ПРЕДЕЛЬНО НЕНАСЫЩЕННЫЕ σ-ПОДАЛГЕБРЫ, АНТИИНЪЕКТИВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И ДИФФУЗНОСТЬ Текст научной статьи по специальности «Математика»

2016

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика

Вып. 4(35)

УДК 517.983.53

Предельно ненасыщенные ^-подалгебры, антиинъективные отображения и диффузность

П. М. Симонов1, А. В. Чистяков2 (1955-2013)

1Пермский государственный национальный исследовательский университет

Россия, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

simpm@mail.ru; 8(3422)2396849

2Удмуртский государственный университет

Россия, 426034, Ижевск, ул. Университетская, 1 (корп. 4)

Доказана теорема о том, что для оператора подстановки, удовлетворяющего условию "независания", восемь утверждений эквивалентны.

Ключевые слова: оператор подстановки; порядково непрерывный гомоморфиз; отображение антиинъективно; отображение антисюръективно; диффузный оператор; атомарный оператор; Ы-условие Лузина.

БОТ: 10.17072/1993-0550-2016-4-20-24

Функционально-дифференциальные уравнения (ФДУ) все чаще используются в различных областях естествознания и техники для описания реальных явлений и процессов с учетом их предыстории.

При изучении свойств достаточно сложных ФДУ приходится исходить из свойств операторов, входящих в рассматриваемое уравнение. К числу таких операторов относятся и операторы вида

(Шш)-.= /(а(ш)) . (1)

Одна из причин интереса к этому оператору кроется также в том, что оператор Т возникает не только в теории ФДУ. Наличие такого оператора существенно используется при изучении сингулярных интегральных уравнений со сдвигом, в эргодической теории, в теории функциональных уравнений и т.д.

Ниже дается одна теорема, дополняющие утверждения из обзора [1, с. 18, 19].

Пусть (Е,Т,ь>) и (0,£,//) стандартные измеримые пространства

© Симонов П. М., Чистяков А.В., 2016 "Работа выполнена при поддержке АО "ПРОГНОЗ".

(пространства Лебега) с неатомарными (диффузными) мерами [6] V и / .

Тогда измеримое отображение а: О ^ 2, удовлетворяющее условию "независания":

ВЕР, и(В) = 0=>/1(а-\В)) = 0, (ЛГ1) порождает по формуле (оператор подстановки [1, с. 18])

(7ЛМ:=/(аМ)

(для каждого при ц— п.в. шбО)

порядково непрерывный [1, с. 13] гомоморфизм Т банаховых алгебр

Ввиду порядковой непрерывности оператора Т: (2) ^ 1Г (О) , следующей из условия (А' 1), имеется оператор Т': /' Ш) > /' (2), дуальный к оператору Т относительно естественной двойственности ст(1},Ьа'). При

этом ясно, что Т' - банаховый предвойственный оператор к оператору Т, т.е. / ' Т.

Теорема. Следующие утверждения эквивалентны:

1) отображение а: О —Е

антиинъективно [6, 4, 5]: если Ае£ и аА : А —> Е - инъекция, то т(А) = 0;

2) а -подалгебра Еа := л 1(Т7) не имеет насыщенных компонент [3]: для любого множества А е £ с т(А) > 0 существует множество В е£оА такое, что ¿и(БАС)> 0 для всех множеств С е£а положительной меры;

3) существует неатомарная (диффузная) а -подалгебра £1 с £ такая, что а -подалгебры Еа и £, независимы: если А е £« и 5 е £х, то П5) = ц(А)/1(В);

4) оператор условного математического ожидания (у.м.о.) [1, с. 21] Е(-1 £а): 1/(О) — 1} (О) на а -подалгебру £а является является диффузным [7], т.е. имеет представление

Е(/\£а№ = ¡/ (пит)

О

для каждой / е 1}(О) при и-пв. сое О, где (и®}®еО - неатомарная (диффузная) случайная борелевская мера;

5) оператор Т': Ь1 (О) Ь1 (Е),

дуальный к оператору Т: Г (Е) — Г (О) , является диффузным;

6) оператор подстановки Т: Г(Е) — Г(О), обладает свойством: ТЯ а I = 0 для всех положительных линейных порядково непрерывных операторов Я: 10 (О) — Г (Е);

7) оператор Т: Г (Е) — Г (О) антисюръективен [4, 5]: для любого А е£ с т(А) > 0 оператор ^ Т: I0 (Е) — Г (А) не сюръективен;

8) отображение а: О — Е обладает свойством: для любого А е £ с т(А) > 0 для

к -почти всех ^еЕ множество о А

либо несчетно, либо пусто.

Доказательство проведем по такой схеме: 1)»2); 2)=^3); ...; 5) =^6); 6)^2); 5) =>!)', 5) => 8); 7)^>6); 8)^5).

Эквивалентность 1) ^ 2) - это утверждение леммы 2.1 из [6]. Импликация 2) ^ 3) также фактически имеется в статье Н.

Колтона из [6] (восходит к работам Д. Магарам начала 40-50-х гг. прошлого века [1, с. 22]). Действительно, в лемме 2.1 из [6] утверждается, что отображение а: О — Е обладает свойством 2) тогда и только тогда, когда оно антиинъективно. Согласно предложению 2.2 из [6], если а антиинъективно, то существует польское пространство (К, Я,Х) с диффузной вероятностной мерой А и (Я, £)-измеримое отображение т:П—>К такие, что

ц(а-1 (С) П г'1 (В)) = /1(а-1 (С))А(£>) =

= ^а\С)Ыт-1т для всех С е £ и О е Я. Поэтому а -подалгебры £1 := £ и £а независимы.

3) ^ 4). Представим оператор у.м.о. Р := Е(- \ £а): 11(О) — 11(О) в виде Р = Ра + Р,, где Р = Ра и Р, -соответственно, атомарная и диффузная компоненты оператора Р. Так как оператор Р положителен, то обе его дизъюнктные компоненты также положительны.

Пусть выполнено условие 3): существует диффузная а -подалгебра £1 с £, независимая от £а. Тогда оператор

Р1 := Е( \ £а) . переводит пространство 1 (£1)

11(£1) в одномерное подпространство, состоящее из функций-констант. Поэтому Р является интегральным оператором. Из неравенства 0 <Ра<Р следует:

0 < Р <Р = Р

Таким образом, сужение атомарного оператора Ра на безатомную решетку

I (О, £, и) мажорируется интегральным оператором Р1 . Согласно результатам из [7] это возможно лишь в случае, если Рц1(£ )=0 . Но тогда ^ = Ра\11(£ ^ =0 . Поскольку элемент 1 является (слабой) порядковой единицей решетки 1}(О, £,и) , то Ра =0 и, следовательно, Р = Р,.

4) ^ 5). Оператор у.м.о. Р := Е(- \ £а) действует во всей шкале Ьр :=//(0,£,/г), /?€[1,оо], пространств Лебега, причем

дуальным к оператору Pp := Pp : Lp ^ Lp

является оператор Р ,.

Здесь

сопряженный c p

1 1

показатель: —I—- = 1, если р< оо и р'= 1,

Р Р

если p = œ. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно представить оператор Pp в виде

Рр = ip(i. )'. где //; : /."(Еа )->//' - оператор

тождественного вложения. Из этого представления следует:

(ppy = [ip(ip'yy=w=pp'-

Так как оператор T : L (S) ^ L (Q) отображает пространство L00 (S) на пространство Lœ (2œ ) -измеримых

элементов из Lp, то Р., 7 = Т . Следовательно, T' = T\PJ' = Т'РХ. (*)

Пусть выполнено условие 4): оператор P : L1 ^ L имеет диффузное представление. Из следствия 2 статьи [7] следует, что пространство Сс1 (/' ) всех диффузных операторов V : L ^ L является левым операторным идеалом в категории L порядково непрерывных линейных операторов в банаховых идеальных пространствах E(T,S,X) на стандартных пространствах с

мерой (T,S,A)\ если V ECd(Ex,E2) и UeLn(E2,E3), то UVeCd{E„E3).

Поэтому оператор Т' : É (il) > /' (S), как ясно из (*), имеет диффузное представление.

5) ^ 6). Пусть S : L00 (Q) ^L0 (S) -положительный порядково непрерывный оператор. Тогда существует дуальный оператор S' : /' (Е) > /' (fi), который также положителен. Так как T' е Cd(É(Q),É(E)) и С, - левый операторный идеал, то оператор (TS)' ввиду равенства (IS)' = S'T' имеет диффузное представление. Полоса Cd решетки L (L1) дизъюнктна полосе {I}dd, порожденной тождественным оператором 7:Q->Q. Поэтому (TS)'M = 0. Отсюда получаем

(7;V)A/=|((7;V)A/))'|/< <[(73Ул/']' = [0]' = 0.

6) ^ 2). Предположим, что отображение T: L° (S) ^ L° (Q) не является антииньективным. Тогда согласно 2) найдется множество A е Е положительной меры, обладающее свойством: если B е Е и B с A, то существует множество C еЕа такое, что /¿(ВАС) = 0.

Это значит, что образ im 7j := 7j(/7 (Е)) оператора 7, := 1,7': Lx (Н) -»• Lx (А, ЕпЛ,р) содержит фундаментальное в /7 Ы) множество : 5 € И,ВсА} . Следовательно, пространство im T плотно (по норме) в пространстве (А).

Далее заметим, что если g е (S) и Tg = 0, то | T g |= Tx\ g |=0. Поэтому ядро ker Тх :=7^_1{0} оператора '/] - порядковый идеал решетки L° (S). Ввиду порядковой непрерывности оператора T идеал ker T замкнут относительно порядковой сходимости, т.е. является порядковой полосой. Множество полос ^-пространства L° (S) находится в естественном и взаимно однозначном (по модулю идеала Т7, множеств меры нуль) соответствии с элементами а -алгебры Т. В частности, для полосы ker У, можно найти такое множество Д £ Т, что ker у; = /: (/),).

Определим оператор T\L"(D) > I " ( А ). где 1) := Q\ 1\ . равенством 7' := 7j 1,, (= 1,7'1„). Имеем: kerf = ker?; П /7 (1)) = {0} и imT = imT. Покажем, что оператор T обратим.

Пусть g е (D) - конечнозначная функция: g = J2k-fkXc (предполагается, что

скеа\Ск),

к Ф l ). Тогда

ск n ci = 0 при

Tg = Yfkhk ,

где

hk:=TXck=XAna-i(q), причем ккФ0. Отсюда,

учитывая, что а 1 (Ск) П а 1 (Сг ) = 0 при кф1, получим:

и

|Tg

'LX(A)

= sup | с^ 1=11 g

Множество конечнозначных функций плотно в // (А). Поэтому из проведенного

выше рассуждения следует, что оператор Т есть изометрия с плотной областью значений тТ. Такая ситуация возможна лишь в

случае, если оператор Т обратим.

При естественном отождествлении (/,' )* = /7 оператор Т банахово сопряжен к дуальному оператору Т': /.' (А) — /' (/)).

Следовательно, обратимость оператора Т влечет за собой * -слабо сопряженного оператора Т'. Распространив оператор Л' = Т' 1 : /.' (/)) ^ /.' (А) с /.'Ш) по формуле

Sg = SxDg,

на пространство 1)(Н) получаем:

Отсюда 1АТЯ' = (Т'\А)' = (\А)' = \А. Таким образом, ((ГЯ') Л / ) > 1, ^ 0. Но это противоречит утверждению 6). Итак, отрицание утверждения 2) не совместимо с утверждением 6).

5) ^ 7). Предположим, что найдется множество А е £ с т(А) > 0 такое, что оператор 1А Т: С (О) — С (А) сюръективен. Без ограничения общности можно считать, что А = О, т.е. сам оператор Т сюръективен. Но тогда, как следует из пункта 9) основной теоремы из статьи [3], оператор Т' обязан быть атомарным, что противоречит 5).

5) ^ 8) . Предположим что свойство 8) не выполнено. Тогда найдется множество А е £ с [¿(А) > 0 такое, что ь>(Б) > 0, где

В ,:= {л 1 (ОП#: 4 еЕ} - непустое не более чем счетное множество. Согласно пункту 1) основной теоремы из статьи [3], оператор Я:=1В Т'\А - осколок [1, с. 12] диффузного

О 1(?)

оператора Т' - является ненулевым атомарным оператором, что противоречит 5).

7) ^ 6). Предположим, что не выполнено условие 6): найдется порядково непрерывный оператор Я: II0 (О) — II0 (Е) такой, что М := (ТЯ) а I Ф 0 .

Полоса {I}dd состоит из операторов умножения. Поэтому оператор M является оператором умножения на ненулевую функцию a е L (Q) : (Mf)(w) = a(w) f (w) для каждой f е IT (Q) при почти всех си £ Q. Так как а Ф 0, то при некотором с > 0 множество А := {ш £ f): с <\ а(ш) |< с~1} имеет ненулевую меру. Но тогда im T содержит подрешетку Г (A), что невозможно ввиду 7).

8) =>5). Предположим, что 5) не

выполнено; оператор Т' не является диффузным. Это означает, что в разложении Лебега [7, следствие 1] 7-/ = 7i-,/ + 7(-' атомарная компонента Т' не равна нулю. По двойственности имеем представление оператора Т = Тг* в виде дизъюнктной суммы 1' = '1\ где У,' := (Г/)* и Т2 := (Tj)', причем T1 Ф 0 по предположению. Как уже не раз отмечалось, любой осколок оператора T есть произведение на характеристическую функцию некоторого измеримого множества. В частности, для T найдется единственное (mod m) множество A е £ с m(A) > 0 такое, что T1=1AT. Согласно пункту 1) основной теоремы из статьи [3], ввиду атомарности оператора Т/: Li (А) —>■ II (Е) для г -почти всех

множество а1 (£)оA не пусто и не более чем счетно. Но это противоречит 8).

Предложение 1. Существует измеримое разбиение 0 = П = Г\П2 =0 такое,

что:

а) сужение а1 := а 1 : ^ ^ Е локально инъективно и удовлетворяет ^-условию Лузина [2, с. 58];

b) сужение а2 := а 2: Q2 ^Е антиинъективно (и потому не удовлетворяет N-условию Лузина).

Доказательство. Представим оператор Т' в виде Т1 = T'a+T'd . Для компоненты Тх := (7-/) найдется измеримое множество A G X такое, что ¡\ = 1. / . Согласно основной теореме из статьи [3], поскольку Т'\ /' (А) /' (Е) - атомарный оператор, то

существует подмножество Q1 с A такое, что,

k

и(А \ О1) = 0, отображение а1 := аО локаль- Список литературы

но инъективно и удовлетворяет ^-условию.

Положим С12 =С1\С11. Так как оператор = 1'' диффузен, то согласно основной

теореме из данной статьи, отображение

^л . СС\ с

антиинъективно.

Предложение 2. Существует измеримое разбиение £ = иЕ1 иЕ2, Е'пЕ-> = 0, I -а /, /',у е {0,1,2} такое, что:

a) = 0;

b) :={£€Е1:\а-\0\=к} измеримо при всех к = 1,2,...;

c) аГ1^) несчетно для всех £ € Е2. Доказательство. В обозначениях

основной теоремы из статьи [3] положим

и а

1 " i ■

Положим ] := ^\1\=к (оге1 Е, ).

В теореме доказано, например, что эквивалентны следующие утверждения: отображения а: О —» Е антиинъективно, о -подалгебра Еа := аГ1(Т) не имеет насыщенных компонент, оператор у.м.о. является диффузным оператором, оператор Т антисюръективен, оператор Т' является диффузным.

В теореме из статьи [3] доказано, например, что эквивалентны следующие утверждения: Т локально сюрьективен, Т' атомарен, отображения а: О — Е локально инъективно и удовлетворяет А'-условию. оператор Т' локально непрерывен по мере, оператор у.м.о. тоже локально непрерывен по мере.

1. Бухвалов А.В. Порядково ограниченные операторы в векторных решетках и пространствах измеримых функций // Математический анализ. Т. 26. Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. М.: ВИНИТИ, 1988. С. 3-63.

2. Макаров БМ, Подкорытов А.Н. Лекции по вещественному анализу: учебник. СПб.: БХВ-Петербург, 2011. 668.

3. Симонов ПМ., Чистяков А.В. Локально насыщенные и -подалгебры, локально инъективные отображения и N-условие Лузина // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2016. Вып. 4(35). С. 11-19.

4. Чистяков А.В. Об ограниченных решениях стохастических систем Ито // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2009. Вып. 3(29). С. 109-121.

5. Чистяков А.В. Сильная необратимость операторов сдвига вдоль траекторий броуновского движения // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2009. Вып. 7(33). С. 84-89.

6. Kalton N.J. Isomorphisms between Г -

function spaces when p <1 // J. of Funct. Anal. 1981. Vol. 42, № 3. P. 299-337.

7. Weis L.W. Decomposition of positive operators and some of their applications // Funct. Anal.: Surv. and Recent Results III: Proc. 3rd Conf. Amsterdam e.a.: Elsevier Science Publishers B.V., 1984. P. 95-115.

2

Ultimately unsaturated o -subalgebras anti-injective mappings and diffuseness

P. M. Simonov1, A. V. Chistyakov2(1955-2013)

1Perm State University; 15, Bukireva st., Perm, 614990, Russia simpm@mail.ru; 8(3422)396849

2Udmurt State University; 1, Universitetskaya st., Izhevsk, 426034, Russia

We prove the theorem that the substitution operator satisfying "no suspension" condition, eight are equivalent statements.

Keywords: substitution operator; order continuous homomorphism; anti-injective mapping; anti-surjectively mapping; diffuse operator; atomic operator; Luzin ' N-condition.