Норма линейного функционала над пространством h1 Текст научной статьи по специальности «Математика»

Доказательство. В соответствии с принятой вп.Г договорённости X не содержит тождества X = X . Если X содержит тождество х = у (где переменные X и у различны), то, согласно

п.2 °, 1\У( X ) является многообразием. Если каждое тождество и=\ из X таково, что и и V содержат более одной буквы, то, согласно п.2 °, 1\У( X ) является многообразием.

Если же X содержит тождество и=у, где и= хлхп...хш(к > 2) и \ = X. то 1\У(X), согласно теоремам 2. и 3., замкнут относительно эпиморфных образов и подполугрупп. Осталось заметить, что если произвольная полугруппа является декартовым произведением полугрупп

е А" .то является раздуванием декартова произведения полугрупп С е К .

Поэтому 1\¥( X) замкнут относительно декартовых произведений. Согласно теореме Биркгофа [4] X ) является многообразием. Теорема доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. М.: Мир, 1972. Т. 1. С. 136.

2. Кривенко В.М.. Полугруппы, в которых каждая 2-порожденная подполугруппа - нормальный комплекс / Современная алгебра: Межвузов. респ. тематический сб. Л., 1977. Вып. 6. С. 57-65;

3. Кривенко В.М., Кублановский С.И. Полугруппы, аппроксимируемые двухэлементными полугруппами / ХХ1Х Герценовские чтения. Математика. Л., 1976. С. 24-26;

4. Мальцев А.И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1976. С. 337.

В.Г. Рябых, Г.Ю. Рябых НОРМА ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД ПРОСТРАНСТВОМ ^

Пусть со - существенно ограниченная функция на Т — : = 1}, и Нр - обычное пространство Харди в единичном круге. Обозначим через 1Ш линейный функционал над Иь определяемый формулой (всюду в дальнейшем г = егв, С, = е19):

Ш) = ^ ¡Х«)МГуе,Х е Я°,ю е е (1)

Здесь Н® - множество функций из Нх, равных нулю в начале координат. Назовем функцию f экстремальной функцией для функционала 1, если для нее выполняется: /(/) = |/||, ||/ | = 1. Будем считать % е Н г функцией наилучшего приближения для СО е Лг .

= сГ^Ко),Н А). Известно, что экстремальный элемент существует

если

<*>-Х

= М

Ь._

со-а

не у любого функционала над Нх, в то же время наилучшее приближение СО реализуется всегда.

В статье [1] получены необходимые и достаточные условия (не совпадающие между собой) существования экстремальных функций.

В данной работе будет указано равносильное условие их существования. В ней же решается

давняя задача о вычислении нормы линейного функционала над пространством Н °.

Нам понадобятся три следующих, хорошо известных, результата:

Пусть Ф+ и Ф - угловые предельные значения интеграла —¿// при стремлении ъ

2та ^ - г

к точке ^еГ соответственно изнутри или извне Т. Тогда:

1.Из теоремы Рисса ([2] гл. 9, п.З) вытекает: если <р е < р < оо, то |ф+| < С||^||

II \\ьр ^Р

и Ф+ , Ф являются угловыми граничными значениями функций соответственно из пространств

Hp и H0 .

2. По теореме Привалова ([3] гл.111, (2.3:1)) для п.в. ¡^ €:Т выполняется

Ф+(0-Ф(0 = <р(о, Ф+Ю + Ф~Ю = ~(у.р.)\Щл. (2)

т

3. Из той же теоремы при (р е L (1 < р < оо) следует

ФЧО = -(V-P-) и Ф-(С) = --(yp)\^±dt (3)

777 J t — Г 777 •> t — Г

7П Т ^ ~ £ Ж Т 1 ~ ^

Приведем доказанные ранее в [1] факты:

I. (ТЕОРЕМА 1 из [1]) Пусть Ф(||Ф||Я =1) "Те Н2 - решения системы уравнений:

Ф (t) = Ш(t)^a(t) + tal(t)

____для п. в. / из Т. (4)

[¥(» = МФ (0® (0 +

(а1 и а2 некоторые функции из Н2, а X - вещественное число). Тогда:

10. При X = существуют такие решения системы (4), что:

1) для п.в. I ^Т выполняется |Ф(У)| = ^(О^

2) экстремальную функцию функционала (1) можно представить в виде / (7) = /0(7)4^ (7).

2°. Если ф(||ф|| = 1) » Т е Н2 — решения системы (4), то:

1) для п.в. t & Т выполняется |Ф(У)| — ^(О)?

2) наименьшее положительное X равно ^^ц '

3) /Ф^Р = у - экстремальная функция.

11. (ТЕОРЕМА 3 из [1]) Обозначим

ПуЖ) = ^1У(Ы (5)

2т • t — lз

(здесь интеграл понимается в смысле главного значения). Тогда оператор Т

1°) при О) е Л.л непрерывно отображает Ь2в Н2;

20) является положительным оператором над пространством Н2;

3°) если (О е ШЛО П Д», то оператор Тявляется компактным оператором из Ь2 в Н2.

III. (ТЕОРЕМА 4 из [1])

Если у функционала (1) существует экстремальная функция, то Ф и W из теоремы 1 являются решениями интегрального уравнения

Л" Г/ ч®+(0-®+(£)

y(O=— ко

2 m •

Y(t)dt,

(6)

В котором X = уш, (o{f) — со+ ( /) — о) (t), а интеграл понимается в смысле главного зна-

чения.

Теперь будет доказана

ТЕОРЕМА 1. Пусть функция ф(||ф||^ =1) является решением уравнения (6), соответст-

вующим характеристическому числу

f = V 2, а f¥ - проекция ХФсо на Н\ , тогда:

1) экстремальная функция существует и представима в виде

2) 1/Х2 равно наименьшему характеристическому числу оператора Т;

3) ||/||2 = Ц'/'Ц = г(Т), где г(Т) - спектральный радиус оператора Т. Доказательство.

II 1|2 2 II 1|2

Предположим противное: г(Т) > / и пусть |1= 1 //. е (/ ./'(/') |. В силу самосопряженности оператора Т, которая следует из того, что что он положительный, д является точкой непрерывного или точечного спектра.

Вначале предположим, что д находится в непрерывной части спектра. По теореме из ([4], гл. VII. т. 1.) существует последовательность {фи},||ф II =Ь Д-1Я которой - 127,(Фи)|| =0

Обозначим Я27т(Фи) —Фи = фп и заметим, что, т.к.

0, то существует ее подпоследова-

тельность (считаем, что сама {фп } ), сходящаяся к нулю п.в. на Т, следовательно, почти для всех С 1С!=1, справедливы равенства

Я —

фп(0 + фп(0 = —\фп«м0

2 m J

- œ+(t)-(o+(Ç)

t-ç

dt,A&m = tx¥+a,a еЯ„

' n n n* n ¿J

(7)

где ¿Л{'н - проекция АФпа на Н°, следовательно, выполняется

М2< ||ДФ ЯЮ )||<|| ФД <с||Ф„|| 2 Используя второе из равенств (7), имеем

ч.^ч £ ~~, ч ®+(0 - ®+(С) , з А 1 г.тгг ч со+(1) - а>+(С) ,

А2Т(Фп)(С) = — Ф„г'>(1) [ /ь'ск =у2- + -^

2т. /-А *

V^r

Упростим это выражение, используя теорему Привалова. Получим

(8)

(9)

MФЖ) = У2 -lf ^ ®dt-a>4oM^^

/ ^ ^ J / _ А -777 J

_Lf ^ (?)

(10)

«ия

T

T

= Л/

1

' 1 7П I ?

Ж+ а> +(£)?¥„(£)

Вычитая из (10) равенство

0 = —

1 г?¥М)а>- , —

-Г Л + ?¥яа>

я; ¿-с

Имеем

т^ж) = у2 Г*,*+жто

\г ' Ь

Из теоремы Привалова следует:

(11)

ЛШО + 2(^„(СМС)У = - Г Л■

7П • (-с

1

т ^ ~ С

Преобразуем правую часть (11), заменяя в ней интеграл по формуле (12). Получим

(12)

Я2Т(ФЖ) = у2 &ЛЖО + 2 (ФЛМОУ +

Откуда, полагая = М е Я2°,

имеем

Л2Т(ФЖ) = ЛФЛСМС) +

Заменяя оператор из правой части (7) только что выведенным значением /сТ(Фп). получим

Ф„(0 + Ф(С) = ЛФЛЖО + &я{0

для п.в. £ из Т.

(13)

Вычитая и складывая равенства (13), имеем для п.в. £ из Т

Здесь Ъ\ = а -а„,Ъ1 = а„ +а .

п п п* п п п

Заметим, что из ограниченности {||Фп||} и ¡|'['н|; следует существование слабо сходящейся подпоследовательности. Будем считать, что сами Фп, Фп слабо сходятся. Положим = ф ± Ч* и отметим, что 2 < 2(||ф||2 + ||Ч/||2) = ||2' П0ЭТ0МУ существует бесконечная подпоследова-

тельность норм 1''п' или I' п , отграниченная от нуля, а по неравенству Ц-Р^Ц < ||Ф„||2 +|^„|2 — 1 + С эта последовательность ограничена сверху. Общий член такой подпоследовательности обозначим через Fn.

Проведем дальнейшее доказательство для Бп= Фп - ¥п. Перепишем (14) применительно к этому случаю:

ад) = Л(-^П(С)ЫС) + Ф1(0-ФЛСУ

Теперь умножим обе части полученного равенства на Рп и проинтегрируем его. Имеем (= с")

2ж

о ¿71 __1 2/Т _

11-^11 =_ \fjjv.

2 л

о

2 л

0

После очевидных преобразований получим

2/Т _

Г/7" Ф й(р

1 I пт п У

А п

1-Л

/(-ОС)

2 л I

< С\\ф II .

\\тп о

Отсюда следует существование на единичной сфере пространства И® последовательности элементов, на которой достигается значение функционала 1, равное 1/Х, большее его нормы, чего быть не может. Следовательно, наше предположение о существовании непрерывного спектра приводит к противоречию.

Теперь предположим, что ц = у 2 е (|И|2,г(Г)] и 7(Ф) = /¿Ф, а ¿гИ опять проекция

/Я

ЛФсо на Н\ , т.е. для п.в. е '/' выполняется

ЛФсо = № + а,а е Н^

(15)

Преобразуя А2Г(ФХ<0 подобно тому, как это было сделано при выводе первого из равенств (13), получим после присоединения (15)

(16)

Р¥ = ЛФсо-а,а,ах е Н2. (17)

Но при рассмотрении равенств (16) и (17) из второй части теоремы 1 из [1] следует, что 1А, не может быть дольше ||/||, что говорит об ошибочности сделанного выше предположения. Теорема полностью доказана.

Для случая, когда со является рациональной функцией, не имеющей полюсов в |г| < 1, норму функционала вида

п ^

к=1 т=О

(18)

Часто встречающегося в задачах о нахождении точных констант, можно вычислить с помощью простого алгоритма, рассмотренного в [5] для функционала с т^к=0.

ТЕОРЕМА 2. Норма функционала (18) равна наибольшему корню алгебраического уравнения D(д)=0.

Доказательство.

Представим экстремальную функцию f в виде zF(z)ft(z), здесь Е е //", и не равна нулю в единичном круге, а Ь(г) - ее функция Бляшке. Нетрудно проверить, что

К К

Ф(г) = ^(г) = 1< 2(г)(\+Ь(г)) 2 удовлетворяют теореме 1 из [1].

Вычислим оператор Сеге от обеих частей уравнения (4) Получим

2л I 1-12

п ук í

' А

'кт

V

(Ф (О

1- г г

(19)

Дифференцируя (19) последовательно] раз (] = ОД,..., ук,к = 1,2,...,и), имеем

2

т

г= а

к

п ук

кт

/ , ч \(т)

(20)

Полагая в этих равенствах г = ак и г = ак , получим систему из 2/7 ук однородных ли-

к=1

нейных уравнении относительно неизвестных:

Присоединим к этой системе еще 2п^\>к уравнений, полученных заменой всех членов на

"к

к=1

сопряженные. Обозначим определитель новоИ системы через D(ц). Так как определитель этоИ системы Эрмитов, то корни уравнения D(ц)=0 вещественны, а наибольший из них, что следует из

теоремы 1 из [1], совпадает с ||/ш| |.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Рябых В.Г. Необходимое и достаточное условие существования линейного функционала над Н // Сибирский математический журнал. 2007. Т. 48. № 6. С. 1351-1360.

2. Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций. М.: Изд-во иностранной лит-ры, 1963.

3. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. М.: Гос. изд-во технико-теоретической лит-ры, 1950.

4. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966.

5. Рябых В.Г. Вид экстремальной функции линейного функционала над пространством Н1. Деп. в ВИНИТИ 10.08.01. № 1857-В2001. С. 2-15.

В.В. Сидорякина

БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ЛЯС-ДЕФОРМАЦИИ ЦИЛИНДРА В Е4

Работа посвящена исследованию бесконечно малых ARG-деформаций поверхностей в Е4. В качестве примера рассматривается случай цилиндра.

Под деформацией поверхности I? понимаем семейство /{ поверхностей ¡'\, непрерывно зависящее от параметра I, / е |- /0, /0 ^ /0 > 0. причем при 1=0 имеем /',, = /'. Если поверхность ¥ задана уравнением

то аналитически деформация записывается в виде

: г, = А

Предполагаем, что функция К представима следующим образом

: г( —г 41,V

где г V - поле деформации, о К, - члены более высокого порядка малости относительно /

к=0 т=0

г