Пространства Бергмана, Харди и сопряженные к ним Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.53/.57

ПРОСТРАНСТВА БЕРГМАНА, ХАРДИ И СОПРЯЖЕННЫЕ К НИМ В.Г. РЯБЫХ

(Южный федеральный университет),

Г.Ю. РЯБЫХ

(Донской государственный технический университет)

Доказано, что пространство Н1' строго нормировано, а Н1 не является ни строго нормированным, ни равномерно выпуклым. Найден общий вид линейных функционалов над пространством Н1' и над метрическими пространствами Н'р, 0 < р <1.

Ключевые слова: пространство Харди, пространство Бергмана, экстремальная функция, линейный функционал.

Введение. Основными результатами работы являются: пространство Харди не равномерно выпукло и не строго нормировано; пространство Бергмана Н1 строго нормировано; дано аналитическое представление ограниченных линейных функционалов над пространством Бергмана.

Основные определения и вспомогательные результаты. Dr = {г е с :| z|< г}, D = D1,

dr(0 = {г е с :| z |< г}; Тг = {г е с :| г| = г},Т =Т1, б а - плоская мера Лебега; линейный

функционал /ю(х) = ^ Цх^ст; пространство Н'р: множество аналитических функций в области

л о

О, принадлежащих пространству Lp(D),0< р< да; пространство Нр: множество функций, аналитических в области О , с конечной величиной

||ф||р = Нт <|2^1 |ф(г)|р dargzj , 0 < р < да.

Определение 1. ^-пространство назовем равномерно выпуклым, если из ||хп|| = ||уп|| = 1 и ^ 1 следует, что ||хп - уя| ^ 0 .

хп + у п

п ' п

2

Наряду с равномерной выпуклостью в дальнейшем окажется полезным понятие строго нормированного пространства.

Определение 2. Пространство называется строго нормированным, если из равенства ||х + у|| = |Х| +1|у|| следует, что х = Су, С >0.

Определение 3. Функцию f (||^| = 1), принадлежащую В -пространству, назовем экстремальной функцией (ЭФ) линейного функционала / е В*, если /(О = ||/||.

Теорема I. Если V - равномерно выпуклое пространство, то для любого линейного функционала из V* ЭФ существует и единственна [1].

Теорема II. Если для линейного функционала /(х) = — [хю \с/г\ существует ЭФ f, то

2л Т

1111 №1 _

почти всюду на Т выполняется ||/|| '^ 1 = ю^) - %(£), ю е , % е Нда [2].

Основные результаты. Теорема 1. Пусть X - строго нормированное банахово пространство и 1(х) - линейный непрерывный функционал, определенный на этом пространстве. Если существует функция, на которой достигается экстремум функционала, то она единственна [3].

1(х)

Доказательство. Пусть f є X и /(f) = / = sup

x

Предположим теперь противное, т. е. что существует еще одна функция д ф Cf (С -некоторая постоянная) такая, что ||д|| < 1 и /(д) = ||/||. Так как 1(х) - непрерывный линейный функционал, то |/(х)| < ||/|| ■ |Х||. И поэтому экстремум функционала достигается только для функций с нормой, равной единице, т. е. |^ || = ||д|| = 1. Из-за строгой нормируемости X и условия д ф Cf следует:

f + g

I

<I (l\f\\+1lgll),

и, следовательно,

f + g

<1, но f и д - экстремальные элементы 1(х), значит,

То есть

f + g

I

/ (Чд ]=2(/(°+/(д))=/.

■ тоже экстремальный элемент, но его норма строго меньше единицы. Полученное

противоречие и доказывает теорему.

Теорема 2. Пространство Н - строго нормированное.

Доказательство. Пусть мы имеем случай равенства в неравенстве треугольника, т. е.

ДО (I f(z)\ + |дХ)|= Л \f(z)\ da + Л |дХ)| dст.

D D D

Поскольку |f (z) + д(х)| < |f (z)| + |дХ)|, то из

ДО(If(z) + д^)\ - |f Х)| - |дХ)|)dст = 0

D

следует, что почти всюду |f(z) + д(х)| = |f(z)| + |дХ)|, и из этого равенства следует, что а^ =агдд почти всюду. Выбирая теперь в области Х| <1 подобласть, в которой f(z) ф 0 и д(х) ф 0, что можно сделать вследствие аналитичности функций, получаем, что а^ / д = 0, а тогда в этой области lnf / д = С >0, так как мнимая часть логарифма равна нулю и, следовательно, в этой области

f(z) = Cg(z) (1)

Пространство строго нормированное, так как с учетом теоремы единственности аналитических функций равенство (1) можно распространить на весь единичный круг.

Теорема доказана.

Теперь докажем теорему об общем виде линейного функционала над пространством Н, полученную Х.Х. Бурчаевым и В.Г. Рябых [4], используя идею доказательства [5].

Теорема 3. Для того, чтобы выражение вида

I(х) = ііт - \\х№)а№У1а

R^1-0 П “

было линейным функционалом над пространством Н1', необходимо и достаточно, чтобы

Ис)| <

C

, Сє D .

x I=1

I

Доказательство. Необходимость. Пусть х е Н[, а / е Н. Замечая, что х^) сходится по норме пространства Н[ к x(z), имеем:

1 гг x(Rz)dст(z)

^ (1 - RZ)2

1(х(0) = ііт И(х,Ч)) = ііт ИІ -ІІ

,^1-0 ,^1-0 тг Л

=а Л {И^1 ( (їг^ Уа(х)=лт-0Л

Здесь ю^) = I

1

(1 - ,Х)2

^ І, X є D, ,<1.

Отсюда и = ле'е,х = ре ) а’,) = 2,1

----t—г-1. Следовательно,

(1 - ,гх)3 1

|ю'(,х)| = :4,|И І

2Rt

(1 - RX)2 Мг

< 2, НИ

н 12л

ЛЯ

12л dст(t)

лі £ (1 - ,х)3

(1 - ,г XI)(- — (,г XI )2)

- 2л

— [Я(,г XI,0 -ф^0.

2л •' 11

Здесь Р - ядро Пуассона.

Таким образом, |ю'(,х)| < 4| |1|| |

,Мг

1

0 (1 - Rr\z\) 1 - RXI

Необходимое условие доказано.

Достаточность. Для упрощения вычислений доказательство проведем при несущественном ограничении на функцию х(х), именно: х(0) = 0, х е Н[ .

Пусть теперь ю'(х) < С / (1 - XI). Воспользуемся равенством

Э

Эх

((і - Х|2) х^мХ = -2хг(,х)ю(,х) + , (і - Х|2) х^МХ

5 1

На его основании выводим, используя формулу Грина: ф(z)dст = — |ф(х^х,

lim1Л^^zx(Rz)ю(Rz)dст = ит2Л Цх(,х) (і - Х|2 )ю'(Rz)dст < ПтСЦх^)! < С ||zx(z)L,

,^1 N Пи- 1 II Ии-

Теорема доказана.

Найдем аналитическое представление общей формы линейного непрерывного функционала над пространством Н’р, 0 < р < 1.

Положим

(2)

у/р

f ||Н, = І Ц |f (z)|р dст(z) , z = е0,0 <0 < 2л, dст(z) = ММ0.

(3)

При 0 < р <1 величина (3) не является нормой, но имеет место неравенство:

+ д\\РН, < |^||р, +|\д\\Рн,, если f(z), д(х) из Нр.

Предварительно докажем ряд лемм относительно функций из пространства Н'р.

В дальнейшем потребуются следующие определения.

И

Определение 4. Функция f(z), заданная и непрерывная в замкнутом круге 121< 1 и аналитическая в открытом круге Х\ < 1, принадлежит:

а) классу ЛаА, если она удовлетворяет условию зир^^ < | ^е'01) - f(ei,2)\ = 0(Л“), где

0 < а < 1 (условие Липшица);

б) классу Л„А, если она удовлетворяет условию ^(е/(0+Л))-2^е/0) + f(e^{в-h)) = О(Л) (условие Зигмунда).

Определение 5. Пусть функция f (х) определена и аналитична в единичном круге |х| < 1

и f (х) = Xк=0акХк. Тогда

а) дробная производная порядка р >0 функции f (х) есть функция

f[p](z) = £зк Г(к +1 + Р).

X;

к=0 к '

б) дробный интеграл порядка р >0 функции f (х) есть функция

да к!

«х)=ха ткт+вхк-

Лемма 1. Если функция f (х) е Нр и 0< р< q < да, то

1 — о-2 2^

|(1 -Р)н Р| ^(Ре/е )| qdpd0 < да.

, , с If H

Доказательство. В силу оценки [6] f (z) <-----------^, Ci = const,

(l - И )p

для функций из Hp имеем:

2, (с, If H )? Р 2,

J f (pe'0 )|q d0 <'-----p2-— J f (pe'0 )|p d0.

(1 -p)

lq-2 0

I q-I

Умножая обе части этого неравенства на р(1 -р)н dp и интегрируя по р от нуля до единицы, получаем:

1 — q-2 2,

J(1 - p)p pJ f (pe'0)|q dpd0 < Cq-p f ||H, < да.

0 0 p

Следовательно, так как

{(1 -p)^ p{ f(pe'0)|qdpd0 = {(1 -p)^ p{ f(pe'0)|qdpd0 +

0 0 0 0

1 Iq-I I. 1 —q-I I.

+ {(1 -p)p p{ f(pe'0)|q dpd0 < M +1{(1 -p)p p{ f(pe'0)|q dpd0

l/I 0 0 0

i/I і q-I I.

(M = {(1 -p)p p{f(pe/0)| dpd0), то лемма доказана.

0 0

Г н У/л

Положим M (p,f) =

І- Л f(z)|" a*(z)

V|z|<p

, где 0 < ц < да, 0 < p <1.

Лемма 2. Пусть функция f(z) е Н’р и 0< р < q < да. Тогда

1 - 9-3

{(1 -р)р Мчч (р,^р < да.

о

Доказательство. Имеем, на основании теоремы Фубини, что

1 - 9-3 р| ■ 9 1| ■ 9 Р - 9-3

{(1 -р)р dp{ |f(fe'0)|9 tdt = { у^в1в)|9 Ш{(1 -р)р dp

;у \pг -1J{(1 -1)p \f(te'0)|qdt.

Отсюда |(1 -р)р Р І |^е/0 )|?tdt < 1 ц - 2^||(1 - t)p ^е''0 )|?dt.

Умножим обе части этого неравенства на d0 и проинтегрируем его по 0 от нуля до 2л. Применяя теорему Фубини и лемму 1, получаем:

{(1 -p)p " dpJJ\f(tei0 )|qtdtd0 < да,

v_ _ y ____ <X,

0 0 0 что и требовалось доказать.

Лемма 3. Если функция f (z) аналитична в единичном круге |z| <1, то при 0 < q < 1 справедливо неравенство

1

rm Mqq (r,f[P] )< K(q, p)J(i -p)qM Mqq (P,f)dP, K(q, p) = const.

^ 0 Эта лемма доказывается аналогично следующей теореме работы [7].

Теорема 4. Если функция f(z) аналитична в единичном круге |z| <1, а 0< q < 1, то

имеет место неравенство

1 2л 1 2л

lim-1 j |f[p](re/е )|q d0 < R(q, p)J(1 - r)qp-1 J |f (re/e )|q dd0, R(q,p) = const.

r^ 2Л 0 0 0

2

Лемма 4. Пусть функция f (z) e HP и 0< p < q < 1, 0 < p < — 2. Тогда

p P

fp](z) є H'q, Г = p\l ^ p| .

Доказательство следует из лемм 2 и 3.

Теорема 5. Если ф есть ограниченный линейный функционал в пространстве

Н'р, 0 < р <1, то существует единственная функция д(х), аналитическая в круге Х| <1, такая, что

ф(0 = Ш^-^кШТА^). (4)

^ 2Л DR

При этом, 1) если 2/(т +1) < р<2/т, т = 2,3,..., то д(т-2)(х) еЛаА, где а = 2/р -т ; 2) если р = 2 / (т +1), то д(т-2)(х) е Л, А .

Обратно, 1) для любой функции д(х), аналитической в круге Х| <1, и такой, что д(т-2)(х) е Л2/р-тА, предел (4) существует для всех функций f(z) из нр,

2/(т +1) < р<2/т, т = 2,3,..., и определяет линейный ограниченный функционал в пространстве нр; 2) любая функция д(х) такая, что д(т-2)(х) еЛ„А, определяет, согласно (4), ограниченный линейный функционал в пространстве нр, р = 2 / (т +1).

Доказательство. Докажем прямое утверждение теоремы.

Пусть ф

ограниченный линейный функционал в пространстве НР и

ф^к) = Ьк / (2к + 2), к - 0,1,.... Тогда

№к) ФИХк

Ч (кр + 2)1/р

< да,

откуда следует, что функция д(z) = Х!=0Р^к аналитична в единичном круге Х| <1.

Для фиксированного р такого, что 0< р <1, положим /р(z) = f(p2z), и пусть

f(z) = Ек=0з^к е Н'р. Так как /р^) есть равномерный предел частичных сумм соответствующего ей степенного ряда, и линейный функционал ф непрерывен, то

ф(^) = Ііт Хф(акр2кхк) = Хак

_ Р2к.

л^«к=о к=о 2к + 2

Но /р(z) ^ f(z) по норме Нр при р^ 1 [8]. Следовательно,

да Ь 1мм 1

ф(/) = ЙЕа Р2к = Я 2а^к= |рт— Л /г&)д(1)(со^).

2к + 2'

р^1 2л

Х|<рк-

р^1 2л

Х|<р

Таким образом, показано, что ограниченный линейный функционал в пространстве НР

имеет вид:

(5)

где функция д^) аналитична в единичном круге Х| <1.

Докажем свойства функции д^) в представлении (4). 1) Пусть 2/(т +1)< р<2 / т, т = 2,3... и

F(z) -

dn

С

т!(-1)т+1

-, XI <1, С - ІСІеш.

<сс {1 ; (1 - ^)т+1

Найдем значение функционала ф от функции F(z). Получаем

Ф^) - Іріт^іл Я F(z)g(Z)da(z) -1 Ц | £хкСк+1 | дХ^а(х) -

2л і

(т)

С

р^1 2л

/да да \

Ц І X (к + 1)к...(к - т + 2)Ск-т+Хк £ЬкХк |da(z) -

Х|<р Vк-т-1 \т+1

-(-1)т+-Ііт р2тд(т1)(р2 С) -

2л р^1

2л

к-0 д(т-1)(С).

Отсюда следует оценка:

д(т-1)(х)| < 21 |Ф||. ^(х)|Iн < 21 |ф||т!

1 гг 2лdст(z)

2л .!.! |н ,-_|(т+1)р

\1/Р

:и<11 -СХ

< С

2лdст(z)

\1/р

(1 - ' ІСІ)1

(т+1)р-2

-С

2л^г

de

\1/р

<С

(1 - г |с|) т+ р- (1 + г |с|) 2л 01 - 2г \с\соб(Є - Л) + г2 |С|‘ \1/р

2лdr

(1 - г И)

(т+1)р-1

< С

2л С)

-1 л

(т + 1)р - 2

(1-ІСІ)

2/р-т-1

, С2 - 2||ф|| т!.

Используя эту оценку, получаем, что |д(т ч(0| = о((1 -|С|)2 р т 1), а это возможно тогда и только тогда, когда д(т-2)(С) е ЛаА, а = 2 / р - т [9].

dm+1 ( С I

2) Если р = 2/(т +1), то полагая, что F(z) = ^ т+1 к ^ I, аналогично получаем

равенство |д(т)(С)| = о((1- |С|) 1), которое имеет место тогда и только тогда, когда

7(т)

V- I Е?\»/ I с'

д(т-2)(С) еЛ.А [9].

Докажем теперь обратное утверждение теоремы.

1) Пусть 2 / (т +1) < р < 2 / т, f(z) е Н'р, д(т-2)(z) е ЛаА, а = 2 / р - т. Убедимся, что при этих условиях существует конечный предел

Пт [[ f(z)g(z)da(z),

р^И<р

и что отображение

f ^ 1т Я f (z)g(Z)dст(z)

Р^ И<р

определяет линейный ограниченный функционал в пространстве Н'р.

Положим

да А да

^(Р2) = X5,—Ц- р2к, h(m-1)(z) = ^'"^д^)^-4 = (, + т - 2).../^.

,=о 2Л + 2 ,=1

Составим выражение

1 да / да А Л

1 е-вЪ-2](гев)h(m-1)(re е)р^0 = ХаАр2^1 = I Ха -Л— р2,+2 I -Эо^р = (у(р2)р2)' -аАр.

- |/|<р ] ,=1 I,=о ^+2 )

Отсюда

Мр2)р2)' = - Я в' ^^(е ' 0)^т-1)(гв-' 0)р2dлd0 + э0Ь0р. (6)

* |г|<р

Так как д(т-2)^) еЛаА, то легко видеть, что и h{m-2)(z) еЛаА. Тогда имеет место неравенство:

\^т-1)^)\ < С3(1 - XI)2/р-т-1), сз < да. (7)

Из равенства (6) и неравенства (7) следует, что

С р 2я

|(у(р2)р2)'| < -3-}(1 - г)2/р-т-1| \^_2](ю' 0)|drd0 + |э0А^| <

- 0 0

р 2-

<2Сз(1 - р)2/р-т-1 —//^т-2](гв'0)drd0 + |аД| <

00

2

<2Сз(1 -р)2/p-m-1M(р,fm-l]) + С4 + ЭоЬо\, С4 =зир|у'(г2)|. (8)

Умножая обе части неравенства (8) на dр и интегрируя по р от нуля до единицы, в силу

1

лемм 2 и 4 заключаем, что [ |(у(р)р)'| dр < да, отсюда следует, что и Пт | у(р)|< да.

о р^

2) Пусть теперь р = 2/(т +1), g(m-2)(z)еЛ„Л Из равенства (6) при 1/2<р<1 вытекает, что

4 р 2?

|(у(р2)р2)'|<-Гг jF(z)G(z)d0

- о о

+ ЭЛ , (9)

где G(z) = zh(ml)(z) = z(zm 2g(z))(m 1 и F(z) = ^-2](г) е Н2'/3 на основании леммы 4. А из условия д(т- 2)(г) е Л, Л следует [9], что

|в'(г)| = о((1- Х| )-1). (10)

Заметим также, что

2л 2л

jF(z)G(z)rfe = |^/2]^[1/2](г)40, (11)

0

в чем легко убедиться, полагая F(z) = ^да=0Лкгк, G(z) = Хда=Вкгк и выполняя соответствующие операции над функциями F(z) и в(г).

Из неравенства (9) и равенства (11) вытекает, что

4 р 2л

|(^(р2 )р2 )'| < 4 |/^ |^^1/2] (z)G[1/2] (г)^е + ^1,

л 0 0

а из (10) следует неравенство

|в[1/2](г)| < С5 (1- г\)-1/2, С5 < да.

Следовательно, имеет место оценка

4С ^ х-1/2

(р

(у(р2)р2)'| < С(1 _ р)-1/2м (р,F[lm) + \э0Ь0\ + С4,

где F[1/2](z) е Н4/5 по лемме 4.

Отсюда, аналогично предыдущему случаю, получаем, что Пт|у(р)| < да. Теорема доказана.

р^1 1 1

Теорема 6. Пространство Н1 не является строго нормированным.

Доказательство. От противного. Из теоремы I вытекает, что, если пространство строго нормировано, то у линейного непрерывного функционала над пространством Н1 может быть только одна ЭФ.

Получим противоречие этому утверждению, построив линейный функционал, имеющий более одной ЭФ:

Кх) = _2-Х(і)і Зdt.

Очевидно, что \\1\\ = 1, так как, с одной стороны, |/(х)| < ||х||, и, одновременно полагая здесь х(0 = Ч2 (II Ч2|| = 1), получаем /(х) = 1; с другой стороны, если

— її її 1 ГI — |2 і |2

ф(ґ) = і(і + d)(1 + dt), d є С, то ф = — [ 1 + dt\ dt = 1 + d , а

п з і і

I

ф

V1 + |d I2 ,

V II/

ґ . л 1 x3d +т2 (1 + |d |2) + xd)

= _2і7і-----------= 1 = 11 ■

2л і Т 1 + |d

Таким образом, ЭФ функционала /(х) не единственна.

Теорема доказана.

Теорема 7. Пространство Н1 не является равномерно выпуклым.

Доказательство. От противного. Предположим, что пространство равномерно выпукло. Из этого предположения следует, что, если / е Н1, то функционал / имеет ЭФ.

Получим противоречие этому утверждению, приведя пример линейного функционала из Н*, у которого нет ЭФ. Для этого воспользуемся примером из [2]. Положим ю(х) = 1 при X е У , и

ю(х) = 0 при хеТ \ у ; ту >0, а, р - концы дуги у ; /(х) = — [х(х)ю(х^х .

2л Т

Очевидно, ||/|| = sup

Y

. А при использовании теоремы из [2]:

111 = inf v.m. |ю(х) - з(х)| <

1

2'

аеНда

В плоскости IV возьмем отрезок длиной л - 2ле, е >0, и окружим его аналитическим контуром L длиной 2л . Функция V = Т(г) осуществляет конформное однолистное отображение D на т^, причем такое, при котором точки а и р переходят в противоположные концы

диамера области, ограниченной L . Ясно, что — |"|т'(х)| |^х| =1 и

2л

||/|| > |/т| = 1............ 1 2л

j¥(x)di

= ^ |ВД- Y(P)| > ^- 6. 2л1 2

Последнее, в силу произвольности е, указывает, что ||/|| = 1, а \nfv.m.|ю -а| достигается

при а(х) = 1. Но тогда из теоремы II вытекает равенство 1 f ||^х| = +1 f(х)dх; это означает, что

f(х)dх вещественна на Т, т. е. f (х) = 0.

Полученное противоречие и доказывает теорему.

Доказательство окончено.

Выводы. 1. Пространство Н1' строго нормировано.

2. Общий вид непрерывного линейного функционала в пространстве Нр' следующий:

p(f) = limfjj f(Rz)g(Rz)da(z).

^ 2л D

Библиографический список

1. Данфорд Н. Линейные операторы. Общая теория / Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц. - М., 1962. - 895 с.

2. Хавинсон С.Я. Основы теории экстремальных задач для ограниченных аналитических функций и их различных обобщений / С.Я. Хавинсон. - М.: Изд-во МИСИ, 1981. - 92 с.

3. Пожарский Д.А. Интегральные операторы в пространствах аналитических функций и близких к ним / Д.А. Пожарский, В.Г. Рябых, Г.Ю. Рябых. - Ростов н/Д: Издательский центр ДГТУ, 2011. - 183 с.

4. Бурчаев Х.Х. Общий вид линейного функционала в метрическом пространстве H'p, 0 < p < 1 / Х.Х. Бурчаев, В.Г. Рябых // Сиб. мат. журн. - 1975. - Деп. в ВИНИТИ 17.03.75, 730-75.

5. Рябых В.Г. Линейные ограниченные отображения в Ap / В.Г. Рябых // Известия СКНЦ ВШ. - 1982. - № 3. - С. 37-41.

6. Рябых В.Г. Некоторые экстремальные задачи в пространстве H'p / В.Г. Рябых // Научные сообщения за 1964 г. (Серия точных и естественных наук). - Изд-во Рост. ун-та, 1964. - С. 74-78.

7. Hardy G.H. Theorems concerning mean values of analitic or armonos functions / G.H. Hardy, G.E. Littlwood // Quart. J. Math. (Oxford Ser.). - 1942. - Vol. 12. - P. 221-256.

8. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного / Г.М. Голузин. - М., 1966. - 628 с.

9. Зигмунд А. Тригонометрические ряды / А. Зигмунд. - Т. 1. - М., 1965. - 615 с.

Материал поступил в редакцию 18.07.2011.

References

1. Danford N. Linejny'e operatory'. Obshhaya teoriya / N. Danford, Dzh. T. Shvarcz. - M., 1962. - 895 s. - In Russian.

2. Xavinson S.Ya. Osnovy' teorii e'kstremal'ny'x zadach dlya ogranichenny'x analiticheskix funkcij i ix razlichny'x obobshhenij / S.Ya. Xavinson. - M.: Izd-vo MISI, 1981. - 92 s. - In Russian.

3. Pozharskij D.A. Integral'ny'e operatory' v prostranstvax analiticheskix funkcij i blizkix k nim / D.A. Pozharskij, V.G. Ryaby'x, G.Yu. Ryaby'x. - Rostov n/D: Izdatel'skij centr DGTU, 2011. - 183 s.

- In Russian.

4. Burchaev X.X. Obshhij vid linejnogo funkcionala v metricheskom prostranstve H'p, 0 < p < 1 / X.X. Burchaev, V.G. Ryaby'x // Sib. mat. zhurn. - 1975. - Dep. v VINITI 17.03.75, 730-75. - In Russian.

5. Ryaby'x V.G. Linejny'e ogranichenny'e otobrazheniya v Ap / V.G. Ryaby'x // Izvestiya SKNCz VSh. - 1982. - # 3. - S. 37-41. - In Russian.

6. Ryaby'x V.G. Nekotory'e e'kstremal'ny'e zadachi v prostranstve H'p / V.G. Ryaby'x // Nauchny'e soobshheniya za 1964 g. (Seriya tochny'x i estestvenny'x nauk). - Izd-vo Rost. un-ta, 1964. - S. 74-78. - In Russian.

7. Hardy G.H. Theorems concerning mean values of analitic or armonos functions / G.H. Hardy, G.E. Littlwood // Quart. J. Math. (Oxford Ser.). - 1942. - Vol. 12. - P. 221-256.

8. Goluzin G.M. Geometricheskaya teoriya funkcij kompleksnogo peremennogo / G.M. Goluzin. -M., 1966. - 628 s. - In Russian.

9. Zigmund A. Trigonometricheskie ryady' / A. Zigmund. - T. 1. - M., 1965. - 615 s. - In Russian.

BERGMANN AND HARDY SPACES AND CONJUGATE OF THEM

V.G. RYABYKH

(Southern Federal University),

G.Y. RYABYKH

(Don State Technical University)

It is proved that H[ space is strongly notmed, and Hl is neither strongly notmed, nor uniformly convex. A standard form of the linear functionals over H[ space and over metric spaces of H'p, 0 < p < 1, is determined. Keywords: Hardy space, Bergmann space, extremal function, linear functional.