Нелокальная задача для уравнения соболевского типа с относительно p-ограниченным оператором Текст научной статьи по специальности «Математика»

НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА С ОТНОСИТЕЛЬНО р-ОГРАНИЧЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ1

Получены достаточные условия разрешимости нелокальных задач для невырожденного операторно-дифференциального уравнения и для уравнения соболевского типа с относительно р-ограниченным оператором. Абстрактные результаты использованы при исследовании нелокальной задачи для уравнения Баренблат-та — Желтова — Кочиной.

Ключевые слова: нелокальная задача, уравнение соболевского типа, относительно р-ограниченный оператор, аналитическая группа операторов.

Введение

Рассмотрим уравнение

и(і) = Аи(і) + /(і), і Є [0,Т], (1)

с ограниченным оператором А, действующим в банаховом пространстве Е, и с непрерывной функцией / : [0,Т] ^ Е. Классической задачей, рассматриваемой для такого уравнения, является задача Коши и(0) = и0 (одноточечная задача). Методами теории полугрупп операторов [1] доказаны существование и единственность решения однородной задачи (/ = 0). Этот результат используется для доказательства однозначной разрешимости неоднородной задачи [2; 3].

В монографии [4] рассмотрена двухточечная краевая задача

^и(0) — и(Т) = и0

для уравнения (1). На основе результатов о разрешимости задачи Коши показана однозначная разрешимость двухточечной краевой задачи для однородного уравнения (1) (/ = 0).

Естественным обобщением приведенных выше задач является нелокальная задача вида

т

У u(t)d^(t) = и0, (2)

о

где функция ^(і) — заданная скалярная функция ограниченной вариации на отрезке [0, Т ]. Для каждой непрерывной функции и (і) определен интеграл Римана— Стилтьеса из левой части (2). Если задать функцию ^(і) следующим образом:

(і) = I 0, і = 0;

Мі) \ 1, 0 < і < Т,

1Работа поддержана грантом РФФИ (код проекта 07-01-96030-р_урал_а).

то получим задачу Коши (одноточечную задачу), а если

( 0, г = 0;

^(£) = 1 0 < г < Т;

1 ^ — 1, г = т,

— двухточечную краевую задачу.

Данная работа преследует две цели. Во-первых, в ней установлена разрешимость нелокальной задачи (2) для однородного и неоднородного уравнения (1). Кроме того, в работе исследована аналогичная задача для линейного уравнения соболевского типа

ьи(г) = Ми(г) + f (г), г € [0,т], (3)

в котором оператор Ь € £(Я; $) (линейный и непрерывный) не является непрерывно обратимым, оператор М € С /(Я; $) (линейный замкнутый с областью определения domM, плотной в Я). Здесь Я и ^ — банаховы пространства. При этом рассмотрен случай, когда оператор М (Ь, а)-ограничен, а бесконечность является несущественной особой точкой [5]. Это условие, в частности, гарантирует существование аналитической в плоскости разрешающей группы однородного уравнения (3), как и условие ограниченности оператора А гарантирует существование такой группы для однородного уравнения (1).

В заключение приведен пример использования полученных абстрактных результатов при исследовании нелокальной начально-краевой задачи для уравнения Баренблатта — Желтова — Кочиной.

1. Нелокальная задача

для невырожденного уравнения

Рассмотрим нелокальную задачу (2) для уравнения

и(і) = Аи(і), і Є [0,Т], (4)

в банаховом пространстве Е, где оператор А Є £(£). Уравнение (4) или соответствующее ему неоднородное уравнение (3) в отличие от уравнения соболевского типа будем называть невырожденным.

Для исследования нашей задачи будем использовать следующую характеристическую функцию:

Х(г) = у е ф(г).

о

Определение 1. Функция и € С1 ([0,Т]; Е) называется решением задачи (2), (4), если она удовлетворяет уравнению (4) на [0,Т] и условию (2).

Теорема 1. Пусть А € £(Е) и пусть множество ст(А) не содержит нулей функции х(^). Тогда для любого и0 € Е существует единственное решение задачи (2), (4), при этом оно имеет вид

и(г) = еА I I еА*^(г) | и0. (5)

Доказательство. В силу ограниченности оператора А при любом и>0 Є Е решение задачи Коши и(0) = и>0 для уравнения (4) существует и имеет вид и (і) = еАі и>0. Подставляем это решение в (2):

и(і^^(і) = е и^^(і) = х(А)и>0 = и0.

Существование непрерывного оператора (х(А)) 1 равносильно тому, что 0 Є а(х(А)). В силу теоремы об отображении спектра

^(Х(А)) = хИА)) = {Х(А) : А Є а(А)}

(формула (16.3.7) теоремы 16.3.5 из [1]) в условиях данной теоремы существует обратный оператор (х(А))-1. Отсюда

и>0 = I / еАі^(і) I и0. (6)

Поэтому решение задачи (2), (4) имеет вид (5). В то же время для другого решения и(і) этой задачи получим, что и(0) также удовлетворяет условию (6). Из единственности решения задачи Коши следует единственность решения задачи (2). □

Перейдем к рассмотрению задачи (2) для уравнения (1).

Теорема 2. Пусть А Є £(Е), / Є С([0,Т]; Е) и множество ст(А) не содержит нулей функции х(^). Тогда для любого и0 Є Е существует единственное решение задачи (1), (2), при этом оно имеет вид

т \-1/ т і

и

(і) = еАі( / еАіd^(t)] ( и0 — /еА(і т)/(т)drd^(t)] + /еА(і т/(т^т. (7)

00

Доказательство. В силу ограниченности оператора А решение и(-) уравнения (1) существует, обозначим и(0) = и>0. Тогда оно является единственным решением задачи Коши и(0) = и>0 для уравнения (1) и поэтому имеет вид

і

и(і) = еАіи>0 + [ еА(і-т)/(т)dт.

Подставив это решение в (2), получим

т т т / і

J и(і^^(і) = J еАі^(і)и>0 + J І J еА(і-т)/(т^т ] d^(t) = и0.

0 0 0 \0

І

Обратный оператор (х(А)) 1 существует в силу тех же причин, что и в доказательстве теоремы 1. Отсюда

(т \ -1 / ті

J еАі^р(і) ] І и0 — J У еА(і-т)/(т)dтdр(t) ] . (8)

Поэтому решение задачи (1), (2) имеет вид (7). В то же время для другого решения и(і) этой задачи получим, что и(0) также удовлетворяет условию (8). Из

единственности решения задачи Коши следует единственность решения нелокальной задачи (2). □

2. Относительно спектрально ограниченный оператор

Доказательства изложенных в этом параграфе результатов можно найти в

[5; 6].

Пусть Я , 5 — банаховы пространства, Ь Є £(Я; 50, М Є С/(Я; 5). Введем обозначения

рь(М) = (р Є С : (рЬ — М)-1 Є £(5; Я)}, аь(М) = С \ рь(М).

Ясно, что при условии кегЬ П кегМ = (0} имеем рь(М) = 0.

Определение 2. Операторнозначные функции комплексного переменного (рЬ — М)-1, Д^(М) = (рЬ — М)-1 Ь, Ь^(М) = Ь(рЬ — М)-1 с областью определения р^(М) будем называть соответственно Ь-резольвентой, правой и левой Ь-резольвентами оператора М.

Теорема 3. Пусть операторы Ь Є £(Я; 5) , М Є С/(Я; 5). Тогда Ь-резольвента, правая и левая Ь-резольвенты оператора М аналитичны в рь (М).

Определение 3. Оператор М называется (Ь, а)-ограниченным, если

За > 0 Ур Є С (|р| > а) ^ (р Є рь(М)).

Возьмем (Ь, а)-ограниченный оператор М, выберем в комплексной плоскости С замкнутый контур 7 = (р Є С : |р| = Л > а}. Тогда в силу теоремы 3 имеют смысл следующие интегралы:

Р = — [ЫЬ — М)~1Ьс1ц} <5 =- [ Ь(цЬ — муЧ/і.

2пг J 2пг У

7 7

Операторы Р и ф являются проекторами. Положим Я0 = кег Р,

50 = кег Я1 = ішР, 51 = ішф. Имеем

Я = Я0 ф Я1, 5 = 50 © 51.

Через Ьк (Мк) обозначим сужение оператора Ь (М) на Як

(ёошМ^ = ёошМ П Як), к = 0,1. Кроме того, через а^(М) будем обозначать множество С \ р^ (Мк) — Ьк-спектр оператора Мк.

Теорема 4. Пусть оператор М (Ь, а)-ограничен. Тогда

(i) Ь Є £(Як;), к = 0,1;

(ii) М0 Є С/(Я0;50),М1 Є£(Я1;51);

(iii) существует оператор Ь-1 Є £(51;Я1);

(іу) а0"(М) = 0, в частности, существует М—1 Є £(5°;Я0);

(у) существует аналитическая разрешающая группа операторов (и(і) Є £(Я) : і Є К} уравнения Ьи(і) = Ми(і), причем

1

и (І) = еіЬі МіР =--- ()иЬ - МУ'Ьє^сііі.

2пг ]

7

Введем обозначения Н = М—1 Ь0 Є £(Я0), 5 = Ь-1М1 Є ^(Я1). Для операторнозначной функции (рЬ — М)-1 бесконечно удаленная точка является

(i) устранимой особой точкой, если Н = О;

(ii) полюсом порядка р Є N если Нр = О, а Нр+1 = О;

(iii) существенно особой точкой, если Ур Є N Нр = О.

Через О здесь обозначен нулевой оператор, определенный на подпространстве Я0.

Определение 4. (Ь, а)-ограниченный оператор М назовем:

(i) (Ь, 0)-ограниченным, если бесконечность является устранимой особой точкой Ь-резольвенты оператора М;

(ii) (Ь, р)-ограниченным, если бесконечность является полюсом порядка р Є N Ь-резольвенты оператора М;

(iii) (Ь, то)-ограниченным, если бесконечность является существенно особой точкой Ь-резольвенты оператора М.

Обозначим N = N и (0}.

Теорема 5. [6] Пусть оператор М (Ь,р)-ограничен, р Є ^. Тогда для любой функции / : [0,Т] ^ 5, такой, что ф/ Є С([0,Т];5), /0 = (I — ф)/ Є Ср+1([0,Т ]; 5), и для любого начального значения

и0 Є р = <{ и Є Я : (I — Р)и = — ^ НкМ0-1 /0(к)(0)

к=0

существует единственное решение и € С1 ([0,Т];Я) задачи Коши и(0) = и0 для уравнения (3), при этом

р

и(і) = и (()и.0 + / и (і — «)і-1д/(з)* — £ Нк М—1((/ — ф)/)«(().

к=0

і

3. Нелокальная задача

для уравнения соболевского типа

Рассмотрим нелокальную задачу (2) для операторно-дифференциального уравнения соболевского типа

Ьи(і) = Ми(і). (9)

Теорема 6. Пусть оператор М (Ь,р)-ограничен, р Є ^, и множество аь(М)

не содержит нулей функции х(^). Тогда для любого и0 Є Я1 существует един-

ственное решение краевой задачи (2), (9), при этом оно имеет вид

и(і) = в5* II в5*^р(і) I Ри0. (10)

Доказательство. Редуцируем задачу (2), (9) к двум краевым задачам на двух подпространствах. Подействуем на обе части равенств (2), (9) непрерывными операторами ф и Ь-1^ соответственно и получим задачу вида (2), (4) на подпространстве Я1:

т

J и1(і)^р(і) = и0, и 1(і) = 5и1(і).

0

Верхний индекс означает проектирование на соответствующее пространство (Я1 или Я0). Заметим, что а(5) = а^(М) в силу теоремы 4 (іу), и применим теорему

1. Для этого достаточно переобозначить А = Б, и0 = и^ = Ри0. Отсюда получим формулу (10).

Подействовав же на обе части уравнений (2), (9) операторами I — ф и М—1 (I — ф) соответственно, получим сингулярную задачу на пространстве Я0

т

J и0(і)^р(і) = и0, Ни0(і) = и0(і). (11)

о

Продифференцируем р +1 раз уравнение из системы (11) и подействуем на него оператором Н столько же раз. Обозначая при этом ^/^і = Д, получим цепочку равенств

и = НДи = (НД)2и = ... = (НД)р+1и = Др+1Нр+1и = 0,

так как по условию теоремы Нр+1 = О. Здесь использована также непрерывность оператора Н. Следовательно, задача (11) имеет нулевое решение при и0 = 0 и не имеет решения в противном случае. □

Замечание 1. Попутно мы доказали, что для и0 Є Я1 задача (2), (9) решения не имеет.

Наконец, рассмотрим нелокальную задачу (2) для уравнения (3).

Теорема 7. Пусть оператор М (Ь,р)-ограничен, р Є ^, ф/ Є С([0,Т];Я), /0 = (I — ф)/ Є Ср+1([0,Т];Я) и множество аь(М) не содержит нулей функции х(г). Тогда для любого

ио € Р/ = < и € Я : (I - Р)и = - ^ НкМ0":1 f0(к) (*)ф(*)

I к=0 0

существует единственное решение краевой задачи (2), (3), которое имеет вид и(£) = в5* | [ в5*^(£) | | Ри0 — [ [ в5(*_т)Р-1 ^ (т)^т^(£) | +

00

+ е5(‘-т)Ь-1 о/(т)*■ — £ НкМ-1 ((I — ф)/)(к)(і). (12)

0 к=0

Доказательство. Как и при доказательстве теоремы 6, редуцируем нашу задачу к двум задачам на разных подпространствах:

т

Ни0(і) = и0(і) + М0-1 /0(і), J и0(і)йр(і) = и0; (13)

о

т

и/.1(і) = 5и1(і) + Ь-1/ 1(і), J и1(і)^р(і) = и1. (14)

0

По теореме 2 задача (14) имеет единственное решение, которое дают первые два слагаемых в формуле (12). Надо только заметить, что по теореме 16.3.5 (формула (16.3.7)) из [1] и по теореме 4 справедливы равенства

(м) = (М!) = = а(в5т).

Обозначим М0-1/0(і) = 0(і), й/йі = Д. Продифференцировав уравнение (13) и подействовав на него оператором Н, получим

НДи0 = (НД)2и0 — НД0 = Д2Н2и0 — НД0 = и0 + 0.

Следовательно, и0 = Д2Н2и0 — НДд — 0. На это уравнение также подействуем оператором НД. Аналогичным образом получим, что и0 = Д3Н3и0 — Н2Д20 — НД0 — 0. Продолжая этот процесс, придем к равенству

рр и0 = Др+1Нр+1и0 - ^ ик'

к=0 к=0

Таким образом, мы получили необходимый вид решения уравнения (13). При этом использовалась непрерывность оператора Н и непрерывность оператора

*

М—1, которая вкупе с условиями теоремы дает принадлежность функции д классу СР+1([0,Т],Я). Осталось заметить, что д(к) = М—1 /0(к).

Подставим в краевое условие полученное решение и°(£) и придем к необходимому условию разрешимости задачи (13)

т т

г Р Р г-

- , ^АкМ—1/0(к^)ф^) = НкМ—1 / /0(к^)ф^) = и°.

0 к=0 к=0 °

Решением задачи (2), (3) является сумма полученных нами решений, где 1о + «о-

Щ = (I — Р)щ + Рщ = «о + м0- П

Замечание 2. Попутно доказана необходимость принадлежности и0 Є Р/ в условиях теоремы 6 для разрешимости задачи (2), (3).

4. Нелокальная задача для

уравнения Баренблатта — Желтова — Кочиной

Применим теорему 7 к исследованию задачи

т

J и(х,і)^(і) = и0(х), х Є П, (15)

о

и(х, і) = 0, (х, і) Є дП х К, (16)

для уравнения Баренблатта — Желтова — Кочиной, описывающего фильтрацию жидкости в трещиновато-пористой среде [7]

(А — Д)м*(х,і) = аДи(х,і) + f (х, і), (ж,і) Є П х К. (17)

Здесь ^(і) — заданная скалярная функция ограниченной вариации на отрезке [0, Т], А Є К \ {0}, а Є К, П С — ограниченная область с границей дП класса С ~

Редуцируем эту задачу к задаче (2), (3). Положим ^ = Ь2(П), Я = {и Є Ж22(П) : и(х) = 0, х Є дП}, Ь = А — Д, М = аД Є £(Я).

Через {^ : к Є М} обозначим ортонормированные в смысле скалярного произведения (•, •) в Ь2(П) собственные функции задачи Дирихле для уравнения Лапласа в области П, занумерованные по невозрастанию собственных значений А& с учетом их кратности. Обозначим также Л0 = {к : А& = А}, Лі = {к : А& = А}.

Теорема 8. Пусть

£(/(',«),№ ('))№ Є С 1([0, Т ]; І2(П)),

кєЛо

£(/Є С([0,Т];Ь2(П)

кеЛх

и для всех к G Ai выполняется х ( х~х ) 7^ О- Тогда для любого

Л—

т

Мо е <( и е и : —аЛ(м, ^) = J(/(■, £), ^(-))ф,(£), к € Ло существует единственное решение задачи (15) — (17), при этом оно имеет вид

ц{ ) v уьо.»*(-)Ы*)+

^ аЛ

к€Ло

aXfct , Т t a^k(t — T) \

+ Е т 1,‘— (“с,<')“//е x“-'f\k’T'>dTlU‘l't)'*к('ЧVk(x)+

fceAl /ex~xkd/i(t) 'оо '

о

t

+ [ уДм {f(->T)>M-))Mx)dr

J ^ Л — Afc ■

0 ^еЛх k

Доказательство. В работе [5] показано, что в условиях данного параграфа оператор M (L, 0)-ограничен. При этом

aL(M) = (-^-:fcGA1 [ Л — Л^

Я0 = span{(/9fc : fc G Ао}, Я1 = span{(/?fc : k G Ai} — замыкание в смысле пространства Я. Осталось сослаться на теорему 7. □

Список литературы

1. Хилле, Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Филлипс.— М. : Иностр. лит., 1962.

2. Далецкий, Ю. Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю. Л. Далецкий, М. Г. Крейн.— М. : Наука, 1970.

3. Мизохата, С. Теория уравнений с частными производными / С. Мизохата.— М. : Мир, 1977.

4. Иванов, В. К. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи /

В. К. Иванов, И. В. Мельникова, А. И. Филинков.— М. : Наука, 1995.

5. Свиридюк, Г. А. Линейные уравнения соболевского типа / Г. А. Свиридюк, В. Е. Федоров.— Челябинск : Челяб. гос. ун-т, 2003.

6. Sviridyuk, G. A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G. A. Sviridyuk, V. E. Fedorov.— Utrecht ; Boston : VSP, 2003.

7. Баренблатт, Г. И. Об основных представлениях теории фильтрации в трещиноватых средах / Г. И. Баренблатт, Ю. П. Желтов, И. Н. Кочина // Приклад. математика и механика.— 1960.— Т. 24, № 5.— С. 58—73.