Голоморфные полугруппы операторов с сильным вырождением Текст научной статьи по специальности «Математика»

ГОЛОМОРФНЫЕ ПОЛУГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ С СИЛЬНЫМ ВЫРОЖДЕНИЕМ1

В работе построены сильно голоморфные разрешающие полугруппы уравнения соболевского типа Ьй(£) = Ми(<) в локально выпуклом пространстве, вырождающиеся на цепочках М-присоединенных векторов оператора Ь сколь угодно большой длины. Тем самым рассмотрен случай вырожденных полугрупп с более «широкими» ядрами, чем в случае (Ь,р)-секториального оператора М. Построен пример уравнения, обладающего разрешающей полугруппой с сильным вырождением.

Ключевые слова: полугруппа операторов, уравнение соболевского типа, локально выпуклое пространство.

Введение

Пусть Ы, Т — секвенциально полные локально выпуклые линейные топологические пространства, Ь : Ы ^ Т — линейный непрерывный оператор, М : ёошМ ^ Т — линейный замкнутый оператор с областью определения ёошМ С Ы, плотной в Ы (коротко, Ь € С(Ы; Т), М € С 1(Ы; Т)). Рассмотрим уравнение соболевского типа

Ьй(£) = Ми(£), £ € Е+. (1)

Известно, что в случае кег Ь = {0} при выполнении условий на операторы Ь, М, обобщающих условия Иосиды [1], существует вырожденная сильно голоморфная разрешающая полугруппа уравнения (1). Ядро этой полугруппы может совпадать с ядром оператора Ь (см. [2; 3] для случая банаховых пространств Ы, Т), а может содержать также цепочки М-присоединенных векторов, равномерно ограниченные по длине (см. [4; 5] для случая банаховых пространств, [6] — для случая локально выпуклых пространств). Рассматриваемое в работах [4 — 6] условие (Ь,р)-секториальности оператора влечет не только равномерную ограниченность цепочек, но и полиномиальную ограниченность относительно |^| нормы оператор-функции (^Ь — М)-1.

Цель настоящей работы — сформулировать условия на операторы Ь, М, достаточные для существования сильно голоморфной разрешающей полугруппы уравнения соболевского типа (1) и, в то же время, не влекущие равномерной ограниченности цепочек М-присоединенных векторов оператора Ь. Показано, что такие условия можно задать в виде ограничения на рост нормы оператор-функции (^Ь — М)-1 эспоненциальной функцией от дробной степени |^|. Построен пример пары операторов (Ь, М), удовлетворяющей таким условиям. При этом в рассмотренном примере оператор Ь имеет бесконечные цепочки М-присоединенных векторов.

1Работа поддержана грантом РФФИ (код проекта 07-01-96030-р_урал_а) и грантом Президента Российской Федерации для молодых российских ученых — докторов наук (код проекта МД-4312.2006.1).

Полученный результат является частичным обобщением теоремы о существовании голоморфной в плоскости разрешающей группы уравнения (1) в случае (Ь, а)-ограниченного оператора М, Ь-резольвента (^Ь — М)-1 которого имеет существенную особую точку в бесконечности [5; 7].

1. Существование голоморфных полугрупп

В этом параграфе при весьма неограничительных условиях на операторы Ь, М покажем существование нетривиальной разрешающей полугруппы уравнения (1).

Пусть Ы, Т — секвенциально полные локально выпуклые линейные топологические пространства, X — некоторое множество индексов. Обозначим через и (?) множество всех полунорм, непрерывных в топологии пространства Ы (Т). Будем говорить, что семейство операторов {Ф(х) € £(Ы; Т) : х € X} равностепенно непрерывно относительно значений параметра х, если для любой полунормы г € ? существует полунорма д € Я такая, что для всех х € X, и € Ы г(Ф(х)и) < д(и).

Для операторов Ь € £(Ы; Т), М € С/(Ы; Т) определим Ь-резольвентное множество рь(М) = {^ € С : (^Ь — М)-1 € £(Т;Ы)} и Ь-спектр аь(М) = С \ рь (М) оператора М.

Пусть кег Ь = {0}, вектор ^0 € кег Ь \ {0}. Упорядоченное множество векторов {^0,^1,...} называется цепочкой М-присоединенных векторов собственного вектора ^0, если

Ь<рк+1 = М^, к = 0,1,..., <рь € кег Ь, / = 1, 2,...

Порядковый номер вектора в цепочке, начиная с нуля, будем называть его высотой. Цепочка М-присоединенных векторов будет конечной в случае существования такого М-присоединенного вектора ^, что либо ^ € йошМ, либо М^ € 1шЬ. Высоту / последнего М-присоединенного вектора в конечной цепочке {^0, <^1,..., ^г} будем называть длиной этой цепочки.

Решением уравнения (1) назовем функцию и € С 1(К+; V), удовлетворяющую (1) при £ € . Отображение и(•) : К+ ^ £(Ы) называется разрешающей

полугруппой уравнения (1), если

(I) и (з)и (£)^ = и (в + £)^ для любых 8, £ € Е+ и для любого V € Ы;

(II) и(£) = и(£)^ есть решение уравнения (1) для любого V € Ы.

Замечание 1. Посредством условий (1), (11) разрешающая полугруппа уравнения определяется не единственным образом. Этим условиям, например, удовлетворяет семейство нулевых операторов. Однако вопрос однозначности определения разрешающей полугруппы по сути является вопросом однозначной разрешимости задачи Коши и(0) = и0 для уравнения на максимальном для данного класса уравнений множестве допустимых начальных значений или, другими словами, вопросом нахождения фазового пространства уравнения [4 — 7]. В работе [7] показано, что эти вопросы могут быть весьма непростыми даже в случае (Ь, а)-ограниченного оператора. Здесь мы их не будем касаться, а лишь построим нетривиальную разрешающую полугруппу уравнения (1).

Предположим, что выполняется следующее условие.

(Е) Пусть существуют константы а € К, в € (п/2,п) такие, что сектор Б^в(М) = {^ € С : | а^(^ — а)| < в,1 = а} С рь(М). Пусть, кроме того, существуют константы Я, в > 0, 7 € (0,1) такие, что семейство операторов

{е-ОИ’ (МЬ — М)-1 : II € (М) \ Вд(0)}

равностепенно непрерывно.

Замечание 2. Из (Ь,р)-секториальности оператора М следует условие (Е) в силу леммы 1.5 [6].

Наряду с (1) рассмотрим эквивалентное ему при а € р^(М) уравнение

Ь(аЬ — М)-1/(£) = М(аЬ — М)-1/(£), £ € К+. (2)

Теорема 1. Пусть выполняется условие (Е). Тогда существует сильно голоморфная в секторе = {т € С : | а^т| < в — п/2, т = 0}, разрешающая полугруппа {и(£) € £(Ы) : £ € К+} уравнения (1) и разрешающая полугруппа

{^(£) € £(Т) : £ € К+} уравнения (2). Кроме того, при любых 5 € (0,в — п/2),

г > 0 семейства операторов {е-“ти(т) : т € \ Вг(0)}, п € N, равносте-

пенно ограничены.

Доказательство. Как и в случае (Ь,р)-секториального оператора М, операторы полугрупп имеют вид

т = гЬ /= гк / 1ИМУ'Ч^

Г Г

где Г = {1 € С : I = а + е — |х| + гxtgв, х € К}. (3)

Здесь е > 0, е = |а| при а < 0. Покажем сходимость интегралов

СТк =--- [ /1кЯ1^(М)е,1Т(1/1, к € М0,

2пг У ^

Г

равномерную по параметру т € Вд(0) П £е-г \ Вг (0). Здесь 0 < г < Я — произвольные числа. Обозначим т = Ь + гс, 1§в = Н < 0. Для любого и € Ы и для любой

полунормы д € Я согласно условию (Е) найдется полунорма д1 € Я, при которой

д(ед < /и‘е',М’КтЫЬи)|ф|. (4)

Г

Используем симметричность контура Г, его параметризацию и то, что сразу для всех Ь + гс € Ее-г \ Вг (0) выполняется неравенство —Ь — Нс < —с1 < 0. Тогда выражение (4) не превосходит

СЮ

сг J\(а + е — х)2 + Л,2ж2)^ х 0

хехр{/3((а + е — х)2 + к2х2) 2 + (а + £ — х)Ъ — 1гсх}д2(и)с1х <

рЖ

< С2в(“+£)М Сз(1 + Хк)еС4(1+х7^Х^Х = ио

= ^а+в^етС5?2(и) < е(а+е)Кетф) < е(«+в)Дф).

Отсюда следует равномерная сходимость интегралов по т € Вд(0) П Ев— \ Вг(0), а в силу произвольности £ получаем оценку

д(е-ат ОТ м) < г (и),

равномерную по т € Ев— \ Вг (0).

Из доказанного следует бесконечная дифференцируемость и(т) внутри сектора Ев, причем и(т)(т) = О'к. Стандартным образом (см. [6]) показывается, что построенные семейства удовлетворяют условиям определения разрешающей полугруппы. □

2. Ядра разрешающих полугрупп операторов

Главная цель данного параграфа — показать, что построенные полугруппы операторов содержат в своем ядре, вообще говоря, М-присоединенные векторы любой длины.

Из конструкции полугрупп следуют соотношения при £ € К+

Ьи(£)м = ^(£)Ьм Ум € и, (5)

Ми(£)м = ^(£)Мм Ум € асшМ. (5)

Введем обозначение для ядра полугруппы кег и(•) = Р| кег и(£). Через Ьо

ь>о

(М0) будем обозначать сужение оператора Ь (М) на кег и(•) (кег и(•) П dсшM). Лемма 1. Пусть выполняется условие (Е). Тогда

Ь0 € £(кег и0;кег ^(•)), М0 : кег и(•) П dсшM ^ кег ^(•).

Доказательство. Из соотношений (5) и линейности операторов сразу следует требуемое. □

Лемма 2. Пусть выполняется условие (Е). Тогда все М-присоединенные векторы оператора Ь принадлежат кег и(•).

Доказательство. Возьмем М-присоединенный высоты д вектор . Используя лемму 1.1 [6], получаем

и(£)^д = J ^(Ме^*^ = ~J(^д-1 + ^д-2 + ••• + 1^о)е^*^^ = 0г г

□

Через а0(М) будем обозначать Ьо-спектр оператора М0.

Лемма 3. Пусть выполняется условие (Е). Тогда а0(М) = 0.

Доказательство. Возьмем А Є С. Контур Г, удовлетворяющий (3), в силу голоморфности используемых ниже подынтегральных функций мы можем заменить на контур, состоящий из правой части окружности 5д(0) радиуса К > 2|А| с центром в нуле, отсекаемой исходным контуром, и из ветвей исходного контура, не попавших внутрь окружности. За новым контуром оставим прежнее обозначение. Тогда при любых ^ Є кег и(■) П ёошМ, f Є кег ^(■), і > 0

1 Г (іЬ - М)-1 е(^-Л)* г ,

2Й У (А1, “ М)(^ “

Г

1 Г р(м-Л)*^ 1 г

= — ----- — ЫЬ- М)~1 Ьеір~х)іipd.il = <р- е~Хіииу = <р,

2пг У і — А 2пг ,/

ГГ

г 1 [ (іЬ — М)-1 е(^-Л)* , ,

(ХЬ ~ М)2ш ] № “

Г

1 Г р(М-Л)* е-Л Г

= м У 7^ХМ‘“ 2и У Ь<'‘-Ь“ = !-е~иП*)1 = /

ГГ

в силу теоремы Коши, непрерывности оператора Ь и замкнутости М.

Для любого д Є ^ и любой полунормы д Є Я имеем

в 1 п^-мг^Л ^ 1 <

2пъ J і — А І 2п J |і — А|

ГГ

- / |е“,‘"л> |е,вм’ =01,1 (г)=г{9)'

Г

Здесь ді, г Є ?.

Итак, при любом А Є С существует оператор (АЬ0 — М0)-1 =

1 Г (іЬ — М)-1е(^-Л)* ,

ЇІ У--------------------------<г"

Г

Є £(кег^(-);кеги(■)).

кег ^ (•)

□

Взяв в лемме Л = 0, получим Следствие 1. Пусть выполняется условие (Е). Тогда существует оператор М-1 € £(кег^(^);кеги(•)).

S. Пример сильно вырожденной полугруппы

Покажем, что при выполнении условия (Е) могут существовать цепочки М-присоединенных векторов оператора Ь бесконечной длины.

Пусть и = Т = М = I,

/u2 2!u3

Lu=l 2!'TP

(2к - 4)\uk (2k — 2)! :

где u = (u1, u2, u3,...). Тогда

L*u =

u3 2!u4 (2k - 4)!uk+l

Lku

4! 6!

/" uk+1 2!uk+2

(2k)!

(2n) !uk+n+1

V(2k)T (2k + 2)!’‘"’ (2k + 2n)!

Очевидно, что при любых натуральных k и n (2k + 2n)! > (2k)!(2n)!, поэтому

1

|Lk Wl(u) =

(2k)!'

Отсюда

H(^L - M) ||l(F;W) = |K^L - 1) I|l(U)

ХУ Lk

k=0

<

L(U)

< Е Н‘Ц£‘1к«0 = Е(|лТ =

к=0 к=0 ( )

Таким образом, Ь-спектр оператора М пуст. Значит, выполняется условие (Е) с константами в =1, 7 = 1/2 (0 Є (п/2,п), Д > 0 — любые).

Покажем, что в данной ситуации оператор Ь имеет М-присоединенные векторы сколь угодно большой длины. Для этого построим бесконечную цепочку М-присоединенных векторов. Пусть ^0 = (и, 0, 0,...) Є кег Ь. Тогда М^0 = ^0 = Ь^1, где <£і = («2, 2!иі, 0, 0,...); М^і = = Ь^2, ^2 = («з, 21^2, 4!иь 0, 0,...);

= («д+і, 2!ид, 4!мд_і,..., (2д - 2)!«2, (2д)!«і, 0, 0,...), д Є N.

Таким образом, уравнение (1) с операторами, заданными в данном параграфе, имеет аналитическую полугруппу, вырождающуюся на цепочках М-присоединенных векторов оператора Ь бесконечной длины.

Список литературы

1. Иосида, К. Функциональный анализ / К. Иосида.— М. : Мир, 1967.

2. Свиридюк, Г. А. Аналитические полугруппы с ядрами и линейные уравнения типа Соболева / Г. А. Свиридюк, В. Е. Федоров // Сиб. мат. журн.— 1995.— Т. 36, № 5.— C. 1130—1145.

3. Favini, A. Degenerate Differential Equations in Banach Spaces / A. Favini, A. Yagi.— New York ; Basel ; Hong Kong : Marcel Dekker, 1999.

4. Свиридюк, Г. А. О единицах аналитических полугрупп операторов с ядрами / Г. А. Свиридюк, В. Е. Федоров // Сиб. мат. журн.— 1998.— Т. 39, № 3.— С. 604— 616.

5. Sviridyuk, G. A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G. A. Sviridyuk, V. E. Fedorov.— Utrecht ; Boston : VSP, 2003.

6. Федоров, В. Е. Голоморфные разрешающие полугруппы уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах / В. Е. Федоров // Мат. сб.— 2004.— Т. 195, № 8.— С. 131—160.

7. Федоров, В. Е. О совпадении фазового пространства уравнения соболевского типа с образом разрешающей полугруппы в случае существенно особой точки в бесконечности / В. Е. Федоров // Вестн. Челяб. ун-та. Сер. 3. Математика. Механика.— 1999.— № 1 (4).— С. 198—202.