О разложении Лебега линейных операторов в пространстве суммируемых вектор-функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

2010

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА________________

Математика. Механика. Информатика Вып.2(з9)

УДК 517.921

О разложении Лебега линейных операторов в пространстве суммируемых вектор-функций

А. В. Чистяков

Удмуртский государственный университет, 426034, Ижевск, ул. Университетская, 1 (корп. 4)

Показано, что любой порядково непрерывный линейный оператор, действующий в решетках измеримых функций, представим в виде интеграла по случайной борелевской мере. В терминах случайных мер изучались свойства основных полос регулярных операторов.

Введение

Наиболее законченные результаты исследований в этом направлении принадлежат Л. Вейсу [1, 2, 3]. Им получены внутренние структурные характеристики полос, порождаемых классическими разложениями Лебега случайной меры на абсолютно непрерывную и сингулярную компоненты, а также на компоненты атомарную и диффузную. Линейные ограниченные операторы, действующие в пространстве Ё суммируемых функций, порядково непрерывны. Поэтому найденные Л. Вейсом характеристики можно с успехом использовать для анализа различных тонких (в том числе и спектральных) свойств линейных операторов в пространстве Ё .

В статье построен аналог теории разложения Лебега для пространства В(Ё (X)) линейных ограниченных операторов, действующих в пространстве Ё(X) суммируемых вектор-функций со значениями в банаховом пространстве X. В основу построения положен тот факт, что В(Ё, Ё(Х)) является реше-точно нормированным пространством, где нормирующей решеткой является К-

пространство Ьг (Ё) регулярных операторов

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований и администрации Пермского края (проект № 06-01-00744-а, № 07-01-96060-р-урал-а).

© А. В. Чистяков, 2010

и : Ё ^ Ё . Решеточная норма в В(Ё, Ё(Х)) удовлетворяет аксиоме разложимости Л.В.Канторовича. Поэтому каждой полосе 2 нормирующей решетки Ьг (Ё) соответствует полоса 2 в В(Ё, Ё(Х)) , состоящая из операторов с мажорантами из 2 . Ввиду естественной изометрии А : В(Ё(Х)) = В(Х,В(Ё, Ё(Х))) оператор Т е В(Ё(Х)) можно рассматривать как семейство (А Тх)хеХ мажорированных операторов из Ё в Ё (Х) . Проектор ^ - Х]: В (Ё(Х)) ^ В (Ё(Х)) на полосу 2, соответствующую полосе 2, определяется поточечно равенствами А (^х ]Т)х = Щ(А Тх) (х е Т).

Эта конструкция позволяет выявить естественные аналоги основных классов линейных операторов по типу случайной меры - интегральных, сингулярных, атомарных и диффузных.

Особое внимание в статье уделено атомарным операторам. Показано, что полоса таких операторов является замкнутой подалгеброй. Если пространство Х рефлексивно, то дизъюнктное дополнение полосы атомарных операторов, состоящее из диффузных операторов, является левым идеалом банаховой алгебры В(Ё1(Х)) . Важным следствием этого факта является наполненность подалгебры атомарных операторов.

В статье используются стандартные обозначения функционального анализа. Пространство линейных ограниченных операто-

ров и : X — У, действующих из банахова пространства X в банахово пространство У , обозначается через В(X, У) (при X = У применяется сокращение В( X): = В^, X)). Для обозначения банаховых сопряженных объектов используется символ «*» в качестве верхнего индекса. Следовательно, запись Т *: У * — X * означает сопряженный оператор. Необходимые сведения из теории полуупорядоченных пространств и регулярных операторов имеются в главе X монографии [4] и обзоре [5].

Всюду ниже О - польское пространство с борелевской мерой ц; 1Ё : = Ё(О, ц) -пространство суммируемых функций И : О —— Я , снабженное стандартными нормой и порядком; Х - банахово пространство; Ё(Х) - пространство Лебега сильно /и-измеримых суммируемых вектор-функций Г : О — Х, снабженное смешанной нормой

I |Г| 1*х):=1 I IГ!!1Й = ||Г!(®¥и (|Г|:=| |Г(•)11 х).

п

Конструкция разложения по Лебегу линейных операторов Т : ЁЁ (X) — Ё (X) по сути основана на свойстве регулярности каждого линейного ограниченного оператора, действующего в пространстве Ё. Пространство В(Ё) = Ьг (Ё) является фактически нормирующей решеткой, позволяющей осуществить разложение оператора Т .

1. Операции канонического проектирования

Пространства (Ё,| • |, Ё) и (Ё1 (X),| • |, Ё) являются решеточно нормированными пространствами с нормирующей решеткой Ё и решеточными нормами | • | и | • | соответственно. Конкретизируя общее понятие мажо-рируемости, назовем линейный оператор 8 : Ё — Ё (X) мажорированным, если существует такой положительный линейный оператор и : Ё — Ё , называемый мажорантой Б, что |8И|< и | И | для всех И е Ё . Поскольку решетка Ьг (Ё) порядково полна, то среди всех мажорант оператора S существует наименьший оператор |8|. Множество всех мажорированных линейных операторов из Ё1 в

Ё (X) обозначается символом М (Ё, Ё(Х)) . Отображение ||: М (Ё1,Ё(Х)) ^Ьг(Ё) обладает всеми свойствами решеточной нормы.

Следующее утверждение служит основой всех дальнейших построений.

Предложение 1. В(Ё, Ё(Х)) =

М (Ё, Ё(Х)) . При этом

|||8|||=||8|| (8 є В(Ё, Ё (X))).

Доказательство фактически является повторением доказательства скалярного прототипа [6, с.252, теорема 7.2].

Если S є М (Ё, Ё (X)) , то из нормативного неравенства

|8к|<|8||к | (к є Ё ) следует || 81|<|| |81||.

Согласно [7, с.144] оператор |8| (если он существует) вычисляется по формуле

181 к = 8ирМ^ (к є Ё+),

ё1

где

Мь: = {£| 8к |: Уп є □ , (к,) с Ё,£| к |< к}.

і=1 і=1

Множество Мй направлено по возрастанию своих элементов [7, с.252] и, кроме того, ограничено по норме, поскольку

| |£|8к, || |<| 181 |£| | к, | | =

і і

= | 181 |£| | к, | |<| 181 || |к| |.

і

Пространство Ё1 обладает свойствами (В) и (С) ([4, с.142]). Поэтому существует 181 к: = 8ир^+ Мк, причем ||| 8 | к ||<|| 81| || к ||.

Для 8 є М (Ё, Ё(Х)) при каждом

х* є Х* формулой

(х*8)к : = х*((8к)(0) (к є Ё ) определим оператор х 8 : Ё ^ Ё

Предложение 2. Верно равенство |8| = §ир(|х*8|:х* єХ*,||х*||< 1}

Ьг (Ё)

(8 є В(Ё, Ё (Х))).

Доказательство. Обозначим правую часть формулы через М. Из соотношений

|(х*8)к|<| |х*| | |8| |к|<| |х*| | |8||к|

(х* є Х*, к є Ё ) следует, что М <| 8 |.

Известно [8, с.51], что | Г | =

= 8ирЁ1 {х*(Г(•)): х* е X*, || х* || < 1} для любой вектор-функции { е Ё1 (X) . Следовательно,

|8И | = 8ир{х*(8И)(•): х* е X*, || х* ||< 1} <

< 8ир{|х*8||И|:х* еX*, ||х*||< 1} =

11

= 8ир{| х*8 || И |: х* е X*, || х* ||< 1} = М | И |

(И е Ё)

и поэтому 18 |<М .

Пусть Т е В(Ё(Х)). Зададим естественное отображение А Т: X — В (Ё,Ё (X)), полагая

(А Тх): И ^ Т(хИ (•)) (х е X, И е Ё ). Предложение 3. Оператор

А: Т ^ 'Г (Т е В(Ё(Х))) осуществляет изометрию пространства В(Ё(Х)) на пространство В (X, М (Ё, Ё(Х))). Доказательство. Неравенство

||А Т||<|| Т|| (1)

очевидно.

Пусть Т е В (X, М (Ё,Ё(Х))) . Определим оператор Т на множестве Н конечнозначных вектор-функций. Элемент f из Н

имеет представление Г = ^ х^ (•), где (Д) -

г

конечный набор попарно дизъюнктных измеримых множеств, (х ) - соответствующий набор попарно различных элементов из X. Положим

ТГ :=£ ('Тх, )Ха.

г

Имеем

| |ТГ | | <£| |Т| || |х,| |х | ІIд| Ё

г

= | |-Г||Э|х,||||^д|| = ||'Г||||1||1,,1). (2)

г

Следовательно, оператор Т ограничен на Н. Так как Н плотно в Ё(Х) [8, с.52], то оператор Т продолжается на Ё(X) с сохранением нормы. Поэтому из (2) следует

| |Т| | < | |Т| |. (3)

По построению при каждом х е X равенство (А Тх)И = (Т х)И справедливо для всех И из фундаментального в Ё множества характеристических функций. Значит, А Т = Т.

л 1

Таким образом, оператор : В(Ё(Х)) ^

В(Х, М (Ё+,Ё(Х))) обратим. Изометричность этого оператора следует из (1) и (3).

Замечание 1. Пространство Ё( Х) естественно изометрично проективному тензорному произведению Ё+ ® Х [8, с.53]. Изометрия } : В(Ё 55Х) ^ В(Х,В(Ё+,Ё 55 Х)) является по существу простым фактом теории тензорных произведений.

Пусть Р є В(М (Ё1, Ё'(Х)) . Положим "Р (Т)х : = Р (ЛТх) (х є Х, Т є В(Ё(Х))). (4)

Согласно предложению 2 формула (4) определяет оператор

" Р : В(Ё(Х)) ^ В(Ё(Х)) .

Далее оператор v Р мы будем называть подъемом оператора Р (в пространство

ВЁХ))).

Определим оператор канонического проектирования в пространстве В(Ё1(Х)) как естественный подъем операций канонического проектирования, имеющихся в пространстве М (Ё+, Ё(Х)) [7]. Таким образом, каждой полосе Ъ пространства Ьг (Ё1) соответствует канонический проектор

[2]х : В (Ё(Х)) ^ В (Ё(Х)).

Как следует из предложений 1-3, канонический проектор имеет единичную норму:

|||[2 ]х|||=||[2 ]||= 1.

Далее индекс « Х » в обозначении канонического проектора будем опускать.

Канонический проектор [2] осуществляет разложение пространства В(Ё1(Х)) в сумму двух дизъюнктных компонент - полос [2]В(Ё(Х)) и [2і]В(Ё(Х)) . Сформулируем основной результат этого пункта в следующем виде.

Лемма 1. Каждой полосе Z К-пространства Ьг (Ё1) соответствует канонический проектор

[2]; В (Ё1 (Х)) ^ В (Ё1 (Х)) единичной нормы. Далее, пусть Я. є В(Ё (Х)) . Тогда

1) [2]Я = 0 в том и только в том случае, если |ЛЯх|є 2і для всех х є Х;

2) [Z]R = R в том и только в том случае, если | Rx |е Z для всех x е X.

Целью статьи является получение в векторнозначной ситуации аналогов известных результатов о разложении порядково непрерывных операторов в решетках измеримых функций. Прежде всего, эти аналоги связаны с некоторыми теоремами Л. Вейса. Краткое изложение этих теорем имеется в препринте

[1], а доказательства приведены в статье [2]. Следует сказать, что в этой статье впервые достаточно полно изложена теория псевдоин-тегрального представления регулярных операторов, являющаяся весьма нетривиальным распространением разложений Лебега боре-левских мер. В работе [9] получены разложения лебеговского типа мажорированных операторов в пространствах вектор-функций (только эти операторы представляют собой интегралы Лебега по случайной векторнозначной мере ограниченной вариации). Результаты о разложении Лебега операторов весьма глубоки и многое проясняют в структуре пространства регулярных или мажорированных операторов. Но непосредственно использовать эти результаты для спектральных исследований удается в редких случаях: как правило, резольвенты регулярных операторов не регулярны (исключения здесь составляют компактные операторы [3]). В первую очередь это связано с тем, что, как показал Ю.А. Абрамович [10], была построена пара нормированных решеток X и Y таких, что X не изоморфно порядково AL-пространству (см. [6]), Y не изоморфно порядково AM-пространству (см. [6]), но, тем не менее, всякий оператор Т из B(X, Y) регулярен и притом |||T|||<(1 + е)|| T||, где e - произвольное наперед выбранное положительное число. Как

Z1 тда

- и L таковы, что B0) = Lr (L1) и B(L) = Lr (L) , т.е. все действующие в них ограниченные линейные операторы регулярны. Для решеток Lp при 1 < p < да регулярные операторы плохо расположены в алгебре B(Lp) . В частности, они не плотны, что использовалось для построения интересных примеров (такой «хороший» оператор, как преобразование Фурье в L не мо-

жет быть аппроксимирован регулярными операторами [5]).

Алгебра В(Ё'(Х)) и двойственная ей алгебра В(Ё“ (Х*)) являются единственными естественными банаховыми алгебрами операторов, в которые удается поднять операторы проектирования (разложения Лебега) на полосы регулярных операторов. Возможность такого подъема ясна из изометрии пространств

Ё+ (Х) и Ё° (Х) с проективным Ё ® Х и, соответственно, инъективным Ё°° 55 Х тензорным произведением. Мы ограничимся исследованием алгебры В(Ё'(Х)) .

Полосы банаховой алгебры В0(Х)) определяются следующей конструкцией. Естественное отображение Т ^ Т, действующее по правилу (Тх)к := Тхк(•) (х є Х, к є Ё+ ), является изометрией банаховой алгебры В(Ё'(Х)) на пространство В (Х, В (Ё1, Ё'(Х))) . Каждый оператор М: Ё+ ^ Ё+ (Х) мажорируется, т.е. В(ё\ё'(Х)) = М (Ё1,Ё'(Х)) . Изометрия В(Ё(Х)) = В (Х, М (Ё1, Ё(Х))) позволяет осуществить подъем в В( Ё1(Х)) любого ограниченного оператора Р : М (Ё1, Ё'(Х)) ^

^ М (Ё1, Ё'(Х)) ; существует единственное отображение Р" : В0(Х)) ^ В0(Х)) такое, что

РТх = РТх

для всех Т є В(ё' (Х)) и х є Х.

Пространство мажорированных операторов М (Ё1, Ё'(Х)) обладает свойством разложимости решеточной нормы [7]. Это означает, что каждой полосе 2 нормирующего К-пространства Ьг (Ё1) соответствует канонический проектор

[2 Г: М (Ё+, Ё+(Х)) ^ М (Ё+, Ё+(Х)), отщепляющий от оператора М максимальный осколок [2]М , модуль которого принадлежит полосе 2. Поднимая проектор [2] с пространства М (Ё1, Ё'(Х)) на пространство В(ё', ё'(Х)) , мы определяем тем самым канонический проектор

[2]х := [2]: В (Ё1 (Х)) ^ В (Ё1(Х)).

З5

Таким образом, в банаховой алгебре В(Ё(Х)) имеется естественный аналог [2 ]В(Ё(Х)) любой полосы [2 ] К-пространства Ьг (Ё). В частности, полосе Ьа (Ё), порожденной операторами подстановки с весом, соответствует полоса Ва (Ё(Х)) атомарных операторов, действующих в пространстве Ё (X) .

Основное содержание статьи связано с исследованием полосы Ва (Ё (X)) . Эта полоса является алгеброй, наследующей многие свойства своего скалярного прототипа - алгебры Ва (Ё). В этой связи приведем некоторые факты, систематизированные Л. Вейсом в обзоре [1].

Давно и хорошо известно, что любой ограниченный линейный оператор, действующий в банаховой решетке Ё1 , мажорируется (или, эквивалентно, регулярен) и является порядково непрерывным. Теорема о представлении порядково непрерывных операторов, восходящая к представлению Рисса операторов в пространстве непрерывных функций, явным образом сформулированная Су-руром [11], Колтоном [12] и Вейсом [2] (а неявно использовавшаяся во многих работах по функциональному анализу, теории меры и теории вероятностей), позволяет представить оператор и : Ё — Ё интегралом Лебега по случайной борелевской мере:

(иИ)(а) = |И(о)и№£) (И е Ё , оеО).

Под случайной мерой понимается семейство (и )^а (знакопеременных) борелев-ских мер такое, что функция о ^ иоА (оеО) измерима при всех А е£. В терминах типа случайной меры определяются основные полосы Вм (1) (и =,,5а, й) К-

пространства В (Ё) = Ьг (Ё) . Индекс и характеризует тип случайной меры: , - и -

абсолютно непрерывная мера; 5 - и -

сингулярная мера; а - атомарная мера; й -диффузная мера. По теореме Дубинса-Фридмана [13, 2] компоненты случайных разложений Лебега и =и0 +и0 и и =и0 +и!

также являются случайными мерами. Поэтому справедливы операторные аналоги классических разложений Лебега

В(Ё) = В, (Ё) ® В, (11)

и

В(Ё) = Ва(Ё)®Б,(Ё).

Полоса В (Ё) состоит из интегральных операторов. Этот факт - простое следствие теоремы Радона-Никодима. Намного более интересным и нетривиальным является тот факт, что полоса Ва (Ё) порождается операторами умножения и операторами подстановки. Из него следует, что полоса Ва (Ё) атомарных операторов состоит из счетных порядковых сумм операторов подстановки с весом. В частности, поэтому она является подалгеброй алгебры В(Ё) . Как обнаружил Л. Вейс [1], дизъюнктное дополнение этой подалгебры -пространство В (Ё ) диффузных операторов -является левым (но не правым) идеалом решеточной алгебры В(Ё) . Следствием алгебраических свойств разложений являются отмеченные спектральные свойства: подалгебра В (Ё) наполнена, т.е. обратимость в алгебре В(Ё) совпадает с обратимостью в очень узкой подалгебре В (Ё); обратимость атомарного оператора эквивалентна его обратимости по модулю идеала W (Ё) слабокомпактных операторов. Именно распространение этих свойств на полосу Ва (Ё(Х)) и является нашей главной задачей.

2. Алгебра атомарных операторов

Теорема 1. Полоса Ва (Ё(Х)) является замкнутой подалгеброй банаховой алгебры В(Ё(Х)).

В доказательстве используются два вспомогательных утверждения. В первом из них дан критерий полосы [2] В(Ё (X)) , специально приспособленный для изучения атомарных операторов. Во втором утверждении описан вид оператора W : Ё — Ё (X), мажорируемого оператором подстановки с весом.

Для каждой вектор-функции фе Ё (X)

V

определим оператор умножения ф :

V

Ё — Ё (X) по формуле фИ : = И()ф (И е Ё ).

Предложение 1. Пусть Z - полоса K-пространства Lr (L1). Оператор T е B(L(X)) принадлежит полосе [Z] B(L1(X)) в том и

v

только в том случае, если | T ф | е Z для всех ф е L (X).

v

Доказательство. Если | T ф | е Z для

всех ф е L (X), то, полагая ф : = xl(-) (x е X, 1:= ), получим | Tx | е Z для всех x е X.

Отсюда T е^ ]B(L(X)) согласно лемме 1.

Пусть T е [Z]B(L (X)). Тогда | Tx | е Z

v

для всех x е X. Если ф : = ^фх,х4 (•)

i

((A) сЕ, (x) сX) - конечнозначная функция, то

v v v

|Tф|<^|Tф|хA <X|Tx,| i i

v

и поэтому | T ф |е Z . Если ф - произвольный элемент пространства L (X), то найдется последовательность (фп) с L (X) , сходящаяся к вектор-функции ф почти всюду [8]. Согласно векторнозначной версии теоремы Егорова [8, с.40] существует последовательность измеримых множеств t Q (k = 1, 2, ...) такая, что || (фп -ф) Ц— 0 для всех к . Отсю-

к (X) n——да

да следует, что последовательность операто-

v v

ров (TфZnг)да=1 сходится к оператору TфXnк по норме пространства M (L1, L'(X)) . Как

v

выше показано, | Tф^n |е Z для каждой конечнозначной функции Хпф„, т.е.

v

Tфn Хпк е [Z]M (L1,L1(X)) при всех п . Полоса [Z] M (L, L1 (X)) замкнута в M (L1, L1 (X)) .

v

Поэтому Tфхnг е [Z]M (L1, L'(X)) или, экви-

v л-

валентно, | TфxQk | е Z . Так как Q t Q, то

| T ф |= sup | T ф хп |. Полосы K-пространства

к к

L (L1), естественно, порядково полны. Следо-

v

вательно, | T ф | е Z .

Предложение 2. Пусть оператор W: L1 — L1 (X) мажорируется положительным

ф(ю) = -

оператором постановки с весом и : Ё — 11. Тогда существует элемент фе 1“ (X) такой, что

V

W = фи. (1)

Доказательство. Положим

а (о) := (и 1)(о) (оеО). Определим элемент

фе 1“, полагая

[а (о)-1 (W1)(о), если а (о) Ф 0,

[ 0, если а(о) = 0.

Множество характеристических функций {хА : А е2} фундаментально в Ё . Поэтому нам достаточно убедиться в справедливости равенства

(фХа )(о) = ф(ихА )(о) (2)

для каждого АеЕ при п.в. оеП .

Представим оператор и в явном виде (иИ)(о) = а(о)И(а(о)) (И е Ё , со еО) через порождающие его подстановку а: О —О и вес а: О—Я . Поскольку | Wх |(о)<(их)(о) при п.в. оеО , то, с точностью до пренебрежимости,

{о е О: ^хА)(о) ф 0} с а-А . Отсюда следует (2):

^Хд )(о) = Ха-.д (®)(^ 1)(О)) =

= Ха-(О\ А)(о)(®Ха, А )(о) =

= СШ)(о)Ха-1А (о) = ф(о)(иХа)(о) . Доказательство теоремы. Пусть Т, Я е Ва (Ё (X)) . Покажем, что

| ТЯх |е Ьа (Ё) (3)

для каждого х е X. Обозначим W := Ях. Так как Я е Ва(Ё(X)) , то | W |е Ьг(Ё) .

Рассмотрим простейший случай:

| W | = и , где и - оператор подстановки с весом. Выберем согласно предложению 2 эле-

V

мент фе 1“(X) такой, что W = фи . Из ра-

V

венства TW = (Т ф)и получаем неравенство

V

| TW | <| Тф| и. (4)

По предположению Т е В (Ё (X)) и, как

V

следует из предложения 2, | Тф|е Ьа(1) . Так как полоса Ьа(Ё) является алгеброй [1], то

| Т ф | и е Ьа (Ё ) . Из неравенства (4) ясно, что |Т^еЬа(1) .

т

Предположим далее, что | W |:= ^ и ,

1=1

где ( и ) - конечный набор операторов подстановки с весом. Ввиду разложимости [7, § 4] решеточной нормы на М (Ё, Ё(Х)) найдутся операторы ^ е М (Ё, Ё (X))

(/ = 1,...,т) такие, что W = ^^ | ^ |= и

для всех 1 .

Простейший случай мы рассмотрели и выяснили, что | Т^ | е Ьа (Ё) при всех /'. Утверждение (3) теперь следует из неравенства

|Т^|=|£ т^^. |<Х | т^;. |.

1 г

Рассмотрим общий случай: | W | = и , где и е Ъа (Ё ) . По теореме об аппроксимации [2, с.556] существуют последовательность

и. 1 и конечных сумм операторов подстановки с весом и последовательность О 1 О измеримых множеств такие, что

||(и - и.) || — 0

пк п—“

для каждого к = 1,2,.... Представим оператор и в виде и = ип + ¥п, где V. := и - и. > 0. Решеточная норма на М (Ё, Ё(Х)) разложима. Следовательно, W = Wn + Qn, | Wn |=и., | | = V при некоторых Wn ,

Оя е М (Ё, Ё (X)) . По построению

||0^ - тWn )хоЛ=||Т0п Хо л<

<| |T| || |Q„ XqJ | < | |T| || | Уп х

0.

Значит, TW„Xnt — TWxnt в

* п—да *

M (L1, L(X)) . Кроме этого,

TW„Xnt е M а (L1, L1 (X)), поскольку | W„Xnt |

- конечная сумма операторов подстановки с весом. Так как полоса Ma (L1, L(X)) замкнута в M (Ё, L1(X)) , то TWxQ е M (L1, Ll(X)) и поэтому | TWxnt | е La (L1). Отсюда

| TW | = sup | TWxQ | е L (Ё) ввиду порядко-

к к

вой полноты полос K-пространства Lr (L).

Таким образом, утверждение (3) проверено при каждом х е X. Согласно лемме 1 мы можем утверждать, что ТЯ е Ва (Ё (X)) .

Теорема доказана.

3. О диффузных операторах

Теорема 2. Пусть X - рефлексивное банахово пространство. Тогда полоса В (Ё(Х)) является левым идеалом алгебры В(Ё(Х)).

Свойство левого идеала означает, что ТК е В (Ё(Х)) при всех Т е В(Ё(Х)) и К е Вй (Ё(Х)) .

Доказательство. Пусть Т е В(Ё(Х)) и К е В (Ё (X)) . Проверим, что х* (Тх) е (Ё)

при всех х е X и х* е X*.

Согласно критерию Вейса [1, с.99] для диффузного оператора и: = | Кх | и любого множества АеЕ положительной меры найдутся измеримое подмножество Б с А положительной меры и диффузная а -подалгебра Р а -алгебры ЕоБ такие, что сужение и := и | , : Ё„р V— Ёа является слабоком-

•1<(Б,Р ,и) ( , ,и)

пактным оператором. Так как банахово пространство X предполагается рефлексивным, то сужение У :=Кх I 1 : Ё. БР и) —

1(Б,7 ,и) ( , ,и)

— Ё(X) оказывается также слабокомпактным оператором. Действительно, в этом случае справедлив точный аналог [14, теорема 2] классического критерия Данфорда-Петтиса:

множество М с Ё (X) относительно слабокомпактно в том и только в том случае, если М ограниченно и равномерно интегрируемо (равномерная интегрируемость означает, что Бир || Гхд |Р 0 для любой последо-

ГеМ

вательности Д Р 0 (Д еЕ).

Из этого критерия ясно, что слабая компактность оператора УУ является следствием (а на самом деле эквивалентна) слабой компактности его мажоранты и .

Так как слабокомпактные операторы образуют операторный идеал [15], то оператор х*( Т\¥ ) компактен. Таким образом, справедливо следующее утверждение:

для произвольного множества АєЕ положительной меры найдутся измеримое подмножество В с А положительной меры и диффузная а-подалгебра Б а-алгебры ЕпВ такие, что оператор х*(Т\¥ ):= х(ТК)|

ЁВ,Б ,М)

слабокомпактен.

Ссылаясь на критерий Вейса, мы заключаем, что этот оператор имеет диффузное представление при всех х и х*. Отсюда согласно предложению 2 и лемме 1 следует, что оператор ТК принадлежит полосе В (Ё(Х)) диффузных операторов.

Обозначим через W (Ё(Х)) идеал слабокомпактных операторов К: Ё+ (Х) ^ Ё+ (Х). Если К є W (Ё1 (Х)), то при всех х є Х и

х є Х оператор х Кх: Ё ^ Ё слабо компактен. Согласно критерию Данфорда-Петтиса [16]: слабокомпактный оператор является интегральным оператором. Следовательно, Кх : Ё+ ^Ё(Х) є М(Ё+,Ё(Х)) при всех хє Х. С учетом предложения 2 и леммы 1 получаем включение

W (Ё1 (Х)) с В, (Ё1 (Х)) с Ві (Ё1 (Х)) .

Полосы В (Ё(Х)) и В (Ё(Х)) дизъюнктны, поэтому

| | Т + К | |=| |Т| | + | | К | | >| |Т| |

при Т є В (Ё(Х)) и К є W (Ё(Х)) . Таким образом, в частности, норму атомарного оператора нельзя уменьшить слабокомпактными возмущениями. Иначе говоря, каноническая проекция Т ^ Т подалгебры Ва (Ё(Х)) в фактор-алгебру

В(Ё+(Х)) := В(Ё(Х))^(Ё1 (Х)) является изометрией.

Теорема 4. Пусть Х - рефлексивное банахово пространство. Тогда

1) каноническая проекция оператора

Т є В (Ё1(Х)) в фактор - алгебру

В (Ё(Х))/ W (Ё(Х)) обратима в том и только в том случае, если оператор обратим;

2) алгебра Ва (Ё(Х)) атомарных операторов является наполненной подалгеброй алгебры В(Ё(Х)).

В теореме утверждается, что обратимость по модулю идеала W (Ё1 (Х)) для ато-

марного оператора Т : Ё( X) — Ё( X) возможна только в единственном и тривиальном случае, когда оператор Т обратим. При этом оператор Т-1 является атомарным.

Доказательство. Обратимость проекции Т: = Т + W (Ё (X)) оператора

Т е В (Ё (X)) означает, что найдется регуля-ризатор - такой оператор Я е В(Ё(Х)) , что

1) тя=I+к ,

2) ЯТ = I + К2, при некоторых К, К из идеала W (Ё (X)).

Разложим оператор R в сумму я=я+я дизъюнктных осколков Я а е Ва (Ё(Х)) и Яй е Вй (Ё(Х)) . Из условия

1) следует

ТКа - 1 = К1 - ТЯй.

По теореме 1 ТЯа е В (Ё (X)) . Поэтому левая часть равенства 1) является атомарным оператором. С другой стороны, ТЯ^ е

В (Ё(Х)) по теореме 2. Поэтому правая часть равенства является диффузным оператором. Но полосы В (Ё (X)) и В (Ё (X)) дизъюнктны. Следовательно, ТЯа -1 = К - ТЯ^ = 0 .

Фактор-класс Я : = Я + W (Ё (X)) является обратным к Т элементом фактор-алгебры В (Ё (X)) . Поскольку ТЯа = I, то ТЯ = I. Значит, Я = Я, т.е. Я = Я + К, где К - элемент из идеала W (Ё (X)) . Из условия

2) следует ЯаТ -1 = К2 - КТ .

Ясно, что что правая часть этого равенства принадлежит идеалу W (Ё (X)), а левая часть является атомарным оператором. Ввиду дизъюнктности W (Ё (X)) и Ва (Ё (X)) имеем ЯаТ -1 = К2 - КТ = 0. Таким образом, Я а = Т-1.

4. О существенности условий теорем о спектре

В условия теоремы 1 входит мультипликативное представление d-гомоморфизма Т: Ё (X) — Ё (X), а в теореме 2 предполагается рефлексивность банахова пространства X. В подтверждение существенности этих условий приведем пример.

Пример. Пусть О: = [0,1] х [0,1], Е -а-алгебра борелевских множеств О, ц -плоская мера Лебега. Выделим две независимые а-подалгебры Е1: = Б х 3 и Е2: = 3 х Б , где Б - а -алгебра борелевских подмножеств отрезка 3 . Введем также обозначения: V - мера Лебега на 3 , ц : = Ш - сужения меры и.

Так как мера ц диффузна и цО = 1, то по теореме об изоморфизме сепарабельных неатомарных пространств с мерой [17, с. 114] существует сохраняющий меру а -изоморфизм а: Е — Е1 с Е . В теореме

В.А. Рохлина [17], восходящей к классическим результатам Дж. фон Неймана [18], утверждается возможность реализации а -гомоморфизма а : Е — Е1 поточечным отображением:

существует (Е, Е1 )-измеримое отображение а : О — О такое, что а А = а-1 А для всех АеЕ (с точностью до множеств меры нуль).

Адресуя это замечание к изоморфным пространствам с мерой (3 , Б , V) и (О, Е, ц), выберем некоторую поточечную реализацию Р : О— 3 а-изоморфизма 3 : Б — Е .

Обозначим через X пространство Ё(О Е ц). Определим обратимый изометрический ^-гомоморфизм Т: 4 (X) — Ёп (X), полагая

(ТХс (-)ХахБ )(о) : = Хс (а(о))Х1хлХрБ (о) (о еО)

для всех С еЕ и А, Б е Б . Так как а-подалгебры Е1 = аЕ и Е2 = 3 х Б независимы, то

|| Т(Хс (0ХахБ ||11(Х) =

= | (а('))| |4[| Х хД | ^ | XрБ | 4 =

= || Хс || Ха ||11|| Хб ^ = || Хс(-)Хахб .

Следовательно, || ТГ || = || Г || для каждого базисного элемента Г е Ё(X) вида Г := Хпх.е(-)ХахБ (А, Б, С , В е Б ).

Соответствие ХвхЕхДхБ ^ ХвхЕ (-)ХахБ ,

определенное на базисных элементах, порождает естественную изометрию

4(Ох3х./,u®v®v) = ^ (Х) .

Любой конечнозначный элемент f из L'(Q)(X) есть дизъюнктная сумма базисных

элементов: f = . Так как d-гомоморфизм

i

T сохраняет их норму, то

| |Tf| | = Z| |Tf| | = Z| f |=| f | |.

i i

Конечнозначные элементы плотны в Ё (X) . Поэтому мы можем утверждать, что оператор T является изометрией L1 (X) .

Дале^ пусть f : = Xaxb ( • )Xcxd (A, B, C , D е F ) - базисный элемент пространства L1 (X ) . Тогда f = Tf, где f : =

xa-‘(Axj)( )xbx^-‘(CxD) .

Следовательно, подпространство Im T содержит все базисные элементы и потому изометрия T обратима.

Для а -подалгебры ач2 = 21 существует независимая диффузная а -подалгебра Е2. Согласно характеристике Н. Колтона [19, предложение 2.2] отсюда следует антиинъек-тивность подстановки а .

Ясно, что спектр обратимой изометрии состоит из точек, лежащих на единичной окружности.

В заключение отметим, что если прообраз любой точки не более чем счетен, то соответствующий d-гомоморфизм допускает мультипликативное представление.

Список литературы

1. Weis L. Decompositions of positive operators and some of their applications // Funct. Anal.: Surv. and Recent Results. 3: Proc. 3rd Conf. Paderborn, 1983. P. 95-115.

2. Weis L. On the representation of order continuous operators by random measures // Trans. Amer. Math. Soc. 1984. V. 285, № 2. P. 535563.

3. Honig H., Weis L. On the eigenvalues of order bounded integral operators // Integral Eq. and Operator Th. 1983. V. 6. P. 706-729.

4. Канторович Л.В. Акилов Г.П. Функциональный анализ. 3-е изд., перераб. М.: Наука; Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. 752 с.

5. Бухвалов А.В. Приложения методов теории порядково ограниченных операторов к теории операторов в пространствах Lp // Ус-

пехи мат. наук. 1983. Т. 38, № 6 (234). С. 37-83.

6. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупоря-

доченных пространств. М.: Физматгиз,

1961. 407 с.

7. Кусраев А.Г., Стрижевский В.З. Решеточ-но нормированные пространства и мажорированные операторы // Иссл. по геометрии и мат. анализу: тр. Ин-та математики АН СССР. Новосибирск: Наука, 1987. Т. 7.

С.132-158.

8. Левин В.Л. Выпуклый анализ в пространствах измеримых функций и его применение в математике и экономике. М.: Наука, 1985. 352 с.

9. Шамаев И.И. О разложении и представлении регулярных операторов // Сиб. мат. журн. 1989. Т. 30, № 2. С. 192-202.

10.Абрамович Ю.А. О пространстве операторов, действующих между банаховыми решетками // Зап. научн. семинаров Ленингр. отд. Мат. ин-та, 1977. Т. 73. С. 188-192.

11. Sourour A.R. Characterization and order properties of pseudo-integral operators // Pacific J. Math. 1982. V. 99, № 1. P. 145-158.

12. Kalton N.J. The endomorphisms of L (0 < p < 1) // Indiana Univ. Math. J. 1978. V. 27, № 3. P. 353-381.

13. Dubins L., Freedman D. Measurable sets of measures // Pacific J. Math. V. 14, № 3. P. 1211-1223.

14. Dinculeanu N. Weak compactness and uniform

convergence of operators in spaces of Bochner integrable functions // J. Math. Anal. Appl. 1985. V. 109. P. 372-387.

15.Пич А. Операторные идеалы / пер. с англ. Н.В.Мирошина; под ред. П.И.Лизоркина М.: Мир, 1982. 536 с.

16. Эдвардс Р. Функциональный анализ: Теория и приложения / пер. с англ. Г.Х.Бермана, И.Б.Раскиной; под ред.

В.Я.Лина М.: Мир, 1969. 1072 с.

17. Самородницкий А.А. Теория меры Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1990. 268 с.

18. Choksi J.R., Simha R.R. Set and point transformation on homogeneous spaces // Lect. Notes Math., 1976. V. 541. P. 1-4.

19. Kalton N.J. Isomorphisms between L -

functions spaces when p < 1 // J. Funct. Anal. 1981. V. 42, № 3. P. 299-337.

On Lebesgue’s decomposition of linear operators in summable vector-function space

A. V. Chistyakov

Udmurt State University, 426034, Izhevsk, Universitetskaya st., 1 (building 4)

The purpose of this article is receipt of analogue for known results about decomposition of order continuous operators in lattices of measurable functions which can be presented in an integral form on random Borelean measure at vector valued case. In random measures terms there was investigated properties of basic stripes for regular operator.