Научная статья на тему 'Об ограниченности теплицевых операторов в весовых пространствах соболева голоморфных в шаре функций'

Об ограниченности теплицевых операторов в весовых пространствах соболева голоморфных в шаре функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
81
30
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ЕДИНИЧНЫЙ ШАР / АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ / ПРОСТРАНСТВА СОБОЛЕВА / ОПЕРАТОР ТЕПЛИЦА / РАДИАЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ / ПЛЮРИСУБГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНЦИЯ / UNIT BALL / HOLOMORPHIC FUNCTION / SOBOLEV SPACES / TOEPLITZ OPERATOR / RADIAL DERIVATIVE / PLURISUBHARMONIC FUNCTION

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Шамоян Ф. А., Куриленко С. М.

В работе получено полное описание тех плюригармонических функций на единичной сфере N-мерного комплексного пространства, при которых теплицев оператор с соответствующим символом является ограниченным оператором в аналитических пространствах С.Л. Соболева

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

ABOUT LIMITATION OF TOEPLITZ OPERATORS IN SOBOLEV''S WEIGHT SPACES OF HOLOMORPHIC FUNCTIONS IN THE SPHERE

We give the description of all pluriharmonic function h, for which the Teoplitz operator with symbol h is bounded in the weighted analytic Sobolev spaces in the ball

Текст научной работы на тему «Об ограниченности теплицевых операторов в весовых пространствах соболева голоморфных в шаре функций»

УДК - 517.55

ОБ ОГРАНИЧЕННОСТИ ТЕПЛИЦЕВЫХ ОПЕРАТОРОВ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ СОБОЛЕВА ГОЛОМОРФНЫХ В ШАРЕ ФУНКЦИЙ1

Ф.А. Шамоян, С.М. Куриленко

В работе получено полное описание тех плюригармонических функций на единичной сфере К-мерного комплексного пространства, при которых теплицев оператор с соответствующим символом является ограниченным оператором в аналитических пространствах С.Л. Соболева.

Ключевые слова: единичный шар, аналитическая функция, пространства Соболева, оператор Теплица, радиальная производная, плюрисубгармоническая фунция.

Пусть БЖ = {г е СЖ : < 1} - единичный шар в Ж-мерном комплексном пространстве СЖ , ^^ -его граница. Путь далее — - функция типа модуля непрерывности на Я+ = [0, + да), т.е. неотрицательная

неубывающая функция на Я+ , такая, что функция д() = —— убывает в некоторой окрестности точки

t

t = 0 (см. [1]). Символом Н(Бы) обозначим множество всех голоморфных в Бы функций.

Введем так же понятие производной в смысле Римана-Лиувилля: если / е Н (Бы) имеет

следующее однородное разложение: /(2) = =^к (2), 2 е Бы и ¡> 0 то дробной производной порядка в в смысле Римана-Лиувилля называется функция „ ^ Г(3 + к +1) Б

ВР/(2 ) = т/к (2 е БЫ.

г(з+1)г(к +1)

В монографии [2] определена радиальная производная функции / следующим образом:

Г(Ж +1 + а +1)Г(N +1 + к + а) Ж

Ясно, что производная П3 /(2) является частным случаем ЯаЛ/(2) при а = — N, t = 3. — -весовым пространством Лебега назовем пространство с нормой

14 (а) = I I /(С) I —(1— IС 1)(1— IС 1)а—1 < +®

— N

где ^у(С) - 2Ж-мерная мера Лебега в БЖ.

Пусть далее Н (БЖ )о L—(а) = А—(а), а>0, обозначим через А—(а, п) следующее пространство голоморфных в БЖ функций

А—" п) = {/ е Н ( Бж ):|| /

||А—("п) }б

I I пу(С) | —(1— 101)(1— 101)а—1 МО < +да}

Очевидно, что А—(а) = А— (а,0).

Определим пространство Л" голоморфных в БЖ функций следующим образом:

Л—=

/ е Н(Бж): = ||%"= 8ир

С 2 ^

П"+2 / (2 )|(1—|2|)

2еБ

N V

—(1— 12|)

<

И, наконец, определим оператор Теплица с символом на пространстве С(БЖ и ) о Н (БЖ ) :

1 Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (код проекта 13-01-97508)

/=к * е

/ ош)

% (1 -(

Основным результатом работы является доказательство следующей теоремы:

Теорема. Пусть а> 0, О - функция типа модуля непрерывности на R+, h -

плюригармоническая функция из ), тогда при п > а + N следующие утверждения равносильны

1) Тн является ограниченным оператором в пространстве А„(а,п)

2) __Фун

кцию И можно представить в виде И(0) = ИДО) + И2(0), О е SN, где Н1 имеет аналитическое

продолжение в BN, при этом И1 е А„(а, п), а И2 является граничным значением некоторой

ограниченной аналитической функции в BN.

Замечание. Основная теорема в одномерном случае установлена в работе [3]. Доказательство теоремы основано на нескольких вспомогательных утверждениях. Следующее утверждение типа теореммы Харди-Литтвуда легко вывести из результатов работы

[4].

Лемма 1. Пусть О - функция типа модуля непрерывности на (0,1], а>0, „(1 - г) = (1 - г У о (1 - г), тогда справедливы оценки

с,II/II <|< с2||/II ^ "¿„(а) II -Мка) ®(а)

для любой аналитической функции/ из А„(а).

Здесь и в дальнейшем Су = Су (...) — положительные числа, зависящие только от (...) Следующая лемма также установлена в работе [4].

Лемма 2. Пусть к, т е N, / е Н(BN), тогда существует многочлен Р порядка не выше т - к +1 такой, что

/( ) Г (1-01) тРк/О)Р((*0)) „ 0)

/ ( ^ = к-(1 -< ) ^-к

Докажем теперь следующее утверждение:

Лемма 3. Пусть И е Н 1(BN), тогда если оператор Ти действует в пространстве А„(а,п), то

И е Нж, причем ||И||^ < ||ТИ||, где Н" - множество ограниченных аналитических функций в BN. Доказательство:

Положим /г (2) =-т1—г—N - аналитическая функция по 2 и по г , 2 е BN,

(1 -( 2 п) '

г = (г1, г2,..., гN) е , по определению

Т (/' )(2» = I (/-Ш^ (1 -{2,0 П-О Г)) N

Учитывая равенство 0, г^ = О, г\, получим

Ти(/-2)=I (1 -(0..)) (1-(г ,0) N =И(г) /г (2

Но, так как оператор Ти действует в пространстве А„ (а, п), то

% /)А......-|Л(г )|| /\

\\А(а,п)

- ' М

откуда | к(г) • Если мы заменим функцию /г (2) на /г ?] е SN, то получим

утверждение леммы.

Лемма 4. Пусть у > а + N. уе R, а - функция типа модуля непрерывности. Тогда класс Аа(а, у) является кольцом относительно операций умножения и сложения.

Доказательство:

Для доказательства леммы достаточно установить, что оператор умножения является ограниченным оператором в пространстве Аш(а, у) .

Для целых у мы можем использовать методы из работы [3], поэтому покажем сначала, что мы не нарушая общности можем считать, что у — п е N .

Действительно, согласно лемме 1, справедлива оценка

III -4^) —М.....- с2ц/II

• а

(1 - г) = (1 - г- г)

ИАЖ(«) ^ Н^С«)' " ^ * ' ^ * ' " V * ' (1)

Положим п — у + 5, п е N, 5 е (0,1). Следующее равенство установлено в [2]

Я^ ,5 ^Г = £)Г+5 = ^п

Пусть / е Аю(а, у). Тогда, Эг(/) е Аа(а), следовательно, согласно (1) Яу-N'5Ву/ = Эп/ е Ьа(а + 5); п > « + 5 +1 Аналогично, если g е Аа(а, у), то

Dng е Ьа(а + 5); п > а+ 5 + N Если теперь для целого п мы докажем, чтоDn (/ • g) е Ьа(а + 5), то это будет означать, что

Яу-^5 Dу(/ • g) е Ьа(а + 5) или опять с учетом (1) получим Dу(/ • g) е Ьа(а), т.е. / • g е Аа(а,у).

Значит, не теряя общности, мы можем доказывать лемму для целых у — п. Перейдем к доказательству леммы.

Согласно утверждению 1.15 из [2] (стр. 19) для некоторых многочленов {рт }

дт /

(2)= X Рт (2) Л/ (2); п е ; т е Г 02

Далее для мультииндексов у и \ имеем

и • ^Аа(«,п) = 1

| у—п

I

р\-у

у

Рт ( 2 ) ( 2) ( 2)

Для доказательства леммы достаточно установить оценку

I (1-К1ГЧ1-К1)

05 /

(С)

дС

дr-\g -— (С)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

д£у-Р УЬ '

^(С) - с/

• ^ .

А®(ап) 11 ||А®(ап)

Учитывая представления

/ ( 2 ) = I

Г (1-1С12)^п/(С)

\N+1+$-п

(1 Ч2, С)

Р(С)(1-|С12)^п/(С)

М2) g(2) = |

_г (1- | С (С)

(1 -(2, с))

N+1+$-п

dv( 2)

имеем

д25

(2) = I

ду-^_г Q(С)(1-|СI2)sDng(С)

(1 -( 2, С)

N+1+5-п+| Р

dv( 2)

ж-р(2) 1

N

(1 Ч2, С)

N+1+5-п+|у|-| р\

dv( 2)

Где Р и Q - некоторые многочлены от Се BN .

т —п

Ьш(а)

N

Откуда, после подстановки получаем

\Б (1— | С|)а—1—(1— | С|)

д3 / дС3 (С

д

7—3

я

дС

7—3

(С)

¿КС) <

<е\Б \ (1— |С|)*(1—|н|)* | Пп/(С) И Пп£(н) | •I(С,

где

1 (С' н) = i -| 1

— (1— | 2 |)(1— | 2 |)С

|1 — (2,С)\

|1 — ( 2 н)|

N+1—п+ 7— 3

й\(2), Н, 2 е Б

N •

Так как * - достаточно большое натуральное число, то при 7 < п, | С |>| н |, | 2 |= г, имеем

I(С, н) < — (1 — г)(1 — г)а1 [ --

<1—(1 — г)(1 — г)а—11 -

■Ъ ч |1

1

|1 — ( 1

N+1-п+3|

|1 — ( 2, Н|

+1—п+ 7—Ц

2)Г2Ж ¿Г <

|1 — (Z'0\

2*+2 N+2—2п+ 7

йа{2)г2Ж ¿г < е\с

1 —(1 — г )(1 — г )а1

ач2*+N+2—2 п+М — гр) 1/1

¿Г <

—(1— | С |)(1— | С |)а—1 < с — (1— | С |)(1— | С |)а—

(1— | С |)2(*+1)+(7|—п)—п+N—1 (1— | С |) 2(*+1)— п+Ж—1

(3)

Аналогично, получим I(С, н)< с

—(1— | Н |)(1— | Н |) (1—|К|)

а—1

2(*+1)—п+Ж-

—, Н >С

4)

Подставляя (3) и (4) в (2), приходим к неравенству

д3/

д23 д2

7—3

(

< с

\

1рп/(С)—(1—С|)(1—Юг1 ¿чС) • I(1—Н)

VБи у бж

Но, так как п > а + N и — (1— | н |) > соп**(1— | н |), н е БЖ, то из последнего неравенства получим:

д3/ д7—3я

д23 д2

7—3

< с\\а\ • £

лемма доказана. Доказательство теоремы. Докажем (1)= > (2).

Если Ть действует в пространстве А—(а, п), то поскольку к - плюригармоническая функция, то к = к + к2, где к1 е А—(а,п), а к2 еН 1(БЖ). Но, так как Ть- ограниченный оператор и по лемме 4 пространство А—(а,п) является кольцом, то Т-^(/) - ограниченный оператор в А—(а,п).

Следовательно, по лемме 3 к2 е Нш. Импликация (1)=> (2) доказана. Докажем (2)= > (1). Согласно лемме 2

/ ( 2 ) = I

(1—1*|) тБп/(г) р({ 2, г))

(1 — (2, г))Ж+1+т—п

¿у(г)

и этот интеграл абсолютно сходится при 2 е . Значит,

т (/)(7)= г к2(С) г (1—|г|)тРп/(г)р((С'*)) к2(/ )() ^ (1 — (2, С)Ж К (1 — (С, )

+1+т—п

¿у(г )Ла(С)-

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(

N

Поменяем порядок интегрирования

Т- (/)(2) = г (1— | г|)тПп/(г)Г -. к2[°Р^С'^)—т^dст(С)dv(í).

' 1 " (1 — (С, А)Ж+1+т-п (1 — (г,С))ж

Рассмотрим внутренний интеграл

J=г ; к2СР(С')) ^ МС)=

^ (1 — С' )Ж+1+т—п (1 — (2, С)) Ж

к2(С) Р(С, г)

2 '_

= г _к2^Р<('°)>_А*!)- о-+- г (—С^аЮ

кг (1 -{гСУ^^—{С.гУ ^ (1 — (г,С)"

Применив к данному интегралу формулу Коши-Сеге, получим, что

J (2, г ) = П

т+1—п

г к2(г )Р2( 2, г) ^

V (1 — V' 2)) у

где производная берется по г.

Согласно утверждению 1.15 из [3] (см. стр. 19)

дт /

П/(2)= X Рт (2) (2), т е Г, * е R

т |< N д2

где каждый рт есть многочлен от 2 е БЖ. Откуда

3 = X дкк2 Рк (г, 2)

к|<т+1-п (1 '2

Л+к ГЛ / Л\N+m+1-k-n

п дг (1 — (2, г))

Значит, чтобы доказать ограниченность оператора Тк2 в А—(а, п), достаточно показать, что оператор

д 'к

(1— |г|) т\(г) Бк2^)(2) = ^-^Ц^тВт- ¿40' к =|*|

действует в пространстве А— (а) = А— (а,0) при условии, что 0 < к < т +1 — п и к2 е Нш. Перейдем к оценке последнего интеграла. Имеем [ |Б (\)( 2)|—(1— | 2 |)(1— | 2 |)"—1 2) <

JБN 2

(1—I)т\А<\дкМГ — О-12|хн2Г-щ, к =|'|. 5)

Ч ^ ' дг' К |1 -(2, t)|N+т+1-к 1 '

Оценим внутренний интеграл

I=г—(1—■2|)(1—121—:1 ^ 2 >

К |1 — (2, г)^+т+1-к v ;

Так как к — т < 1, то т + N +1 — к > N > 2, кроме того — (1— | 21) - неубывающая на [0,1] функция, значит

I(')< —Рг-Р):—1 ¿V«2)' г =|г|, р=|2|.

Далее, т.к. к < т +1 — п и п > а +1, то т +1 — к > т +1 — т — 1 + п = п > а + N, значит

т - к -а > N -1 > 0. Продолжим оценку. Так как —(—— - неубывающая на [0,1) функция, получим

I (t ) < с

с(1 - r) fi (1 -р)с

1 - r

(1 - rp)

п-к

dp< с

i-р с(1 - r)

а\т-к-а+1

- r)

Вернемся к оценке интеграла (5). Т.к. h2 е Hœ, то

д sh-

д sh

dts

(1-111)к ограничен. Получим, что

B, V)

< с

Са) JBN

I V(t)l

dts

(1-|t|)kc(1-\t\)(1-\t\)a-1 dv(t) < с|V a („), к =\s |

Теорема доказана.

We give the description of all pluriharmonic function h, for which the Teoplitz operator with symbol h is bounded in the weighted analytic Sobolev spaces in the ball.

The key words: unit ball, holomorphic function, Sobolev spaces, Toeplitz operator, radial derivative, plurisubharmonic function.

Список литературы

1. В.И. Смирнов, Н.А. Лебедев, «Конструктивная теория функций комплексного переменного» /, М.: Наука, 1964 , 440 с.

2. Kehe Zhu, Spaces of Holomorphic Functions in the Unit Ball, Springer, 2005, 274 p.

3. Ф.А.Шамоян, "Об ограниченности Тёплицевых операторов в весовых соболевских пространствах голоморфных в круге функций" / Записки научных семинаров ПОМИ, том 389, вып. 39, стр. 257-282, 2011 г.

4. Антоненкова О.Е., Шамоян Ф.А. «Преобразование Коши линейных непрерывных функционалов и проекторы в весовых пространствах аналитических функций»// Сиб. мат. журн. 2005. Т. 46, №6. С. 1208-1234.

Об авторах

Шамоян Ф.А. - доктор физико-математических наук, профессор Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского, [email protected].

Куриленко С.М. - аспирант Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского, [email protected].

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.