О параметрическом представлении классов голоморфных в круге функций с мажорантой конечного порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.53

О ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ КЛАССОВ ГОЛОМОРФНЫХ В КРУГЕ ФУНКЦИЙ С МАЖОРАНТОЙ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА2

С.В. Быков, Ф.А. Шамоян

В работе получено параметрическое представление голоморфных в круге функций, модуль которых вблизи граничной окружности имеет заданную мажоранту конечного порядка.

Ключевые слова: единичный круг, факторизация, аналитическая функция, параметрическое представление.

Пусть О — {г е □ : |г| < 1} - единичный круг на комплексной плоскости, Н (О) - множество всех голоморфных в О функций с топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах О. Пусть, далее, ф - монотонно растущая положительная функция на

Я1 — [1; +¥), в работе исследуется свойство факторизационного представления следующего класса функций

і

f є H (D) :ln f (z)< C. у

1 4

1 - Z

z є D

(1)

где С/ - положительная константа, зависящая только от функции / .

Для изложения основных результатов статьи введём ещё следующие обозначения: Пусть фе С(1) (Я1), где Я1 — {х е □ : 1 < х < +¥>} . Для каждой такой функции введём понятие верхнего и нижнего степенного порядка:

a„ = lim —т \ ’ и ßy = lim

х

У(х)

) “Гф ~ ф(х) ' (2)

Если w е T, T = {Се □ : |С| = 1}, 0 < l < 1 , то символом Al (w) обозначим следующий криволинейный квадрат

Ai (w) = {Се^ :1 -1 <|C|< 1,|arg С-arg w\ < 2|.

И, наконец, символом Akl, к е Z+, — 2к £ l £ 2к — 1 обозначим следующий диадический квадрат

РІ

\,l =i Z Є D : 2^ < arg Z < 2k

P-( l +1) 1 . .

V \ 1---------<z < 1-

\k+1

kє □ ,l = -2k,...,2k -1!

В работе второго автора (см. [4]) получен следующий результат: Теорема А. Пусть фє С (1) (Я1), при этом 1 <Рф £аф < +¥. Тогда следующие утверждения равносильны:

1- І є X ¥,

2. І допускает представление в виде:

2 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант №

09-01-97517.

/ (г)— С^ г 1-р„(г, )• ехр/•

1 -|?|2

О

ха+2

ёт(С), ге О, Хе1^

1 -С

(3)

где {гп } - произвольная последовательность точек из единичного круга О, для которой

пк, 1 - количество точек {гп } в каждой криволинейном прямоугольнике #к¿, удовлетворя-

ет оценке

пи £ Со ф(2к),ке □ ,-2к-1 £I £ 2к -1,

Ра (г, гк ) - бесконечное произведение вида

(4)

ра( гк )—П

+~ ( ^ 1 -г

к—1

ехр

а +1

р

1-1С12

ча+2

1п

О

1 -I

йт2 (£)

г е О,

(5)

где т - комплекснозначная Борелевская мера на О, для которой справедливо неравенство

1

т(д (щ ))< С •12 •ф

V1,

причём С не зависит от

летворяет оценке

I и щ, а>аф-1, а функция & (г) О

1 -|С|2

а+2

1-С г

удов-

1

£ е О

Яе & (г)|< Ст • ф Л

1 - и

V 1 1 У

Для многих классов функций определяющимся теми или иными ограничениями на рост (см. например, [2]- [5]) установлено, что второй множитель в представлении (5) имеет другую форму и описывается через интеграл типа Коши, плотность которой имеет определённую гладкость. Естественно, возникает вопрос о справедливости такого же представления

для класса функций Хф . В этой работе мы докажем, что такое представление возможно при определённых ограничениях на функцию ф .

Определение. Скажем, что функция Ю является функцией типа модуля непрерывности Зигмунда, если Ю удовлетворяет следующим условиям:

а) Ю- неубывающая, неотрицательная функция из С [0; р], причём ю(0) — 0 ,

ю(г )

б) функция

г

не возрастающая в некоторой правой окрестности точки

г — 0,

)

в) 1 ёг < СЮ • Ю(5), 0 <5<1, СЮ- положительное число, зависящее только от функ-

0 г

ции Ю.

И, наконец, обозначим через О класс монотонно растущих функций ф из класса □ (1)( ^), для которых справедливо представление

( 1

ф(х)— хр Ю — , х е Я1, V х 0

где Ю - функция типа модуля непрерывности из класса Зигмунда.

Основным результатом работы является следующее утверждение.

Теорема. Пусть фє^, причём аф =Ьф > 1, где аф и Ьф определяются по формулам (2). Тогда следующие утверждения равносильны:

1. І є Xф¥,

2. І допускает представление в виде:

. р У (Є*9)

1 (И) = Сх-2 -ра(и *к )• ехР -----------^атт^9, 2 є В 1є2+>

(6)

(1 -^г )

где а>аф-1, {гп}п—1 - произвольная последовательность точек из единичного круга О, удовлетворяющая условию (4), функция у( ег0) имеет непрерывную производную до порядка п — [а] - [аф ] включительно, при этом справедлива оценка

у(п)(ег(е+г))_2у(п)(ег0) + у(п)(ег(0-г)) < С • ю(|г|), 0,ге (-р;р].

Доказательство теоремы основано на нескольких вспомогательных утверждениях. Следующая лемма установлена в работе [1].

Лемма 1. Пусть Ю - функция типа модуля непрерывности из класса Зигмунда / е Н (О )п С (О и Т). Тогда следующие утверждения равносильны:

а)

б

І (е;(9+')) - 21 (е;9) +1(е;(9-')) < А, -ш(|г\), І(2) (2)

ю(1 - И)

< В, —^, и є В

(1 -IИ г

где Аі- , Вг - положительные константы, зависящие только от функции І.

Лемма 2. Пусть £ є Н (В), 1т £ (0 ) = 0 , причём

1

|Яе £(И)| < С -ф

1 - И

V 1 1 У

, 2 є В, ф удовлетворяет условиям теоремы А.

Тогда справедлива оценка ^ (И )| < С£ 'ф

, и є В.

Доказательство.

Как установлено в работе [4], при достаточно больших а в условиях леммы функция g до-

( 2 \ а

а+1 1 р (1 -р ) / 0\

пускает представление в виде g(г) =----------[[-—м (рег )рйрй0, где и = Яеg. По-

р 0 -р(1 - Гре-'ф)

этому

1 р (1 2 )а

g (г ) £ С '[Г р 0 а—2 и (ре'0)|р^ 0й р£ Сг ■ [ ф| -1- 1 - р2)“' [ -

{ 1 -гре~' ^ у1 -р0 -р 1

й0 < С (а)

0 -яГ ыре

р

скольку при выбранном значении а >-1: [

■гре"

а+2

По

□ 1

к(г )£ Сg •[

0

ф

а+2

1 - гре

1 ] /.

(1 -р

1 -р

(1 - Гр)

а+1

1 - ы

-йр.

Оценим интеграл

1 -р

(1 -р2 )а

(1 - Гр)

а+1

йр, для этого разобьём его на два интеграла:

я

1 -р

(1 -р2)а , ф| 1

_ф=|.У1 "Р

(1 -р2)“ 1 ф| 1

—ар+\Л 1 -р

(1 -р2 )°

(1 - фГ 0 (1 - ,р) Г (1 - ,р)

Оценим каждый интеграл в отдельности, сначала оценим 12 :

'(1 -р2 )а

а+1

1 ф

1

1 -р

(1 -р2) 1 ф

-ф <[-

1

1 -р

-й р.

(1 - гр) г (1 - Г)

Поскольку при указанных значениях р и г , имеем: 1 - гр> 1 - Г . 1 ( 1 ^

Тогда 12 <

[ф 1— (1 -р2 )“ ¿р 1-р

(1 - г )

а+1

1

. Обозначим------= х, тогда последний интеграл преоб-

1-р

разуется в интеграл ^2 = [

= +¥ Ф( х)

.а+2

йх

1

1-г

х

. Проинтегрировав по частям, получим

1

1

1-г (

ф( х)

,а+2

йх

х

а

1 +ГФ' (X)й (Л \а+1 ( 1 ^

+г'1 “X°^йX+(1 -г) 'ф

?ф( х)(, 1 ф( х)'

Следовательно- [ х“+2 1 а +1' ф(х)

1-г \

х

но поскольку для

1-г

произвольного 8 > 0 и при достаточно больших х выполняется оценка

0

1 Ф (х)' х аф + 8

-----7-----— <----------Т, то подбирая а таким образом, чтобы ^ „ , ,

а +1 ф(х) а + 1 2 а +1 ф(х)

1 < 1_1_ ф/ (х)'х < і

приходим к оценке

7ф( X )( 1 ^ ча-1

1 1 - - йх = (1 - г )“+1 -ф

V1 - г/

1—г

а это и означает, что

1 +¥ф( х)

------- - ї^іх < С-ф

(1 — г )а-1 *1 ха-2

1—г

Перейдём к оценке 11. Сначала заметим, что

( _±_

,1 — г/

1

І1 < 2

ф| і а | [ 1 Р

НТ

0 х

і р.

(7)

Введём снова обозначение--------= х . Тогда последний интеграл примет вид: 11 = [

1 -р ,

1—г ф(х)

іх

х

Р (х)

Докажем, что функция У (х) =-, х Е Я1 монотонно растёт на (а, +¥ при достаточно

х

больших а. Действительно,

/

Р (х )

У' (х) = ■

(р1 ( х )- х 1 Р (х)

х

(р (х)' х

Учитывая условие теоремы ар = Ьр > 1, поэтому------------— > 1

р (х )

х > а, при достаточно

больших а . Следовательно,

1

х

1 — г

V У

, г є (0,1).

Объединяя оценки (7)- (8), получим утверждение леммы.

(8)

Лемма доказана.

Лемма 3. Пусть g е Н (Б),

, . ю(1 — Ы)

к(ыі ,чр ■ ыє В, р>0,

(1 — I Ы )Р

где ю - функция типа модуля непрерывности из класса Зигмунда. Тогда

к(2) (Ы)

< с-

ю

(1—IЫ) (1—IЫ )р-2 ■

1

1

1

Доказательство.

Зафиксируем г Е Б, 0 <8< 1 и введём обозначение С5 (г ) = {X е □ : \% - г| = 5 (1 - |г|)} . Тогда по формуле Коши

g

(2)

(г) = ~~ [

Т. е.

g

(2)

г©

2р*сЬ, )(С- )■ (ы)< Р1 Ю(1 ^

ТГ V

и с.

р С (г )(5(1 - |г|))

-и с.

< 1

С £ (1+5) (1-|г|) .

Но если £ е С5 (г), то (1 о) (1 N)

Учитывая, что Ю - монотонно неубывающая функция, получаем

2ю((1 + 8)(1 - и|

g (2)(г)

<

52 (1 -| г| )2 (1 -§)р(1 -| г| )р’

г е Б

ю( t)

Теперь заметим, что по условию леммы функция ^ ® ~ не возрастает в некоторой пра-

вой окрестности точки t = 0, поэтому:

g (2)(г )

2 (1 + 8)(ш(1 -| 2 52 (1 -5)р(1 -| г| )р+2

0 = 1

Положим о = ^, получаем:

g '"'(г)

< с.

ю(1 - \А) (1 -I г! Г

г е Б.

Лемма доказана.

Для доказательства теоремы нам потребуется понятие интегро-дифференциального оператора Римана - Лиувилля. Теория этих операторов изложена в 9-ой главе монографии [2].

Пусть / е Н ( Б ), а>-1

/(г)=Ёакгк, ге Б.

к=0

Тогда

йе/ +¥ Г(а + к +1) к

Б /(г) = У——-—:--------—-—гакг , ге Б

^Г(а + 1)'Г(к +1) к

(9)

к=0

(10)

называется дробным произведением порядка а , а функция

^(ы)21 Г(га(+а1-!к^ 1)а‘У ’ гЕ Б

дробным интегралом порядка а, где Г - известная Эйлерова функция.

Ясно, что Ба/ (г), Б а/ (г )е Н (Б), при этом БаБ а = Б аБа = I, где I - тождественный оператор. Учитывая равенство (10), нетрудно также заметить, что

Б"“/(г) = (а +1)1 (1 -1)“-/(г)dt, ге Б, /е Н(Б).

0

Доказательство теоремы. Не ограничивая общность можно предполагать, что [а] = [р], поскольку в противном случае исходный интеграл потребуется проинтегрировать по частям нужное число раз и учитывать, что под интегралом присутствуют 2р-периодические функции.

Сначала установим импликацию 1) ^ 2). Предположим, что функция / Е Хф . Докажем, что / представима в виде (6). Положим

В

г(г ) = 1

Б

Применяя теорему А и лемму 2, получим:

о \ а

1—|с|2) ф(0

/ — \а-2

|1—£ ы

1« (Ы )|<

ю(1—IА)

'Г

(1 -I А)

Определим функцию у следующим образом:

А Є В .

1

у (г) = (а +1)1 (1 -1)а-1 g (tг)Л = Б-аg (г), г е Б.

0

а определим позже. Тогда

1

у(2) (г) = (а +1)[ (1 -1)а-112g(2) ((г) ^.

0

Учитывая лемму 3, приходим к неравенству:

) К! -1)а-1 'Ю(1 - к)

У(2)(Ы) < с/1'

0

(1—іг)

р—2

іі

где г = г . Перейдем к оценке последнего интеграла.

у(2)(ы )

г

Положим 11 (г) = 1

г

1

(1 — і г1 ю(1 — іг )л —1(1 — і г1 ю(1 — іг)

(1 — іг )р—2 г (1 — г )р—2

= 1 а—і г -ю(1—«■) аі )=г 1(1—і г ю(1—г

(1 — іг)р-2 ’ 2 ( ) 1 (1 — іг)р-2

ю(и)

іі

іі

Оценка 11. Учитывая, что функция и ®---------------------не возрастает в некоторой правой окрестно-

и

сти точки и = 0 , получаем

Отсюда легко получить оценку

ю(1 — г) Гг (1 — і)а—1

1_ (1 — г) { (1 — іг )р—1

1

іі

, ч ю(1 — г)

71(г )йт--------------1)(1 .р^—2.г є(0;1). р-а>-1

(^-а —1)(1 — г)

Перейдем к оценке 12. Аналогично, как и выше ю(1 - г) 1 (1 -1)а-1

12 <

(1 _ г) J (1 - г\Р+2 й, т. е. при г е (0;1) и а>0:

<_»(!_ г)

12 (г )

а(1 - г)

р-а+2

Объединяя оценки (11) и (12), окончательно получаем

У(2) (г)

< с

(1 - Н )

/

, ге Б () при а>0, а<р +1.

(1 -| н| )м_°

Положим в этой оценке а = р . Тогда применяя лемму 1, получим

уе С (Б и Т), у(и)( е'(0+/))_2у(и)( е'0) + у(и)( е'(0+/)) < с ю( Щ0е (_р; р].

Следовательно, по формуле Коши

у(н )=Мь-Ни х н е Б

или

у(г )=2р1(¥(х\| , г е Б.

1 -х

Учитывая теперь равенство Ба(е) = ТЛ 70+1, где е(ю) =----------------------,юе Б

(1 - ^ ) 1 _Ю

окончательно получаем, что

1 -х

где а = р> 1.

Импликация 1) ^ 2) установлена. Перейдем к доказательству 2) ^ 1).

Пусть /е Н (Б) представлена в виде (10), где последовательность {гк} удовлетворяет условию (4). Из теоремы А следует, что функция р° ( г, гк ) Е Xф . Поэтому остает-

I г ^ V /

ся доказать принадлежность функции ехР\ _0 ,а+1 й0 > классу X+ . Как и выше

-_р(1 - е-г0 г)

будем предполагать, что а = р . Тогда для доказательства теоремы достаточно установить оценку

У( е'0)

2р _р (1 - е~'0г)

1 р 1 г

1тг *

й 0

< с-

(1 _1Н) (1 _Н)р ■

(13)

Не ограничивая общность, предположим, что у принадлежит классу Харди Н1 (см. [3]). Положим г = ге', тогда сделав замену 0 = Щ + и в интеграле (13), приходим к равенству

,, 1 f Уe

«(z )=2-J

1 fw(e,(t+u))-2y(eu) + y(el(t-u . f ч

du = 2- J —------^-->u NP+i ------ du + 2y ()-y(0).

2f-f(l - e~iuz) 2---p (1 - e~Iur)

В последнем равенстве мы воспользовались тождествами

L - y(ei(t-))

2-J-(l -e ~iuz)

P+l

du =y(0),

-e z\

1 - (-2y())

2- J л "^P^du = -2У() tє (--;-) •

--(1 - e)P+1

Следовательно,

- w(u)

1« (z )|£ c J

-'- 1 - e-"r

P+1

du + 2

-

)|+|v(0 )|£ 2c1 J-

w(u)

p+1

du + 2

)+|y(0 )|

(1 - r ) + ur sin

u

Поступая точно таким же образом, как при доказательстве леммы 3, получим

, . ю(1 — Ы)

« (г )|< с ^ 1 р , г є В

Теорема доказана.

In the paper recive the parametric representation of weighted class holomorphic functions in the disk with majorant of finite order.

The key words: Unit disk, factorization, Analytic functions parametrical representation.

Об авторах

С.В. Быков - Брянский государственный университет им.академика И.Г. Петровского, b [email protected].

Ф.А. Шамоян - докт. физ-мат. наук, проф., Брянский государственный университет им. академика И.Г. Петровского, [email protected].