CC BY
21
Серия «Математика»
2010. Т. 3, № 2. С. 18-29
Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia
УДК 517.9
Начально-конечная задача
для уравнения Буссинеска-Лява на графе
А. А. Замышляева
Южно-Уральский государственный университет
А. В. Юзеева
Магнитогорский государственный университет
Аннотация. Рассматривается начально-конечная задача для уравнения Буссинеска-Лява на графе, моделирующего продольные колебания балки. Проводится редукция к абстрактной начально-конечной задаче для уравнения соболевского типа второго порядка. Получены теоремы об однозначной разрешимости исходной и абстрактной задач.
Ключевые слова: уравнения соболевского типа, фазовое пространство, М^-функ-ции, дифференциальные уравнения на графах, начально-конечная задача, дифференциальные уравнения на графах.
В последнее время теория графов привлекает все более пристальное внимание специалистов различных областей знания. Давно известны тесные контакты теории графов с топологией, теорией групп и теорией вероятностей. За последние годы тематика теории графов стала еще более разнообразной. Краевые и начально-краевые задачи для уравнений на графах начали изучать в конце прошлого века практически одновременно в разных регионах нашей планеты. Здесь можно отметить работы S. Kosugu, C. Cattaneo, G. Medolla, A. G. Setti, F. Barra. Независимо от этих авторов и впервые в России краевыми и начально-краевыми задачами для уравнений на графах начал заниматься Ю. В. Покорный [5] со своими учениками. Здесь изучены качественные свойства дифференциальных уравнений на многообразиях типа сети, функция Грина, дифференциальные неравенства, излагается теория эллиптических уравнений на ветвящихся многообразиях.
Введение
Г. А. Свиридюк [6] рассмотрел начально-краевую задачу для полулинейного уравнения соболевского типа первого порядка на графе, эти результаты были развиты в [7]. Мы будем использовать теорию и методы, разработанные в [9], хорошо проявившие себя в [1, 2, 3, 4].
Данная работа посвящена изучению уравнения Буссинеска-Лява [8]
(Л — Д)и« = а(Д — \')щ + в (А — Л'' )и, (0.1)
описывающего продольные колебания упругого стержня, где параметры Л, Л', Л" € М, а > 0, в > 0 характеризуют среду, причем отрицательные значения параметра Л не противоречат физическому смыслу. Пусть С = С(У; Е) - конечный связный ориентированный граф, где V = {У*}
- множество вершин, а Е = {Е^} - множество дуг. Мы предполагаем, что каждая дуга имеет длину > 0 и толщину (1^ > 0. На графе С рассмотрим уравнения
ЛизИ и]ххЫ = а(и]ххЬ Л ujt)+ в(ujxx Л и]) для всех х € (0, ^ Ь € М.
(0.2)
Для уравнений (0.2) в каждой вершине У зададим краевые условия
^ ' djujx(0,t) ^ ~ Лкukx(1k, — 0; (0-3)
Е^&Еа(У.;,) ЕкеЕ^ (М)
ив(0, ^) = (0, ^) = ик (1к, ^) = um(1m, ^,
для всех Es, Ej € Еа(У), Ек, Ет € Еш(У*), (0.4)
которые являются аналогами законов Кирхгоффа. Здесь через Еа(ш') (У*) обозначено множество дуг с началом (концом) в вершине У*. Условие (0.3) означает, что поток через каждую вершину должен равняться нулю, а условие (0.4) - что решение в каждой вершине должно быть непрерывным. В частном случае, когда граф С состоит из единственной нециклической дуги, условие (0.4) исчезает, а условие (0.3) превращается в однородное условие Неймана.
Поток пропорционален ширине дуги и градиенту решения. Однако не это является главной причиной введения в рассмотрение ширины дуги. Оказывается, конечномерное уравнение (0.1), заданное в трубчатой области, можно свести одномерному (0.2), где X - натуральный параметр дуги Ej. Поэтому задачу (0.2) - (0.4) можно рассматривать как задачу Неймана для уравнения (0.1), заданного на области, являющейся объединением конечного множества трубчатых областей с диаметром dj.
Термин «начально-конечная задача» появился совсем недавно, и отражает тот факт, что при постановке такой задачи для уравнения (0.1) часть данных задается в начале временного промежутка [0,Т], а другая часть — в конце. Первоначально такая задача называлась «задачей сопряжения» или «задачей Веригина» и рассматривалась как обобщение
задачи с данными на свободной поверхности. Именно в таком контексте была построена теория таких задач для линейных уравнений соболевского типа первого порядка и разработаны приложения этой теории [1].
В статье кроме Введения и Списка литературы содержится четыре параграфа. В п.1 приведены основные результаты теории операторных вырожденных Ы,И-функций [2]. В п.2, следуя [1], изучается абстрактная начально-конечная задача. П.3 посвящен постановке и исследованию задачи (0.2)—(0.4) с начально-конечными условиями.
1. Вырожденные Ы,И-функции
Пусть Я и © - банаховы пространства, операторы А,В1,В0 Є £(Я; ©). Обозначим через В пучок операторов (Ві,Во).
Определение 1. Множества рА(В) = {у Є С : (у2А — уВ1 — В0)-1 Є С(©;Я)} и аА(В) = С\рА(В) будем называть А-резольвентным множеством и А-спектром пучка В.
Заметим, что множество рА(В) всегда открыто, поэтому А-спектр аА(В) пучка (В) всегда замкнут.
Определение 2. Оператор-функцию ЯА(В) = (у2А — уВ1 — В0)-1 с областью определения рА(В) будем называть А-резольвентой пучка
В.
А-резольвента пучка В всегда аналитична в своей области определения.
Определение 3. Пучок операторов В называется полиномиально ограниченным относительно оператора А (или просто полиномиально А-ограниченным), если
За Є М+ Уу Є С (|у| > а) ^ (Я^(В) Є £(©;Я)).
Если существует оператор А-1 Є £(©;Я), то пучок В полиномиаль-
1
но А-ограничен. Если кег Ар|( р| кегВк) = {0}, то пучок В не будет
к=0
полиномиально А-ограниченным.
Зафиксируем 7 = {у Є С : |у| = г > a} - контур, ограничивающий круг, содержащий аА (В). Введем и обсудим одно важное в дальнейшем условие. Если пучок В полиномиально А-ограничен, то можно потребовать, что
I яА(В)йу = О. (А)
і
Это условие, впервые введенное в [2], оказалось ключевым при рассмотрении уравнений соболевского типа высокого порядка. Заметим, что если существует оператор А-1 € £(0;И), то условие (А) выполняется; а если оператор А = О и существует оператор В-1 € £(0;И), то нет.
Пусть пучок В полиномиально А-ограничен и выполнено (А). Тогда имеют смысл следующие операторы как интегралы от аналитических оператор-функций:
Р = 2“ / ^А(В)м^ Я = / ^АвА(В)г1^
1 1
Лемма 1. Пусть пучок В полиномиально А-ограничен и выполнено условие (А).Тогда операторы Р € £(0) и € £(0) — проекторы.
Положим И0 = кег Р, 00 = кег Q, И1 = т Р, 01 = т Q. Из леммы следует, что И = И0фИ1, 0 = 00Ф01. Через Ак (В^) обозначим сужение оператора А (В^) на Ик, к,1 = 0,1.
Теорема 1. Пусть пучок В полиномиально А-ограничен и выполнено условие (А).Тогда действия операторов расщепляются:
(г) Ак € £(Ик; 0к), к = 0,1;
(И) Вк € £(Ик; 0к), к, I = 0,1;
(ггг) существует оператор (А1)-1 € £(01;И1);
(гу) существует оператор (В°)-1 € £(00;И0);
Теперь рассмотрим полное уравнение соболевского типа второго порядка
Аи = В1й + В0и. (1.1)
Вектор-функцию и € С2(М; И) назовем решением уравнения (1.1), если оно обращает (1.1) в тождество. Решение и = и(г) уравнения (1.1)
называется решением задачи Кошу,
и(0) = и1,и(0) = и0, (1.2)
если оно удовлетворяет (1.2).
Определение 4. Оператор-функцию и• € С^(М; £(0)) будем называть пропагатором уравнения (1.1), если для любого и € И вектор-функция и(г) = и1 и будет решением этого уравнения.
Рассмотрим семейства операторов
и\ = 2~/я£(В)АвГ*<1р,г € М,
1
Щ = 2~ / К (В )(М - В1 )в^гйу, г € м.
1
Как показано в [2], оба эти семейства являются пропагаторами уравнения (1.1). Причем если контур 7 С рА(В) и ограничивает область Г, такую, что аЛ(В) П Г = 0, то в силу теоремы Коши и\ = и0 = О при всех г € М, и утверждение очевидно.
Определение 5. Семейства М*,М* : М ^ £(И) называются семейством вырожденных М,Ы-функций уравнения (1.1), если (г) М• и N• — пропагаторы уравнения (1.1);
(гг) N0 = М0 = О; NV0 = М0 = Р.
Лемма 2. Пусть пучок В полиномиально А-ограничен, выполнено условие (А). Тогда существует единственное семейство вырожденных М, N-функций уравнения (1.1), причем N = и\, М1 = и^.
Теорема 2. Пусть выполнены условия предыдущей леммы. Тогда при любых ик € И1, к = 0,1, существует единственное решение задачи
(1.1), (1.2), представимое в виде: и(г) = N^1 + Мги0.
2. Абстрактная начально-конечная задача
Пусть И и 0 - банаховы пространства, операторы А,В1,В0 € £(И; 0). Рассмотрим полное уравнение соболевского типа второго порядка
Аи = В1г^ + В0и, (2.1)
Если пучок В = (В1,В0) полиномиально А-ограничен и выполнено условие (А), то как следует из леммы 2 существует единственное семейство вырожденных М^-функций уравнения (2.1), гарантирующих однозначную разрешимость задачи (2.1), (1.2). Пусть выполнено следующее условие:
А-спектр пучка В аЛ(В) = аА(В) и &А(В), причем
ак(В) = 0, к = 0,1; и существует контур 70 С С, („)
ограничивающий область Г0 С С такую, что
Г0 П еЛ(В) = аЛФ), Г0 П оЛ(В) = 0.
Тогда существует следующий оператор:
Р0 = 2Пг1 ^(В)АЛу € £(И).
70
Потребуем выполнение еще одного условия
I' КЛ(В)ф = О. (А0)
70
Аналогично лемме 1 можно получить следующее утверждение.
Лемма 3. Пусть пучок В полиномиально А-ограничен и выполнены условия (А), (В), (Ао). Тогда Ро - проектор, причем Р0Р = РР0 = Ро.
Построим оператор Рі = Р — Р0 Є £(Я). В силу лемм 1,3 оператор Рі
- проектор, причем РоРі = РіРо = О. Возьмем произвольные векторы и0, и0, иТ, иТ Є Я. Решение и = и(і) уравнения (2.1) назовем решением начально-конечной задачи для уравнения (2.1), если оно удовлетворяет следующим условиям:
Ро(и(0) — и0) = 0, Ро(и(0) — и0) = 0; (2 2)
Рі (и(Т) — иТ) = 0, Рі(и(Т) — иТ) = 0. ( )
Заметим, что если аА(В) = 0, то Рі = О и Ро = Р. Тогда задача
(2.2) для уравнения (2.1) превращается в задачу (1.1), (1.2).
Введем в рассмотрение следующие семейства операторов:
N0 = / Ем (В)АеГ*<1р,г Є М,
2пг з
70
М = 2- ІПМ (В )(уА — В і )е^<1у, і Є М.
70
Оба семейства хоть и не являются семейством вырожденных М, N -функций в смысле определения 5 (так как не удовлетворяют условию (іі)), но тем не менее обладают рядом полезных свойств.
Лемма 4. Пусть пучок В полиномиально А-ограничен и выполнены условия (В), (Ао). Тогда
(і) Мо и ^ - пропагаторы уравнения (2.1);
(и)№ = м0 = о, N0 = м00 = Ро.
Далее, возьмем произвольное число Т Є М и построим следующие семейства операторов N = №-Т — №-Т, М\ = Мь-Т — М^~Т.
Лемма 5. Пусть пучок В полиномиально А-ограничен и выполнены условия (А), (В), (Ао). Тогда
(і)Мі иN1 - пропагаторы уравнения (2.1);
(ііN = мТ = О, ыТ = МТ = Рі.
Теорема 3. Пусть выполнены условия предыдущей леммы. Тогда для любых Т Є М, и°к,иТ Є Я, к = 0,1, существует единственное решение и = и(і) задачи (2.1), (2.2), которое к тому же имеет следующий вид:
и(і) = ^и° + N\иТ + Мо*и0 + М\иТ. (2.3)
Заметим, что если Т = 0, то задача (2.2) превращается в задачу (1.2).
3. Редукция к абстрактной задаче
Проведем редукцию задачи (0.3),(0.4) для уравнений (0.2) к линейному уравнению соболевского типа второго порядка
Множество Ь2 (О) является гильбертовым пространством со скалярным произведением
Через Я обозначим множество Я = {и = (ии2,и^,...) : и^ (0, ^)
и выполнено условие (0.4)}. Множество Я является банаховым пространством с нормой
В силу теорем вложения Соболева пространство Ш%(0,1]) состоит из абсолютно непрерывных функций, а значит Я корректно определено, плотно и компактно вложено в Ь2(О). Отождествим Ь2(О) со своим сопряженным, и через © обозначим сопряженное относительно двойственности < ■, ■ > пространство к Я. Очевидно, © - банахово пространство, причем вложение Я в © компактно.
Формулой
где а > 0,и,ь Є Я, зададим оператор, определенный на пространстве Я. Поскольку
Ли!1 = В\и! + В0и Через Ь2(О) обозначим множество
Ь2(О) = {д = (д 1,д2,...,д^,...) :. д^ € Ь2(0,1^)}.
(3.1)
Ез0
С2 |ІиІіЯ << Du, V > \< СзІМіЯ
(3.2)
при всех и^ Є Я и некоторых Ск > 0, к = 1, 2, 3, то линейный оператор В : Я ^ © непрерывен и инъективен. Кроме того, из первой оценки
(3.2) вытекает сюръективность сопряженного оператора В* : ©* ^ Я*. В силу рефлексивности пространства Я и самосопряженности оператора В получаем, что оператор В Є £(Я; ©) биективен. Отсюда по теореме Банаха следует существование оператора В-1 Є £(©;Я). Поскольку вложение Я в © компактно, то оператор В-1 Є £(©) является компактным. Значит, спектр оператора В вещественен, дискретен, конечнократен и сгущается только к +го. Теперь фиксируем а, в > 0 и Л, Л', Л'' Є М и построим операторы
А = (Л - а)І + В, Ві = а((а - Л')І + В), Во = в((а - Л')І + В).
Из сказанного следует
Теорема 4. Операторы А, В1, Во Є £(Я; ©), причем спектр а(А) оператора А вещественен, дискретен, конечнократен и сгущается только к +го.
Итак, редукция задачи (0.2)-(0.4) к уравнению (3.1) закончена.
Из теоремы 4 вытекает, что оператор А - фредгольмов, причем кегА = {0}, если 0 Є о'(А).
Лемма 6. Пусть выполнено одно из следующих условий:
(г) 0 Є *(А);
(іі) (0 Є а(А)) Л (Л = Л');
(ггг) (0 є &(А)) л (л = Л') л (Л = Л").
Тогда при любых а, в Є М\ {0} пучок В = (В1,В2) полиномиально А-ограничен.
Доказательство. (і) Пусть 0 Є ^(А), тогда существует оператор А-1 Є
£(©;Я), причем операторы А-1В1, А-1В0 Є £(Я) по построению. Утвер-
ждение леммы очевидно.
Пусть 0 Є 0"(А). Тогда любой вектор ф Є кегА \ {0} имеет вид
і і
ф = 53 акфк, ак Є М.53\ак\ > 0, к=1 к=1
где кегА = враи{ф0, ...,фі}, I = йіткегА.
(іі) Пусть Л = Л . Тогда
іі В1ф = В1(£ ак фк) = а(Л - Л )^2 ак фк Є ітА. к=1 к=1
Значит, ни один собственный вектор оператора А не имеет относительно присоединенных векторов.
(ііі) Если 0 Є а (А) и Л = Л', но Л = Л'', то
іі Воф = Во(£ ак фк )= в(Л - Л' ')£ ак фк Є ітА. к=1 к=1
Следовательно, и в этом случае ни один собственный вектор оператора А не имеет относительно присоединенных векторов высоты 1. Утверждение леммы имеет место в силу фредгольмовости оператора А [2].
□
Пусть {Лк} — собственные значения оператора В, занумерованные по неубыванию с учетом их кратности, а {<^к} - соответствующие им ортонормированные в смысле Ь2(С) функции.
Замечание 1. Очевидно, что аА(В) = {у^2 : к Є М}, а у1’2 — корни уравнения
(Л - (а + Лк))у2 + а(Л' - (а + Лк))у + в(Л' - (а + Лк)) = °-
Тогда в зависимости от ситуации:
(і) аА(В)= __________________________________________________
12 а(Лк - Л' + а) і \/а2(Л'-а- Лк)2 -4в(Л-а Лк)(Л''-а Лк)
^к 2(Л - а - Лк)
(ii) аА (В) = "
Iу1’2: к є м\ {і:Л=Лі}} и {уі=а((Л'-ла -+ла): л=Лі+^ •
(iii) аА(В) = {ук’2 : к Є М\ {I : Л = Лі}} .
Замечание 2. Как нетрудно видеть, в случае 0 Є а(А) и Л = Л' = Л'' пучок операторов В не будет полиномиально А-ограничен.
Замечание 3. В случаях (і) и (ііі) имеет место выполнение условия
!А - уВ1 - В0)-1йу = 0, (А)
где 7 = {\у\ = г > а}, а — константа из определения полиномиальной А-ограниченности, и можно построить семейство Ы,И-функций уравнения (3.1)
М(і) = 7-^ /(у2А - уВ1 - В0)-1(уА - В^е^'йу =
2пі ]
Е'
у1 (Л - (а + Лк)) + а(Л' - (а + Лк)) „і і. (Л - (а + Лк))(ук - ук) +
< •, фк > фк;
+ у2к(Л - (а + Лк)) + а(Л' - (а + Лк)) і
+ (Л - (а + Лк))(ук - у1)
N(£) = -—т [(у А — уБ\ — Б0) Ае^ (1у =
2пг .]
1
/ е^к1 — е^кЬ
(Рк— Рк) < '
Здесь штрих у знака суммы означает отсутствие слагаемых с номерами к такими, что Л = а + Хк.
В случае (л)
J (р2А — ц,Б\ — Б0)—1йу = 0,
1
поэтому он исключается из дальнейших рассмотрений.
Для постановки начально-конечной задачи необходимы проекторы Р и Р0. Построим проектор
I, если выполнено (1);
Р I — (• ,фк) фк, если выполнено (ш).
Лк=Л—а
Для построения проектора Р0 выберем область Г0 С С, содержащую конечное множество точек А-спектра ^(Б) = |ук’2} и такую, что дГ0р| оА(Б) = 0. Как нетрудно видеть, область Г0 можно выбрать такой, что дГ = 70 - контур. Построим проектор
Ро = £(• ,фк) фк.
Здесь {Л\} = {Лк € а(Б) : ук’2 € &о(Б), Лк = Л — а} .
Замечание 4. В случаях (1) и (ш) имеет место выполнение условия
2 А - уВ1 - Во) dу = 0 (Ао)
70
Теперь у нас все готово для постановки и изучения начально-конечной задачи для уравнения (3.1). Выберем произвольно векторы ик, иТ Є Я, к = 0,1. Рассмотрим задачу
Ро(и(0) - и1) = 0, Ро(и(0) - и0) = 0; (3 3)
Р1(и(Т) - иТ) = 0, Р1(и(т) - иТ) = 0 (3.3)
Здесь Р1 = Р - Ро.
По рецептам п.2 построим вырожденные М0, ^-функции. Для этого введем в рассмотрение множество индексов К элементов множества {Лк}. Тогда
^ е^к1 — е^кк М0 = 1 _ п2 ( • ,^к) фк,
к€К Рк рк
^ (рк(Л — Лк) + а(Л — Лк)
0 = м (Л — Лк )(Р — рк) +
=
к€К
, р2(Л — Лк)+ а(Л' — Лк) »2^ _
+ -(Л-Ш4-Р^Ге ‘ |( • ^)%.
Теперь в силу теоремы 3, леммы 6 и замечаний 3,4 имеет место
Теорема 5. При любых а, в € М\ {0} и Л € М таком, что выполнено условие либо (г), либо(ггг) леммы 6, и любых Т € М+,ик, ит €
и, к = 0, —, существует единственное решение задачи (3.3) для уравнения (0.2) с условиями (0.3),(0.4).
В заключение авторы считают своим приятным долгом выразить свою искреннюю благодарность профессору Г. А. Свиридюку за постановку задачи и поддержку в работе.
Список литературы
1. Загребина, С. А. О задаче Шоуолтера-Сидорова / С. А. Загребина // Изв. вузов. Математика. - 2007. - № 3. - С. 22-28.
2. Замышляева, А. А. Фазовые пространства одного класса линейных уравнений соболевского типа второго порядка / А. А. Замышляева // Вычислит. технологии. - 2003. - Т. 8, №4. - С. 45-54.
3. Келлер, А. В. Численное решение задачи стартового управления для системы уравнений леонтьевского типа / А. В. Келлер // Обозрение приклад. и пром. математики. - М., 2009. - Т. 16, вып. 2. - С. 345-346.
4. Манакова, Н.А. Задача оптимального управления для уравнения Осколкова нелинейной фильтрации / Н. А. Манакова // Дифференц. уравнения. - 2007. - Т. 43, № 9. - С. 1185 - 1192.
5. Покорный, Ю.В. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин, В.Л. Прядиев. - М: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
6. Свиридюк, Г.А. Уравнения соболевского типа на графах / Г.А. Свиридюк // Неклассические уравнения математической физики. - Новосибирск, 2002. -С. 221 - 225.
7. Свиридюк, Г.А. Фазовое пространство одной неклассической модели / Г.А. Свиридюк, В.В. Шеметова // Изв. вузов. Математика. - 2005. - № 11. -С. 47 - 52.
8. Уизем, Дж. Линейные и нелинейные волны / Дж. Уизем. - М.: Мир, 1977.
9. Sviridyuk, G. A. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators / G. A. Sviridyuk, V. E. Fedorov. - Utrecht; Boston; Koln; Tokyo: VSP, 2003.
A. A. Zamyshlyaeva, A.V. Yuzeeva
The initial-finish value problem for the Boussinesque-Love equation defined on graph
Abstract. We investigate the initial-finish value problem for the Boussinesqe-Love equation defined on graph by reducing it to the initial-finish value problem for the Sobolev type equation of the second order. We obtain theorems about the unique solvability of such problems.
Keywords: the Sobolev type equations, the phase space, the M,N-functions, the differential equations defined on graphs,the initial-finish value problem
Замышляева Алена Александровна, кандидат физико-математических наук, доцент, Южно-Уральский государственный университет, 454080, Челябинск, пр. Ленина, 76, тел.: (351)2679339 ([email protected])
Юзеева Алевтина Васильевна, Магнитогорский государственный университет
Zamyshlyaeva Alyona, professor, South Ural State University, 76, Lenin prospekt, Chelyabinsk, 454080 Phone: (351)2679339 ([email protected])
Yuzeeva Alevtina, Magnitogorsk State University
