Теплицевы операторы и вопросы факторизации в гельдеровских пространствах аналитических функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.53

ТЕПЛИЦЕВЫ ОПЕРАТОРЫ И ВОПРОСЫ ФАКТОРИЗАЦИИ В ГЕЛЬДЕРОВСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Ф.А. Шамоян

Работа поддержана РФФИ (проект №13-01-97508) и Министерства Образования и Науки

РФ (проект №1704. 2014)

В работе получена полная характеризация теплицевых операторов, действующих в гельдеровских пространствах голоморфных функций в единичном шаре «-мерного комплексного пространства

С ", а также в пространствах голоморфных в односвязных областях функций с квазиконформной границей.

Ключевые слова: оператор теплица, кривая Карлесона, единичный шар, факторизация, класс Гельдера.

1. Введение. Работа посвящена исследованию ограниченности теплицевых операторов в гельдеровских пространствах аналитических функций.

Теплицевы операторы играют существенную роль не только в комплексном и функциональном анализе, но и в прикладной математике, математической экономике, в физике (см. [1], [2], [3]). В начале 70-х годов прошлого столетия автор этой статьи(см. [4], [5]) установил, что теплицевы операторы имеют важные приложения также в теории факторизации аналитических функций.

Приведем определение теплицевого оператора. Пусть X - некоторое функциональное пространство, У - его замкнутое подпространство, ф - мультипликатор пространства X , Р - проектор, отображающий X на У . Тогда теплицевым оператором с символом ф называется следующий линейный оператор Г (/) = Р(ф/), / е X . Перейдем к изложению основных результатов работы.

Пусть Вп - единичный шар в п - мерном комплексном пространстве ", 8п-единичная сфера. Обозначим через - вероятностную меру Лебега на 5и,

инвариантную относительно вращения сферы 5и , а через dv(^) - вероятностную меру Лебега на В .

п

Пусть далее Н(Вп) - множество всех голоморфных функций в Вп , Нр (Вп), 0 < р < - пространство Харди в Ви (см.[6])

Теплицевым оператором на Н 1(Вп) с символом Н е Е° (5и ) является следующий интегральный оператор

Г, (/)(г) = •/ ^ Н ^ ^

Н(/)() • (1 -<г,о)"

5п

где г = ( )е Вп, £ = (£...£ )е 5", < г ,0 = Х С

к=1

Обозначим также через Ла (Ви), 0 <а< 1 гельдеровский класс аналитических функций в В , то есть класс функций / , таких что для произвольных грг2 е В и 8п выполняется оценка

/ ( )- / ( Z2 )|< С ( / )| - Z2 Г

1 *Здесь и в дальнейшем С = с(...) будем обозначать произвольную константу, значение которой не играет особой роли.

В пространстве Л"а вводится естественная норма

/ лг в,) = / - + 8ЦР

—1,—2еВп I— — —

г

1 - 2

Легко видеть, что Л^ = Л^ (Бп) относительно указанной нормы превращается в банаховую алгебру.

Определение 1. Пусть J е Н-(Бп). Говорят, что 3 является внутренней функцией, если 13 (^)| = 1, почти всюду на , относительно меры .

Построению внутренних функций в Вп и изучению их основных свойств посвящены работы А. Б. Александрова (см. [7], [8])

Определение 2. Пусть заданы внутренние функции 31 и 32. Скажем, что 31

делит 32 если е Н- (ВИ ).

Определение 3. Говорят, что функция ^еН1 (Ви) делится на внутреннюю функцию 3, если ^^ е Н1 (Ви ).

Отметим, что в одномерном случае вопросы деления на внутренние функций в подклассах класса Р. Неванлинны играет существенную роль в многих вопросах комплексного и гармонического анализа (см. [9], [10]).

В первой части работы мы получим полное описание тех к е Г- (), для которых

теплицев оператор с символом к является ограниченным оператором в пространствах типа

Ла (В ) ■ Во второй части мы исследуем аналогичные вопросы в односвязных областях

О а □ 1 с квазиконформной границей.

2. Теплицевы операторы в классах типа Гельдера аналитических в шаре функций.

Пусть СС - функция типа модуля непрерывности, то есть Сд(()> 0,

г \ / \ ш(t)

Г е Я+ = 10 , +—) монотонно растущая функция на , при этом С(0) = 0 и - не

возрастает на . Пусть далее СА (Вп ) = // (Ви ) П □ и ). Обозначим через Ла следующий класс функций

Ла = {/ е С, (В, ) :ш/ (3)< с (/ )ш (*)} где ш(^) - модуль непрерывности функции/ в Вп ■ Введем в Ла - норму

V (О — / (—)|

/ Ла = / -+ ^Р 1 \\

Ла — ЛеВп [ С (\С — —)

Ясно, что если С(*) = Iг, то Лаа = Лаа, 0 < Г < 1

Г—^Ум < со(5), 0 <5< 2.

J ц

Определение 4. Скажем, что функция типа модуля непрерывности О

5

удовлетворяет условию А. Зигмунда, если

0 и

Основными результатами этого параграфа является доказательство следующего утверждения.

Теорема 1. Пусть к является граничным значением некоторой плюригармонической функции из класса Харди И1 (Ви ). Тогда следующие утверждения равносильны:

1) Т - действует в пространстве Ла(В

,2

2)

1

И(£)(<-.X)) <1о(С)

и+2

о(1 -| - )

< -72 , - е В (2)

(1 - -) ' " ()

(1 -<Х, -))

Из теоремы 1 непосредственно следует:

Следствие. Пусть к плюригармоническая функция из класса Харди И1 ( В ), причем

И е } ($и), О-удовлетворяет условию А. Зигмунда. Тогда следующие условия

эквивалентны:

1) Т - действует в пространстве Лаа (Ви ),

2) И Х) = И Х) + И2(X), X е ^ где И, еЛ( (Вя), И е Н~(Вп) (3)

Доказательству теоремы 1 предпошлем следующую лемму.

Лемма 1. Пусть О - функция типа модуля непрерывности, удовлетворяющая условию А. Зигмунда. Тогда необходимым и достаточным условием принадлежности /

а

классу Л является оценка

I2 (/)(. )|< с (/)О(1—-2), - е В (4)

(1 -1-|)

где I (/), радиальная производная функции / (см. [1], стр. 111)

Напомним определение радиальной производной.

Пусть / е Н (В ) и имеет следующее однородное разложение в Вп :

/(-) = IЛ (-), тогда I(/)(-) := X/ (-), - е Вп. к=0 к=1

Доказательство леммы 1 для гельдеровских классов установлено в [1]. (см. [1], стр.114) В общем случае основные идеи доказательства сохраняются. Поэтому доказательство мы опускаем.

Доказательство теоремы 1.

Докажем, импликацию 1) ^ 2)

Пусть Ти - является ограниченным оператором в Ла(в . Тогда для V/ е Л^, функция Т ( / ) принадлежит классу Лат. Положим / (-) = 1, - е Вп. Тогда

Т. (1)( - И ' -е в,

^ (1 -<-,Х))

Следовательно по лемме 1

В2 (Th ( f )(1))(-)< c -2), - e Bn (5)

Но нетрудно установить, что

«2(Гк)(1)(—) = (п + 1)п/к(^^) (6)

^ (1 — <— о)

Отсюда легко следует оценка (2). Импликация 1) ^ 2) установлена. До того как перейти к доказательству 2) ^ 1) заметим, что из 1) следует, что к (С) = к (С) + к (С) , С, е , где к еЛа (Ви ), к е Н-(Ви ) ■ Действительно, поскольку к = / + / , где /, / - аналитические функции из класса Н1 (Ви ), то

/ (с)+/ (С) <МС)

I

= Т„ (1)(—) = / (—), — е Вп

(1—<—,о)п

Поэтому из ограниченности оператора Тк в Ла следует, что функция / е Ла ■ Не умоляя общности, можно считать, что / (0) = 0 ■ Поэтому

/ (С)

I (1—<—.о)"

при всех — е Вп (см. [6] стр. 25)

Остается положить к (С) = / (С), к (С) = /г (С), Се ■ Следовательно если выполняется первое условие теоремы, то

Тк (./)(—) = /(—)к (—) + { /(С), — е Вп

I (!— <—,С>)

Но так как пространство Ла - является банаховой алгеброй, то оператор М^ (/)(—) = / (—) к (—), — е Вп является непрерывным оператором в Лаа ■ Поэтому если выполняется первое условие теоремы, то оператор

т т(г ч г/(С)к2(С)<МС)

)( ' 1 (1—<—,С»"

является непрерывным оператором в Ла ■ Используя рассуждения приведенные в

2IIНВп)

<

Т,

к

работе автора [4] легко доказать, что к е Н- (Ви ) и при этом ||к

Продолжим доказательство импликации 2) ^ 1) ■ Учитывая, что к = к, к е Н- (Вп), к (0) = 0, и используя лемму 1, достаточно оценить функцию:

*2 Т (/))(—) = (" +1)" Г /(С)к(С)(<^йа(С), — е В" ( к2 (1))( ) ( ) (1—<—,с>)"+2 "

где * - как и прежде радиальная производная функции Т^ (/). Используем равенство (см. [6] стр. 29), тогда

/ (С) к (С)(<—,С>)2 ¿а(С)= / и_[СеЮ) к {Сеш)((—,С>)2 е ^

I

(1—<—, С>)

п+2

-129

(1 — <—, С>е"Т

■йв

(7)

Положим

, 1 /(£в10)И Хе1в)((-,Х))2е-20 3(-) = ^ \ (Х )2 (Х ^¿Г-М, <-X) := ге*.

21-1 (1 -<-Х)е~1в)

Тогда из условия И2 е Нм (Ви ) следует, что

1 ^\ =о

-1(1 - ге 1 6))

при всех г е [0,1), / е [-1,1].

Поэтому 3 (-) = — 21

п 1(/(:е10)-/(:е-))И2(:е10)(<-,:)) ( - (1 - ге-1^))П+2

2 е-120

С6

Следовательно,

1

I2 Т (6))(-- )<( п +1) и Л

\/(:е6) - / (:е)| и, (:е6) сбсст(с)

-1

1 -< - X) е

-10

1И+2

<

<( п+1) Щи

;11м 1к 11л'

л

-1

1 о(|ей - е10|)С6Са(С)

1 -< - X) е

-10

|п+2

Заметим теперь, что

и 16 е - е

Поэтому

1 - е*

М)

<

1 - ге1

</-6)

, при всех /,0 е [-1,1] , г е [0,1].

о(|е" -е0|) = О(| 1 -е1 (/"6)|)< О(| 1 -ге('~6)|)< О(| 1 -<-,С)е~0\), поскольку О — не убывающая функция. Тогда из (9) получаем

о(| 1 -< --X) е"16|) С6Сст(:)

|12 (Ти (/))(-)|<(п +1)п

2 11м 1к 11л

То есть

->2

I2(Ти(/))(-)|<(п +1)п||И2||Л/||л. /

м ,

о(| 1 -< - .X)!) са(о

|п+2

п+2

в, I1 "^ОГ

В последнем неравенстве мы снова воспользовались тождеством (7). Воспользуемся теперь неравенством:

|1 -<.X>|> 1 -|<-, X) > 1 -|-\, при всех -^е Вп.

Поэтому в виду того, что функция

О

(/) -

не возрастает, получим

о(\ 1 -<^орО -1-|) 1 -<-,о| < (1 --)

-, *,СеВ

п

(8)

(9)

(10)

Из оценки (10) выводим

—, z е Bn

* (Ткк /))(—)<( п+1) п/ уы, Г ^ас

Теперь учитывая хорошо известное неравенство (см. [1] стр. 26),

Г йа(С) < ', — е В

11—<—,с>Г (1—1—1) "

11)

приходим к оценке:

«2 Th f ))(-^

(1 -|N )

2 , z е Вп.

Из теоремы 1 непосредственно следует.

Теорема 2. Пусть / еЛаа, при этом / (—) = 3^ (——), — е Вп, где -внутренняя функция, а ^у е Н1 (Вп). Тогда если 3 другая внутренняя функция на

которую делится J, то е Л'

Доказательство

е

J / °° f J -

Поскольку у е Hœ(B), то — = ■¥ = ¥(z) J (z) J(z) принадлежит

/J J J

классу Харди H1 ( Ви ). Поэтому

F (z) fM r f О)

() J (z) J (1 -<z,o)" .

По теореме 1 F е Л^.

3. Теплицевы операторы в гельдеровских пространствах аналитических функций в односвязных областях комплексной плоскости с квазиконформной границей.

Чтобы излагать основной результат этого параграфа введем следующие обозначения.

Пусть G - ограниченная односвязная область на комплексной плоскости, п =ГГ, T = dG его граница.

Кривая Г называется квазиконформной или кривой Карлесона, если для

произвольной точки mes(rÇ\Kp (¿Г)) — соР > гДе ^(¿Г)- КРУГ с центром в

точке О, mes - линейная мера, указанного множества, c - некоторая константа, независящая от О.

Теплицевым оператором с символом h е /Г(Г) - называется следующий интегральный оператор:

Th(fхz)-bfmh$d£ zеG.

(

Класс Ла (О) определяется как в §1. Норма в Лаа (О) вводится аналогичным

образом. Основным результатом этого параграфа является доказательство следующей теоремы.

Теорема 3. Пусть О - односвязная ограниченная область в □ с квазиконформной границей Г, И е } (Г) , О удовлетворяет условию А. Зигмунда.

т. (/Х-)=1 I ^^ - • О

(

12)

Тогда следующие утверждения равносильны:

1) Т является ограниченным оператором в пространстве Лаа (О)

2) Функция И представима в виде И (X) = . (X) + . (X), X е Г, (13) где . е Лаа (О), И2 является граничным значением некоторой функций из класса

НХ(П /С).

Доказательству теоремы предпошлем следующий вспомогательный результат (см.[11]).

Обозначим через р(-, дО) расстояние от точки - до границы дО . Лемма 2. Пусть О - ограниченная односвязная область в Ш с квазиконформной границей. Тогда если / принадлежит классу Ла , то

/(2) (-)|< СОЩ, - е О ^ v р2 (-, дО),

(

14)

Обратно, если / е Н (О) и удовлетворяет оценке (14), то / - является непрерывной функцией в сиг, при этом модуль непрерывности функции / на множестве О и Г удовлетворяет оценке

{ 5 о( и ) 7

О(5)< с I —^-аи

0 и

(

15)

при некотором положительном сх.

Лемма 3. (см. [12], 13]) Пусть И е } (Г) ,1< р <+м. Тогда функцию И можно представить в виде

И Х) = . Х) + И; (X), X е Г,

(

16)

где . почти всюду относительно меры Лебега совпадает с граничным значением некоторой функции Н е Е (О), а функция И2 - почти всюду совпадает с граничным значением функции Н2 е.Ер(П /(7), где Ер(Сг) и Ер(П /(7) классы В. И. Смирнова в соответствующих областях (см. [14]).

Лемма 4. (см. [12], [13]) Пусть Г квазиконформная кривая на комплексной плоскости. Тогда справедлива следующая оценка:

Г IX < сМ, - ^, „> 0

J I/- Ра

X-- >е>0 X- - 8

где с - некоторая константа, не зависящая от - и 8.

Доказательство теоремы 3 проводится по схеме доказательства теоремы 1. Сначала докажем импликацию 1) ^ 2). Пусть Тъ действует в пространстве Лаа (О). Тогда

функция Тк (1) е Ла (О), то есть

Т,, (1)(-) = ^ 1 - е О

211 • X - -

принадлежит классу Лаа (О). Теперь воспользуемся леммой 3, согласно которой

И 0 = . X) + И; (X), X е Г.

Не ограничивая общность можно предполагать, что Н2 (—) = 0. Тогда из (16) легко вывести, что то Т (1)(—) = Н (—), — е О. Поэтому Нх еЛа (О), то есть к имеет аналитическое продолжение в О, при этом к (—) = Н (—), — е О, к еЛа (О). Из

условий к е Г- (Г) и к е Ла (О) нетрудно вывести, что функция к почти всюду относительно меры Лебега совпадает с граничными значениями некоторой функции Н2 е Н ' ( А7). Импликация 1) => 2) установлена.

Докажем обратную импликацию 2) ^ 1) ■ Из представления (12) и (16) сразу следует, что если / принадлежит классу Ла (О), то

Тк (. /)(—) = / (—) к, (—) + ^ IЖМСК, — е О где /, к еЛС (О)

Так как Ла (О) является банаховой алгеброй, то оператор М^ (/) = / • к является

ограниченным оператором в пространстве Ла (О) ■ Поэтому для доказательства теоремы 3 достаточно установить ограниченность оператора

/(С)к (С)йС

, — е о

(

17)

в пространстве где к е Н™ (□ /С), к (°°) = 0 ■ Из последних двух

условий следует, что

(/)(—) = _!_ Г/С)к(С)йС , — е О

"Л 2я71 С — —

к(С)йа(С)

-= 0, V— е О

Г с——

Поэтому учитывая равенство (17) имеем

1т (г\( г / (С) к (С) йС 1 г( / (С)—/(—)) к (С)йС

(т" V)(—)) | (С—, )3 Г (С——

Следовательно

К - (. /)(—)|</к ц^СШ

Г С — —

18)

Перейдем к оценке последнего интеграла. Положим

7 (—)=!С(1С——)

Г С —\

Ясно, что для произвольных — е О, С е Г, С — —| — Р (—, Г) , поэтому учитывая, что ш( t)

функция--не возрастающая, получаем

Ц 1С-z\) д(р(z,Г)) л

17—-ГГТ'С еГ'z е G

\С-z\ p(z, г)

Следовательно

2 "

р(-, Г) Jг|X--

Применяя лемму 4 приходим к оценке

с (19)

^-|2 "р(-,г) ( )

Объединяя оценки (18) и (19) окончательно получим

|Т<2>(/)(-)|< с-°р:р1, -е О р(-,Г)

Для доказательства теоремы остается применить лемму 2. Из теоремы 3 легко вывести следующее утверждение.

Теорема 4. Пусть / е Л^ (О), причем /(-) = — (-)-), - е О. Тогда если — -

такая внутренняя функция, что — е Нм (О), то / е Лаф (О).

— —

We give the description of all pluriharmonic function h, for which the Teoplitz operator with symbol h is bounded in the analytic Holder spaces in the ball.

Key words: unit ball, holomorphic function, Holder spaces, Toeplitz operator, radial derivative, pluriharmonic function.

Список литературы

1. A. Bottcher and B. Silberman. Analysis of Toeplitz operators. Springer - Verlag. Berlin

2006.

2. N. K. Nikolski. Tratise on the shift operator, Springer -Verlag, Berlin 1986.

3. N. K. Nikolski. Operators, Function and System. Vol. I, Hardy, Hankel and Toeplitz. Amer. Math. Soc. Mathematical Survys and Monographs. Vol. 92,2002 г, 460 pp.,

4. Ф. А. Шамоян. Об ограниченности одного класса операторов, связанных с делимостью аналитических функций. Известие АН АРМ ССР, серия математика, т. 8 №6, 1973.

5. Ф. А. Шамоян. Об одном классе операторов, связанных с факторизацией аналитических функций, Записки научных семинаров ЛОМИ АН СССР, т. 39, 1974.

6. W. Rudin, Function theory in the unit ball of II". New York, Berlin, Springer - Verlag 1980, 438 p.

7. А. Б. Александров. Существование внутренних функций в шаре. Мат. сборник, 1982, т. 118, №2, 147-163.

8. А. Б.Александров. О граничных значениях голоморфных в шаре функций. ДАН СССР 1983, т. 274, №4, 777-779.

9. F. A. Shamoyan, A bounded criterion for Toeplitz operators in weighted Sobolev spaces of holomorphie functions on the polydisk, Sibirian Math. Journal, Vol. 53, №36 pp. 554-572, 2012.

10. N. Shirokov. Analytic Functions Smooth up to the boandary. Lecture Note in Math, , vol. 1312, pp. 1-215, Springer -Verlag, Berlin, 1988.

11. А. Двейрин. Теорема Харди - Литтлвуда в областях с квазиконформной границей. ДАН УССР, 1982, т. 51, №1.

12. G. David. Operatours Intégraux singulary sur cartaines courbes du plan complexe, Ann. Ski. Ecole norm. super. 1984,17, №1.

13. Е. М. Динькин. Методы теории сингулярных интегралов. Современные проблемы математики фундаментальные направления, т. 15, стр. 197-293.

14. Г. М. Голузин Геометрическая теория функций комплексного переменного. Издательство «Наука» 1966.

Об авторе

Шамоян Ф.А. - доктор физико-математических наук, профессор Брянского государственного университета имени академика И. Г. Петровского, заведующий кафедрой математического анализа БГУ, shamoyanfa@yandex.ru