Один класс уравнений соболевского типа второго порядка и вырожденные группы операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОДИН КЛАСС УРАВНЕНИЙ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА ВТОРОГО ПОРЯДКА И ВЫРОЖДЕННЫЕ ГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ*

Исследованы начально-краевые задачи для неоднородных уравнений в частных производных, не разрешенных относительно старшей производной по времени, с многочленами от эллиптического самосопряженного дифференциального оператора по пространственным переменным высокого порядка. Путем редукции к системе уравнений первого порядка и с помощью методов теории вырожденных полугрупп операторов найдены условия разрешимости рассматриваемых задач. Полученные результаты проиллюстрированы на примерах уравнений Буссинеска и Буссинеска — Лява.

Ключевые слова: вырожденная группа операторов, уравнение соболевского типа, эллиптический оператор высокого порядка.

Введение

Уравнения в частных производных, не разрешенные относительно старшей производной по выделенной переменной, часто встречаются в естественных и технических науках при описании различных процессов [1-3]. Они не относятся к классическим уравнениям математической физики, и до сих пор класс таких уравнений нельзя назвать полностью изученным. Эти уравнения часто называют уравнениями соболевского типа.

Ранее в работах В. Е. Фёдорова (см. [4-7] и ссылки там же) были исследованы начально-краевые задачи для уравнений соболевского типа первого порядка по времени и высокого порядка по пространственным переменным, имеющих вид

Рп(А)щ(х,{) = Qm(A)u(x,t), (0.1)

где А — эллиптический оператор высокого порядка, Рп, Qm — многочлены. Такой вид имеют уравнение Баренблатта — Желтова — Кочиной [8], описывающее динамику давления фильтрующейся жидкости в трещиновато-пористых средах, уравнение Дзекцера эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости [9] и др. Для уравнения (0.1), снабженного соответствующими рассматриваемой задаче краевыми условиями, были получены условия существования разрешающих аналитических групп [5], аналитических полугрупп [6-7], сильно непрерывных полугрупп операторов [4] в терминах отношения степеней многочленов и взаимного расположения их корней и собственных значений оператора А. Существенно новыми эти результаты стали для случая, когда оператор при производной в уравнении (0.1) является вырожденным, т. е. когда многочлен Рп имеет корни среди собственных значений оператора А.

*Работа выполнена при поддержке РФФИ и Министерства образования и науки Челябинской области (грант 10-01-96007-р_урал_а).

Целью данной работы является получение подобных результатов в отношении начально-краевых задач для уравнений соболевского типа второго порядка по времени и высокого порядка по пространственным переменным:

Рп(А)иы(х, ^ = Qm(А)щ(х, ^ + Rs(A)u(x, (0.2)

Здесь, как и в уравнении (0.1), А — эллиптический оператор высокого порядка, Рп, Qm, Rs — многочлены, Рп имеет корень в спектре оператора А. Такой вид имеют уравнение Буссинеска, используемое при описании волн в плазме [10-11], в теории длинных волн на воде [11-12], более общее уравнение Буссинеска — Лява, моделирующее в одномерном случае продольные волны в тонком упругом стержне с учетом поперечной инерции [11] и др.

В настоящей работе начально-краевая задача для уравнения (0.2) редуцирована к задаче для системы двух уравнений первого порядка. С использованием теории вырожденных полугрупп операторов [2; 13] получены условия в терминах отношения степеней многочленов и взаиморасположения корней многочленов и собственных значений оператора А, необходимые и достаточные для существования аналитической разрешающей группы такой системы. Группа строится непосредственно с использованием рядов Фурье в виде матричных операторов. Знание группы позволяет сформулировать условия на начальные значения исходной задачи для уравнения (0.2), необходимые и достаточные для существования ее единственного решения, и выписать это решение также в виде ряда Фурье.

Эта работа наследует идеи некоторых работ Г. А. Свиридюка (например, [14]), где общее дифференциально-операторное уравнение высокого порядка соболевского типа редуцируется к уравнению первого порядка соболевского типа и используется теория вырожденных аналитических групп операторов.

Общие результаты были проиллюстрированы на примере уравнений Бус-синеска и Буссинеска — Лява. Отметим, что подобные результаты для уравнения Буссинеска — Лява с вырожденным оператором при второй производной ранее были получены в работах Г. А. Свиридюка при исследовании общего дифференциально-операторного уравнения высокого порядка [14] и в работах

А. А. Замышляевой методами теории вырожденных М, Ж-функций [15; 16].

1. Предварительные сведения

Через С(Ы; Т) будем обозначать банахово пространство линейных непрерывных операторов, действующих из банахова пространства Ы в банахово пространство Т. Множество линейных замкнутых операторов с областями определения, плотными в пространстве Ы, действующих в Т, будем обозначать С 1(Ы; Т). Если Т = Ы, то обозначения сократятся до С(Ы) и С 1(Ы) соответственно.

Здесь и далее пусть Ь Е С(Ы; Т), кегЬ = {0}, М Е С1(Ы; Т). Обозначим рь(М) = {^ Е С :(^Ь - М)-1 Е ЦТ;Ы)}.

Определение 1. Оператор М называется (Ь, а)-ограниченным, если

За > 0 {^ Е С : |^| > а} С рь(М).

Пусть оператор М (Ь, а)-ограничен, Г = [^ Є С : |^| = г > а}. Рассмотрим операторы

Р =—[(^Ь - М)-1Ьф єС(и), Q = — IЬЫЬ - М)-1(1V ЄС(Т). (1.1) 2п% ] 2пг ]

г г

Нетрудно показать, что эти операторы являются проекторами на пространствах и и Т соответственно. Положим и0 = кег Р, Т0 = кег Q; и1 = ішР, Т1 = imQ. Обозначим через Ьк (Мк) сужение оператора Ь (М) на ик (ёошМ пик), к = 0,1.

Теорема 1 [13]. Пусть оператор М (Ь, а)-ограничен. Тогда:

(i) и = и0 ®и1, Т = Т0 ®Т1;

(ii) Ьк Є С (ик; Тк), к = 0,1, Мо Є С 1(и0; Т0), Мх Є С (и1; Т1);

(iii) существуют операторы М-1 Є С(Т0;и0), Ь-1 Є С(Т1;и1).

Из теоремы 1 вытекает существование оператора Н = М0-1Ь0 Є С (и0). (Ь, а)-ограниченный оператор М будем называть (Ь,гр)-ограниченным, если соответствующий оператор Н нильпотентен степени р Є [0} и N т. е. Нр = 0, Нр+1 = 0.

Рассмотрим линейное однородное уравнение соболевского типа

Ьй(Ь) = Ми(і). (1.2)

Его решением называется вектор-функция и Є С 1(К; и), удовлетворяющая этому уравнению.

Определение 2. Семейство операторов [и (і) Є С (и) : і Є К} называется разрешающей группой уравнения (1.2), если:

(i) и (в)и (і) = и (в + і) Ув, і Є К;

(ii) при любом у0 Є и вектор-функция у(Ь) = и(Ь)у0 есть решение уравнения

(1-2);

(iii) для любого семейства операторов [V (і) Є С (и) : і Є К}, обладающего свойствами (і), (іі), выполняется imV(0) С іти(0).

Группу [и (і) Є С (и) : і Є К} назовем аналитической, если она имеет аналитическое продолжение во всю комплексную плоскость с сохранением свойств (і) и (іі) из определения 2.

Теорема 2 [13]. Пусть оператор М (Ь, а)-ограничен. Тогда существует аналитическая в плоскости С группа операторов

и(г) = —[ыЬ - М)-1Ье^ф, і Є С, Г = Ы є С : Ы = а + 1}, (1.3)

2пг ] г

разрешающая уравнение (1.2).

Пусть 3 С К — некоторый интервал, содержащий точку нуль, О : 3 ^ Т. Рассмотрим задачу Коши

и(0) = и0 (1.4)

для линейного неоднородного уравнения соболевского типа

Li(t) = Mu(t) + G(t), t E J. (1.5)

Решением задачи (1.4), (1.5) будем называть функцию u E Cl(J;U), удовлетворяющую условию (1.4) и при всех t E J — уравнению (1.5).

Теорема 3 [2]. Пусть оператор M (L,p)-ограничен, QG E C1 (J; F), (I — Q)G E Cp+1(J;F). Тогда существует единственное решение u E C 1(J;U) задачи (1.4),

p

(1.5) в том, и только в том случае, когда (I—P)u0 = — ^ HkM0 1[(I—Q)G](k)(0).

k=0

При этом решение имеет вид

«м = -£ нк м0-1[(/ - Q)G](k)(і) + и (і)щ + и (і — в)Ь-^Є(в)йв. к=0 0

2. Условия существования вырожденной разрешающей группы

п т в

Пусть многочлены Рп(Х) = ^2 сіХі, Qm(X) = ^2 Xі, Я3(Х) = ^ віХ1 таковы,

і=0 і=0 і=0

что сі,йі,ві Е С, і = 0,... ,п, і = 0,... ,т, І = 0,... , в, спйтвв = 0. Обозначим Р = {X Е С : Рп(Х) = 0}, Я = {X Е С : Qm(X) = 0}, П = {X Е С : Я8(Х) = 0}.

Далее, П С К — ограниченная область с границей дП класса С^, набор операторов А, В1,... , Вг — регулярно эллиптический [16], где

(Аи)(х) = аа(х)Баи(х), аа Е СГХ(П),

\а\^-2т

(Віи)(х)=^ Ь1а(х)Баи(х), Ьіа Е С~(дП), І = 1,...,Г.

Потребуем также самосопряженности оператора А1 Е СІ(Ь2(П)), на своей области определения ёошА1 = ЩВ^(П) [16] действующего как А1п = Ап, а также ограниченности справа его спектра. Через {<£>к : к Е М} обозначим ор-тонормированные в смысле скалярного произведения {•, •) в Ь2(П) собственные функции оператора А1, занумерованные по невозрастанию собственных значений {Хк : к Е М} с учетом их кратности. Здесь мы учли, что спектр оператора А1 вещественный и сгущается к —то.

Рассмотрим начально-краевую задачу

Рп(А)'Шц(х,ї) = Qm(A)wt(x,і) + Я3(А)'ш(х,і), (х,і) Е П х К, (2.1)

Ві Ак w(x, і) = 0, к = 0,... ,п — 1, І = 1,... ,г, (х,і) Е д П х К, (2.2)

w(x, 0) = w0(х), х Е П, (2.3)

wt(x, 0) = w1(x). х Е П (2.4)

t

Редуцируем уравнение второго порядка по £ к системе уравнений первого порядка по Получим

Рп(А^(х, £) = Qm(A)v(x,t) + Я3(А)'ш(х,£), (х,£) € П х К, (2.5)

^(х,£) = v(x,t), (х,£) € П х К. (2.6)

Возьмем

Уп = {и € Н2гп (П) : ДАк и(х) = 0, к = 0,...,п _ 1,1 = 1,...,г,х € дП},

и = Уп хУп, Т = ^(П) хУп.

Тогда задача (2.2)-(2.4) для системы (2.5), (2.6) принимает вид задачи и(0) = и0 для уравнения (1.2) с операторами

Ь = ( Рп0А) 1 ^ , М = ^ ^(А) Ка^А) ) . (2.7)

Докажем, что существует вырожденная аналитическая разрешающая группа уравнения (1.2). Для этого надо получить (Ь, а)-ограниченность оператора М.

Теорема 4. Пусть и = Уп х Уп, Т = Ь2(П) х Уп, операторы Ь,М : и ^ Т имеют вид (2.7), а(А^ П?П 2 = 0. Тогда оператор М (Ь, 0)-ограничен в том, и только в том случае, когда т ^ п, в ^ п.

Доказательство. Рассмотрим множество

Л = {ц € С : Эк € N ц2Рп(Хк) — цQm(Хk) — Кв(Хк) = 0}.

Элементы Л имеют вид

Qm(Xk) ± л/отш+^щхкщщ

Цк± =

2Рп(Хк)

при Рп(Хк) = 0 и цко = — ^(А) в случае Рп(Хк) = 0. Здесь использовано условие а(А1) ПРП 2 = 0.

Точек вида цк0 не существует, если а(А1) П Р = 0 либо их конечное число, поскольку многочлен Рп имеет лишь п корней в С. Поэтому точек вида Цк± бесконечное число. Из условий на степени многочленов т ^ п, в ^ п следует, что пределы Иш Цк+ и Иш Цк- конечны. Поэтому последовательности {цк+}, {Цк-},

к^ж к^ж

а значит, и множество Л, и его замыкание Л ограничены.

Здесь и далее обозначим через (•, •) скалярное произведение в пространстве Ь2 (П) , || • ||о = \/ (•, •) — норма в Ь2(П), при к € N || • ||к — норма в Нк(П). Имеем

цЬ _ М = ( ЦРп(А) — Qm(A) —Рз(А)

V —1 ц

ж / ________^(,<Рк)<Рк___________ ____Яв(Ак)(^<Рк)<Рк__

(,, Т _ М) —1 __ \ Л I ^2Рп (Ак )—^Ят(^к )-К-я(Ак) ^2Рп(^к)—^Ят(^к )-К-я(Ак)

(цЬ М ) / у I ______(^срк )<Рк___________ (цРп(Ак)-Ят(Ак ))(•№ )<Рк

к=1 \ ^2рп (Ак )—^Qm(Аk) — Кв(Ак) Mi2pn(Аk)—^Qm(Аk) — К.в(Ак)

при р / Л. Для р / Л и {0}, f = (д, к) Є Т, используя ограниченность последовательности

1 + А\п

|р2 Рп (Ак) — PQm(Аk) — Яв (Ак)|

получим

Е

р{дч ук)ук + Яв(Ак){к ук)ук

Е

к=1

к_! Р2Рп(Ак) — ^т(^к) — Яв(Ак)

р{д,Ук )фк

<

2гп

2

р2 Рп(Ак ) рQm(Аk) Яв(Ак )

(1 + Акп ^ |{д^к)|2

+2

2гп

Е

к=1

Яв(Ак){к? ук)ук

р2рп(Ак) рQm(Аk) Яв(^к)

2гп

+2

(1 + А к") |Я,(А* )|2 Кк/Л )|‘

_1 |р2р>п (Ак) — ^т(Ак) — Яв (Ак)| к=1 |^2Pn(Аk) — рQm(Аk) — Яв(Ак)|

<

\% -

« ^Кг,^)!'2 + (1 + х?) 1(л.<л)|2 < с (|Ы|2 + ми = с||/|

к=1 к=1

Здесь константа С, вообще говоря, зависит от ц. Аналогичным образом получим неравенства

ГО

{д,ук )ук + (рРп(Ак ) Qm(Аk ')'){к,ук )ук

к=1 р2Рп(Ак) рQm(Аk) Яв(Ак)

2гп

<

2

(1 + Акп) Кд^к)|2

+2

го

Е

к=1

_1 |р2рп(Ак) — рQm(Аk) — Яв(Ак)|

(1 + Акп)|^Рп(Ак) - Qm(Аk)|2 |{к, ук)|2

|р2Pn(Аk) — PQm (Ак) — Яв(Ак)|

^ СХ/ |{д’ ук)|2 + СХ/(1 + Акп) |{кч ук)|2 = С (||д||2 +

2гп

к=1

к=1

С ||/|& -

Таким образом, аь(М) С Л и {0}, и поэтому оператор М (Ь, а)-ограничен.

Обозначим а = 2шах |р| Є К+. Используя разложение по базису {ук мел

к Є М}, получим при |р| > а

мРп(Лк)/^,Ук)Ук

Вв(Лк ) (• ,ук )ук

(рЬ - М)-1Ь

М2 Pn(Лk)—мQm(Лk)—Rs(Лk ) М Рп(Лк ) —мQm(Лk) — Вв(Лк)

Рп(Хк )/^,<Рк )<Рк

(мРп(Лк) Qrn(Лk))/•,yk)yk

к=1 \ М'2pn(Лk)—мQm(Лk)—Rs(Лk ) М Рп(Лк ) — мQm ( Лк ) — (Лк )

/ МІ^Ук )Ук

' ^ (м—М^_і_ )(м—М

Вв (Лк)^,<Рк)Ук________I Мк0/^,Ук')Ук \

% ,„(м — Мк+)(м — Мк-) ^—і Ргі(Хк )(м — Мк+)(м — Мк-) * т-, М — Мк0

\кЄР Лк£Р ЛкеИ

{ <^т (^к ) \/ )

/^,Ук)Ук у^ \М— Рп(Хк) )У,Ук)Ук + ул ^,фк)фк

,~і„ (м — мк+)(м — мк-) ^—^ (м — Мк+)(м — Мк-) \ т-, М — Мк0

\ Лк/И Лк/и Лкер /

2

2

2

2

2

Отсюда по формуле (1.1) с использованием интегральной формулы Коши найдем проектор

( Е {-,фк)Ук Е Рк0^,Ук)Ук \

Р = Лк/Р ЛкеР . (2.8)

01

Поэтому и0 = кег Р = {(V, 0) Є и : {ь,ук) = 0 при Ак / Р}. Отсюда видно,

что Ь0 = 0, а значит, и Н = 0. Следовательно, оператор М является (Ь, 0)-

ограниченным.

Понятно, что при т > п или в > п множество {Рк± : Рп(Ак) = 0} неогра-ничено, а потому условия т ^ п, в ^ п являются необходимыми для (Ь, а)-ограниченности оператора М. □

Рассмотрим еще один случай.

Теорема 5. Пусть и = Уп х Уп, Т = Ь2(0) х Уп, операторы Ь,М : и ^ Т имеют вид (2.7), а(А1) ПР П 2 = 0, а(А1) ПРИ = 0. Тогда оператор М

(Ь, 1)-ограничен в том, и только в том случае, когда т ^ п, в ^ п.

Доказательство. Для доказательства (Ь, а)-ограниченности оператора М найдем множество Л, как при доказательстве теоремы 4. Собственным значениям Ак оператора А1, не лежащим в Р, соответствуют точки Рк± множества Л, для Ак Є а(А1) ПР, не лежащих в 2, имеем точки Рк0 Є Л. Если же Ак Є а(А1) ПРП2, то Ак / ^, поэтому таким собственным значениям никакие точки множества Л не соответствуют.

Возьмем а = 2 шах |р| Є К+. Рассуждая, как при доказательстве теоремы 4,

м е Л

получим при

>а

(рЬ - М)—1Ь = 5]

мРп(Лк )/^,<Рк )Ук

М2 Рп(Лк ) — МQm(Лk) — Вв (Лк) М^Рп (Лк ')—МQm(Лk ') — Вв (Лк)

_________Рп (Лк ')/',ук)ук______ (мРп (Лк) Qm(Лk ))/^,ук /ук

к=1 \ М Рп(Лк ) — мQrn(Лk) — Rs(Лk) М^Рп (Лк )—мQrn(Лk ) — Рв(Лк)

(М—

м/^,Ук)Ук

. , (м — Мк+)(.М — Мк-)

Лк/Р

/•,Ук )Ук (м — Мк+)(м — Мк-) \ Лк/р

Г12 (Р) ^ Г22 (Р)

г12 (Р) = 5^

Яв(Ак){■, ук)ук

Лк/Р

Рп(Ак)(р — рк+)(р — рк— )

+

Е

рк0 {^, ук) ук

г22 (Р)

Р

Qm (Лк ) Рп(Лк)

Лк ер\а , Ук )ук

Р - Рк0

{

Лк ерпа

у

Лк/Р (Р - Рк+)(Р - Рк— )

+

Е

Ук )у

к

Р - Рк0

Ь(рЬ - М)—1 = 5]

Рп(ЛкЫ,<Рк )Ук

М2 Рп (Лк ) — МQm(Лk) — Рв (Лк)

/•,Ук )Ук

к=1

= Лк/Р

м2 Рп(Лк ) — мQ'm(Лk) — Rs(Лk)

1

(м — Мк+)(м — Мк-)

м/^,<Рк)<Рк у^ Рв(Лк )/^,<Рк)<Рк

' ^ (М —11, и і )(М —11, и ) ' ^

(м — мк+)(м — Мк-) 121 (Р)

Лк/Р

122 (Р)

(2.9)

Ук )<Рк

Лк еР\я.

Рп(Лк)Рв (Лк) / ‘ ,ук )ук М2Рп (Лк ')—МQrn(Лk ) — Вв (Лк) (мРп (Лк) Qm(Лk ))/^,ук /ук МРп (Лк ) мQm (Лк ) — Вв (Лк)

(2.10)

Мр) = £ (''Ук)У

\к/-р Рп(Хк)(р — рк+)(р — рк-) ,Ук )Ук ^ {',Ук )Ук

V"'' {-,Ук )Ук 'ЧГ''

Хк^р\я Ят(Хк)(р - Рко) Лкерпе Ка(Хк) ’

^ (Р - тайт) {-'^к>Ук + ^ {-.Ук)ук л'кГр (Р - Рк+)(Р - Рк-) ккя Р - Рко

По формуле (1.1) отсюда получим проекторы

Р

Я

( Е {',Ук)Ук Е Рко{-,Ук)Ук \ Лк/р Лк&р\я

0 Е {'.Ук )<Ук

\ Лк/рпа )

( Е {-,<Рк)Ук 0 \

Лк/р

е 'Р {-,ук)Ук

\ Лкер\а Лк/рпа )

Поэтому и0 = кег Р = {(у,т) : {у,Ук) = 0 при Хк / Р, {т, Ук) = 0 при Хк / РП2}, = кег Я = {(д,к) : {д, Ук) = {к, Ук) = 0 при Хк / Р, {д,Ук) = Ят(Хк){к, Ук) при Хк € Р \ 2}.

Для и0 € и0, f0 € Т° равенство М0и0 = f0 имеет вид

У~1 Ят(Хк ){у,Ук )ук + Рз(Хк){т,ук )ук

Лк €р Лк €рпа

Е {у,ук)ук Лк € р

У~1 {д,ук )ук + Ят(Хк '){к,У>к )ук

Лк ерпа Лк ер\а

Е {к, Ук)Ук Лк € р

Отсюда следует, что {у, ук) = {к, Ук) при Хк € Р,

{т. Ук) = „ ) ({д. Ук) - Ят(Хк){к, Ук)) = ^

^в(Хк ) ^в(Хк )

при Хк € Р П 2. Поэтому

М0-1 = ( е 0), 10=(00), н=(01

Значит, Н2 = 0 и оператор М (Ь, 0)-ограничен.

Необходимость условий на степени многочленов доказывается так же, как в теореме 4. □

к

3. Неоднородное уравнение

Пусть 3 С К — некоторый интервал, содержащий точку 0. Рассмотрим начально-краевую задачу

В1 Ак т(х,Ь) = 0, к = 0,...,п - 0, / = 0,...,г, (х,Ь) € дП х 3, (3.0)

т(х, 0) = т0(х), х€ П, (3.2)

1щ(х, 0) = т1(х), х€ П (3.3)

для линейного неоднородного уравнения

Рп(А)'Шц(х, Ь) = Ят(А)/Ш1 (х,Ь) + Е3(А)т(х,1) + Т(х,Ь), (х,Ь)€П х 3. (3.4)

Редуцируем уравнение второго порядка по Ь к системе уравнений первого порядка по Ь. Получим

Рп(А)уг(х,Ь) = Ят(А)у(х,Ь) + Я8(А)т(х, Ь) + Т(х,Ь), (х,Ь) € П х 3, (3.5)

(х,Ь) = у(х,Ь), (х,Ь) € П х 3. (3.6)

Возьмем

ь = ( Рп0А) 0 ) , м = ( Ят0(А) ^А) ) , с(ь) = ( Т(0,Ь)

Уп = {и € Н2гп(П) : ВгАки(х) = 0, к = 0,... ,п - 0,/ = 0,... ,г, х € дП},

и = Уп х Уп, Т = Ь2(П) х У,п.

Таким образом, начально-краевая задача сведена к задаче Коши (1.4), (1.5).

Теорема 6. Пусть а(А1)ПРП2 = 0, т ^ п, в ^ п, Т € С 1(3; Ь2(П)), т0,т1 € Уп. Тогда существует единственное решение т € С2(3; Уп) задачи (3.1)-(3.4) в том, и только в том случае, когда

, {Т (•, 0),Ук) л ^

{т1 - Рк0т0, У к) =-----------------^—7Г \-, Хк €Р. (3.7)

Ят(Хк )

При этом решение имеет вид

(в^к-г - Р№+*) {ш1,Ук)Ук(х)

т(Ь,х) = V (е-------- р ' ) {т1,Ук)Ук(х) + Рк- - Рк+

Цр*- - ШГ) еп-‘ - (рк+ - 1^) р»+') (Ш0,Ук.)Ук

р^к-" _ | . _ Ят(Лк)

+ (ЛкТ '

л7/р Рк^Рк+

+ ^ ] р^к°1 {т0,Ук)Ук + Лк р

+ п Е

0 \Хк/р

(^еРк—(і э) _ е^к+(і ^ (р (-,в),ук )ук (х) (Рк- _ Рк+)Рп(Ак)

Е еРко( Э)(Р(',»),Ук)Ук(х) | ^

Хк Є V

Ят(Хк )

Доказательство. В силу теорем 2 и 4 существует аналитическая разрешающая группа однородной системы уравнений (3.5), (3.6), имеющая вид операторной матрицы ( )

а11(Ь) а12(Ь)

и (і)

а2\(і) «22(і)

с элементами

а11(і) = у

Хк/Р

(рк-е^к-і _ Рк+е^к+і) (■, Ук)Ук

рк- _ рк+

К*(Хк) (

е^к-^ ____ е^к + £)

Рп ( Х и ) ^ '

«12 (і) = У Рп(Хк) 4 _--------------- (',Ук )Ук +^2 Рк0еП0І(-,<Рк )Ук,

Хк/Р

рк- _ рк+

Хк ЄР

«21 (і)

Е (е^к-І _ е№+*) (-,^к)Ук

Хк/Р

рк- _ рк+

«22 (і)

Е

Хк /Р

Рк-

Ягп(Хк) \ еРк — І ___

Рп(Хк) 1 е

рк+

Ят(Хк ) \ е^к + І Рп(Хк)

Ук )Ук

Рк- _ Рк+

+е Хк Р

РкО /

', Ук)Ук

Здесь операторы полугруппы вычислены по формуле (1.3) с использованием полученной при доказательстве теоремы 4 формулы для оператора (рЬ _ М)-1 Ь и интегральной формулы Коши.

Воспользуемся теоремой 3 о разрешимости неоднородной задачи (1.4), (1.5). В силу формулы для (рЬ _ М)-1, примененной при доказательстве теоремы 4, имеем

Ь(рЬ _ М)

-1

^(•,<Рк )<Рк (р-рк+)(р-рк—)

(•,<Рк)<Рк

Рв (Хк) {•,^к)^к (р-рк+)(р-рк—)

(Р-

Рп^к)

)(^,<Рк )<Рк

+

Рп(Хк)(р-рк+)(р-рк—) (р-рк+)(р-рк—)

+ Е (

Хк ЄV \

0 0

(•,Ук)Ук (•у^к )<Рк

— Qrn(Хk )(Р-Рк0) Р-Рк0

По формуле (1.3) отсюда следуют равенства

(і _ Я)О(і)

Я

( Е (■, Ук)Ук о ^

Хк/Р

(•

-

V Хк ЄV

(•,<рк )1рк Qm(Хk)

1

( Е (Р(-,і),Ук)Ук\ Хк ЄР

/

(Р (^,ґ),^к )Ук

\ Хк Є V

Qm (Хк )

/

Из вида проекторов Р и Я следует, что элементы их ядер имеют вид

Е {у, Ук)Ук

и0 = Лкер

0

I Е {д,Ук)Ук \ Лк ер

^2 ^9'^к )1Рк

\ Лк ер

поэтому

Е Я (Хк ){у,Ук )Ук

М0и0 = I Лк{ )

{у,Ук)Ук

Лк ер

= 10, М-1 =

/

0 0 00

М01(/ - О)С(ь) — I Лкер

№ (-,г),ук)ук

0т(Лк)

0

Тогда условие согласования и0 и О из теоремы 3, при р (I - Р)и0 = -М0-1(1 - Я)0(0), дает равенство

(I-Р)

т1

т0

Е {^1,Ук)Ук - Е Рк0{т0,Ук)Ук Лк е р Лк е р

0

0 имеющее вид

у^ -{Р (-,0),(рк )Ук

°гп(ЛкТ

Лк ер

0

которое в точности означает условие (3.7).

Теперь найдем вид решения неоднородной задачи по формуле из теоремы 3. Для этого построим оператор Ь-1. Имеем Ы1 = кег(1 - Р), Т1 = кег(1 - Я). Тогда вектор и1 € Ы1 можно найти из соотношения

(I - Р)и1 = (1 - Р)( т1

Е {у1 - Рк0т1,Ук)Ук Лк €р

0

( Е Рк0{т1,Ук)Ук + Е УкУк \

Отсюда и1 = Лкер Лк/р , где т1 —произвольная функция

V т1 )

из Уп, коэффициенты у к такие, что ^ у* У к € Уп.

Рп(Лк Т = 0

Аналогичным образом произвольный вектор f1 € Т1 найдем из соотношения

I Т,{д1,Ук)Ук\

(I - Я)р = (I - он д 1

Лк ер

{яг,Ук )<Рк Ят(Лк)

\ Лк € р

/

п Е дкУ* \ _

Следовательно, f1 = Лк/р , где к1 — произвольная функция из Уп, ко-

к1

эффициенты д* такие, что Е дк У к € Ь2 (П). Тогда

Лк/р

л . Е Рп(Хк)укУ* \ . / Е дкУк

Ь1и1 = ( Лк/р ) = f1 = Лк/р

к1

-1

поэтому Ь Далее,

Е Щк) Е Рк0{-,Ук)Ук

Лк/р Лк ер

00

ЯС(г) = Я

( Е {т(•,*), У*)Ук ^

Лк /р

- ^ {Р(•,г),<Рк)‘Рк

\

Лк р

Qm(Лk)

Ь-1 ЯОЬ)

( {Р(•,ь),ук)<Рк I д^(Лк){Р(•,г),Ук)Ук \

Лк/р Р■' (Лк) + лЬт ^(Хк''- '

- ^ {Р (^,г),Ук )(Рк

Лк р

Qm (Лк )

Расписав формулу для решения из теоремы 3, используя найденные формулы для операторов Я, М0-1, и(Ь) и взяв вторую компоненту получившегося вектора,

выпишем решение.

Рассмотрим второй случай.

□

Теорема 7. Пусть а(А1) П Р П 2 = 0, а(А1) П Р П 2 П К = 0, т ^ п,

в ^ п, Р € С2(3; Ь2(П)), т0,т1 € Уп. Тогда существует единственное решение т € С2(3; Уп) задачи (3.1)-(3.4) в том, и только в том случае, когда

{т1 — Рk0w0, Ук) = -

{wо, Ук) = -{т1,Ук) = -

{р(•, 0),Ук) Ят(Хк )

{р(•, 0),Ук)

Хк € Р \ 2,

Рв(Хк) 0),Ук)

Кв(Хк)

Хк € Р П 2,

Хк € Р П 2.

(3.8)

(3.9) (3.00)

При этом решение имеет вид т(Ь,х) =

Лк /р

(р^к-* - р^+*) {ть У*)Ук(х) Рк- - Рк+

+

Е-

Лк /р

Рк- - ТОку) р№-* - (рк+ - ^рщку) рМк+*) Н^к)Ук(х)

Рк- - рк+

I РкоЪ / \ ( \ Х'' {Р (',Ь),ук )ук(х)

+ £ р“>‘°{щ,,ук)ук(х) - £ ---------------------ЙТ(дк)-----

Лк ер\Я

+/(Е

0 Лк /р

Лк е рпд.

^рРк-(* в) - р^к+(* {р(.,в),ук)ук(х)

(Рк- - Рк+)Рп(Хк)

Е р^ко( -){р(-,в),ук)ук(х) |

Лк е р\й

Ят(Хк )

(3.00)

0

Доказательство. Нетрудно проверить, что в данном случае операторы разрешающей полугруппы

а11(г) а12(Ь) а21(Ь) а22(Ь)

и (г)

имеют элементы

а11(г) = X!

Лк /р

(р*-в^к-* - Рк+е^к+г) {■, Ук)ук

Рк- - Рк+

Рв(Лк) (РРк-* - РРк+*)

мю = Е р'(м)

Лк /р

рк- - рк+

', У к) У к + У Рк0 е^коЬ{-,Ук )ук, Лкер\Я

(в^к- - в№+*) {■, У к )Ук

Рк- - Рк+

а22(г) = У

Лк/р

а21(г) = У

Лк/р

((Рк- - ^‘ - (Рк+ - <-,Ук)у,

рк- - рк+

+ £ еМк0*{■, Ук)Ук. Лк ер\е

По теореме 5 оператор М в данной ситуации (Ь, 0)-ограничен. Воспользуемся теоремой 3 о разрешимости неоднородной задачи (1.4), (1.5). Для этого воспользуемся полученными при доказательстве теоремы 5 формулами для опер Ы)

0

раторов Р, Я, М0 1, Н. Для О(г)

имеем

( Е {р(-,г),Ук)Ук\

(I - Я)О(г)

Лк р

\ Лк е р\Я

у^ {Р (•,Ь),^к )<Рк

Qm(Лk)

,M0-1(I - Я)О(г) =

/ {Р (^,*),Ук)Ук \

Qm (Лк)

Лкер\Я

у^ {Р (^,*),^к)^к

I ^ Кя(Лк) ,

\ Лкерпа )

НМ0 :(! - Я)О(г) = ( Лкерпя

Р (•,г),<рк)1Рк Рв(Лк)

0

Тогда условие согласования из теоремы 3 в данной ситуации имеет вид

(I - Р)и0 = (I - Р)

т1

т0

Е {т1,Ук )ук - Е Рк0 {т, у к )ук

Лк ер Лк ер\я

Е {т, у к )ук

Лк ерпа

/ У^ -{Р(•,0),Ук)<Рк - У^ {Рг(.^0),<Рк)<Рк \

Qm(Лk) Р'в(Лк)

Лк ер\Я Лк ерпя

-{Р (•,0),Ук )<Рк Р:в(Лк )

Е

Лк ерпд

Это равенство в точности означает условия (3.8)—(3.10).

Теперь построим оператор Ь1 . Произвольный вектор и1 € Ы1 можно найти из соотношения

а- р у=(/- р )(£)

Е {у1,Ук )ук - Е Рк0{т1, у к )ук

Лк ер Лк ер\Я

Е {т1,ук )ук Лк ерпя

Отсюда и1 =

( Е у*Ук + Е Рк0ткУк \ Лк/р Лк е р\Я

Е т Ук \ Лк/рпя /

что £ у* у*, £ т* Ук € Уп.

Лк/р Лк/рпя

Вектор f1 € Т1 найдем из соотношения

где коэффициенты ук,т* такие,

(I-Q)f1 — (I-Я)[ к 1

{д1, Ук)Ук

1 Лк р

£ № + Е<к‘ ’У*)ук

\ Лкер\я Лкерпя )

дкУк

Следовательно, f1 = I Л!уГ к у I , где коэффициенты д*, к* такие, что

Лк/рпя

У! дкук € Ь2(ПХ £ ккук € Уп.

Лк /р

Тогда

Лк /рпя

Ь1и1

Рп(Хк )ук ук

Лк/р

Е т* у* Лк/рпя

Е д* у к

Лк /р

кк ук }

Лк /рпя

поэтому

Ь-

-1

Е Е Рк0{■ ,Ук)Ук

Лк/р Лк е р\я

00

ЯО(г) = Я

ч / Е {р( ■ ,г),Ук)Ук \ р ( ■ ,г) \ = Лк/р

у^ -{Р (^,*),Ук )фк

\ Лкер\я ^(Лк) /

/ у^ {Р (^,*),Ук )Ук I У^ Дв(Лк){Р (^,*),Ук )Ук \

^ Рп(Лк) + ^ Qm (Лк)2

ь-1^ (г)

V

Лк/р Лк е р\я

у^ -{Р (•,*),Ук )<Рк

Qm(Лk)

Лк е р\я

Qm(Лk)2

Расписав формулу для решения из теоремы 3 и взяв вторую компоненту получившегося вектора, придем к решению (3.11). □

4. Примеры

В качестве примера применения полученных абстрактных результатов рассмотрим начально-краевую задачу

w(x, 0) = w0(x), wt(x, 0) = wi(x), x £ Q, (4.1)

д

6—w(x,t) + (1 — 9)w(x,t) = 0, (x,t) £ дQ x J (4.2)

дп

для уравнения Буссинеска — Лява [11]

(а — A)wtt(x, t) = (в — в\ A)wt(x, t) + (y — 71 A)w(x, t) + F(x, t), (x, t) £ Q x J. (4.3)

Здесь Q С Rd — ограниченная область с границей 0Q класса C™, а, в, в1,7,71 — вещественные параметры, характеризующие материал стержня.

Задача (4.1)-(4.3) является частным случаем задачи (3.1)—(3.4). Действительно, возьмем A = A, r =1, B1 = в-Щ + (1 — в), n = m = s =1, Pn(A) = а — A, Qm(A) = в — в1А, Rs(A) = 7 — y1A. Положим

H|(Q) = jw£H2(Q) вдОп + 1 — ^w(x) = 0, x £ дQ

Обозначим A1w = Aw, domA1 = H2(Q). Через {^k : k £ N} обозначим ортонормированные в смысле скалярного произведения ( •, • ) в L2(Q) собственные функции оператора A1, занумерованные по невозрастанию собственных значений {Ak : k £ N} с учетом их кратности. Переформулируем теоремы 4-7 в терминах данной задачи.

Предложение 1. Пусть

U = H2(Q) x H2(Q), F = L2(Q) x H2(Q), (4.4)

L = ( а "0 Al M , M = f в — ^ 7 — 71A1) £ L(U; F), (4.5)

а £ a(A1), в — в1а = 0. Тогда оператор M (L, 0)-ограничен.

Предложение 2. Пусть а £ a(A1), в — в^ = 0, F £ C 1(J; L2(Q)), w0, w1 £ H2(Q). Тогда существует единственное решение w £ C2(J; H|(Q)) задачи (4.1)-(4.3) в том, и только в том случае, когда при Ak = а

((в1а — в)w1 — (7 — Y^wo, yk) = (F( •, 0), ук).

Предложение 3. Пусть а £ a(A1), в — в1а = 0, 7 — 71а = 0, пространства и операторы заданы формулами (4.4), (4.5). Тогда оператор M (L, 1)-ограничен.

Предложение 4. Пусть а £ a(A1), в — в^ = 0, 7 — 7^ = 0, F £ C2( J; L2(Q)), w0,w1 £ H|(Q). Тогда существует единственное решение w £ C2(J; H|(Q)) задачи (4.1)-(4.3) в том, и только в том случае, когда при Ak = а

(71а — y)(wo,yk) = (F( •, 0),<^k), (71 а — 7)(wbyk) = (Ft(•, 0),щ).

Частным случаем уравнения Буссинеска — Лява является так называемое уравнение Буссинеска [10-12]

(а — A)wtt(x,t) = 8Aw(x,t).

Для него Qm = 0, поэтому условия предложений 1 и 2 заведомо не выполняются. Условия же предложений 3 и 4 будут означать, что а £ o(A]) \ {0}, 8 = 0.

Список литературы

1. Демиденко, Г. В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной / Г. В. Демиденко, С. В. Успенский. — Новосибирск : Науч. кн., 1998.

2. Sviridyuk, G. A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G. A. Sviridyuk, V. E. Fedorov. — Utrecht ; Boston : VSP, 2003.

3. Свешников, А. Г. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа /

A. Г. Свешников [и др.]. — М. : Физматлит, 2007.

4. Фёдоров, В. Е. Слабые решения и проблема квадратического регулятора для вырожденного дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве /

B. Е. Федоров, М. В. Плеханова // Вычисл. технологии. — 2004. — Т. 9, № 2. —

C. 92-102.

5. Фёдоров, В. Е. Сильно голоморфные группы линейных уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах / В. Е. Федоров // Дифференц. уравнения. — 2004. — Т. 40, № 5. — С. 702-712.

6. Плеханова, М. В. Задача оптимального управления для одного класса вырожденных уравнений / М. В. Плеханова, В. Е. Федоров // Изв. РАН. Теория и системы упр. — 2004. — № 5. — С. 40-44.

7. Fedorov, V. E. Applications of the theory of degenerate operator semigroups to the initial-boundary-value problems / V. E. Fedorov // J. Math. Sc. — 2005. — Vol. 126, № 6. — P. 1658-1663.

8. Баренблатт, Г. И. Об основных представлениях теории фильтрации в трещиноватых средах / Г. И. Баренблатт, Ю. П. Желтов, И. Н. Кочина // Приклад. математика и механика. — 1960. — Т. 24, № 5. — С. 58-73.

9. Дзекцер, Е. С. Обобщение уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью / Е. С. Дзекцер // Докл. АН СССР. — 1972. — Т. 202, № 5. — С. 1031-1033.

10. Икези, Х. Экспериментальное исследование солитонов в плазме / Х. Икези // Солитоны в действии. — М. : Мир, 1981. — С. 163-184.

11. Уизем, Дж. Линейные и нелинейные волны / Дж. Уизем. — М.: Мир, 1977.

12. Габов, С. А. Новые задачи математической теории волн / С. А. Габов. — М. : Наука : Физматлит, 1998.

13. Свиридюк, Г. А. К общей теории полугрупп операторов / Г. А. Свиридюк // Успехи мат. наук — 1994. — Т. 49, № 4. — С. 47-74.

14. Свиридюк, Г. А. Задача Коши для линейных уравнений типа Соболева высокого порядка / Г. А. Свиридюк, О. В. Вакарина // Дифференц. уравнения. — 1997. — Т. 33, № 10. — С. 1410-1418.

15. Замышляева, А. А. Фазовые пространства одного класса линейных уравнений соболевского типа второго порядка / А. А. Замышляева // Вычисл. технологии. — 2003. — Т. 8, № 4. — С. 45-54.

16. Замышляева, А. А. Об одном уравнении соболевского типа на графе / А. А. Замышляева // Вестн. ЮУрГУ. Сер. Мат. моделирование и программирование. — 2008. — № 27 (127). — С. 45-49.

17. Трибель, Х. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы / Х. Трибель. — М. : Мир, 1980.