Аналитические функции с гладким модулем граничных значений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 9. № 3 (2017). С. 148-157.

УДК 517.53

АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ С ГЛАДКИМ МОДУЛЕМ

ГРАНИЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ

Ф.А. ШАМОЯН

Аннотация. Пусть / — аналитическая функция в единичном круге D, непрерывная вплоть до его границы Г, f(z) = 0,z £ .D. Предположим f имеет на Г модуль непрерывности w(|/1,5). В статье устанавливается оценка w(f,ö) ^ Аш(1/1,^5), где А — некоторое неотрицательное число и точность данной оценки. Кроме того, в статье устанавливается многомерный аналог указанного результата. В доказательстве основной теоремы существенную роль играет теорема типа теорем Харди-Литтлвуда о гельде-ревских классах аналитических функций в единичном круге.

Ключевые слова: аналитическая функция, модуль непрерывности, факторизация, внешняя функция.

Mathematics Subject Classification: primarv: 30D55, 30D15; secondarv: 46E22, ITA 15

Введение

Пусть D = {z £ C : lz| < 1} — открытый единичный круг на комплексной плоскости C, Г - его граница, Обозначим через Ca множество всех функций f, аналитических в D и непрерывных в D U Г Есл и f £ С (Г), то символ ом w(f,ö) будем обозначать модуль непрерывности функции f на Г, т.е.

u(f,5) = {sup |f(7) - f £ Г, |t| ^ ö,t £ R}.

В статье мы рассматриваем следующую задачу: пусть f £ Сд, при этом функция |f (егв)| на единичной окружности имеет модуль непрерывности w(|f |, 5). Каков модуль непрерывности самой функции f на Г и тем самым на Д U Г?

Впервые такая задача в классах непрерывных фунций с модулем непрерывности, удовлетворяющих условию Бари-Стечкина

<5 ж

J +¡¡«т л=oMifU)), с« - 0), (i)

0 6 была решена в работе В.П. Хавина и автора (см. [5]).

Было установленно, что если w(|f|,i) удовлетворяет условию Бари-Стечкина (1), при этом f (z) = 0,z £ D, то

u(f,5) = 0(u(\f |, V~5)), (5 - 0).

Кроме того, на простых примерах было показано, что полученная оценка является точной, и условие f (z) = 0,z £ D, в известном смысле, является необходимым. Подробное доказательство этих уверждений изложено в диссертации [7]. Указанная работа породила довольно интересные исследования в этом направлении. Сначала В.П. Хавин (см. [6]) предложил новый подход для получения таких оценок, применяя методы теории сингулярных интегральных операторов. В дальнейшем H.A. Широков (см. [8], [10]) распространил

F.A. Shamoyan,Analytic Functions with smooth absolute value of boundary data.

© Шамоян Ф.А. 2017.

Поступила 10 мая 2017 г.

результаты вышеуказанного типа для внешних функций и гёльдеровеких классов порядка а,а Е (0, одновременно получил необходимое и доетаточное условие на |егв)|, для которых функция f будет иметь заданный модуль непрерывности на множестве И и Г, В этих работах была введена новая характеристика в терминах которых он получил результаты подобного типа и для классов О, Бесова аналитических функций в И и Г, И наконец, отметим работу [2], где установлено, что описанное выше явление имеет локальный характер, т.е. если, например, модуль |/| на окружности удовлетворяет условию Гёльдера порядка а лишь в одной точке, то f принадлежит классу Гёльдера порядка ^ в этой точке.

Отметим, что доказательство В, П, Хавина и доказательства результатов из вышеуказанных работ ([2], [6], [8], [Ю]), основаны на тонких методах комплексного и гармонического анализа. На наш взгляд подход, применяемый в работах [5] и [7], основанный на классических теоремах типа Харди-Литтлвуда (см, [3], [4]), является более простым, В этой статье, развивая метод работ [5], [7], мы докажем результаты такого рода и для модулей непрерывности ш(|/|, 5), удовлетворяющих классическому условию А, Зигмунда

6

I ^Ма = 0 (и(Ш, 6)), (6 ^ 0). (2)

о

Справедливо следующее утверждение:

Теорема 1. Пусть f - функция из класса С а, причем /(г) = 0,х Е И. Тогда, если модуль непрерывности, функции |/| «а Г ш(|/|, удовлетворяет условию А. Зигмунда (2), то

ш(5) = 0 (и(|/|, V*)) , (5 ^ 0), (3)

причем, оценка (3) является, точной.

Замечание 1. Простой пример функции

¡(г) = (1 - г)2а ехр ^-^ , г € И и Г, а € (0,

1 - ^

где вы,бра,на, главная, ветвь степенной функции, показывает точность утверждения теорем,ы.

Аналог теоремы 1 справедлив и для аналитических функций в единичном шаре пространства Сп. Чтобы сформулировать его, введем еще некоторые обозначения. Пусть г = (г1,..., гп) Е Сп, ||г|| = у/1 г^2 + ... + | гга|2 .Определим Вп = [г Е Сп : ||г|| < 1}, а Я = [гЕ Сп : ||;г|| = 1}.

Обозначим через Н(Вп) множество всех аналитических функций в Вп. Если f Е Н(Вп)

и /(г) = ^ Д(¿0 — разложение функции f по однородным многочленам, то через Я( к=0

П(Л(г) = ^к Л (г), г Е Вп.

к=1

Введем также следующее обозначение:

Са(Вп) = Н (Вп) ПС (Вп и Я). Справедлива следующая оценка теоремы 1 в классах Са(Вп):

Теорема 2. Пусть f G Са(Вп), причем модуль непрерывности функции |/| «а Sn ш(|/|, i) удовлетворяет условию А. Зигмунда (2), тогда модуль непрерывности, самой функции на, множестве Вп U Sn удовлетворяет оценке

ш(f, 6) ^ Аш(|/|, y/S), 0 ^ S ^ 2.

Замечание 2. В случае гёльдеровских классов, т.е. когда, ш( f, t) = ta, 0 < а ^ 1, t G [0, 2], аналог теорем,ы, 2 ранее был, установлен в работе Н. А. Широкова [9].

§1. Доказательство вспомогательных утверждений

Пусть fag — вещеетвеннозначные функции с общей областью определения Е С C, тогда соотношение f < g на Е равносильно следующему: существует положительное число А такое что f(z) ^ Ад(z), Vz G Е. Если f < д и одновременно д < f, то f(z) ~ g(z).

В дальнейшем функцией типа модуля неприрывноети назовем неотрицательную неубывающую функцию ш на [0, такую что

ш(0) = 0, ш(51 + S2) ^ ш(¿i) + ш(62), ш(Х8) ^ 2Хш(8), Х,8 G [0,

Лемма 1. Пусть ш - функция типа, модуля непрерывности, удовлетворяющая условию А. Зигмунда (2), тогда,

ш(8) 1п 1 <ш(/5),5> 0. (4)

Доказательство. По определению имеем

i ^du ^ Аш(/).

J u

0

Ясно, что если 1 ^ 5, то оценка (4) очевидна, поэтому будем предполагать, что 0 < 5 < 1, Тогда

V s V

i ш(uldu = / ш(uldu + / ^uldu.

u u u

Поэтому

(^йи >Ш{5)( ^ = .

] и } и 2 д

о г

Остается использовать условие А. Зигмунда, Оценка (4) установлена. Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть f е Са, t = |£| г, Ь е И, те Г. Тогда, справедлива, оценка

1

1 -И,

Доказательство. Имеем

I/(*)! < (|/(т)! + ш(f, (1 -N))inY-^) .

г

где Pt(£) — ядро Пуассона, Поэтому

Int)! ^ ¿/Pt(°!m - Лт)'кI +1Лт)|.

г

Следовательно,

I№1 < (|/(т)1 + ), (5)

где := -1 [ /, |£ — т\)(!т. Перейдем к оценке последнего интеграла. Ясно, что

г

г

т < [(1 -м2м/, 1е-г|) г (1 -щ2м¡,и)

■ <] (1 -И)2 + |£-т|2 <У (1 -И)2 + и2 аи г о

Продолжим ш(¡, ^ на = [0, как функцию типа модуля непрерывности (см, [1],

[4]), Тогда

ж

1 — |£

о

Представив этот интеграл в виде суммы

ж

1 1 -и

7 1 + V2 у 1 + V2 '

о1

и учитывая, что не возрастает (см, [1], [4]), получаем

ж

1 -1 £

<ш(¡, 1 -I*I) Г У

1 + 2 1

Поэтому

<Ш(/, 1 . (6)

Из (5), (6) следует утверждение леммы.

Лемма 3. (см. [3]). Пусть X — положительная неубывающая функция на, (0,1), при 1

этом, / Х(и)¿и < +<х. Предположим, что f — а,политическая, функция в И, такая что

о

ГI Г(?)11 8иР 1 <

Тогда, функция / принадлежит классу Са, при этом,

1

ш(!, ^ <У х(и)<1и. 1-6

Лемма 4. Пусть f Е Са, /(г) = 0,г Е И, |¡(г)1 ^ 1,г Е И. Тогда, существует число М > 0 обладающее следующими свойствами: для произвольного 0 < а < 1 функцию f в И можно представить в виде

¡(г) = Фа(г)Ъа(г),г Е И,

где — аналитическая функция в И, такая ч,то |Фа| непрерывно продолжена на, весь замкнутый круг И и Г,

а ^ < 1, V Е И,

||Фа(0|-|Фа^")|| ^ ||/(0|-| ")||,^" Е Г,

iin №amidt | ^M,

Фа(г) = ехр J £ И,

где (¿) — ядро Шварца для, круга И, ^а — борелевская неотрицательная, мера, на, Г, полная, вариация которой не превосходит М.

Доказательство. Пусть На(¿) = шах(а, |/(¿)|),£ £ Г,

Фа(г) := exp | — Sz(t)lnHa(t)ldt| | ,

Фа(г) = f(z) (Ф^))-1 := exp I - I Sz(t)dfia(t) | G D,

где

Va (E ) = -J in( Idt | +»(E),

(8)

^ — неотрицательная мера определяющая сингулярную часть функции Е — произвольное борелевекое множество па Г, Еа = {7 £ Г : |/(7)| ^ а} Ясно, что |Фа| на Г совпадает с На. Оценка (7) получается из следующего неравенства

/| 1п |Фа(011№1 = / I 1п |Ф«(Ш№1 + / I 1п |Фа(011№1 =

г е(|/|>а) Е(У |<о)

1

I in |Фа(011№1 + o(Ea) in -

E{\f |>о)

где о — мера Лебега множества Ea. Остается заметить, что

Ea = E (I/I ^a) = E (in i! > in!)

(напомним, что max |/| ^ 1, 0 < a < 1),

Из конечности интеграла J | in |/(£) |||d£| следует, что sup Ao(7 G Г : | in |/(7) || > A) <

г " A>0

Следовательно, (7) установлено. Теперь оценим ^a(E), Для этого обозначим через V^(E) первое слагаемое в правой части (8) и заметим, что ^а(Г) ^ Va(Г) + ^(Г), Поэтому

К(Г) ^ Í | in |/||dí + | ina|o(ro),

где Га = {7 £ Г : 11п | f(ry)|| > 11па|}. Таким же путем, как мы доказали неравеетво (7), получим последнее утверждение леммы. Лемма доказана.

Замечание 3. Нетрудно заметить, используя неравенство Иенсена, что если сА < 1, то

ЫГ)| < 1п 1

|1п | < 1п

|/(0)|' 1

| ¡(0)1 г

§2. Доказательство теорем Доказательство теоремы 1.

Не ограничивая общности, будем предполагать, что | f(t)| ^ 1, V Е Г, Кроме того, для удобства положим ш(5) := 5), 0 ^ 5 ^ 2, и при этом

|Ж)|-|Ж')| < V',£'Е Г.

Используя лемму 3, достаточно установить оценку

| .№)!< ^^еи.

Пусть £ Е И — фиксированная точка круга И, положим в лемме 4: а = - \Ъ\).

Введем обозначения

Ft(t) = ■*ш(V-¡-))(t), =

Заметим, что

Г^) = Л (t)Ft (^ + л (1)^(1)

1°. Оценка |^(^ЦР^(¿)|. Для получения этой оценки сначала докажем неравенство

|^)| < ^¿Т)^ = Щт,т Е Г. (9)

По лемме 2

|^)| < (|Л(г)| +ш(1 -И)1пг-. Поэтому для доказательства неравенства (9) достаточно установить оценку

8ПрМ1 - |*|)1п1^Ш |--1(т)|} < + ГС. г^и 1 - Щ

Пусть сначала т&х(и(т)|,ш(^/Т—\t\)) = |/(т)^ тогда то лемме 4 |Ft(т)| > ш(у/1 - Щ). Поэтому, учитывая оценку

ы(1 -|^|)1пТ^

получаем

-Щ)1п ^ < ^^Т-Щ) < 1

Теперь рассмотрим случай |f(т)| ^ - Щ). Снова применяя лемму 1, получим

нужную оценку (9),

Перейдем к оценке функций || Ft(1)|, Пусть Г1 = [7 Е Г : ш(|7-т|) ^ |-^т)|}, Г2 = Г| Г1

| тш м ^ - т.

При этом

—т = |Ft ш

(¡-у № |

(1п |Я(7)| - 1п |ВД|)

(1 - ^2

< |ВД| < гч^1

г1г1

< |ВД|

|1п|вд|- ь1 +—{т)1 г РпШЖШ+

г1

ь-А2

Г2

|7-*|5

+ (т)Ц1п |ВД

№| ае/

г2

[Л + Ь + и].

1

Если 7 Е Г1; то по теореме о среднем

|^(7)|-|ВД

|1п |ВД||-|1П |ВД|| ^

<

||/(7)|-| ¡(г)

тт№Ш , |ВД|) " шш(|ВД| , |ВД|)"

7бГх 7бГх

Г1

|Ft(l )|

Следовательно

|ВД| > ||ВД| - |ВД - > |ВД| - - г|) > 1 |ВД|

1<

где Р^) — ядро Пуассона, Используя лемму 2, получим

1

1-| |

■(ь - ттьш,

1 < '^Жп. 1

1 - | | 1 - | |

Из леммы 1, окончательно получаем

< "(Л-!)л еи.

1 -и

Пусть

Тогда имеем

Ы1)

(1 -

,7 е г,г е в.

12 ^ |ВД| тах |ВД| / |1п |Л(7)||М7| < | ВД| тах .

7с!2 J tfcI 2

г

В последней оценке мы воспользовались леммой 4,

Г2

Ь < |^(т)| тах-

1

7СГ2 (|7-т|2 + (1 -Щ))2 Пусть х* Е (0, 2], такая что

■(х*) = |вд|.

< ^(т^ тах[ — ,х :'(х) > |вд|}.

х2

(10)

1

Тогда из последней оценки имеем

г < = С щ(х*)

2< (ж*)2 Cí (ж*)2 .

Но из неравенства |-Р4(т)| > — Щ) следует, что ^/1 — Щ < ж*. Поэтому

ш(х*) _ ш(х*) < — И) 1 _ — И)

(ж*)2 ж* -ж* уг—Щ уг—Щ 1 -|i| '

то есть

< Й) 2 < (1 -N) .

Оценка 13.

/3 = |ВД| !1п |ВД|| J J—L < I Ft (г) I !1n |ВД|| J u2 + dTl-ltl)2 =

Г2 Ци)>|Д(т)|

Ч^РпЦ^К »f^ g - argctg^) . (11)

где ж* определяется по равенству (10), Учитывая элементарное неравенство

ж Н

0 ^ ^ - argctgF ^ G [0,

из оценки (11) окончательно получим

Н

/3 <I í;WNlп|F1M!|ггмт^.

Теперь, учитывая оценки sup u\1nu| ^ е,х* > \J 1 — |i|, из (11) получаем

J < 1 ш(ут—Щ) = С ш(УТ—щ)

3< щ щ f 1 -и .

В последнем неравенстве мы воспользовались неравенством ^^ > ш(1) при 0 < 8 ^ 1, Перейдем теперь к оценке

2°- |ВД||£(t)|

Как и выше, положим

Kt(0 = (t—Q2 ^ G r,t G D.

fi(t) = ft(t) [mw(o,

где мера ^ сосредоточена на множестве

Е, = {7 £ Г: |/(7)| )},

при этом ^(Г) < М.

Пусть т* £ Е1 — ближайшая к точке ¿. Тогда по лемме 2

IF (t)|

<

|Ft(r)| +ш(1 -|i|)1n^

(12)

Поэтому

1

1 4*1.

Так как т* Е то |Ft(г*)| ^ ш(\/1 - Щ). Следовательно, из оценки (12) получаем

|FtXt)| < (|ВД - Л(т*)| + Шт*)\ш(1 - |^|) 1п .

ш(|т - т*|)+ ш(1 - Щ) 1п + ш(Vт—\t|)

|FtXt)| < Из леммы 1 имеем

|^)илт < [ш(|г- г*|)+u(Vт—Г|)] |м^! шо^мо,

г

то есть

|^)||Л(*)| < [|Л(*)|ш(|г- г*|) |+л(t)|ш(VТ—Щ)

Перейдем к оценке выражения в скобке. Пусть

■1 = | л т-ат- т*|) = ш(|т- г*|) | м^! ,

г

■2 = | Л (t)|ш(VТ—Щ).

■ 2

Имеем

■2 < ш(VТ—Щ)j ^ ехр(-^-^(о) <

г

< 1 -Ц| ИЗО' и< 1 -М • ■1

Если ш(|т - г*|) < ш(\/Т—\t\) то ■1 оценивается точно так же, как Поэтому будем предполагать, что ш(^/1 - |£|) ^ ш(|т-т*|)- Ввиду монотонности функции ш, из последней оценки сразу следует л/Т—\t\) ^ |г - г*|. Следовательно, получаем

1< л 1 ш(|т- т*|) 1 ^

■1 < Ш(|Т - Т |)|< ц- т*| <

< ш(|т- г*|) 1 < щ(VТ—t|) = ш(VТ—\t|)

< \г-т*\ ^/Т—]t| < (^т—\t|)(^т—\t|) 1 -щ , • ()

В последнем неравенстве мы воспользовались невозрастанием функции на (0, 2). Из оценок (13), (14) следует утверждение теоремы 1,

Теперь наметим ход доказательства теоремы 2,

цию: ЛX) = ЛX£), X Е В ^Е Бп, точка £ — фиксированная (см, [11], стр. 245),

Легко видеть, что (X) удовлетворяет всем условиям теоремы 1, Исходя из замечания 2, устанавливается оценка

|(Xl) - л(X2)| ^ а- (тТАТ-X}), Xl, X2 е и,

причем А те зависит от £ Е 8п.

Далее, используя равенство

ж

' У 2тг ] (1 — <2, £)е-»)"+1'

^п -Ж

где Я — радиальная производная (см, [11], стр. 243), устанавливается оценка

I Д(Л( --)!< ^т^

1 — 11^11

Теперь, применяя рассуждения, приведенные при доказательстве теоремы 7,9 из [11] получим утверждение теоремы 2,

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бари Н.К., Стечкин С.Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций // Тр. МАЮ. Т. 5. 1956. С. 482-522.

2. Васин A.B., Кисляков C.B., Медведев А. Н. Локальная, гладкость аналитической функции в сравнении с гладкостью ее модуля // Алгебра и анализ. 2013. Т. 25, № 3. С. 52-85.

3. Геронимус Я.Л. О некоторых свойствах аналитических функций, непрерывных в замкнутом круге или круговом сект,ope Мат. сб. 1956. Т. 38(80). № 3. С. 319-330.

4. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. М.: Наука. 1976. 320 с.

5. Хавин В.П., Шамоян Ф.А Аналитические функции с липшицевым модулем граничных значений // Зап. научн. семин. ЛОМИ 19. 1970. С. 237-239.

6. Хавин В.П Обобщение теоремы Привалова-Зигмунда о модуле непрерывности сопряженной функции. Изв. Арм. ССР Сер. мат. 1971. С. 252-258, 265-287.

7. Шамоян Ф.А Некоторые проблемы деления в пространствах аналитических функций. Дис. на соиск. учен, степени кандидата физ.-мат. наук. Ленингр. гос. универс. Ленинград. 1970. 119 с.

8. Широков H.A. Внешние функции из аналитических классов О. В. Бесова // Зап. научн. семин. ПОМП. 1994. Т. 217. С. 172-217.

9. Широков H.A. Гладкость голоморфных в шаре функций и ее модуля на сфере // Зап. науч. семинаров ПОМИ. 2016. . Т. 447. С. 123-127.

10. N.A. Shirokov Analytic functions smooth up to the boundary. Lecture Notes in Math, vol 1312. 1988. Springer - Verlag, Berlin. 210 pp.

11. Kehe Zhu Space of holomorphic functions in unit ball. Cerad. Texts in math., vol 226. Springe -Verlag Berlin. 2004. 271 pp.

Файзо Агитович Шамоян,

Брянский государственный университет им. И.Г. Петровского, ул. Бежицкая, 14, 241036, Брянск, Россия E-mail: shamoyanfaSyandex. ru