О раздуваниях многообразий полугрупп Текст научной статьи по специальности «Математика»

В заключение заметим, что при помощи введенного оператора о рассмотренные свойства полугруппоидов легко переводятся на полугрупповой язык.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Частичные алгебраические действия. СПб., 1991.

2. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. М.: Мир, 1972. Т. 1.

3. Кожевников О.Б. Об одном классе инверсных полугрупп с нулем // Вестник ТГПИ. Естественные науки. 2007. № 1.

В.М. Кривенко О РАЗДУВАНИЯХ МНОГООБРАЗИЙ ПОЛУГРУПП

1 °. Пусть {Л'^ - произвольная полугруппа. Тогда определяя для каждого (а е А) множество м а, содержащее а , так, что

МаглА= <4 и Ма глМь = о, если афЬ

и определяя на множестве Ы = а операцию ° так, что

</х еМа У/у =

получим полугруппу, которая называется [1] раздуванием (инфляцией) полугруппы с по-

мощью множеств Ма (а е А) и обозначается

М = (има ;■).

Понятие раздувания полугруппы нередко используется для описания строения различных полугрупп [2] и [3]. В [3] установлено, что если W является произвольным многообразием га-мильтоновых полугрупп, то класс Г^ состоящий из всевозможных раздуваний полугрупп класса W также является многообразием. В настоящей работе этот результат обобщается на случай произвольного многообразия полугрупп W. Указывается также критерий замкнутости многообразия полугрупп W относительно раздуваний.

2 °. Обозначим через Е ) многообразие всех полугрупп, удовлетворяющих всем тождествам совокупности тождеств Е . Отметим, что если Е содержит тождество х = х, то исключая его из совокупности Е получим новую совокупность Е' такую, что Е) = Е'). В силу сказанного, будем полагать в дальнейшем, что Е не содержит тождество X = X. Если Е = о, то будем считать, что Е ) совпадает с многообразием всех полугрупп | [. Отметим также, что если Е содержит тождество X = у , (где переменные X и у различны), то Е) состоит из одной единичной полугруппы Е= ( и обозначается е.

Из определения раздувания следует, что

1е=0 и 1П=П,

где О - многообразие всех полугрупп, удовлетворяющих тождеству ху — 21 и состоящему из

всех полугрупп с нулевым умножением. Отсюда следует, что раздувания многообразий е и П также являются многообразиями.

Таким образом, будем считать в дальнейшем, что 2 не содержит тождеств Л* = Л*. и X = у (где переменные X и у различны).

Теорема 1. Многообразие \У( 2) замкнуто относительно раздуваний тогда и только тогда, когда 2 не содержит такого тождества и=\ . в котором либо и, либо V состоят из одной буквы.

Доказательство необходимости. Предположим, что 2 содержит тождество и=\ . в котором либо и, либо V содержат одну букву. Тогда согласно упомянутой выше договорённости относительно 2 получаем, что 2 содержит тождество и= X, в котором и содержит более одной буквы и и=хпх12...х1к(к>2).

Пусть (/!;•} е 2 ) и а - произвольный элемент множествам! . Рассмотрим такое раздувание полугруппы (^4/), что Ма = ^ £ А___ и Ма = <4 ^а\ е ^ а) ■ Придадим всем буквам, входящим в слово и, кроме буквы х, значение а , а букве X значение Ь . Тогда, ввиду того, что (Ь4;-) £ 2 ) в полугруппе (Ь4;-) выполняется равенство

апагг-а* = Ъ, Щ

где ап,а2,..., ай равны а или Ь .

Так как к > 2, то по определению раздувания апап...аш е А , но Ъ £ А. Полученное

противоречие завершает доказательство необходимости.

Доказательство достаточности. По условию все тождества и=\ из 2 таковы, что и и V содержат более одной буквы.

Пусть (М;-) е 2) и (М;-) = ^ и М а . Возьмём произвольное тождество и=у из 2 , \х=хпхп...хл{к>2) и у = х;|х/2...х/л(\ > 2). Придадим переменным соответственно значения Ъл,Ьп,...,Ъли Ьп,Ьп,..., Ъ^ из полугруппы ^Ь4;-^,где Ьа и ¿^принадлежат соответственно множествам М а и М ц . Тогда, по определению раздувания и того, что к. \ > 2 получаем

Ьг1Ьг 2..К = а,1а, 2".% и Ь ]ХЬ ] 2..Ь^ = апа, 2^ .

Но тождество и=\ выполняется на полугруппе , поэтому оно выполняется и на полугруппе . Следовательно, е \У( 2 ). Отсюда и следует, что 1\У( 2 ) = W(2). Теорема доказана.

Из предыдущей теоремы следует, что если каждое тождество и=\ из 2 таково, что и и V содержат более одной буквы, то, согласно п.2 °, 1\У( 2) является многообразием.

3 °. Теорема 2. Если 2 содержит тождество и=\ . где и= хлхп...хл (к >2) и V = х, то 1\У( 2 ) замкнут относительно эпиморфных образов.

Доказательство. Пусть {А;-) е W(2 ),(Ь4;-) е Ш(2),(Ь4;-) = |иМ(;| и =

- произвольный эпиморфный образ полугруппы (Ь4;-). Покажем, что

Так как в полугруппе выполняется тождество и=\ . указанное в условии теоремы, то в

ней выполняется тождество хк = х4{ > 2 , а значит выполняется тождество

х"+1 = х^г е N~l

Пусть d - произвольный элемент из (р . Определим множество Nd так, что

Nd = Ах) \х е е .•

Покажем, что 1- u N=<p{IA);

2. iVá n <4;

3. N 0 дг^ = о, если dl фй2\

4. i/aeNii}/ßeNi2}x-ß = dl-d2l

Это и будет означать, что (ср С4 j-) = /V',/ = (l<p ^, т.е. ^ является разду-

ванием полугруппы с помощью множеств Nd .

Пусть (р С* е {(р С4 j,'}, тогда существует и притом единственный элемент b е А, такой, что х еМ6 . Обозначим (р С через d, тогда d <Е (p^¡ . Отсюда следует, что b - ср^ . Поэтому хе u М и q>4t £ N,. Таким образом,

-1 >7 0

ф(1А) ^J Ni, поэтому 1. справедливо.

Пусть теперь c&NdC\(p^ . Так как ceNd, то с — <р_ и хе u М , поэтому

a'Egt"1 ^

е /4 J( е М и <p^xj=d. Отсюда, согласно определению раздувания и справедливости тождества ^ * в полугруппе получаем:

X — — •

Следовательно,

= (1)

Так как с е. то е А]$р4/2 с . Отсюда получаем:

Я+1 Л Л.. ~*5Й+1 Л,. И+1 > Ж.. /"-14

С = ^<Р*12=С. (2)

Из (1) и (2) следует, что С — d. Таким образом, Nd 4 >н0 е •

Действительно, пусть d = (p^¡ (Ъ ^ А) , тогда Л е (/) ' С , и Л е Мъ, значит

бе и Мг/я N..

_1 а I — и

Отсюда следует, что Nл С\<р4& = с\ . значит 2. справедливо. Пусть е е 0 и б/, ^ б/2, тогда

а<Е(р ^ ае<р ч$2 ^

Поэтому, (р С, (р , значит

Пусть х1 е М^ и (р = б/,. х2 е Ми с12. тогда ввиду справедливости тожде-

ства ^ * в полугруппе (А',~) получаем:

> <Р «Г' > У^У^ъср (Г1 > <р С Г1 > Р > •

Отсюда, согласно (3) получаем б/1 = ¿/2. Из полученного противоречия следует справедливость 3.

Теорема 3. Если Е содержит тождество и=\. где и= хпха...хл(к >2) и \ = X. то 1\У(Е ) замкнут относительно подполугрупп.

Доказательство. Пусть (А;•) е \У( Е ). (Ь4;-) е 1\У( Е), (Ь4;-) = ^ и Ма ,

('/';•) - произвольная подполугруппа полугруппы (Ь4;-) и /I, =Т Гл А. Тогда /1, ^ о. так как если х е Т, то х е М а (а еА), значит х2 =а2,но х2 еГ и а2 е .

Для любого ах еТ полагаем N - М П Т . Покажем, что

е Л1 1

2. п 4= 4 ;

3. Nа глыа = о, если Ф а2 ',

4. }(-у = а1-а21

Это и будет означать, что (1^") является раздуванием полугруппы (Ах с помощью подмножеств А''1У| (с/, е /I, ).

Действительно, пусть х е Т, тогда е ^ е М^ . Так как е \У( Е ). то

в (/!;•) выполняется тождество ^ * , указанное в теореме 2, поэтому х"+1 = а"+1 = а1, но хи+1 е 7 . значит с/, <Е 7 . Отсюда следует, что А, е /], и х еМ слТ — N, а следовательно

х е и N и 1. справедливо.

1

Пусть пД, тогда х е М п пГпД = М „ слТ сл А, по м п А = 4 , поэто-

му N пД с ^ . Так как е С\Т = N , то N П Д = <4 и 2. справедливо.

Пусть у е д^ оА^ и а, Ф а7, тогда пМ п Т. Так как М п глМ п - о,

то получаем противоречие, значит 3. справедливо.

Наконец, если х е N , у е .ЛГ, то хе М , >> е Ми • .У = ■ а2 .

Так как W( Е) замкнуто относительно подполугрупп, то А1 Е W( Е), значит (Ь^;-) е 1Жпоэтому ^7':-) е /И7С • Теорема доказана.

Теорема 4. Если Е - произвольная совокупность тождеств, то Г\¥( Е) является многообразием.

Доказательство. В соответствии с принятой вп.Г договорённости X не содержит тождества X = X . Если X содержит тождество х = у (где переменные X и у различны), то, согласно

п.2 °, 1\У( X ) является многообразием. Если каждое тождество и=\ из X таково, что и и V содержат более одной буквы, то, согласно п.2 °, 1\У( X) является многообразием.

Если же X содержит тождество и=у, где и= хлхп...хш(к > 2) и \ = X. то 1\У(X), согласно теоремам 2. и 3., замкнут относительно эпиморфных образов и подполугрупп. Осталось заметить, что если произвольная полугруппа является декартовым произведением полугрупп

е А" .то является раздуванием декартова произведения полугрупп (/1, С е К .

Поэтому 1\¥( X) замкнут относительно декартовых произведений. Согласно теореме Биркгофа [4] 1\У( X ) является многообразием. Теорема доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. М.: Мир, 1972. Т. 1. С. 136.

2. Кривенко В.М.. Полугруппы, в которых каждая 2-порожденная подполугруппа - нормальный комплекс / Современная алгебра: Межвузов. респ. тематический сб. Л., 1977. Вып. 6. С. 57-65;

3. Кривенко В.М., Кублановский С.И. Полугруппы, аппроксимируемые двухэлементными полугруппами / ХХ1Х Герценовские чтения. Математика. Л., 1976. С. 24-26;

4. Мальцев А.И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1976. С. 337.

В.Г. Рябых, Г.Ю. Рябых НОРМА ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД ПРОСТРАНСТВОМ Н1

Пусть со - существенно ограниченная функция на Т — : = 1}, и Нр - обычное пространство Харди в единичном круге. Обозначим через 1Ш линейный функционал над Иь определяемый формулой (всюду в дальнейшем г = егв, С, = е19):

Ш) = ^ ¡Х«)МГуе,Х е Я°,ю е е (1)

Здесь Н® - множество функций из Нх, равных нулю в начале координат. Назовем функцию f экстремальной функцией для функционала 1, если для нее выполняется: /(/) = |/||, ||/ | = 1. Будем считать % е Н г функцией наилучшего приближения для СО е Лг .

= сГ^Ко),Н А). Известно, что экстремальный элемент существует

если

<*>-Х

= М

Ь._

со-а

не у любого функционала над Нх, в то же время наилучшее приближение СО реализуется всегда.

В статье [1] получены необходимые и достаточные условия (не совпадающие между собой) существования экстремальных функций.

В данной работе будет указано равносильное условие их существования. В ней же решается

давняя задача о вычислении нормы линейного функционала над пространством Н °.

Нам понадобятся три следующих, хорошо известных, результата:

Пусть Ф+ и Ф - угловые предельные значения интеграла —¿// при стремлении ъ

2та ^ - г

к точке ^еГ соответственно изнутри или извне Т. Тогда: