Интегральные оценки производных аналитических функций вне выпуклых областей Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 4. № 4 (2012). С. 13-21.

УДК 517.547, 517.544

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПРОИЗВОДНЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ВНЕ ВЫПУКЛЫХ ОБЛАСТЕЙ

А.Р. БАГАУТДИНОВА, А.В. ЛУЦЕНКО, В.И. ЛУЦЕНКО, Э.Д. ШАЙМУРАТОВА

Аннотация. В работе получены весовые интегральные оценки производных функций аналитических вне выпуклых ограниченных областей через интегралы самих функций, иечезающих на бесконечности. Результат является обобщением теоремы Харди-Литтлвуда вне выпуклых ограниченных областей. Такого вида теоремы ранее были получены К. П. Исаевым, Р. С. Юлмухаметовым для степенного веса и производной аналитической функции первого порядка из Ь2. Н. М. Ткаченко и Ф. А. Шамоян обобщили этот результат на производные произвольного порядка из пространства Ьр. В данной статье, при этом, существенно расширен класс рассматриваемых весов.

Ключевые слова: аналитические функции, весовые пространства, функция Грина, гильбертовые пространства, оператор Лапласа.

1. Введение

Пусть С — ограниченная выпуклая область и И = С\С. Через d(z), г Є С, обозначим расстояние от точки г до границы И: <3(г) = &зі(г, дБ).

Обозначим пространство голоморфных функций

В1,„(В) = |/ Є Н№),} = 0 : Л/ІІБІ,(В) = У ))<М~) < х

(2)

где <і^(г) — мера лебега. В работе [1] доказана следующая теорема

Теорема А. Существует абсолютная постоянная с> 0 такая, что для любой функции f Є В^,^(В) выполнено соотношение

С ! (*)?<Р ^ У ^ 2у |f"(z)|2d2(z)dф), (3)

И во

где d(z) = dist(z,дG).

Аналог для пространства Смирнова изложен в работах [2],[3].

Далнейшее продвижение в данном направлении анонсировано в статье [4]. А именно, доказана следующая теорема.

A.R. Bagautdinova, A.V. Lutsenko, V.I. Lutsenko, E.D. Shaimuratova, Integral estimates for derivatives of analytic functions outside convex domains.

© Багаутдинова А.Р., Луценко А.В., Луценко В.И., Шаймуратова Э.Д. 2012.

Работа выполнена при поддержке гранта ФЦП „Научные и научно-педагогические кадры инновационной России"№14.Б37.21.0358, РФФИ (грант 10-01-00233-а).

Поступила 24 августа 2012 г.

ІЗ

Теорема Л'. Если а > -1/2, то существует постоянная С(п,а) > 0, не зависящая от области И и такая, что

^ІЕЕЩЇЕЕІІ 11 {гу1,Лг) ^ 11/("+« (;)\ч2<“+1>шф) ^

И в

^ С(п, а) J |/(п)(г)І2(2а(г)(/і(г). в

Для а = -1/2 справедлива оценка

\! 1 ^ У 1 ^ -0 j 11{п\г)і2(Г1(г)(1^).

в в в

Н. М. Ткаченко и Ф. А. Шамоян обобщили этот результат на производные произвольного порядка из пространства Ьр со степенным весом (см. [7]-[9]).

Заметим, что важность изучаемых вопросов обусловлена предполагаемым использованием их при обобщении результатов работ (см. [10]-[15])

При доказательстве данных теорем был использован результат (см. [5], е.203): Теорема В. Пусть А— произвольное замкнутое множество в Е™. Тогда на Ега\А еуще-ствует бесконечно дифференцируемая функция 8(х) = 8(х,А), обладающая свойствами

С18(х) ^ (геї(х,А) ^ С28(х),

и для любого а имеем

-8(х) ^ Са (с(І8і(х, А))1-|а|,

дха

где Са ,С]_, С2 не зависят от А.

Там же доказана и следующая теорема:

Теорема С. Пусть П — некоторое открытое связное множество на комплексной плоскости С, тогда существует такой набор квадратов

Р = {Яі, Я2,...,Як,...}, (Як\дЯк) п (Ят\дЯт) = ф,к = т, что и Як = П, причем

к

с^гат(Як) ^ (ізЬ(Як, дП) ^ с2(іат(Як)

константы с1, с2 не зависят от П. Кратко, такие соотношения будем записывать в виде (іат(Як) ^ (і8Ь(Як,дП).

В работе [1] также доказана следующая лемма:

Лемма Л.

1. Функция расстояния ((х) выпукла (в часности, субгармонична) и удовлетворяет, условию Липшица

І((гі) — ((г 2)І < Ігі — 221, Vгь 22 Є С.

2. Пусть С— выпуклая область и г0 Є С. Если функция (і$Ь(г, С) дифференцируема в точке го, то Ідгас( (іві(г0,С)І = 1.

3. Если И выпуклый многоугольник, то ((г) непрерывно дифференцируема в С.

Мы также используем техническую лемму:

Лемма В. Пусть С С С односвязная область, А = ^ ^ — оператор Лапласа,

/ Є Н(С), 2 ^ р < <х>. Тогда

А\/(‘>МГ = АІ (Ч(-)Г"2І Ґ+1>( г)\2.

Доказательство: Обозначим /(к\г) = и(х,у) + іь(х,у)— целая функция, следовательно, и'у = —у'х , ь'у = и'х и Аи = 0, Ау = 0. В наших обозначениях

Аи(к\г)ІР = р(р — 2) {и2 + ь2)2 2 \(ии’х + тх)2 + (ии'у + т'у)2] +

+р [и2 + V2)2 [(и'х)2 + (и'у)2 + (ух)2 + (у'у)2 + (иАи + гДг>)] =

2 1 2 1

р(р - 2) (и2 + V2)2 [«)2 + (и'х)2] + 2р (и2 + ^2)2 [«)2 + (<)2]

= р2 (и2 + V2)2 [(<)2 + Ю2] = \1 (к+1\г)\2.

Мы учли, что /(к+1) (г) = (и'х + ь'у)/2 + г(ь'х — и'у)/2, тогда верно равенство

f {к+1)(г) = (и'х + ь'у)/2 + 1(у'х — и'у)/2

и

\1(к+1 (г)\2 = 4((и'х + уу))2 + ((ух — и'у))2 = (их)2 + (у'х)2

2. Основной РЕЗУЛЬТАТ Справедлива следующая теорема:

Теорема 1. Пусть С — ограниченная выпуклая область и И = С\С, f € В^(Б). Тогда для Уп € N 2 ^ р < <х>, справедливы оценки

С1!\1 (z)\pw(d(z))d^(z) \/(п)(г)\рсГр(г)т(д(г))д^(г) ^ С2 ^\/(г)\рт(<1(г))(1^(г), (4)

во и

где с1(п,р,а), с2(п)— положительные постоянные, зависящие только от п, р, а, и неотрицательная дважды непрерывно дифференцируемая функция т^), удовлетворяющая следующим условиям:

(Ь2т(Ь))' ^ 0,

(12'ю(1))'' ^ а'ю(1),

1и(2{) ^ ^(Ь),

для некоторых положительных констант а, 0, и У > 0.

Замечание: Частным случаем весов, фигурирующих в теореме, являются т(Ь) = Ь1, при

7 > —1.

Доказательство: Докажем левое неравенство (4).

Пусть В (г)— круг радиуса г с центром в начале координат, Я0 = дгат(С). Без потери общности будем считать, что 0 € С. Построим выпуклый многоугольник М, такой что С С М С В(2Я0). Определим область и = С\М П В (Я), для произвольного Я > 2Я0. Так как граница и кусочно-гладкая, то можно применить формулу Грина:

J(Чг)Дд(г) — д(*)Дк(г))д^(г) = ^ — д(х)ds(z), (5)

и эи

где дв(г)— элемент длины границы ди.

Определим функции к и д.

Пусть гц^)— неотрицательная гладкая функция типа "шапочки"(см. [5]): ^(г) = 0 при \г\ ^ 1, / гц(г)д^(г) = 1. Функцию <!(г, дМ) продолжим нулем на дМ, и для произвольного

с

£ > 0 рассмотрим гладкую функцию

д£(г) = J V ^д(в,дМ)д^(в).

с

Так как функция д(г, дМ) — выпуклая, в частности субгармоническая, то семейство функций д£(г,дМ) также являются субгармоническими и при е ^ 0 убывают и сходятся к д(г,дМ), более того, верны неравенства Аде(г) ^ 0 (см.[6]). Итак, пусть

к(г) = д1кР+2(г)^^(д£(г)), а д(г) = \/(к')(г)\1} (к € Ъ+),к ^ п. Пусть К настолько велико, что при \ г\ > К выполняется неравенство \ г\/2 < К < \г\, и пусть по условию

I \!(к+1\г)\Ч^(гМ<1е(г))<1ф) < ж. (6)

№>к

Тогда формула (5) примет вид:

[ (Лр+2(гМШ)А\РкЧг)Г‘ — \1 {к'(~У?Д№+2(ф,Ш~ )М<М =

и

ди

МЛ, (,)) — \1<к)(г)Г 8 ^

На границе многоугольника М д£(х) = 0, = 0. Учитывая (6) и лемму В, получаем, что

интегралы по границе круга В (К) стремятся к нулю при увеличении К. Поэтому формула преобразуется к виду

У Лкг+2(:)и,(ст)А\ 1(к)\гЛф) =

с'" (7)

= I \/(к)(;)ГА(акг+2(;)и(Ш)У1Яг).

с\м

Распишем подробнее оператор Лапласа.

А((!кр+2и)шШ (г))) = 9(дк+2(х,у)™(^(х,у))) + д((1!кР+2(х,у)'ш((1е(х,у)))

£ £ дх2 ду2 ’

где г = х + 1у. Для сокращения записи опустим параметры в частных производных. Получим следующую формулу

(I!кЧ2т((1))'' = [(кр + 2)с1кр+1т(д)$ + йкр+21и' ДО']' =

= ёкр[(кр + 2)(кр + 1^(ё) + 2(кр + 2)дт!(ё) + с12и)''(ё)] ($)2 +

+ёкр+1[(кр + 2^(ё) + ^' ($)}$'.

Сведем воедино частные производные

А(вкЕр+2(г)т(д£(г))) = в!^р(£)[(кр + 2)(кр + 1)1п(д£(г)) +

+2(кр + 2)д£(г)и)'(д£(г)) + д‘^(г)т1'(д£(г))] \дгадд£(г) \2+ (8)

+^^р+1(г )[(кр + 2^(д£(г)) + й£ (г)^ (д£(г))]Дд£(г).

Перегруппировав слагаемые, получим

А(^^р+2(г ^(^ (г))) = ё!кР(г)кр(кр — 1^(д£(г)) \ дгадд£(г) \ 2+

+й>кР(г )[кр{2(2'ш(д£(г)) + й£(г )и)' (^е(г)))}] \ дгадд£(г) \ 2+

+ёкр(г)[2,ш(д£(г)) + 4д£(г)^(д£(г)) + д2(г)и)”(д£(г))} \дгадд£(г)\2+ (9)

+ё1кР+1 (г)[к'рш(д£(г))]Ад£(г) +

+(1кр+1 (г)^^^)) + д£(г )и)' (д£(г))]Ад£(г).

Так как по условию w(t)t2 возрастающая выпуклая функция, то 2w(t) + ^ 0 и

21и({) + 4tw' + t2w'' ^ 0. Также учитывая, что Ад£(г) ^ 0 и то, что все строчки формулы (2) неотрицательные, получим неравенство

А^^2^^^^))) ^ вУкР(г)кр(кр — 1^(де(г))\дгадд£(г)\2. (10)

И оценка (7), с учетом леммы В, принимает вид „2

Р

с\м

4 \!'кЧг)г-2\}(к+1)^)\24-+2(:)и,Ш.тф) »

^ кр(кр — 1) j \/(к\г)\рй!1Р(г)т(<1£(г))\дгайй£(г)\2д^(г).

с\м

При к = 0 третья строка формулы (7) дает оценку:

’4 / \ !Г2\!(к+1)(г)\(гМШШг) >

с\м

^ а J \f(к)(г)\р дкр (г)т(д£(г))\дгадд£(г)\2д^(г).

с\м

Устремим е к нулю, тогда в силу непрерывной дифференцируемости функции д(г, дМ) имеем

дд£(г) дд(г,дМ) дд£(г) дд(г,дМ) —

----- , —^ ---- ,^ € с\м.

ох ох оу оу

Следовательно,

Иш \дгадд£(г)\2 = \дга<!<1(г,дМ)\2 £^-0

и учитывая лемму А, в пределе получаем следующую оценку

С(к,р,а) I \f(к)(г)\р~2\/(к+1)(г)\2дкр+2(г)Ш(д(г))д^(г) >

с\м

> ] \ !(к)(*)\рдкр(г)^^(д(г))д^(г),

с\м

С(к,р, а) = I 4а

где

Р , п

при к = 0,

р2

при к > 0.

4кр(кр — 1)

Выберем последовательность выпуклых многоугольников Мп, таких что:

±ГП )

ОС

Мп С В (2Па), С С Мп, Мп+1 С Мп, ^\Мп = С. п=1

Так как на каждом из этих многоугольников выполняется последнее неравенство с одной и той же постоянной, то в пределе получаем:

У \/(к)(:)\ЧкР(г}и,Ш)сЫг) «

В ^ С(к,р,а) ! \/(к)(г)\р-2\f(к+1)(г)\2дкр+2(г)Ш(д(г))д^(г). в

Применим к правому интегралу неравенство Гёльдера с показателями и §.

/| Г-2 \ /(к+1)(') \ 2<1 кг+2(;)гиШ)<1ф) =

В

/(2 2) 2

\ !(к)(г)\Р~2дк(р~2)(г^ — (ф)) \ 1’(к+1)(г)\2д2(к+1)(г^V(ф))ф,(г) ^

в

2-2

2

< У 'Г^к<^I х

х \ у(к+1)(г)\РЛ(к+1)р(г)Цф))ф,(,г)

Окончательно получаем:

[ \/(к)(:)\ЧкР(г}и,Ш)сЫг) «

В

2-2

2

^ С(к,р,а) | J \$(к\г)\рдкр(г)^^(д1(г))д1^(г) | х

х и \п

\в

Сокращение левой и правой части на сомножитель

\/(к)(г) \ рс1кр(г )т(д(г))д р,(г)

\В

приводит к неравенству

2-2

2

\В или

\ f(к)(г)\р<1кр(г)т(<1(г))<1ф) | ^

\в

^ С(к,р,а) \ /(к+1)(г)\рд(к+1)р(г)1^(д(г))д^(г)

[ \/(к)(г)\рвкр(г)Ш(д(г))д^(г) ^

П

яЕ

^ С2 (к,р,а) J \/(к+1\г) \рд(к+1')р(г)т(д(г))д^(г). в

Рассматривая, последовательно, к = п — 1, ..., к = 2, к = 1, к = 0, получаем неравенство

У \ /№\р^^(д(г))д^(г) ^

В

2

^ с(п,р,а) \ f(n\z)\pdnp(z)w(d(z))d^(z).

D

Теперь докажем правое неравенство теоремы 1, используя теорему С. Пусть

Р = {Я1, Я2,... ,Як,...}, вышеуказанный набор квадратов, С = и Як, тогда

к

I \ /-« г^мфмф) = £/ \ г^-«фмф)<

G k Qk

^ max[ \f(n^(z)\pdnp(z)w(d(z))]diam2(Qk) ^

zeQk

k

< ^ Y, max[i ftn) w i r<tw+2(z мф))] «

, z€Qk к

< 4 ^ \ f (п)(^к)\pdnp+2(zk)w(d(zk)), к

где Zk e Qk.

Пусть теперь Qk — квадрат, с общим центром с Qk, и увеличенный в 1 + е раз, где 0 < е < 0.25. Обозначим

Br (zk) = [z : \z — Zk \ < г], где 0 <k < dist(Qk ,dQ*k )/2.

Так как

’"•'--k '=i, I

dBr tZk)

\ftn)(zk)| = —— max \f(z)\ ^ ———1 \f(zk)\,

v k;| 2nrndBr (zk • dn(zk ,dG) uy k) h

где zk e dBr (zk). По построению квадратов известно, что

diam(Qk) х d(zk, dG), diam(Q*k) x d(zk,dG),

но

5

diam(Qk) < diam'Q*) < -diam(Qk),

поэтому

d'Zk, dG) x d'zk, dG).

Более того, из условий, наложенных на функцию w, получим эквивалентность

A1w(d(zk,dG)) ^ w(d(zk,dG)) ^ A2w(d(zk,dG)).

Действительно, пусть A-1t1 ^ t2 ^ At1, тогда 3m e Z : 2m-1 < A ^ 2m, и 2-mt2 ^ t1 ^ 2mt2. Так как t2w(t)— возрастающая, то

t2lW(t1) ^ 22mt2w(2mt2) ^ 22mt2f3mw(t2) ^ 22m(2mt1)2p^wfo) ^

^ w(U) ^ 24m/3mw(t2).

Аналогично, учитывая, что, t2 ^ 2mt1 ^ w(t2) ^ 24mftmw(t1), т.е.

2-4m/3-mw(t2) ^ w(h) ^ 24m/3mw(t2).

Следовательно, если t1 x t2 ^ w(t1) x w(t2).

£ | !^(гк)\М«+2(,„МФк)) < с £ |/&)Г ^(^гк)) <

^ ^\ї(*к)\рс12(гк)ы(д(гк)) ^ С5 ^ Ц(гк)\рс12(гк)іи(д(гк)).

к к

Возьмем г0 : 0 < г0 < дІ8Ь(Як,дЯ**)/2, при этом, очевидно, ВГ0(гк) С Я*к. Учитывая, что и(г)\р- субгармоническая при всех значениях р : 0 < р < ж, то

\г&)Г « ^ I \!(г.)№М « \!М№М

Вг$ (%к) Як

Далее,

Ц(2к)\рд2(гк,дС) ^ от Г и(г)\рд^(г),

Як

Ц(Ік)\рд2(їк,дЄ^(д(2к,дС)) ^ с8 [ Ц(г)\рі^(д(гк,дС))д^(г). ЯІ

Так как в районе Як д(їк,дС) и д(г,дС) эквивалентны и, следовательно, эквивалентны іи(д(гк,дС)) и іи(д(г,дС)), поэтому получаем неравенство

Ц(їк)\рд2(їк,дС)іи((1(їк,дС)) ^ С9 [ Ц(г)\ріи((1(г,дС))(1^(г).

Як

Учитывая, что из системы {Як} можно выделить конечную подсистему, покрывающую всю область С, то

J\їі'п)(г)\р(Іпр(г)т((і(г))(і^(г) ^ сю И(г)\рт(д(г, дС))<1ц,(г) ^

с к д*

^ °і\/(г)\рт(д(г,дС))д^(г). с

Теорема доказана.

Замечание: Оценка сверху в теореме 1 получается для произвольных областей.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Исаев К.П., Юлмухаметов Р.С. Преобразования Лапласа функционалов на пространствах Бергмана // Известия РАН. Серия математическая. T.68. №1. 2004. C. 5-42.

2. Луценко В.И., Юлмухаметов Р.С. Обобщение теоремы Винера-Пэли на функционалы в пространствах Смирнова // Труды Математического института АН СССР 1991, T. 200, C. 245254.

3. Yulmukhametov R.S., Lutsenko V.I. Weighted Laplace transform // Pitman Research Notes in Mathematics Series, 256. Longman Scientific & Technical Longman House, 1991, P. 232-240.

4. Abuzyarova N.F., Isaev K.P., Yulmukhametov R.S. Equivalence of norms of analytic functions on the exterior of a convex domain. Geometric function theory, boundary value problems and their applications. Proceedings of the international scientific conference, Kazan, Russia, March 18- 24, 2002. Kazan: Kazanskoe Matematicheskoe Obshchestvo. Tr. Mat. Tsentra im. N.I.Lobachevskogo

14, 39-49 (2002). MSC2000: *30H05 46E15

5. Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. M. Мир, 1973. 342 с.

6. Ронкин Л.И. Введение в теорию целых функций многих переменных. М.: Наука, 1971. 432 с.

7. Ткаченко Н.М. Об оценках производной аналитической функции в Lp- весовых пространствах // Вестник Брянского государственного университета: Естественные и точные науки. Брянск: РИО БГУ, 2006. №4. С. 194-197.

8. Ткаченко Н.М. Весовые Lp-оценки аналитических и гармонических функций в односвязных областях комплексной плоскости // диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Саратов 2009.

9. Tkachenko N.M., Shamoyan F.A. The Hardy - Littlewood theorem and the operator of harmonic conjugate in some classes of simply connected domains with rectifiable boundary // Журн. матем. физ., анал., геом., 5:2 (2009), P. 192—210.

10. Исаев К.П. Базисы Рисса из экспонент в пространствах Бергмана на выпуклых многоугольниках // Уфимский математический журнал. T.2. №1. 2010. C. 71-86.

11. Напалков В.В., Румянцева А.А., Юлмухаметов Р.С. Полнота систем экспонент в весовых пространствах на вещественной оси // Уфимский математический журнал. T.2. №1. 2010. C. 97-109.

12. Луценко В.И., Юлмухаметов Р.С. О точности асимптотической аппроксимации субгармонических функций логарифмом модуля целой функции // Уфимский математический журнал. T.2. №3. 2010. C. 46-53.

13. Исаев К.П., Юлмухаметов Р.С. О безусловных базисах из экспонент в гильбертовых пространствах // Уфимский математический журнал. T.3. №1. 2011. C. 3-15.

14. Путинцева А.А. Базисы Рисса в весовых пространствах // Уфимский математический журнал. T.3. №1. 2011. C. 47-52.

15. Исаев К.П., Трунов К.В. Распределение показателей безусловного базиса из экспонент в пространствах со степенным весом://Уфимский математический журнал^А^^^^. C.63-70.

Багаутдинова Алина Равилевна,

Башкирский государственный университет, ул. З. Валиди, 32,

450074, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]

Луценко Анастасия Владимировна,

Башкирский государственный университет, ул. З. Валиди, 32,

450074, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]

Луценко Владимир Иванович,

Башкирский государственный университет, ул. З. Валиди, 32,

450074, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]

Шаймуратова Эльвира Данировна,

Башкирский государственный университет, ул. З. Валиди, 32,

450074, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]