi - д^^

2t t 2t t t d (1 - zt)2

n + 1

JjY(t)t m(t)d«(t). Таким образом,

T D

Il II n +1 „ ™ — -k+n œ .

\Ш =-jjf^t fm/d«(t) =

T D k=0 j=0

= 2(n + 1)j f YJk+nr2(k+n)+1dr. Следовательно,

0 k=0

<fWki i A,+ni.

(8)

Отметим, что из того, что те Нг (ТЕ), вытекает те С1 (П); это означает, что э.ф. / е Н, т.е. Те Н. Поэтому | щк | < ||Т|| , одновременно с этим

|. | Як < ||®||я (г }. Таким образом, подставляя в (8) выве-

» 1 С

денные оценки, получим | ф |< С2~ < —, п = 0, 1, 2,... .

к=пЯ Я

Эта оценка означает, что Ф(г) аналитична в Пл .

Аналогично доказывается аналитичность Т(г) в

той же области.

Эти 2 факта означают, что теорема доказана.

Задача. Найти величину l = sup

Ни ч ^

f Akx(dk )

d^ Ф dj, k Ф j, d^ e D, и, если последняя достижима, то и функцию, ее реализующую.

Обсуждение задачи. Заметим, что искомая величина I совпадает с нормой функционала над пространством

1 „ , , , , — Л А

H\ : l(x) = — jjx(z)m(z)da(z), где m(z) = f A

A,

k=1 (1 - zdk ) C = detllc. "

я П

Далее будем полагать с , =

' (1 — )2

Таким образом, решением рассматриваемой проблемы является

jk\\ •

Теорема 7. l = |det|^||, а f (t) =

n y n y

= const 2-=-2-=^n— ; константа выбирается из

k=1(1 - d=t)2 ==1(1 - d=t)2

условия ||f j = 1. Выбор yk и yk+n будет определен ниже.

Существование э.ф. f функционала l(x), образованного функцией, аналитической в круге с радиусом, большем единицы, вытекает из теоремы 6. Как обычно, полагая f = ФТ, на основании теоремы 3 получим

nAk Y(dk )

Ak Ф(dk )

ф(о=f—^, Y(t)=f _v k:, ф(/)=f

Y(t)=f

k± miu\ - V1 ^^"kl _ v AkY(dk )

o2,

Ak Ф(dk )

k=1 (1 - dkt )'

k=1 (1 - dkt)2

k=1(1 - dkt)2

■. Функции Ф, Y будут найдены, если

к=1 (1—йкг )2

будут найдены значения Ф(йк), Т(йк). Для их нахождения в предыдущих соотношениях положим последовательно t равн^тм ^, к = 1,2,...,п , и обозначим

A

(1 - djdk )2

1Ф(^- ) = f Cjk Y(dk ), lY(dj ) = f Cjk Ф(dk ),

= / Фй ) = 2 С;кТ(йк ) , ) = 2 С А Ф(йк ) .

к=1 к=1

Положив в предыдущих соотношениях Ф(й]) = у, А е [1, п], Ч(й]) = у а , ] е [п = 1,2п], Ф(й^) = Уа , ] е [1, п],

Т(й]) = у , А е [п = 1,2п], получим следующую систему из 4п однородных уравнений с 4п неизвестными:

-lyj + f cjkyn+k = ^ j e1--n

k=1

- fyj +f cjkyk = ^ j e n + !---2n

k=1 .

- lyj+ÎLCjkyn+k = ^ j e1--n

(9)

k=1 n —

- ly j +f Cjkyk = 0, j e n + 1...2n

Полагая ||С = сд , а через и обозначая,

соответственно, нулевую и единичную матрицы, составим блочную матрицу системы:

l\\E\\ О О C

O - I||E|| C О

O C - ^E О

C О IOII - ^Ie|

Приравнивая определитель этой матрицы к нулю и решая возникшее алгебраическое уравнение, найдем, что / =| С |.

n

k=0

k=0

k=0

n

m г n

k =0

k=1

k=1

Однако нужны такие решения системы (9), для которых выполняется у . = у .. Если г }, г у, у е [1,2«] -

решение системы, то и г., г у, у е [1,2«] - тоже решение системы. Тогда, по крайней мере, их сумма или их разность окажутся нетривиальным решением.

Можно считать, что у.,у.,у = 1,...2«, - решение,

удовлетворяющее условию сопряженности. Теорема доказана.

Замечание. В [4] эта задача была решена при п = 1.

Оказалось, что э.ф. f =

(1-И 2)2

(1 - dz)4

, а / =

1

(1-1 d |2)2 '

Литература

1. Джрбашян М.М. К проблеме представимости аналитических функций // Сообщ. Ин-та мат. и мех. АН АрмССР. 1948. Вып. 2. С. 3 - 40.

2. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. М.; Л., 1950. 703 с.

3. Рябых В.Г. О граничных свойствах интегралов от функций классов ир' // СМЖ. 1969. № 10, вып. 6.

С.1388 - 1394.

4. Рябых В.Г. О некоторых свойствах аналитических функций класса Hр' // Докл. АН СССР. 1964. Т. 158, № 3. С. 528 - 534.

5. Рябых В.Г. О некоторых свойствах аналитических функций, интегрируемых по площади // Изв. вузов. Математика. 1970. № 12, вып. 103. С. 87 - 92.

6. Рябых В.Г. Экстремальные задачи для суммируемых аналитических функций // СМЖ. 1986. Т. 27, № 3. С. 212 - 217.

7. Синдаловский Г.Х. Об условиях Коши-Римана с суммируемым модулем и некоторых граничных свойствах аналитических функций // Мат. сб. 1985. Т. 128, вып. 170; № 3, вып. 11. С. 364 - 382.

8. Рябых В.Г., Рябых Г.Ю. Экстремальные задачи в пространствах аналитических функций // Мат. форум. Т. 4. Исследования по математическому анализу, дифференциальным уравнениям и их приложениям. Владикавказ, 2010. С. 205 - 215.

Поступила в редакцию

24 июня 2011 г