Задача Коши для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной на гладком многообразии Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ БАРЕНБЛАТТА^ЖЕЛТОВА^КОЧИНОЙ НА ГЛАДКОМ МНОГООБРАЗИИ

Г.А. Свиридюк, Д.Е. Шафранов

В статье найдены достаточные условия однозначной разрешимости задачи Коши для уравнения (А — Д)м( = аАи на гладком компактном рима-новом многообразии без края. Описано фазовое пространство уравнения и дана формула решения задачи.

Ключевые слова: относительно а-ограниченные операторы, вырожденные аналитические группы операторов, оператор Лапласа-Вельтрами, фазовое пространство.

Уравнение

первоначально было получено в теории фильтрации жидкости[1]. Здесь оно моделирует динамику давления жидкости, фильтрующейся в трещинновато-пористой среде. Затем выяснилось, что уравнение (1) моделирует также процесс влагопереноса в почве [2] и процесс теилопроводно-сти с "двумя температурами" [3].

Задача Коши-Дирихле для уравнения (1) в цилиндре 0x1, где О С Ж” - ограниченная область с границей 90 класса С°°, изучалась ранее в различных аспектах [4; 5; 6]. Однако все рассмотренные задачи далеко не исчерпывают возможные ситуации. Определенный прикладной интерес вызывает изучение начально-краевых задач для уравнения (1) в цилиндре х Ж, где - ориентированное гладкое риманово многообразие.

Статья состоит из 3 частей. В первой изложены предварительные сведения, почерпнутые из [4] и модифицированные сообразно данной ситуации. Во второй задача Коши для уравнения (1) на компактном многообразии П„ без края редуцируется к задаче Коши

(А — А )щ = аЛи

(1)

гі(О) = ио

(2)

для операторного уравнения

Ьй = Ми.

(3)

Редукция основана на теории гармонических полей Кодаиры (см.[7], гл. XIX). В третьей доказывается (Ь, ст)-ограниченность оператора М и строится разрешающая вырожденная группа уравнения (3).

1. Предварительные сведения

Пусть Я и # - банаховы пространства, операторы М (г С{Я;#) (т-в-линейны и ограничены). Множество

р1(М) = {/л Є С : {цЬ - М)-1 Є £(3;И)}

называется Ь-резольвентным множеством оператора М. Оператор М называется (Ь, а)-ограниченным, если

З а Є К+ V// Є С (\р\ >а)=^(/і£ рь(М)) .

Замечание 1. Если существует оператор ЬЄ £(3;Я), то оператор М (Ь, ст)-ограничен.

Теорема 1 [4]. Пусть оператор М (Ь, а)-ограничен. Тогда существуют, аналитические группы операторов, представимые интегралами типа Данфорда-Тейлора

^ = аЬ / ^(м)е^ф , р* = ± I ьЦм)е^,

Г Г

где і Є С. Здесь Р^(М) = (цЬ — М)^1 Ь-правая,а Ь^(М) = Ь( цЬ — М)^1-левая Ь-резольвент,ы оператора М; контур Г = {ц Є С : \р\ = г > а}. Оператор-функцию {цЬ — М)-1 назовем Ь-резольвентой оператора М.

Замечание 2. Группа {£7* : і Є К} является разрешающей группой уравнения (3), а группа {Р* : і Є К} является разрешающей группой уравнения Д£(АГ)/' = (аЬ - М)-1М/, где а Є рь(М).

Рассмотрим единицы групп {IIі : і Є К} и {Р* : і Є К} соответственно. Очевидно, что операторы

и° = 2Ы ^(М)Ф = рі Р° = 2Ь / = $ (4)

Г г

являются проекторами; Р Є £(Я) и Є £{Ъ)- Положим кегР =Я°, ітР = Я1, кегС*) = $°, іт(^) = $1. Обозначим через Ь(М*,) сужение оператора і (М) наЯй , А: = 0,1.

Теорема 2 [4]. Пусть оператор М (Ь, а)-ограничен. Тогда при любом ц Є С, \р\ > а

ОО ОО

(рь-му1 = ^^цкскм^1{і^д) + ^ц-кнк-1і^1д. к=0 й=1

Здесь операторы О = М0 1Ь$ € £(Я°) , Н = Ьх 1М\ € £(ЯХ); причем С0 = (I - Р), если вфО, и Н° = Р, если Нф О.

Определение 1. Пусть оператор М (Ь, ст)-ограничен.

Точка оо называется

(1) устранимой особой точкой Ь-резольвенты оператора М. если О = О;

(И) полюсом порядка р Ь-резольвенты оператора М. если вР Ф О, вР+1 = О;

(Ш) существенно особой точкой Ь-резольвенты оператора М. если Ок ф О при любом к € {0} и N.

Пусть кегЬ ф {0}. Условимся векторы (р € кегЬ \ {0} называть собственными. Упорядоченное множество ■ ■ ■} называется цепочкой

М-присоединенных векторов собственного вектора если

Ь(рк+1 = М(рк, к = 0,1,...; <рк £кегЬ\ {0}, к = 1,2,....

Цепочка М-присоединенных векторов может быть бесконечной. В частности, она может быть заполнена нулями, если кегЬ П кегМ ф {0}. Однако она обязательно конечна, если существует число р е N такое, что М(рр (£\т Ь\ {0}. Порядковый номер М-присоединенного вектора называется его высот,ой.

Теорема 3 [4]. Пусть оператор М (Ь, а)-ограничен, причем

(I) оо - устранимая особая точка. Тогда Я0 = кег Ь, и ни один собственный вектор оператора Ь не имеет М-присоединенных векторов.

(II) оо - полюс порядка р. Тогда множество Я0 \ {0} содержит только собственные и М-присоединенные векторы высоты не больше р.

Условимся в дальнейшем устранимую особую точку называть полюсом порядка нуль.

Теорема 4 [4]. Пусть оператор М (Ь, а) -ограничен, причем

оо - полюс порядка р € {0} и N. Тогда при любом и0 € Я1 существует единственное решение и € С^Ш^Я1) задачи (2), (3), которое к тому же имеет вид и(1) = игщ, I € Ж.

Замечание 3. Если и0 0 Я1, то задача (2), (3) решения не имеет. Этот феномен впервые был отмечен в [8]. В [4] подпространство Я1 было названо

фазовым пространством уравнения (3). Если оо — существенная точка Ь-резольвенты оператора М. то решение задачи (2), (3) существует, но не единственно (см. пример в [4]).

Теорема 5 [4]. Пусть оператор Ь - фредгольмов (т.е. тйЬ = 0). Тогда следующие утверждения эквивалентны

(і) Оператор М (Ь, а)-ограничен, причем оо - полюс порядка р Є {0}1Ж.

(И) Ни один собственный вектор оператора Ь не имеет М-при-соединенных векторов высоты, большей р.

2. Постановка задачи

Пусть П„ - п-мерное ориентированное гладкое (т.е. класса С°°) компактное связное риманово многообразие. Через Н* = І#(П„), ШГ1 = ШР+1 = {0} обозначим линейное пространство гладких /г-форм на многообразии П„. Формулой

(а, /3)о = I а А */3, а, /З Є Шк , (5)

п„

где * - оператор Ходжа, опредилим скалярное произведение на И*, к = 0,1,... ,п, а соответствующую норму обозначим через || • ||о • Продолжим

п ,

скалярное произведение (5) на прямую сумму ф Н , требуя, чтобы раз-

к=0

личные пространства Шк были ортогональны. Пополнение пространства И* по норме || • ||о обозначим через

Теорема 6 [Ходж-Кодаира]. Для любого к = 0,1,... ,п существует расщепление пространства її® в прямую ортогональную сумму

= Ям Ф Ф %Д, причем пространство д конечномерно.

Здесь сі-оператор (внешнего) дифференцирования /г-форм, оператор ё = (^1)"(й+1)+1 * (і*, а Д = —дё — ёй — оператор Лапласа-Бельтрами. Пространство (^м) является пополнением линеала

(М[Н*] = еірЕ#-1] ((М[Н*] = 5[Ш1&+1 ]), а пространство #£д содержит только гармонические /г-формы (т.е. такие а Є Шк, что Да = 0).

Замечание 4. = Ж.

Через РкА обозначим ортопроектор наіз^д. Формулами

(«,/3)і = (—Да, /3)0 + (аА,/Зд)0, (а,/3)2 = (Да, Д/3)0 + (а,/3)і

введем скалярные произведение на Н*, где шд = Р^дш. Пополнения линеала И* по соответствующим нормам || • Ці и || • Ц2 обозначим через и !г)\ соответственно. Пространства $)1к , I = 1,2 - банаховы (их гильбертова структура нас в дальнейшем не интересует), причем в силу непрерывности и плотности вложений С С , а также конечности ранга оператора РкА, к = 0,1,..., п, справедливо следующее

Следствие 6.1. Для, любого к = 0,1,..., п существуют расщепления пространств

&к = &кА © ЯкА ,

где^А = (1-РкАЩА1 1 = 1,2.

Далее, определим операторы Ь,М : к = 0,1,..., п. соот-

ношениями

і = А — Д, А Є Ж, Л/ = аД, а Є Ж \ {О}-

Отметим, что отрицательные значения параметров а и А не противоречат физическому смыслу уравнения (1) [4; 5; 6] Обозначим через ст(Д) спектр оператора Лапласа-Бельтрами. Справедлива

Теорема 7. (і) Для любых а и А операторы М (г £(Я| к = 0,1,..., п.

(и) Для любого А 0 с(Д) существует оператор Ь-1 Є £(Я| к = 0,1,..., п.

Переобозначив = $ при некотором фиксированном к =

0,1,... ,п, закончим редукцию задачи Коши для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной к задаче (2), (3). Решением, задачи (2), (3) называется вектор-функция и Є С'00(Ж;Я), удовлетворяющая уравнению (3) и условию (2).

3. Задача Коши

Спектр ст(Д) неположителен, дискретен, конечнократен и сгущается только к точке — оо. Обозначим через {А;} последовательность собственных значений оператора Лапласа-Бельтрами на многообразии П„, занумерованную по невозрастанию с учетом кратности. Через {ері} обозначим ортонормированную (в смысле (5)) последовательность собственных

функций, С Нк,Аср1 = Хцрг, если Л; = 0, то щ € Ьы\ ПРИ некотором фиксированном к = 0,1,..., п.

Лемма 1. При любых X ф 0, к = 0,1 оператор М(Ь, а)-ограничен, причем оо - устранимая особая точка Ь-резольвенты оператора М.

Доказательство. Если А 0 о'(Д), то утверждение следует из теорем 7(11),

2 и замечания 1.

Пусть А € ст(Л) \ {0} , положим кегР = .зрап{ср[, А = А;}. Тогда для любого вектора ф € кет Ь \ {0},

ф = ^ст'- X 1с;1::> 0

А=А; А=А;

имеем Мф = аХф 0 \тЬ \ {0}. Отсюда в силу теоремы 5 следует утверждение леммы. □

Замечание 5. В случае А ф 0 нетрудно найти Ь -спектр оператора М

°1{м) = {Г^}'

В случае А = 0 имеем аь(М) = С.

Пусть А ф 0, найдем фазовое пространство уравнения (3). Для этого по формулам (4) построим проектор

Р = Л - Х(-,^)о^,Ае(т(Д)\{О};Р = 1,А0(7(Д).

А=А;

Поэтому согласно замечанию 3 фазовым пространством уравнения (3) в нашем случае является подпространство Я1 = {и € Я : (и, <у?/)о = 0, А = А;}, если А € а(А) \ {0}; Я1 =Я, если А 0 с(Д).

Из теорем 1 и 4 вытекает

Теорема 8. При любых А ф 0, к = 0,1,..., п и щ € Я1 существует единственное решение и € С*00(Ж;Я1) задачи (2), (3) которое к тому же имеет вид

ОО

и(г) = ^'е№*(и0,^)о^г-

1=1

Здесь щ = аА;/(А — А;) , а штрих у знака суммы означает отсутствие слагаемых с номерами I такими, что X = Х[.

Замечание 6. Случай А = 0 совпадает с рассмотренным, если переобозна-

Ф-Ф^, а через L и М обозначить сужения операторов

А - Д и а А соответственно на пространство Я|д-

Список литературы

1. Баренблатт Г.И., Желтое Ю.П., Кочина И.Н. Об основных представлениях теории фильтрации в трещиноватых средах // Приклад, математика и механика. 1960. Т. 24, 5. С. 58-73.

2. Hallaire М. On a theory of moisture-transfer // Inst. Rech. Agronom. 1964. 3. P. 6072.

3. Chen P.J., Gurtin M.E. On a theory of heat conduction involving two temperatures // Z. Angew. Math. Phys. 1968. Vol. 19. P. 614-627.

4. Свиридюк Г. А. К общей теории полугрупп операторов // УМН. 1994. Т. 49, №4. С. 47-74.

5. Свиридюк Г.А., Ефремов А.А. Оптимальное управление линейными уравнениями типа Соболева с относительно р-секториальными операторами // Диф-фереиц. уравнения. 1995. Т. 31, 11. С. 1912-1919.

6. Свиридюк Г.А., Келлер А.В. Инвариантные пространства и дихотомии решений одного класса линейных уравнений типа Соболева // Изв. вузов. Математика. 1997. 5. С. 60-68.

7. Морен К. Методы гильбертова пространства. М.: Мир, 1965.

8. Coleman B.D., Duffin R.J., Mizel V.J. Instability, uniqness and nonexistance theorems for the equation щ = uxx — uxxt on a strip // Arch. Rat. Mech. Anal. 1965. Vol. 19. P. 100-116.

9. Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли. М.: Мир, 1987.

Челябинский государственный университет ridyu@csu.ru