Об уравнении соболевского типа с полиномиально ограниченной относительной резольвентой Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

ОБ УРАВНЕНИИ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА С ПОЛИНОМИАЛЬНО ОГРАНИЧЕННОЙ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ РЕЗОЛЬВЕНТОЙ

АС. Макаров

В работе изучается абстрактное линейное дифференциальное уравнение со-болевского типа с необратимым оператором при производной, относительная резольвента которого может иметь полиномиальный рост на бесконечности. Установлено существование разрешающей аналитической С-полугруппы этого уравнения и доказано существование и единственность решения задачи Коши при начальных данных из некоторого множества.

1. Пусть и и ^ - банаховы пространства, оператор Ь: V —> ^ линейный и непрерывный, т.е. ЬеЬ (¿7, Г), а оператор М: йотМ —» Р замкнутый и линейный с областью определения АотМ плотной в и.

Следуя [ 1 ], введем I -резольвентное множество оператора М р1 (А/) = {/л е С: 3(//£ - М)"1 е I- [/)}. Для ^ е рь (М) определим правую и, соответственно, левую Ь -резольвенты оператора М (М) - (/гЬ - М)~1 Ь и Ь1М (М) = ¿(¿иЬ - М)~{. Правая и левая Ь -резольвенты являются аналитическими функциями на Ь -резольвентном множестве. Справедливы правое и, соответственно, левое Ь -резольвентные тождества [1]:

= Я1м(М) ^(М); (1)

4 (М) -(М) = (А - /I) ^ (М) (А/). (2)

Из равенств (1) и (2) следует коммутируемость операторов К1Й (М), (М), Ььм (М), (М). Рассмотрим линейное уравнение соболевского типа

Ьи-Ми. (3)

Уравнение (3) можно редуцировать к паре эквивалентных ему уравнений

(М) и-(/лЬ — Мух Ми (4)

и

= (5)

рассматриваемых, соответственно, в пространствах IIиК

В случае существования обратного оператора Vх уравнение (3) сводится к уравнению

и ~ Би, (6)

где 5 = Ь~ХМ. Уравнение вида (6) при условии, что резольвента оператора 5 имеет не более, чем степенной рост на бесконечности, изучалось, например, в работах [2, 3]. В данной статье уравнение (3) рассматривается при предположении, что ядро кег Ьф{0} и ¿-резольвента оператора М имеет на бесконечности подстеленной рост.

2, Пусть аеК и сектор 8во ={//еС: |аг£(// - <т)| < 0,// * сг} е р1 (М).

Рассмотрим однопараметрические семейства >0} и {^,¿>0} линейных операторов, действующих в пространствах II и Р соответственно, которые определяются равенствами

и* = [—^— Льи (М)с1М, = ^ Г ** 4 (М)ф. (7)

2я/ /(//-< " 2я| /(//-а)" *

Здесь л 6 ТУ, контур

<т0 > 0, <т0 > а, ¿7 > £70, направление на Г против часовой стрелки. Далее предполагается, что правая и левая ¿-резольвенты оператора М удовлетворяет условию

А). Существуют такие числа 7?>0, ¿->0 и К>0, не зависящее от /л, что при |//|>Я

(мср'т

шах

*1ЛМ)

(м-а)"

Ь!'ЛМ)

К

и

1+£ "

При условии А) интегралы в (7) сходятся абсолютно и равномерно относительно I > 0, поэтому и*еЬ(и), Семейства операторов {£/',¿>0} и {./^,¿>0} можно рассматривать как реализации семейства линейных ограниченных операторов {3* ^>0} в банаховом пространстве В. Обозначим = С, Се /-(В).

Определение 1. Однопараметрическое семейство {£',?>()} линейных ограниченных операторов называется С-полугруппой, если

1) =Й"+,С, Если при этом выполняется еще условие

2) > 0, еХ такие, что V/ > 0

5"

то С-полугруппа называется экспоненциально ограниченной.

В отличие от принятого определения С-полугруппы [4] здесь не требуется сильной непрерывности полугруппы, инъективности оператора С и плотности в В области значений тС оператора С.

Из условия 1) определения 1 следует, что б1'б*5 = , в частности = СБ*.

Теорема 1. Семейства 0} и {^',/>0} образуют экспоненциально ограниченные С-

полугруппы.

Доказательство. Для проверки равенства 1 в определении 1 для £/' можно вместо контура Г в интегралах (7) взять контур Г1, полученный параллельным переносом Г вправо, но так, чтобы точка а оставалась правее Г'. Тогда использовав равенство (1) и изменив порядок интегрирования, найдем:

ияи* =

1

(2т)2 гг 1

Я\(М)К1(М)

(Я -а)" (м-а)"

1

I-

(2т)2£(Л-а)п ¿(р - а)" - Я)

+

1 р^

1

(2т)2 Мц-а)' так как по теореме о вычетах

с е^ф

г (Л- а)" (Л - //) 2теь

Мм-~а)п (М- Л) (¿-"У Так же можно показать, что

1

I-

(2ту /(Я-а)

г ем йц

1--

= 0.

2 п

К{му1Л.

(2 ту г (Л-а)

Поэтому условие 1 выполняется. Для доказательства неравенства в пункте 2 определения 1 заметим, что на контуре Г 11е ¡л < <г0. Поэтому, в силу абсолютной сходимости интегралов (7),

и'

< е

1

I-

Шм)

2/г 1

\с1/л\ = ()е

г Ш-а\

Аналогично доказывается утверждение для Г' с использованием равенства (2). А1

1 Знак А обозначает завершение доказательства.

Для С-полугруппы U1 оператор C = U° будем обозначать Сц, для F* - CF = F°, т.е.

1 ¿(Ml „ 1 г LLß{M) л

2т f(p-a) 2т /(//-а)"

3, Уравнения (3), (4) и (5) можно рассматривать как конкретные интерпретации уравнения

Gv = Bv, (9)

где GеL(ß), оператор 5 :domßcß линеен, замкнут, плотно определен в ß, В - банахово пространство.

Решением уравнения (9) назовем функцию veC([0,+oo);ß)nCco((0,+co);B), удовлетворяющую этому уравнению.

Определение 2. Отображение S" е С™ ((0,+со); Z_(ß)) называется разрешающей С-полугруппой уравнения (9), если:

1)5*: (0,+оо) ЦВ) - С-полугруппа;

2) V^eß функция = является решением уравнения (9).

С-полугруппа 5" : (0,+оо) /_(ß) называется аналитической, если она продолжима в некоторый сектор комплексной плоскости, содержащий положительную полуось.

Теорема 2. Существуют разрешающие аналитические экспоненциально ограниченные С-полугруппы уравнений (4) и (5).

Доказательство. Искомые С-полугруппы задаются равенствами (7). Интегралы (7) допуска-

I I 7t

ют аналитическое продолжение в сектор X = {reC:|argr|<#-~}s так как при /леГ и геХ

cos(arg ju + г) < 0 и поэтому возможно дифференцирование по параметру под знаком интеграла. При любом u0eU вектор-функция и(()~17*и0 удовлетворяет уравнению (4):

RlM (М) и- (/лЬ - М)~1 Ми = (/£ - МУ1 (L и- Ми) =

h

-(//£ - му1[-(ЛЬ - М)(ЛЬ ~ МухЬщйХ = 0.

2т :Г(Л- а)п

Аналогично проверяется, что /(О~Р*/0 является решением уравнения (5) при любом

/о^.А

Так же как для обычных резольвент [5], для правой и левой Х-резольвенты оператора М имеют место равенства

(Е1м(М)){к) = (-1)кЩЯ1м(М))к+\ (10)

(ььм(М)Ук)= (-1 )к к\(ььм(М))ш. (11)

Вычислим оператор Си для С-полугруппы V'. Для этого воспользуемся замкнутым контуром, состоящем из дуги 1Г окружности с центром в точке а и радиуса г> К, где Я - число, фигурирующее в условии А), и части Гг контура Г, содержащейся внутри окружности. Тогда, в силу

(Ю),

с,^о = НГ ига =

и 2т ¡.(м-а)" 2т

(-1)" Г.. г я1ЛМ) . .. гя1и(М)

2т

lim f —f—~—djj, - lim j——dp

M=a (ju-a)n (w-1)! (w —1)!

Здесь первый интеграл по Гг и 1Г вычислен с помощью вычетов с учетом направления по часовой стрелке на контуре, предел второго интеграла по 1Г в силу условия А) равен нулю. Аналогично показывается, что Ср = (Ьта (М))п.

4. Рассмотрим задачу Коши

у(0) = у0 (12)

для уравнения (9). Для уравнений (6) и (7) начальное условие (12) сводится, соответственно, к виду

и(0) = ы0, 03)

ДО) = /0. (И)

Теорема 3. Для любого и0 еипСи (/0 задача Коши (13) ((14)) для уравнения (4)

((5)) разрешима.

Доказательство. Пусть и0 е хтСц, т.е. щ - Сиг0 для некоторого г0 е V. Тогда в силу теоремы 2, функция м(/) - является решением уравнения (4). Условие (13) и(0) = иьг0 = Сиг0 = щ также выполняется. А

Так как С-полугруппы и9 и , определяемые равенствами (7), в силу теоремы 2 экспоненциально ограниченные, то можно вычислить их преобразования Лапласа. Вычислим преобразование Лапласа £.ДС/) С-полугруппы и*. Изменив порядок интегрирования и применив теорему о вычетах, получим при Яе /л > а > Яе Л

(-1 )-

dl

LM(U)= je'0U'dt = &(М)77^гJ

Г

(Я-л)" о'

2я» /(A-a)"(/i-A)

^ (Д-//)(А-а)и (Л-мХЛ-а)"

Г r \(«-l)

(н-1)!

Вычислим в (15) первое слагаемое:

Л - и

RL(M) + (-1)" * 1

Х~а

(М-а)"

(-1)"

(л-1)!

RLx(M) Х-¡л

(л-1)

Я=а

(«-!)! 1=о

У С^ ((Я -//)-■)

_ „ч-ЧО-Ю

(RlAM))(i)

Х=а

/+1

^(М) »

-1

Для вычисления последней суммы воспользуемся равенством:

(I - (а - M)R'a (M))t (а - //)' (М))' = I - (а - М)п (Rla {М))п.

1=0

(15)

(16)

(17)

Справедливо равенство I - (а - (М) = (aL - М) x(/jL~M\ в котором оператор, стоящий справа, можно считать определенным на всем пространстве U в силу замкнутости М и плотности dorn М в U.

Если /1 е р1(М\ то 3(fjL-M)~x и, следовательно, существует

(I - (а - /л)Яьа (М))~1 = (//£- МУХ 0aL - М).

Тогда из (17) следует, что

§ (а - мУ (Ra (М))1=</xt-М)"1 (aZ - М)(1 - (а - /*)" Q). (18)

Подставив (18) в (16), получим

(л-1)!

R'i(M) Х-¡л

(и-1)

1

Я=а

(а -//) 1

- (aL - МУХ L(jjL - М)~1 (aL - М)(I - (а - //)" Q, ) =

(а-//)

-i?;(M)(I-(a-//)" Су).

Из равенства (15) имеем окончательно: L (U) = CuRL(M). Аналогично можно получить равенст-

во L (F) = Ср LM (М), справедливое при Re ¡л > а. Лемма 1. При Re /л > а справедливо неравенство

шах( ||LM(U) IUIL^F)

где постоянная Q не зависит от ¡л.

<

в

Re ¡л - а(

(19)

Доказательство. В силу теоремы 1 р1 < Qxeta(), F* < Q2eta°. Тогда

|| L м(U) I < йУ"" V"> А =

о Reju-a,

Аналогично || L (F) || <

Q:

. Положив Q=max( Q}, Q2), получим неравенство (19). ▲

Re /л - <т0

Вектор (р0 е кегЬ \ {0} будем называть собственным вектором оператора Ь. Упорядоченное множество {(Р\ ?(р2 } векторов из и называется цепочкой М-присоединенных векторов вектора д>0, если Ь(ря+Х = М<рц, # = ОД,... и ф € кегХ \ {0}, ц-1,2,... [1]. Порядковый номер вектора в цепочке называется его высотой, а порядковый номер последнего вектора, в случае конечной цепочки, называется высотой этой цепочки. Линейная оболочка М-присоединенных векторов оператора Ь называется его М-корневым линеалом. В [6] доказано, что М-корневой линеал оператора Ь состоит только из М-присоединенных векторов оператора Ь и нуля.

Лемма 2. Если (рц М-присоединенный вектор вектора <р0 высоты не больше то

(-1 )9(Яа(М))д~х =<р0. Вектор <р М-присоединенный вектор оператора Ь высоты не

больше # точно тогда, когда (Я^ (М))я Яъ (М)(ря = 0.

Доказательство проводится почти так же, как доказательство аналогичного утверждения в [6]. Лемма 3. Длины всех цепочек М-присоединенных векторов оператора L ограничены числом п. Доказательство. Пусть <рп+х - М-присоединенный вектор вектора <р0 высоты п+1. Тогда в силу леммы 2

щ = НГ1 (К (М)У К (M)q>n+l = (-1 )"+1 L и (U) <pn+l,

/1+1

где <p0 g kerZ, \ {0}. Отсюда. В силу (19), имеем:

\\<p0\\<\\LM(U) ||. I <p

Q

R ъ ¡л~ а

при Re/^-»oo. Следовательно, <р0 =0. Что противоречит выбору <р0. А Лемма 4. Справедливы равенства

кег/.,(СО Пип/./£/)={<)}, (20)

кег/.^)Пшг/_Д/О={0}. (21)

Доказательство. Пусть ненулевой вектор <р, принадлежит левой части равенства (20). Тогда

В у/ е U такой, что ср ~ {R'a (A/))n R1 (М)цг е kerL и (U). Следовательно,

(R-a(M))24K(M)yy, = Q.

В силу леммы 2 это означает, что вектор у/ является М-присоединенным вектором оператора Ь высоты не больше 2 1. Но по лемме 3 его высота не больше п. Поэтому

Пусть /принадлежиттеперь левой части равенства (21). Тогда / ~(Ььа(М))п LLfi(M)g, geF. Кроме того (Ь1а (М))п (М)/ - 0. Следовательно, (Ььа (М))2п (^(М))2 я - 0 или (К1а (М))2п (Я^ (.М))2 (а! - Л/)"1 # = 0, т.е. (а! - М)"1 ^ е кег (Я1а (М))2п (Я^ (М))2. Это означает согласно лемме 2, что вектор (aL-Mylg является М-присоединенным высоты не больше 2/7+1. Но его высота не может быть больше п. Поэтому (Я^ (М))п Я^(М)(аЬ - М)"1 g~ 0 или, применив

к последнему равенству оператор / ~(11а(М))пLlм(M)g = Q. ▲

Определение 3. Замкнутое множество Фа В называется фазовым пространством уравнения (9), если

1) любое решение V уравнения (9) лежит в Ф, т.е. V? > 0 е Ф;

2) для любого у0 из некоторого плотного в Ф множества Ф0 существует единственное решение задачи Коши v(0) = для уравнения (9).

Обозначим и1 СР1)

замыкание \т1- м (II) (imL м (Г) ).

Теорема 4, Пусть операторы Ь и Мудовлетворяют условию А). Тогда II1 (Р1) является фазовым пространством уравнения (4) ((5)).

Доказательство. Если и - решение уравнения (4), то, как показано в [7], \/Ле рь(М\ \ZkeN

и = (Яьл(М))к(Я-^-)ки.

ш

Положив здесь Л = а, к = п и использовав это равенство при Л- /и и к = 1, получим:

и = (Я'а (М)У (а - 4)" я" (М)(М - ~)и = (Я1я (М))" Я1и (М){а - 4)" С" -

Отсюда следует, что ие imL (U) с: U1. Пусть uQ е imL м(U) , т.е. щ ~ CUR£(М)х0, х0 g U. Тогда функция u(t) = U* Я^(М)х0 в силу теоремы 3 является решением задачи Коши u(0) = uQ для уравнения (4). Докажем единственность этого решения. Пусть v - другое решение задачи Коши v(0) = w0 для уравнения (4). Рассмотрим на [0, /] функцию w(s) = Ul~sR^ (M)v(s). Найдем

Я1 (M) 2m f (ju- a)

= RLa (M)i-4- J--- (Rlm (M)v'(s) - pRi (M)v(s))dM =

2m ¿(¡¿-a)

= RLa m^r J--- (Rlm (M)v'(л) — (/jL — МУ1 Mv(s) - v(s))dv =

2m / (p - a)

f—lY1 f-lV3

= ^(M) Vt- h--(RiMV(i) - (M - M)"1 Мф))ф - ^(M)^- J---Ф = о.

2Я7 г (/л-a) 2m /(¿/-a)

Следовательно, w(0) = w(f), т.е.

UtR^M)y(0) = CuR^M)v(t) или ljlR!a(M)CuR^(M)x, -CaR!a(M)v(t) = 0.

Отсюда

CX (M)x0 - v(0) = CvRLa (M)(u(t) - v(/)) = 0.

Поэтому и(() - б кег/_ а (II). Кроме того, как показано выше, и(() - v(t) е нп£. (II) =

ш 1~а(11). Тогда в силу равенства (20), и({) = у(г). Доказательство для уравнения (5) проводится аналогично. А

Литература

1. Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов// УМН. - 1994. - Т. 49. - Вып. 4 (298). - С. 47-74.

2. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. - М.: Наука, 1967.-275 с.

3. Иванов В.К., Мельникова И.В., Филинков А.И Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи. - М.: Наука, 1999. - 175 с.

4. Мельникова И.В., Филинков А.И. Интегрированные полугруппы и С-полугруппы. Корректность и регуляризация дифференциально-операторных задач// УМН. - 1994. - Т. 49. -Вып. 6(300).-С. 11-150.

5. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. - М.: ИИЛ, 1962.

6. Федоров В.Е. Полугруппы и группы операторов с ядрами, - Челябинск; ЧелГУ, 1988. - 78 с.

7. Федоров В.Е. Исследование разрешающих полугрупп линейных уравнений типа Соболева: Дисс....канд. физ.-мат. наук. - Екатеринбург, 1996.

Поступила в редакцию 30 ноября 2004 г.