УДК - 517.55
ОБ ОГРАНИЧЕННОСТИ ТЕПЛИЦЕВЫХ ОПЕРАТОРОВ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ СОБОЛЕВА ГОЛОМОРФНЫХ В ШАРЕ ФУНКЦИЙ1
Ф.А. Шамоян, С.М. Куриленко
В работе получено полное описание тех плюригармонических функций на единичной сфере К-мерного комплексного пространства, при которых теплицев оператор с соответствующим символом является ограниченным оператором в аналитических пространствах С.Л. Соболева.
Ключевые слова: единичный шар, аналитическая функция, пространства Соболева, оператор Теплица, радиальная производная, плюрисубгармоническая фунция.
Пусть БЖ = {г е СЖ : < 1} - единичный шар в Ж-мерном комплексном пространстве СЖ , ^^ -его граница. Путь далее — - функция типа модуля непрерывности на Я+ = [0, + да), т.е. неотрицательная
неубывающая функция на Я+ , такая, что функция д() = —— убывает в некоторой окрестности точки
t
t = 0 (см. [1]). Символом Н(Бы) обозначим множество всех голоморфных в Бы функций.
Введем так же понятие производной в смысле Римана-Лиувилля: если / е Н (Бы) имеет
следующее однородное разложение: /(2) = =^к (2), 2 е Бы и ¡> 0 то дробной производной порядка в в смысле Римана-Лиувилля называется функция „ ^ Г(3 + к +1) Б
ВР/(2 ) = т/к (2 е БЫ.
г(з+1)г(к +1)
В монографии [2] определена радиальная производная функции / следующим образом:
Г(Ж +1 + а +1)Г(N +1 + к + а) Ж
Ясно, что производная П3 /(2) является частным случаем ЯаЛ/(2) при а = — N, t = 3. — -весовым пространством Лебега назовем пространство с нормой
14 (а) = I I /(С) I —(1— IС 1)(1— IС 1)а—1 < +®
— N
где ^у(С) - 2Ж-мерная мера Лебега в БЖ.
Пусть далее Н (БЖ )о L—(а) = А—(а), а>0, обозначим через А—(а, п) следующее пространство голоморфных в БЖ функций
А—" п) = {/ е Н ( Бж ):|| /
||А—("п) }б
I I пу(С) | —(1— 101)(1— 101)а—1 МО < +да}
Очевидно, что А—(а) = А— (а,0).
Определим пространство Л" голоморфных в БЖ функций следующим образом:
Л—=
/ е Н(Бж): = ||%"= 8ир
С 2 ^
П"+2 / (2 )|(1—|2|)
2еБ
N V
—(1— 12|)
<
И, наконец, определим оператор Теплица с символом на пространстве С(БЖ и ) о Н (БЖ ) :
1 Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (код проекта 13-01-97508)
/=к * е
/ ош)
% (1 -(
Основным результатом работы является доказательство следующей теоремы:
Теорема. Пусть а> 0, О - функция типа модуля непрерывности на R+, h -
плюригармоническая функция из ), тогда при п > а + N следующие утверждения равносильны
1) Тн является ограниченным оператором в пространстве А„(а,п)
2) __Фун
кцию И можно представить в виде И(0) = ИДО) + И2(0), О е SN, где Н1 имеет аналитическое
продолжение в BN, при этом И1 е А„(а, п), а И2 является граничным значением некоторой
ограниченной аналитической функции в BN.
Замечание. Основная теорема в одномерном случае установлена в работе [3]. Доказательство теоремы основано на нескольких вспомогательных утверждениях. Следующее утверждение типа теореммы Харди-Литтвуда легко вывести из результатов работы
[4].
Лемма 1. Пусть О - функция типа модуля непрерывности на (0,1], а>0, „(1 - г) = (1 - г У о (1 - г), тогда справедливы оценки
с,II/II <|< с2||/II ^ "¿„(а) II -Мка) ®(а)
для любой аналитической функции/ из А„(а).
Здесь и в дальнейшем Су = Су (...) — положительные числа, зависящие только от (...) Следующая лемма также установлена в работе [4].
Лемма 2. Пусть к, т е N, / е Н(BN), тогда существует многочлен Р порядка не выше т - к +1 такой, что
/( ) Г (1-01) тРк/О)Р((*0)) „ 0)
/ ( ^ = к-(1 -< ) ^-к
Докажем теперь следующее утверждение:
Лемма 3. Пусть И е Н 1(BN), тогда если оператор Ти действует в пространстве А„(а,п), то
И е Нж, причем ||И||^ < ||ТИ||, где Н" - множество ограниченных аналитических функций в BN. Доказательство:
Положим /г (2) =-т1—г—N - аналитическая функция по 2 и по г , 2 е BN,
(1 -( 2 п) '
г = (г1, г2,..., гN) е , по определению
Т (/' )(2» = I (/-Ш^ (1 -{2,0 П-О Г)) N
Учитывая равенство 0, г^ = О, г\, получим
Ти(/-2)=I (1 -(0..)) (1-(г ,0) N =И(г) /г (2
Но, так как оператор Ти действует в пространстве А„ (а, п), то
% /)А......-|Л(г )|| /\
\\А(а,п)
- ' М
откуда | к(г) • Если мы заменим функцию /г (2) на /г ?] е SN, то получим
утверждение леммы.
Лемма 4. Пусть у > а + N. уе R, а - функция типа модуля непрерывности. Тогда класс Аа(а, у) является кольцом относительно операций умножения и сложения.
Доказательство:
Для доказательства леммы достаточно установить, что оператор умножения является ограниченным оператором в пространстве Аш(а, у) .
Для целых у мы можем использовать методы из работы [3], поэтому покажем сначала, что мы не нарушая общности можем считать, что у — п е N .
Действительно, согласно лемме 1, справедлива оценка
III -4^) —М.....- с2ц/II
• а
(1 - г) = (1 - г- г)
ИАЖ(«) ^ Н^С«)' " ^ * ' ^ * ' " V * ' (1)
Положим п — у + 5, п е N, 5 е (0,1). Следующее равенство установлено в [2]
Я^ ,5 ^Г = £)Г+5 = ^п
Пусть / е Аю(а, у). Тогда, Эг(/) е Аа(а), следовательно, согласно (1) Яу-N'5Ву/ = Эп/ е Ьа(а + 5); п > « + 5 +1 Аналогично, если g е Аа(а, у), то
Dng е Ьа(а + 5); п > а+ 5 + N Если теперь для целого п мы докажем, чтоDn (/ • g) е Ьа(а + 5), то это будет означать, что
Яу-^5 Dу(/ • g) е Ьа(а + 5) или опять с учетом (1) получим Dу(/ • g) е Ьа(а), т.е. / • g е Аа(а,у).
Значит, не теряя общности, мы можем доказывать лемму для целых у — п. Перейдем к доказательству леммы.
Согласно утверждению 1.15 из [2] (стр. 19) для некоторых многочленов {рт }
дт /
(2)= X Рт (2) Л/ (2); п е ; т е Г 02
Далее для мультииндексов у и \ имеем
и • ^Аа(«,п) = 1
| у—п
I
р\-у
у
Рт ( 2 ) ( 2) ( 2)
Для доказательства леммы достаточно установить оценку
I (1-К1ГЧ1-К1)
05 /
(С)
дС
дr-\g -— (С)
д£у-Р УЬ '
^(С) - с/
• ^ .
А®(ап) 11 ||А®(ап)
Учитывая представления
/ ( 2 ) = I
Г (1-1С12)^п/(С)
\N+1+$-п
(1 Ч2, С)
Р(С)(1-|С12)^п/(С)
М2) g(2) = |
_г (1- | С (С)
(1 -(2, с))
N+1+$-п
dv( 2)
имеем
д25
(2) = I
ду-^_г Q(С)(1-|СI2)sDng(С)
(1 -( 2, С)
N+1+5-п+| Р
dv( 2)
ж-р(2) 1
N
(1 Ч2, С)
N+1+5-п+|у|-| р\
dv( 2)
Где Р и Q - некоторые многочлены от Се BN .
т —п
Ьш(а)
N
Откуда, после подстановки получаем
\Б (1— | С|)а—1—(1— | С|)
д3 / дС3 (С
д
7—3
я
дС
7—3
(С)
¿КС) <
<е\Б \ (1— |С|)*(1—|н|)* | Пп/(С) И Пп£(н) | •I(С,
где
1 (С' н) = i -| 1
— (1— | 2 |)(1— | 2 |)С
|1 — (2,С)\
|1 — ( 2 н)|
N+1—п+ 7— 3
й\(2), Н, 2 е Б
N •
Так как * - достаточно большое натуральное число, то при 7 < п, | С |>| н |, | 2 |= г, имеем
I(С, н) < — (1 — г)(1 — г)а1 [ --
<1—(1 — г)(1 — г)а—11 -
■Ъ ч |1
1
|1 — ( 1
N+1-п+3|
|1 — ( 2, Н|
+1—п+ 7—Ц
2)Г2Ж ¿Г <
|1 — (Z'0\
2*+2 N+2—2п+ 7
йа{2)г2Ж ¿г < е\с
1 —(1 — г )(1 — г )а1
ач2*+N+2—2 п+М — гр) 1/1
¿Г <
—(1— | С |)(1— | С |)а—1 < с — (1— | С |)(1— | С |)а—
(1— | С |)2(*+1)+(7|—п)—п+N—1 (1— | С |) 2(*+1)— п+Ж—1
(3)
Аналогично, получим I(С, н)< с
—(1— | Н |)(1— | Н |) (1—|К|)
а—1
2(*+1)—п+Ж-
—, Н >С
4)
Подставляя (3) и (4) в (2), приходим к неравенству
д3/
д23 д2
7—3
(
< с
\
1рп/(С)—(1—С|)(1—Юг1 ¿чС) • I(1—Н)
VБи у бж
Но, так как п > а + N и — (1— | н |) > соп**(1— | н |), н е БЖ, то из последнего неравенства получим:
д3/ д7—3я
д23 д2
7—3
< с\\а\ • £
лемма доказана. Доказательство теоремы. Докажем (1)= > (2).
Если Ть действует в пространстве А—(а, п), то поскольку к - плюригармоническая функция, то к = к + к2, где к1 е А—(а,п), а к2 еН 1(БЖ). Но, так как Ть- ограниченный оператор и по лемме 4 пространство А—(а,п) является кольцом, то Т-^(/) - ограниченный оператор в А—(а,п).
Следовательно, по лемме 3 к2 е Нш. Импликация (1)=> (2) доказана. Докажем (2)= > (1). Согласно лемме 2
/ ( 2 ) = I
(1—1*|) тБп/(г) р({ 2, г))
(1 — (2, г))Ж+1+т—п
¿у(г)
и этот интеграл абсолютно сходится при 2 е . Значит,
т (/)(7)= г к2(С) г (1—|г|)тРп/(г)р((С'*)) к2(/ )() ^ (1 — (2, С)Ж К (1 — (С, )
+1+т—п
¿у(г )Ла(С)-
(
N
Поменяем порядок интегрирования
Т- (/)(2) = г (1— | г|)тПп/(г)Г -. к2[°Р^С'^)—т^dст(С)dv(í).
' 1 " (1 — (С, А)Ж+1+т-п (1 — (г,С))ж
Рассмотрим внутренний интеграл
J=г ; к2СР(С')) ^ МС)=
^ (1 — С' )Ж+1+т—п (1 — (2, С)) Ж
к2(С) Р(С, г)
2 '_
= г _к2^Р<('°)>_А*!)- о-+- г (—С^аЮ
кг (1 -{гСУ^^—{С.гУ ^ (1 — (г,С)"
Применив к данному интегралу формулу Коши-Сеге, получим, что
J (2, г ) = П
т+1—п
г к2(г )Р2( 2, г) ^
V (1 — V' 2)) у
где производная берется по г.
Согласно утверждению 1.15 из [3] (см. стр. 19)
дт /
П/(2)= X Рт (2) (2), т е Г, * е R
т |< N д2
где каждый рт есть многочлен от 2 е БЖ. Откуда
3 = X дкк2 Рк (г, 2)
к|<т+1-п (1 '2
Л+к ГЛ / Л\N+m+1-k-n
п дг (1 — (2, г))
Значит, чтобы доказать ограниченность оператора Тк2 в А—(а, п), достаточно показать, что оператор
д 'к
(1— |г|) т\(г) Бк2^)(2) = ^-^Ц^тВт- ¿40' к =|*|
действует в пространстве А— (а) = А— (а,0) при условии, что 0 < к < т +1 — п и к2 е Нш. Перейдем к оценке последнего интеграла. Имеем [ |Б (\)( 2)|—(1— | 2 |)(1— | 2 |)"—1 2) <
JБN 2
(1—I)т\А<\дкМГ — О-12|хн2Г-щ, к =|'|. 5)
Ч ^ ' дг' К |1 -(2, t)|N+т+1-к 1 '
Оценим внутренний интеграл
I=г—(1—■2|)(1—121—:1 ^ 2 >
К |1 — (2, г)^+т+1-к v ;
Так как к — т < 1, то т + N +1 — к > N > 2, кроме того — (1— | 21) - неубывающая на [0,1] функция, значит
I(')< —Рг-Р):—1 ¿V«2)' г =|г|, р=|2|.
Далее, т.к. к < т +1 — п и п > а +1, то т +1 — к > т +1 — т — 1 + п = п > а + N, значит
т - к -а > N -1 > 0. Продолжим оценку. Так как —(—— - неубывающая на [0,1) функция, получим
I (t ) < с
с(1 - r) fi (1 -р)с
1 - r
(1 - rp)
п-к
dp< с
i-р с(1 - r)
а\т-к-а+1
- r)
Вернемся к оценке интеграла (5). Т.к. h2 е Hœ, то
д sh-
д sh
dts
(1-111)к ограничен. Получим, что
B, V)
< с
Са) JBN
I V(t)l
dts
(1-|t|)kc(1-\t\)(1-\t\)a-1 dv(t) < с|V a („), к =\s |
Теорема доказана.
We give the description of all pluriharmonic function h, for which the Teoplitz operator with symbol h is bounded in the weighted analytic Sobolev spaces in the ball.
The key words: unit ball, holomorphic function, Sobolev spaces, Toeplitz operator, radial derivative, plurisubharmonic function.
Список литературы
1. В.И. Смирнов, Н.А. Лебедев, «Конструктивная теория функций комплексного переменного» /, М.: Наука, 1964 , 440 с.
2. Kehe Zhu, Spaces of Holomorphic Functions in the Unit Ball, Springer, 2005, 274 p.
3. Ф.А.Шамоян, "Об ограниченности Тёплицевых операторов в весовых соболевских пространствах голоморфных в круге функций" / Записки научных семинаров ПОМИ, том 389, вып. 39, стр. 257-282, 2011 г.
4. Антоненкова О.Е., Шамоян Ф.А. «Преобразование Коши линейных непрерывных функционалов и проекторы в весовых пространствах аналитических функций»// Сиб. мат. журн. 2005. Т. 46, №6. С. 1208-1234.
Об авторах
Шамоян Ф.А. - доктор физико-математических наук, профессор Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского, shamoyanfa@yandex.ru.
Куриленко С.М. - аспирант Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского, SergKurilenko@gmail.com.