Базисы Рисса в весовых пространствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 3. № 1 (2011). С. 47-52.

УДК 517.5

БАЗИСЫ РИССА В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

А.А. ПУТИНЦЕВА

Аннотация. В статье рассматривается вопрос о существовании базисов Рисса в весовых гильбертовых пространствах с выпуклым весом. Пусть h — выпуклая функция на ограниченном интервале I вещественной оси, L2(I, h) — пространство локально интегрируемых функций на I, удовлетворяющих условию

В случае, когда I = (—п; п), h(t) = 1, пространство L2(I,h) совпадает с классическим пространством L2(-п; п) и тригонометрическая система Фурье является базисом Рисса в этом пространстве. Негармонические базисы Рисса в L2(-п;п), как показано в работах Б.Я. Левина, можно конструировать с помощью системы нулей целой функции типа синуса. В данной работе доказано, что если в пространстве L2(I,h) существует базис Рисса из экспонент, то это пространство изоморфно (как нормированное пространство) классическому пространству L2(I). Таким образом, существование базисов Рисса из экспонент является исключительным свойством классического пространства L2(-п; п).

Ключевые слова: Базисы Рисса, весовые гильбертовы пространства, воспроизводящие ядра, преобразование Фурье-Лапласа, функции типа синуса.

Пусть I — ограниченный интервал вещественной оси, h(t) — выпуклая функция на этом интервале и L2(I,h) — пространство локально интегрируемых функций на I, удовлетворяющих условию

||f 11 ■= £ |f (t)|2e-2h(t) dt < то.

Оно является гильбертовым пространством со скалярным произведением

(/,9) = J / (t)g(t)e-2h(i) dt.

В данной работе мы изучаем вопрос о существовании базисов Рисса из экспонент в пространствах L2(I, h). В классическом случае, когда I = (—п; п), h(t) = 1, система Фурье вжпг образует ортонормированный базис. Очевидно, что в других случаях ортнормированных базисов из экспонент в пространствах L2(I, h) не может быть. Понятие базиса Рисса введено в [10] Н.К. Бари и обозначает образ ортонормированного базиса при ограниченном обратимом операторе. Изучение неортонормированных базисов из экспонент в пространстве L2 (—п; п) имеет длительную историю, является актуальной и ныне, в литературе за этой темой закрепилось название негармонический анализ Фурье. Первоначально показатели базиса из экспонент (eAni), n = 1, 2,..., рассматривались как некоторое возмущение целых чисел, то есть в виде An = n + ап. В работе [11] Б.Я. Левин впервые предложил характеризовать последовательность показателей как множество нулей целой функции

A.A. Pütintseya, Riesz bases in weighted spaces.

© Путинцева А.А. 2011.

Работа выполнена при частичной поддержке грантов РФФИ 10-01-00233-а, 11-01-97009-р_поволжье_а.

Поступила 3 февраля 2011 г.

с теми или иными свойствами. Эти целые функции позднее в работе [12] были названы целыми функциями типа синуса. А именно, целой функцией типа синуса названы целые функции экспоненциального типа, которые вне некоторой вертикальной полосы удовлетворяют оценке

0 < c < |L(z)|e-nRe z < C< то.

В [11] показано, что система экспонент, последовательность показателей которой совпадает с множеством всех нулей целой функции типа синуса, образует обобщенный базис в L2(-п; п). Вскоре В.Д. Головин в работе [13] показал, что если нули функции типа синуса обладают свойством отделимости, то есть

inf |Л„ - Ат| > 0,

n=m

то соответствующая система экспонент образует базис Рисса в пространстве L2(-п; п).

В данной работе мы докажем, что в неклассических случаях не существует базисов Рисса из экспонент.

Основным инструментом исследований в данной работе является преобразование Фурье-Лапласа функционалов. Преобразованием Фурье-Лапласа функционала S на пространстве L2(I,h) будем называть функцию

£(А) = S(eAi), А е C.

Если функционал S порождается элементом g е L2(I, h), то

£(А) = £ eAi-2h(i)g(t)dt, А е C.

Очевидно, что отображение L : S —> S вкладывает сопряженное пространство L2(I, h) в пространство целых функций. Для сокращения записи пространство L2(I, h) будем обозначать через H. Образ отображения обозначим через H = L2(I,h). В силу полноты системы всех экспонент (eAi), А е C, отображение L : H2 —> H будет взаимно однозначным. В пространстве H можно ввести наведенную структуру гильбертового пространства по формуле

ЙД)я =(Si,S2)h * , Si,S2 е H2.

Отображение L является изоморфизмом пространств L2(I, h) и L2(I, h). Если пользоваться стандартным отождествлением линейных непрерывных функционалов на гильбертовом пространстве с элементом пространства, то получим сопряженно линейный изоморфизм пространств H и H по формуле

/ —> (е^ /)н.

Такое отображение тоже будем обозначать через L и для / е L2 (I, h) образ L(/) будем обозначать через /. Итак,

/(А) = / Ж)еЛ‘-2'“мdf, / е L2(I,h),

при этом

(/,f)L2(I,h) = (g,/)b2(I,h).

Лемма 1. Для w е C через Ew обозначим функционал, порожденный функцией ewt. Тогда функция K^,w) = Ew(А) является воспроизводящим ядром (см. [3]) в пространстве L2(I, h), то есть для любой функции F е L2(I, h)

F(w) = (F(А), K(А, w)).

Доказательство. В самом деле, если ^ = /, то

(Л),к (А,™)) = (/,£«) = (е^/)ь2(/Л) = /О) = ^ (™).

□

Если написать непосредственно, то

К (Л,™) = (еЛ*,еад*) = ^ е^*-2^^.

Система элементов ек, к = 1, 2,..., в гильбертовом пространстве называется безусловным базисом (см. [1]), если она полна и найдутся числа с, С > 0, такие, что для для любого набора чисел сі, с2,..., Сп выполняется соотношение

п п п

с £ | Ск | 2 11 ек 11 2 < 1| £ Скек11 2 < С £ IСк | 2 | | ек 11 2.

і=1 І=1 І=1

Известно (см. [2],[4]), что если система ек, к = 1, 2,..., — безусловный базис, то любой элемент пространства Н единственным образом представляется в виде ряда

ГО

Х ^ ^ Хк ек,

к=1

причем

оо оо

с £| Хк 12 11 ек.I | 2 <| I X I I 2 < С £| Хк |2 11 ек | | 2.

к=1 к=1

Безусловный базис ек, к = 1, 2,..., в гильбертовом пространстве называется базисом Рисса, если | | ек | | х 1 (см. [4])

Лемма 2. Система экспонент (еЛй*}, к = 1,2,..., является безусловным базисом в пространстве ¿2(/,Л,) тогда и только тогда, когда система {К(Л, Лк)}, к = 1, 2,..., образует безусловный базис в пространстве ¿2(/,Л,).

Доказательство. В самом деле, если система экспонент образует безусловный базис, то любой элемент / Є Ь2(/, Л-) разлагается в ряд

ГО

/ (і) = £ ск еЛ" *, (1)

к=1

причем

ГО ГО ГО

| | / | | 2 х £ | Ск | 2 | | ел‘' | | 2 = £ | Ск | 2 К (Лк ,Лк) = £ | Ск | 2 | | К (А, Ак) | | 2. (2)

к=1 к=1 к=1

Если соотношение (1) умножим скалярно на еЛ*, то получим

ГО

/(Л) = £ Ск к (л, Лк),

к=1

а соотношение (2) означает

ГО

| | /| | 2 х £| Ск | 2 | | К (Л, Лк) | | 2.

к=1

Следующие свойства безусловных базисов доказаны в [4] (стр. 374).

В1. Система ек, к = 1, 2,..., является безусловным базисом в пространстве Н тогда и только тогда, когда биортогональная система кп, п =1, 2..., является безусловным базисом в пространстве Н.

В2. Если ек, к = 1, 2,..., — безусловный базис в пространстве Н, кп, п = 1, 2... — биортогональная система, то ||вк || ■ ||кк || х 1.

Положим К (г, г) = К (г).

Лемма 3. Если система экспонент {ел^}, к = 1, 2,..., является безусловным базисом в пространстве Ь2(/, к), то найдутся постоянные с, С > 0 такие, что для любой функции Е Є Ь2(I, к) выполняются оценки

ГО

|^ (Ак )|

2

сГ||2 <Е '-^тЛрг < С||^||2. (3)

к=1 ( к)

Доказательство. Пусть система экспонент {еЛй *}, к = 1, 2,..., является безусловным базисом в пространстве Ь2(/,к). По лемме 2 система {К(А,Ак)}, к = 1, 2,..., является безусловным базисом в пространстве Ь2(/,к). Пусть Еп(А), п = 1, 2,..., — биортогональный базис в Ь2(/, к). По свойству В1 система Еп(Л), п =1, 2,... является безусловным базисом, то есть каждый элемент Е Є Ь2(/, к) представляется рядом

р (А) = £ ^пЕп(Л),

причем

пп

п=1

сю

1!^ ||2 х£|^|2||Е„(Л)Г

В силу биортогональности имеем = (Е(Л),К(Л,Лп)) = Е(Лп) и по свойству В2 ||Еп||К(Лп) х 1. Таким образом, соотношение (3) выполнено.

□

В работах [7],[8] описано пространство Ь2(/, Л).

Теорема А. Пространство Ь2(/, Л) изоморфно (как банахово пространство) пространству целых функций Е, удовлетворяющих условиям

|^(г)| < С'^х/К!^), г е С,

где

К (г) = / |е2^|е 2^(і)^і, к(х) = 8ир(хі — к(і)).

Теорема 1. Если в пространстве Ь2(/, Л) существует базис Рисса из экспонент, то еМ*) х 1, то есть пространство Ь2(/, Л) изоморфно (как банахово пространство) классическому пространству Ь2(/).

Доказательство. Если система {еЛк*} — базис Рисса в Ь2(/, Л), то показатели Лк лежат в некоторой вертикальной полосе, то есть |И,е Лк| < d для некоторого ^ > 0.

Как показано в [5] (см. также [6]), показатели безусловного базиса {еЛк*} удовлетворяют условию отделимости, то есть для некоторого 8 > 0 верно |Лк — Лт| > 8, когда т = к. Возьмем число Т > 0 из условий Л/(Т) — Л/(—Т) > |2| и Т > d + 8. Такое число можно найти, потому что Л/(то) — Л/(—то) = |/1.

Поскольку в полосе |И,е г| < d функция К (г) = К (И,е г) отграничена от нуля и бесконечности, то по лемме 3 выполняется соотношение

ОО

c||F||2 <^|F(А*)|2 < C||F||2, F = f 6 L2(/,h). (4)

fc=l

Из левого неравенства имеем

^ Л Л

£ lF(А*)|2 > с/ / |F(x + ¿y^dyd/?^. (5)

*=1 */|x|<T*/R

Из равенства

Е(ж + гу) = £е^е"*-2^/(¿Э,Уж е К, по формуле Планшереля получаем

[ |Е(ж + гу)|^у = / |/(¿)|2е2а*-4Л(*^.

./к Л

Отсюда, если таж{|£|,£ е I} = а, то для всех ж е [—Т; Т] верна оценка

e-2“T / |f (t)|2e-4h(t)dt < |F(x + iy)|2dy < e2“T / |f (t)|2e-4h(t)dt. (6)

Jl JR Jl

Левое неравенство вместе с (5) означает

ГО

Е |F(А*)|2 > JíJíe"2“^ |f (í)|2e-4h<'>dí. (7)

\fc )| > — e k=1 "1

По свойствам субгармонических функций имеем оценку

|F(А*)|2 < -^2 f |F(z)|2dm(z)-

/в(Аь<5)

В силу отделимости показателей отсюда получим

~ 1 Г 1

|F(z)|2dm(z) < —

*=1 -'Ufe B(Afc,¿) ^ |x|<T

Учитывая правое неравенство в (6), имеем

£|f(а*)|2 < -^2 |F(z)|2dm(z) < |F(x + *У)|2dydx.

£ |F(А*)|2 < ^e'2“T/ |f (í)|2e-4h(,)dí.

k=1 n

Эта оценка вместе с (4) и (7) означает, что для некоторых постоянных Ь,В и для всех / е Ь2(1, Л) выполняются соотношения

ь] |/(¿)|2е-4^ <у |/(t)|2e-2h(í)dt < ^ |/(¿)|2е-4^dí,

из которого с помощью стандартных методов с использованием функций типа "шапоч-ки"можно получить, что ь < е-2^(4) < В.

Теорема 1 доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Никольский Н.К., Павлов Б.С., Хрущев С.В. Безусловные базисы из экспонент и воспроизводящих ядер. I // Препринт ЛОМИ. C. 8-80.

2. Никольский Н.К. Лекции об операторе сдвига. М.: Наука. 1980.

3. N. Aronszajn. Theory of reproducing kernels // Transactions of the American Mathematical Society. 1950. V. 68. № 3. Р. 337-404.

4. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука. 1965. 448 с.

5. Башмаков Р.А. Системы экспонент в весовых гильбертовх пространствах на R // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Институт математики с ВЦ УНЦ РАН. 2006 г.

6. Исаев К.П., Юлмухаметов Р.С. О безусловных базисах из экспонент в гильбертовых пространствах // УМЖ. 2011. Т. 3. № 1. С. 3-15.

7. Луценко В.И., Юлмухаметов Р.С. Обобщение теоремы Пэли-Винера на весовые пространства // Матем. заметки. 1990. Т. 48. № 5. С. 80-87.

8. Луценко В.И. Теорема Пэли-Винера на неограниченном интервале // Исследования по теории приближений. Уфа. 1989. С. 79-85.

9. Напалков В.В., Башмаков Р.А., Юлмухаметов Р.С. Асимптотическое поведение интегралов Лапласа и геометрические характеристики выпуклых функций // Доклады Академии наук. 2007. Т. 413. № 1. С. 20-22.

10. Бари Н.К. О базисах в гильбертовом пространстве // Доклады Академии наук. 1946. Т. 54. С. 383-386.

11. Левин Б.Я. О базисах показательных функций в L2 // Зап. матем. отд. физ.-мат. фак-та ХГУ и ХМО. 1961. Сер. 4. № 27. С. 39-48.

12. Левин Б.Я. Интерполяция целыми функциями экспоненциального типа // Матем. физика и функц. анализ. ФТИНТ АН УССР. 1969. Вып. 1. С. 136-146.

13. Головин В.Д. О биортогональных разложениях в L2 по линейным комбинациям показательных функций // Зап. матем. отд. физ.-мат. фак-та ХГУ и ХМО. 1964. Сер. 4. № 30. С. 18-29.

Анастасия Андреевна Путинцева,

Башкирский государственный университет, ул. Заки Валиди, 32,

450074, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]