Исследование линеаризованной системы уравнений Буссинеска методами теории вырожденных полугрупп Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИССЛЕДОВАНИЕ ЛИНЕАРИЗОВАННОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ БУССИНЕСКА МЕТОДАМИ ТЕОРИИ ВЫРОЖДЕННЫХ ПОЛУГРУПП1

Начально-краевая задача для линеаризованной системы уравнений Буссинеска редуцирована к задаче Коши для уравнения соболевского типа с сильно (Ь, 0)-секториальным оператором.

Ключевые слова: система уравнений Буссинеска, уравнение соболевского типа, сек-ториальный оператор, аналитическая полугруппа операторов.

Введение

При моделировании различных процессов в естественных и технических науках, например, в теории атмосферных вихрей, теории вихревых промышленных аппаратов, в магнитной гидродинамике [1; 2], возникает необходимость в исследовании разрешимости так называемой системы уравнений Буссинеска

дг(х Ь) + . у)г = ^Дг(ж, Ь) — г(х, Ь) — ав(х, Ь)е3 + v(x, Ь), (х, Ь) £ П х (0, Т),

дЬ

V- г = 0, (х,Ь) € П х (0,Т),

^дЬЬ) + (г " V)^ = вДв(х, Ь) + г3(х, Ь) + гш(х, Ь), (х, Ь) £ П х (0, Т).

Здесь П С К3 — ограниченная область с границей дП класса С, а £ К, V, в £ К+, г = (^1,^2,г3) — вектор скорости, г — градиент динамического давления, в - относительное возмущение температуры, е3 = (0, 0,1), V = (^1,^2,г>3) и ,ш — заданные внешние воздействия. Неизвестными функциями являются г = (г1,г2,г3), г = (г1, г2, г3) и в.

В представленной работе показано, что пара операторов, задающая линейную часть этой системы, порождает аналитическую полугруппу операторов с ядрами [3; 4]. Это позволяет найти условия существования и единственности решения начально-краевой задачи для линеаризованной системы уравнений Бусси-неска. Кроме того, проведенная здесь классификация операторов линеаризованной системы позволит в перспективе исследовать нелинейную систему уравнений Буссинеска с использованием методов теории полугрупп операторов.

1. Относительно р-секториальные операторы

В данном параграфе представлены результаты, доказанные в работе [3]. Пусть X, У — гильбертовы пространства, оператор Ь £ £(Х; У) (т. е. линейный

1Работа поддержана грантом РФФИ (код проекта 07-01-96030-р_урал_а), а также грантом Правительства Челябинской области для молодых ученых.

и непрерывный, действует из X в У), кег Ь = {0}, М £ С/(X; У) (линеен и замкнут, плотно определен в X, действует в У). Введем необходимые в дальнейшем обозначения: Нк(0,Т; X) = Нк(X), к £ Н0 = {0} и Н, Н0^) = Ь2^),

р?(М) = {ы £ С : (ыЬ — М)-1 £ £(У; X)},

я^м) = П (ыкЬ — м)-1ь, ь^м) = п Ь(ыкь — м)-1, к=0 к=0

X0 = кег Я?- )(М), У0 = кег Ь? (М),

(м)Ч"'- у ~ ц(,.р)'

Х ‘ — і«<„,„)(М), У1 =іші‘„„)(М),

, мк - м

Хк

(,.р) 1 ^ (,.р)

, ^шМк — doшM П Xк, к — 0,1.

ёошМк

Оператор М называется сильно (І,р)-секториальным справа и слева, р Є N0, если:

1) За Є К 30 Є (п/2,п)

^(м) — Є с : 1 аг§(^ - а)| < 0> ^ — а1 С р (м);

к Є ^ (

2) ЗК > 0 Ур.к Є $^0(М), к — 0,р

ґ 'ї -К”

ШаХ | 11^(,.Р)(М)^£(Х) ’ ||і(,.Р)(М)|І£(У)} — ~Р

■)

П |ык— а|

к=0

3) для всех х £ ёошМ, А,Ыо,Ыъ • • • ,ЫР £ 5^(М)

ЦЛ^ДМ)(АЬ — м)-‘МхИх <--------------c^nгtСx^-----;

|А — а| П |Ык — а|

к=0

О о

4) существует плотный в У линеал У такой, что при любых у £У,

А,Ы0,Ы1, • • • ,Ыр £ (М)

ИМ(АЬ — М}-1Ь£,,р)(М)уИу < С0П8‘(у)

Р

|Л — а| П ^ — а| к=0

Замечание 1. Можно ввести в рассмотрение понятия сильно (Ь,р)-секториального справа и сильно (Ь,р)-секториального слева операторов, каждое из которых в отдельности имеет определенный смысл (см. [3; 4]), но в данной работе это не понадобится.

Теорема 1. Пусть оператор М сильно (І,р)-секториален справа и слева. Тогда справедливы следующие утверждения:

I. X — X0 ®Х1, У — у0 0 у

II. Ьк Є £(Хк; ук), Мк Є С/(Xк; Ук), к — 0,1.

III. Существуют операторы М—1 Є £(У°; X0), І-1 Є С/(УX:).

IV. Оператор С — М0“1Ь0 Є 0) нильпотентен степени не больше р.

V. Существует аналитическая в секторе полугруппа (X* Є ) : і > 0} однородного уравнения ЬХ(і) — Мх(і).

VI. Инфинитезимальным генератором аналитической полугруппы (X* Є

1)

: і > 0} является оператор Ь- 1М1 Є С/(X1).

Здесь X* — сужение оператора X* на X1. Проектор вдоль X0 на X1 обозначим через Р, а вдоль У0 на У1 — через д.

При заданной функции у : (0,Т) ^ У рассмотрим задачу Коши

х(0) — Х0 (1)

и обобщенную задачу Шоуолтера

Рх(0) — х0 (2)

для уравнения

ЬХ(і) — Мх(і) + у(і), і Є (0,Т). (3)

Функцию х Є Н1 (X) назовем сильным решением задачи (1), (3) ((2), (3)), если она удовлетворяет условию (1) ((2)) и почти всюду на (0,Т) — уравнению (3). Существование и единственность сильного решения задач (1), (3) и (2), (3) доказаны в [4; 5].

Теорема 2. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-секториален справа и слева, у Є НР+1(У), ду : (0,Т) ^ ішЬ1,

х0 £ = {х £ ^шМ0-+1ш(ыЬ1 — М1) 1Ь1 :

(I — Р)х = — £ СтМ-1(/ — ^у™ (0)1 •

т=0 J

Тогда существует единственное сильное решение задачи (1), (3).

Теорема 3. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-секториален справа и слева, у £ НР+1(У), ^у : (0,Т) ^ тЬ1; х0 £ 1ш(^Ь1 — М1)-1Ь1^ Тогда существует единственное сильное решение задачи (2), (3).

2. Редукция линеаризованной системы уравнений Буссинеска

Рассмотрим начально-краевую задачу

г(з, 0) = г0(з), г(з, 0) = г0(з), в(з, 0) = в0(з), 5 £ П, (4)

г(з,Ь) = 0, в(з,Ь) = 0, (з,Ь) £ дП х (0,Т), (5)

для линеаризованной в нуле системы уравнений Буссинеска

дг(з, Ь)

— ^Дг(з,і) — г(з,і) — а0(з,і)е3 + ^(з,і), (в,і) Є П х (0,Т), (6)

V- г = 0, (5,Ь) £ П х (0,Т), (7)

—дъ ) = вД0(в,Ь) + г3(в,Ь) + эд(в,Ь), (в,Ь) £ П х (0,Т)• (8)

Здесь П С К3 - ограниченная область с границей дП класса Сте, а £ К, V, в £ К+, г = (г1,г2,г3) - вектор скорости, г - градиент динамического давления, е3 = (0, 0,1), V = (^1,^2,^з), - заданные внешние воздействия. Неизвестными

функциями являются г = (г1, г2, г3), г = (г1, г2, г3) и 0.

Обозначим Ь2 = (Ь2(П))3, £ = {V £ (С0°(П))3 : V ■ V = 0}. Замыкание линеала £ по норме пространства Ь2 обозначим через Н2. Существует представление Ь2 = Н2 ® Нп, где Нп - ортогональное дополнение к Н2 в смысле скалярного произведения (■, ■) пространства Ь2. Обозначим через П : Ь2 ^ Нп ассоциированный с этим представлением ортопроектор, Е = I — П. Также нам понадобятся пространства Н1 = (Н 1(П))3, Н - замыкание (С^(П))3 в норме Н1, Н2 - замыкание С в норме Н1, Н2 = (Н2(П))3, Н = Н П Н2, Н2 = Н2 П Н2, Н^ - ортогональное дополнение к Н2 в пространстве Н^.

Условие (5) и уравнение (7) означают, что можно ограничиться поиском вектор-функции г, при каждом Ь > 0 принадлежащей подпространству Н2. Обозначим Н^П) - замыкание С^(П) в норме Н 1(П), Н^П) = Н(П) П Н2(П). Очевидны следующие утверждения.

Лемма 1. Формулой С : и ^ (0,0,аи) задается линейный непpеpывный опеpа-

тоР С : Н(2(П) ^ Н2; ИС И£(Я2(П);И2) = |а|; ||С 11 £(Я0 (П);Ь2) = |а|.

Лемма 2. Фоpмулой О : (и1,и2,и3) ^ и3 задается линейный непpеpывный

опеpатоp О : Н2 ^ Н2(П), ||ОИ^(и2н(п)) = 1, ||ОИ^(и2^(п)) = 1.

Лемма 3 [6, 7]. Фоpмулой А = VЕД задается линейный замкнутый опеpатоp А : Н2 ^ Н2, определенный на Н2, с дис^етным конечно^атным спектpом, сгущающимся лишь на —ж.

Лемма 4. Фоpмулой В = вД задается линейный замкнутый опеpатоp В : Ь2(П) ^ Ь2(П), определенный на Н2(П), с дис^етным конечно^атным спек-тpом а(В), сгущающимся лишь на — ж.

Положим X = Н2 х Нп х Ь2(П), У = Н2 х Нп х Ь2(П). В этих пространствах линеаризованную систему уравнений Буссинеска можно задать в виде (3) с помощью операторов

/ I 0 0 \ /А 0 —ЕС \

Ь = I 0 0 0 I ; У), М = I VПД —I —ПС I £ ; У),

\0 0 I ) \ О 0 В )

где doшM = Н2 х Нп х Н2(П),

( Е<,Ь) \ у(Ь) = I П<,Ь) I V ^(-,Ь) )

3. Разрешимость задачи Коши для линеаризованной системы уравнений Буссинеска

Теорема 4. В условиях предыдущего параграфа оператор М сильно (і, 0)-секториален справа и слева.

Доказательство. Имеем

/м - А 0 ЕС мЬ — М = I — ^ПД I ПС у — Б 0 м — В >

Введем обозначения

Т, = I + (м — В )-1Б(м — А)-1ЕС, V, = (м — А)-1 ЕСТ-1(^ — В)-1, Я, = ПСТ“1(^ — В)-1,

тогда

(I — — А)-1 0 —V,

(мі — М)-1 = I (—+ VПД(1 — — А)-1 I —Я, — VПДУ„

\ ^ / / \/ / /-*- I

Т-1(м — В)-1Б(м — А)-1 0 Т-1(м — В)-1/

(I — У,Б)(м — А)-1 0 —V,

(мі — М)-1Ь = | (—+ VПД(1 — У,Б))(м — А)-1 0 —Я, — VПДУ,

Т,-1(м — В )-1Б(м — А)-1 0 Т-1(м — В)-1

/ (I — У,Б)(м — А)-1 0 —V,

Ь(мЬ — М )-1 = | 0 0 0

\Т-1(м — В)-1 Б(м — А)-1 0 Т-1(м — В)-1

Пусть } - семейство ортонормированных в смысле Ь2(П) собственных функций оператора В, занумерованных по невозрастанию собственных значений {Пк} с учетом их кратности. Поскольку все < 0, то для фиксированного 0 Є (п/2,п) при | аі^м| < 0, V Є Н2(П) имеем

"(М —ВГ Ч|«2<П> = (1+,'Й ТікТ2 - |м|2 ЙП2 0 Я2 = |М|І ^

Отсюда

Для тех же м и для V Є Ь2 (П)

и ( В)-1 и 2 | -2) ^ )|2 ^ , -2) ^ |(^^)|2

"(м — В) ^Ія?(п> - (1 + Пі ) 2_,і--------2 - (1 + Пі )2^й-------------

"(м — В) 1|£(Ь2(П>;Я2(П>> - Л//~-П^01

2 ' |1 — СО8 0вів|^

2

Аналогично получим для всех м из прежнего сектора S0,© неравенства

И(М - -B)-1lkL,(fi)) < , Л(^ - A)-1Bl(hj) < ,

x-Hi /Sin-10 w 0 + Л-2

«(м — A) ||l(Hct) < ------------------------------------------------л-’ «(м — A) «L(HCT;H2) <

sin e

где Л1 - наибольшее собственное значение оператора A.

Сдвинем вершину сектора S0,© от точки 0 в точку а = \/2|а| sin-2 0, чтобы точки нового сектора Sa>© удовлетворяли неравенству |м| > у/2|а| sin-1 0. Тогда при всех м G Sa>© будут выполняться также неравенства

||(^ - B)-1D(^ - A)-1EC|к(ЫП„ < |а| Sin^ 0 < 2.

Раскладывая T-1 в ряд Неймана, получим ||Т“1|^(ь2(п)) < 2, отсюда

и^п /||т,ц / 2М^ + Л-2 sin-2 0

II v ||L(L2(n);HCT) < || v ||L(L2(n);H|) < ---Г",--------->

іі^ДМ — A) «£(ИСТ) < ||^(М — A) «£(ист;И|) <

2|а|\/ 1 + Л- 2 sin 3 в

11^^(м — A) IIl(h|) <

2|а|\/1 + Л- 2 sin 3 в

11^ (м — В) «L(L2(n)) <

ІМІ2 2 sin-1 в

«Т/-1(м — В) 1^(м — A) 1 «£(И2 ;L2(n)) ^l^-1^ — В) 1^(м — A) 1 «L(HCT;L2(n)) <

2sin-2 в 2|а| sin-1 в

< ----Г"72— > IIsm «£(І2(П);Ип ) < --------------------гп->

||5^(м — A) 1yL(H2 ;Нп ) < «^^(м — A) 1yL(HCT ;Hn) <

2|а| sin 2 в

ЙР ;

"^2 • -2 ,

«vnAVM «£(І2(П);Ип ) < V llAVM «L(L2(n);L2) < cllVM |і£(І2(П);Н2) < -1 ^ - - >

c sin 1 в

||vnA(M — A)-1«L(H2 ;Hn) < с|(м — A)-1«£(H2 ) < -------|^|--->

«vПAV^D(м — A)-1«L(H2 ;Hn) < llv — A)-1 ||l(Ho- ;Hn) <

іітл л\-1и ^ 2c|a| ^ 1 + Л-2 sin-3 в

с«^^(м — A) «L(HCT;H2) < ----------1^-------------•

Таким образом, найдется такая константа C1 > O, что для всех м Є Sa,0 выполняются неравенства «(мі — M)-1L||L(X) < щ, ||і(мі — M)-1||L(y) < Ci.

2

Покажем, что найдется такое к > 1, что для всех м G Sa>© верно неравенство С1|м|-1 < кС1|м - а|-1. Возьмем м = х + iy, тогда это неравенство равносильно следующим:

(х - а)2 + y2 < k2(x2 + y2); (к2 - 1)x2 + (к2 - 1)y2 + 2ах > а2;

2 2а 2 а2 а 2 2 к2а2

х + рттх +y > F-r; (х + F-Tj + y > (к2-1)2■

Последнее неравенство выполняется во внешности некоторого круга с центром в левой полуплоскости и малым радиусом при выборе достаточно большого к. Выбрав при таком к константу K = kC1, получим первые два неравенства из определения сильной (L, 0)-секториальности справа и слева. Третье и четвертое неравенства следуют из гильбертовости рассматриваемых пространств X, Y и полученных оценок на Л(^0)(М), Ь^0)(М) в силу следствия 7.2 из работы [3]. □

Лемма 5. В условиях параграфа

/ I 0 0 \ / I 0 0 \

P= I vПА 0 -ПС I , Q= I 0 0 0 I .

\ 0 0 I ) \0 0 I )

Доказательство. Сильно (L, 0)-секториальный справа и слева оператор является сильно (L, 0)-радиальным справа и слева, поэтому можно использовать формулы P = s- lim м(м^ - M)-1L, Q = s- lim mL(mL - M)-1 из [8]. Из доказательства предыдущей теоремы видно, что семейства операторов (м(м^-M)-1 L G L(X) : м > 1}, {mL(mL - M)-1 G L(Y) : М > 1} ограничены по норме. Более того, большинство их компонент по норме сходится к нулю. Рассмотрим только те, для которых это не выполняется или не очевидно.

Для семейства операторов {м^ G L(L2(Q);H) : м > 1}, как было доказано выше, имеет место равномерная ограниченность. Для v из плотного в L2(Q) множества H2(П) имеем

1- II v II / 2|а| sin-2 01М1я2(П) = 0

^liin^ |м^||l(L2(Q);H|) < ---------|м--------= 0.

Отсюда по теореме Банаха - Штейнгауза получим сильную сходимость м^^ к нулю при любом v G L2(Q). Аналогичные рассуждения проходят с семействами операторов ^v ПА Vi G L(L2(Q); ) : м > 1}.

Заметим, что lim ЦТ, - I||l(l2(q) = 0, IT-1 ||l(l2(q) < 2 при больших м.

Поэтому lim ||I - T_1|£(L2(n) < 2||ТМ - I||^(^2(п) = 0. Поэтому для любого v G

H 2(П)

11мТ-1(м - B)-1v - v|L2(Q) <

<|мТ-1(м - В) 1v - м(м - В) М|ь2(П) + |м(м - В) 1v - v|L2(Q)

< 1 - I|L(L2(Q)C|v|L2(n) + |м(м - В) 1v - v|L2(Q) ^ 0

при м ^ +ж. По теореме Банаха - Штейнгауза получим сильную сходимость операторов мТ/-1(м — В)-1 к тождественному на всем пространстве Ь2(П). Отсюда следует вид оператора ^.

Аналогично доказывается, что для любого V £ Ь2(П) выполняется Иш = ПСу.

Наконец, для V € ^шА2 при м ^

||м^ПД(м - А)-1 V - VПДиЦн*. < с11м(м - А)-^ - v|н2 ^ 0,

что завершает доказательство. □

Теорема 5. При любых V £ Н 1(Н^), ш £ Н 1(Ь2(П)); (го, го,0о) £ Му = |(г,г, 0) £ Н х Нп х Н2(П) : г - vПДz + ПС0 = 0} существует единственное сильное решение задачи (4)—(8).

Более естественной для линеаризованной системы уравнений Буссинеска выглядит задача с начальными условиями

г(з, 0) = го(з), 0(з,0) = 0о(з), 5 £ П, (9)

которая редуцируется к задаче Шоуолтера и поэтому может быть исследована при помощи теоремы 3.

Теорема 6. При любых V £ Н 1(И^), ш £ Н 1(Ь2(П)); г0 £ Н, 0о £ Н2(П) существует единственное сильное решение задачи (5)—(9).

Список литературы

1. Хенри, Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений /

Д. Хенри.— М. : Мир, 1985.

2. Юсупалиев, У. Тепловыделение как механизм самоподдержания закрученного потока в газе / У. Юсупалиев, А. К. Маслов, С. А. Шутеев // Приклад. физика. — 2000. — № 1. — С. 5—10.

3. Свиридюк, Г. А. О единицах аналитических полугрупп операторов с ядрами / Г. А. Свиридюк, В. Е. Федоров // Сиб. мат. журн. — 1998. — Т. 39, № 3. — С. 604—616.

4. Федоров, В. Е. Голоморфные разрешающие полугруппы уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах / В. Е. Федоров // Мат. сб. — 2004. — Т. 195, № 8. — С. 131—160.

5. Свиридюк, Г. А. Оптимальное управление линейными уравнениями типа Соболева с относительно p-секториальными операторами / Г. А. Свиридюк, А. А. Ефремов // Дифференц. уравнения. — 1995. — Т. 31, № 11. — С. 1912—1919.

6. Солонников В. А. Оценки тензоров Грина для некоторых граничных задач / В. А. Солонников // Докл. АН СССР. — 1960. — Т. 130, № 5. — С. 988—991.

7. Ворович И. И. Стационарные течения вязкой несжимаемой жидкости / И. И. Ворович, В. И. Юдович // Мат. сб. — 1961. — Т. 53, № 4. — С. 393—428.

8. Федоров, В. Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов /

В. Е. Федоров // Алгебра и анализ. — 2000. — Т. 12, вып. 3. — С. 173—200.