CC BY
15
Владикавказский математический журнал Октябрь-декабрь, 2000, Том 2, Выпуск 4
УДК 517.98
МОДУЛЯРНЫЕ МЕРЫ И ОПРЕРАТОРЫ МАГАРАМ
А. Г. Кусраев
Цель настоящей статьи — показать, что модулярные векторные меры и операторы Ма-гарам тесно связаны друг с другом. Точнее говоря, при интегрировании по насыщенной мере возникает оператор Магарам, а интегральное представление оператора Магарам приводит к модулярной насыщенной мере.
1. Введение
Оператором Магарам называют порядково непрерывный оператор в К-пространстве, сохраняющий интервалы. Этот класс операторов впервые рассмотрела Д. Магарам, как вспомогательное техническое средство при построении теории положительных операторов в пространствах измеримых функций (см. цикл работ [14-17], а также небольшой обзор [18], содержащий краткое описание развитого ею метода и формулировку основных результатов). В. Люксембург и А. Шэп [13] распространили часть теории Д. Магарам, связанной с теоремой типа Радона — Никодима, на положительные операторы, действующие в iT-пространствах. Термин «оператор Магарам» был введен в [4]. Свойство оператора сохранять интервалы названо свойством Магарам в [13]; такие операторы в [14-17] назывались full-valued. Подробнее об операторах Магарам см. в [5, 6, 7, 9].
Известно, что теорема Радона — Никодима не имеет места для мер со значениями в iT-пространстве. Однако, М. Райт показал в [20], что теорема Радона — Никодима справедлива для специального класса модулярных мер с дополнительным условием насыщенности. Пусть Q — экстремальный компакт и // : В —>• C(Q) — некоторая мера. Предположим, что Ь°°(/х) допускает структуру модуля над кольцом C(Q). Тогда модулярность меры // означает, что соответствующий интеграл является модульным гомоморфизмом из Ь°°(/х) в ('((/). Эквивалентное условие заключается в том, что пространство /,2 (/ /) служит модулем Капланского — Гильберта (см. [12, 20]). Дополнительные сведения о модулярных и насыщенных мерах см. в книге [11], где, в частности, развит булевозначный подход к исследованию этого класса векторных мер.
© 2000 Кусраев А. Г.
Цель настоящей статьи — показать, что модулярные меры и операторы Магарам тесно связаны друг с другом. Точнее говоря, при интегрировании по насыщенной мере возникает оператор Магарам, а интегральное представление оператора Магарам приводит к модулярной насыщенной мере. Необходимые сведения имеются в [1, 2, 5, 7, 11].
2. Предварительные сведения
В этом параграфе приведем схему интегрирования лебеговского типа по мере со значениями в решеточно нормированном пространстве. Такое интегрирование было развито М. Райтом [23] для мер со значениями в алгебрах Стоуна, однако вся теория остается в силе для мер со значениями в произвольном Ка-пространстве, см. [21, 22]. В нашем изложении мы следуем [11], где построения М. Райта [23] повторены в несколько более общей ситуации: интегрируемыми объектами являются элементы некоторого Кст-пространства, как в [2, 3], а векторная решетка образов заменена на решеточно нормированное пространство. О векторном интегрировании в ^-пространствах и соответствующем варианте теоремы Радона — Никодима см. также [19].
2.1. Пусть С! — расширенное ^-пространство с порядковой единицей 1, а
(У, — секвенциально Ьо-полное решеточно нормированное пространство над
^-пространством /•’. Рассмотрим подалгебру А полной булевой алгебры 0(1) единичных элементов пространства С! и конечно аддитивную меру /л : А —>• ¥ ограниченной векторной вариации Ы : А —>• /•’. Это означает, что и а)| ^
Ы (а) (а е А), причем имеет место формула (см. [10, 11]):
( П П
\ц\ (а) := вир ■< ^2 \ц(ак)\ :акАщ = 0,\/ ак =
^ к=1 к= 1
Обозначим символом Б (А) векторную подрешетку в С, состоящую из всех А-простых (конечнозначных) элементов (1. т. е. х е Б (А) означает, что имеет место представление х = Уд!=, гДе {о|....о„ }• С К произвольны, а
{в1,..., еп} С А попарно дизъюнктны. Положим
/п
Х(1ц:=^2 ®кКек) (ж € б'(Л)).
к=1
Справедливо следующее утверждение.
2.2. Указанная формула корректно определяет мажорируемый оператор /м : Б (А) —>• У, причем
х с1ц
Рассмотрим главный идеал 0(1) порожденный единицей 1 и введем в нем норму ||ж|| := іпґ{Л : |ж|^А1}. Тогда С (1) —А М-пространство. Пусть С (А) — замыкание в (А) в ЛМ-пространстве 0(1).
2.3. Оператор допускает едппствеппое мажорируемое продолжение на С (Л), которое обозначим тем же символом. При этом | ІЦ | = 1щ.
< См. [11; пп. 1.2.1, 1.2.2]. >
2.4. Для каждого мажорируемого оператора Т : С (А) —>• У существует единственная мажорируемая мера ц : А —>• У такая, что
Предположим теперь, что А — ст-подалгебра в (£(1). Рассмотрим расширенное Ксг-пространство Е С С состоящее из всех Д-значных разложений единицы (спектральных функций). Включение Е С С понимается в смысле отождествления ^-пространств С и Д((£(1)).
2.5. Определим теперь интеграл от элемента, аппроксимируемого А-простыми элементами. Скажем, что положительный элемент х Е Е интегрируем по мере /л, или ц-интегрируем, если существует возрастающая последовательность (жп)пен положительных элементов в 5'(Д), о-сходящаяся в (1 к х, причем супремум 8ир„е ; [ х(I |//| существует в /•’. Для последовательности (хп) последовательность интегралов (/м(жп))пем будет Ьо-фундаментальной, поэтому можно определить интеграл от элемента х, полагая
Корректность этого определения проверяется без труда, см. [11; п. 1.2.6]. Элемент х Е Е интегрируем (= //-интегрируем) если его положительная часть х+ ,, отрицательная часть хГ интегрируемы. Обозначим символом £' (//) множество всех интегрируемых элементов и для каждого X е Сх(ц) положим
Легко проверить, что С1 (/і) — фундамент в Е ж 1^ : С1 (ц) У — линейный оператор. Заметим также, что из конструкции интеграла следует С1 (//.) = £1(|//.|). Определим в £1(/і) векторную норму со значениями в і*1:
Скажем, что два элемента ж, у Е С1 (/л,) /л,-эквивалентны, если существует единичный элемент е Е 0(1). для которого Ы (1 — е) = 0 и [е}х = [е]у. Множество Л’!//) всех элементов //-эквивалентных нулю будет секвенциально о-замкнутым порядковым идеалом в £' (//). Из определения интеграла видно, что Л/"(//) = {ж е £1(//) : |ж| 1 = 0}. Введем ^-пространство Ь1(//) как фактор-пространство £1(//) по сг-идеалу Л/”(//). Класс эквивалентности элемента х Е £1(//) будем обозначать символом ж. Векторная норма на С1 (/л,) со значениями в Е определяется формулой |ж| 1 := |ж| (ж е £х (//)). Таким образом, (Ь1(//), | • |) — решеточно нормированное пространство.
2.6. Теорема о монотонной сходимости. Допустим, что (хп)п£щ — возрастающая последовательность /л--интегрируемых элементов, для которой последовательность интегралов (^|м|(жп))пеМ порядково ограничена в Е. Тогда существует такой элемент ж е С1 (/л,), что в Ь1(//) выполнено ж = \/п %п и
< См. [11; п. 1.2.8]. >
2.7. Теорема о мажорированной сходимости. Пусть (жп)пем последовательность /л-интегрируемых элементов И 0-1'пи Хп = X в С. Если у Е £' (//) и |жп| ^ |/ (п е М), то х Е С1 (/л) и
< См. [11; п. 1.2.9]. >
2.8. Теорема. Пусть ц : Л —>• ¥ — счетно аддитивная мажорируемая мера. Тогда существуют фундамент £' (//.) с Ей секвенциально Ьо-непрерывный мажорируемый оператор : £' (//) —>• V такие, что имеют место утверждения:
(3) если Ь Э А и 1е = /л(е) (е е *Д) для некоторого фундамента Ь С Е и Ъо-непрерывного мажорируемого оператора I : Е —$■ У, то Ь С С1 (/л) и Iх = //(.г (ж Є Ь);
/
/
(1) £х(/0 3 Л;
(2) /ме = //(е) (е є *4);
(4) |/м| = /м.
< См. [11; п. 1.2.4]. >
2.9. Теорема. Пусть Е$ — фундамент в Е, содержащий порядковую единицу иТ : /•,’(! —>• V — секвенциально Ьо-непрерывный мажорируемый линейный оператор. Тогда существует единственная мажорируемая а-аддитивная мера ц : А —>• У такая, что С1 (/л) Э Е0 и
Тх= / х іі/і. \Т\х= / х (I ы (х Є Е0).
< См. [11; п. 1.2.11]. >
2.10. Решеточно нормированное пространство (Ь1(//), | • |) Ъг-полно.
< Доказательство основано на тех же соображениях, что и доказательство теоремы Рисса — Фишера для скалярных мер. Приведем схему доказательства. Если последовательность (жп)пем /«-фундаментальна, то \хп ^ хт\ ^ / д./ (п, /и ^ /.:) для некоторого элемента / е и числовой последовательности ('гп)п£М5 сходящейся к пулю. Положим £(/) := {х е Ь1^) : |ж| е .Р(/)}, где ^(/) — порядковый идеал, порожденный элементом /. Тогда (хп) С Ь(/) и достаточно убедиться в том, что £(/) — банахово пространство с нормой 11ж11:= II \х\ 11-Р(/)- Допустим, что ряд У^=, хп абсолютно сходится в /,(/)• Тогда ряд 1 |.г„| сходится в ЛМ-пространстве /•’(/). стало быть, г-сходится к той же самой сумме. Положим
оо п п
*:=1>1, (Тп-=^2,Хк: 8П:= ^ |^|.
&=1 &=1 &=1
Как видно, последовательность (вп) состоит из положительных членов, возрастает и ^ ^ £. Следовательно, по теореме о монотонной сходимости сущест-
вует предел у := о-Пт 5П, содержащийся в Ь1(//). Неравенство |сгп| ^ зп ^ у влечет, что ряд а* о-сходится. Для суммы этого ряда .си выполнена оцен-
ка |жо| ^ у, откуда хо е Ь1(//). Привлекая теорему 2.7 о сходимости, выводим к» - /0| = / |сгп - .Г(, г/1//| ->• 0. >
Можно получать дальнейшие результаты о полноте пространства интегрируемых элементов при соответствующих дополнительных ограничениях. Например, можно установить секвенциальную Ьо-полноту /.1 (//). если пространство /•’ регулярно. Однако разложимость зависит от существенно других свойств меры.
3. Модулярные векторные меры
В этом параграфе введем модулярные меры и выясним условия разложимости и полноты по векторной норме пространства суммируемых элементов.
3.1. До конца параграфа предполагаем, что У — пространство Банаха — Канторовича над ^-пространством Р и ц : А —>• У — счетно аддитивная мера. Введем пулевой идеал меры ц формулой
М(^) := {а Е А : (\/а'еЛ)а'^а //(а') = 0}.
Понятно, что Л"(//) = Л’(|//|) = {а е А : |//| (а) = 0}. Пусть Д и ф обозначают фактор-алгебру Л/Л/’(/х) и каноническое фактор-отображение Д/А/Х/х) —>• Л соответственно. Существует единственная мера /2 : *4 -4- У, для которой Доф = ц. Более того, |Д| = |/х|.
Пусть задан булев гомоморфизм к : В:= ф( /•’) -4- Д. Будем говорить, что ц модулярна относительно к или к-модулярна, если Ь/2(0а) = р,{к{Ъ) А 0(а)) для всех а (Е *Д и Ь £ В. Как видно, модулярность меры // означает, что Ь/х (а) = /х(Ь' А а') для всех а' е 0(а) и Ь' 6 к(Ъ).
Пусть е := \/{Ь е В : (У а е А) Ьц(а) = 0}. Тогда ец(А) = {0} и ц(А) С (1 —е)У. Более того, Ь^(А) = {0} в том и только в том случае, если к(Ь) Е Тем самым, к инъективен на [0,1 — е]. В дальнейшем будем считать, что //(А) 1 1 = У и в этом случае к представляет собой изоморфное вложение В в Д. Будем говорить, что /г-модулярная мера ц насыщенна (относительно к), если для любого разбиения единицы (Ь^)^е= в В и произвольного семейства (а^)^е= в А существует единственный (с точностью до эквивалентности) элемент II (г А. такой, что Ьг |//| (а Ачг) = 0 для всех £ е 5. Это условие равносильно тому, что к(Ъ^) А ф(а) = к(Ъ^) А ф(а^) (£ € Е), поскольку ц /г-модулярна.
3.2. В работе [20] М. Райт определил модулярность меры следующим образом. Рассмотрим гомоморфизм ж : С (О) —>• Ь°°(р) ((^ — экстремальный компакт). Меру // : В —>• С (О) называют модулярной относительно 7г, если
J ж(а)/с1[л = а J f dfл (а £ С((^): / е Ь1(/х)).
Эквивалентность этого определения с данным выше вытекает из 2.10, 3.6 и наличия модульной структуры в разложимом решеточно нормированном пространстве (см. [5, 7]). Насыщенность же меры // согласно М. Райту [20] означает, что пространство /,2 (//) представляет собой модуль Капланского — Гильберта. Это определение также равносильно данному выше в силу 3.6 и критерия полноты решеточно нормированного пространства из [5, 7].
3.3. Мера ц модулярна относительно булева изоморфизма к в том и только в том случае, если таковой является ее точная мажоранта |//|.
< Допустим, что // /г-модулярна и докажем соотношение ЬЫ{Ф{а)) = \1л\{к(Ъ) А ф(а)). Оно равносильно равенству Ь|/2| (ф(а)) = |/2| {к(Ъ) А ф(а)),
поскольку |//| = |//|. Теперь требуемое проверяется следующими простыми вычислениями использующими 2.1:
попарно дизъюнктны и Н(Ь) = ф(У) для некоторого Ъ' £ А. Обратное утверждение следует из доказанного ниже предложения 4.3. >
3.4. Пусть Р—К-пространство счетного типа. Тогда всякая счетно аддитивная Н-модулярная мера //. определенная на а-алгебре, будет насыщенной.
< Для счетного разбиения единицы (Ьп) С В и последовательности (ап) С А положим а := \/{сп А ап : п е КГ}, где (сп) — последовательность попарно дизъюнктных элементов в А, для которых Н(ЬП) = ф(сп) (п (Е КГ). Используя модулярность и счетную аддитивность меры //. выводим:
В дальнейшем будем отождествлять меры // и /'/. если это не ведет к путанице.
3.5. Решеточно нормированное пространство /.1 (//) дизъюнктно разложимо в том и только в том случае, если // — модулярная мера.
< Пусть мера модулярна относительно некоторого булева гомоморфизма к. Докажем, что Ь\х\ 1 = |/г(Ь)ж| 1 для всех Ь е В и ж е Ь1(/х). Отождествим
XI&{Ф(.ск)) '■ С1 V • • • V сп = 0(6') А 0(а)
^2 ц(ф(Ь!) А ф(ак)) : а± V • • • V ап = а к=1
к= 1
п
п
Ы (ЩЬ) Аф(а)),
где конечные множества {ах, ■ ■ ■, ап} С А, {а,х, ■ ■ ■, ап} С Л, и {сх,..., сп} С Л
ОО
ОО
ЬшКа) = X Л ап) = X Ьт{л(ф(сп) А ф(ап))
П=1
п= 1
ОО
^2 ^(Ф(сш) Л <Ксп) А ф{ап)) = Д(Л(Ьт) Л 0(ат))
П=1
ЬтЦ{Ф{_0"т)^) = ЬтЦ{(1т). [>
единичный элемент Н(Ь) е А с порядковым проектором [Н(Ь)} в Е и будем писать Н{Ъ)х вместо [к{Ъ)}х. Если х = т\а\ + ••• + тпап, где т\,...,тп е К произвольны, а а±,..., ап е Л попарно дизъюнктны, то Н{Ъ)х = тгИф) А а\ + • • • + тпН{Ъ) А ап и можем написать
Возьмем теперь возрастающую последовательность (хп) С 5'(Л) такую, что /м(ж) = Ьо-Итп 1^(хп). Тогда Н{Ъ)х = о-Птп Н{Ъ)хп, поскольку порядковый проектор [/г(6)] порядково непрерывен. Более того, Н{Ъ)хп ^ х, и значит Н{Ъ)х Є Ь1(/х), так как Ь1(/х) — порядковый идеал в Е. Используя теорему 2.7 о сходимости, выводим
Отсюда видно, что Ь1(/х) (/-разложимо. Обратное очевидно. >
3.6. Решеточно нормированное пространство Ь1(/х) дизъюнктно полно в том и только в том случае, если мера // насыщенна.
< Допустим, что // насыщенна. Пусть (6г )ген — разбиение единицы в ф(Р), а {х^)^£Е — ограниченное по норме семейство в Ь1(/х). Пусть е^(-) : К —>• А — спектральная функция элемента .г г и положим по определению
Функция А И- е(А) служит разложением единицы. Это можно проверить непосредственным вычислением, используя бесконечные дистрибутивные законы в векторной решетке. В обосновании нуждается лишь равенство е := Д{е(А) : А е 1} = 0. Поскольку — разложение единицы в А/М([л), то достаточ-
но доказать, что Ь(1)г) д с = О для всех £ е 2. Соответствующие вычисления имеют вид:
П
П
1^(ЦЬ)х) = ^2тк{л(]%(Ь) А ак) = ^2ткЬ{л(ак) = ЦДж)
к=1
к=1
Ыц(х) = Ъ(Ъо- ІІП1 /м(жп)) = Ъо- ІІП11^{Н{Ъ)хп) = 1^{Н{Ъ)х).
е(А):= \/ Н{Ъ{) Дее(А) (А Є К)
еєн
Н(ЪТ1) А е = Д Н{ЪТ1) А е(—п) = Ь(ЪТ1) А \!
П= 1
оо
оо
оо
Д V л Нк)е<(^п) = Д ЧЬті) Л е„(-га) = 0.
п=1^ЄН
П=1
По теореме о реолизации расширенного ^-пространства в виде векторной решетки всех разложений единицы в фиксированной полной булевой алгебре (см. [2, 3]) существует элемент х в максимальном расширении шЬ1(/х), для которого е(А) = е\ (А Є К). Если у Є Ьг{ц) — верхняя граница семейства (|ж£І), то |ж| ^ у, стало быть, х Є Ь1(/х). Применив 1.4.2(10) из [9], получим еНЬ^)х _ еЛ(ь€)ж€ ^ ^ откуда к{Ъ^)х = к{Ъ^)х^. Итак, мы проверили, что /.1 (//) дизъюнктно полно. Обратное утверждение очевидно и теорема доказана полностью. >
4. Интегральные операторы Магарам
В данном параграфе показано, что модулярная мера насыщенна в том и только в том случае, когда пространство суммируемых элементов с интегральной нормой — пространство Банаха — Канторовича, а интеграл — оператор Магарам. Устанавливается также вариант теоремы Радона — Никодима для насыщенных мер.
4.1. Теорема. Для счетно аддитивной меры со значениями в пространстве Банаха — Канторовича равносильны следующие утверждения:
(1) // — насыщенная мера;
(2) Ы — насыщенная мера;
(3) Ь1(/х) — пространство Банаха — Канторовича;
(4) Ь1(/х) — порядково полная векторная решетка и оператор Т : —>• Р, определенный формулой Тх = Іц{х) (х Є £1(/х)), является оператором Магарам.
< (1) =>■ (2): Следует из 3.6.
(2) =>■ (3): Следует из 2.10, 3.6 и критерия полноты решеточно нормированного пространства из [5, 7].
(3) =>■ (4): Как нетрудно убедиться векторная решетка Ь1(/х) порядково а-полна. По теореме 2.6 /•’-значная норма в /.1 (//) секвенциально порядково непрерывна, т. е. для убывающей последовательности (хп) С Ь1(/х) выполняется и-Пт |.г„ | = 0, если только о-Іітпхп = 0. Возьмем порядково ограниченное множество М С Ь1(/х) с верхней границей и Є Ь1(/х). Без ограничения общности можно предположить, что М содержит все элементы вида Х\ V • • • V хп и Ьо-Е^єа М^)ж£, гДе {жъ..., хп} С М, (х%) С М, и (ь€) — разбиение едини-ницы в ф( /•’). В самом деле, добавив к М такие элементы, множество верхних границ М не изменится. Положим /:= нир{ |.г| : х Є Л/ }■ ^ \и\ и выберем последовательность (хп) С М, для которой / —|ж„| ^ (1/п)/. Если уп:= х\У• • -Ужп, т0 / — \Уп\ ^ (1 /гг)/ (п Є КГ) и (уп) возрастает. Если у = вирпуп, то |у| = /. Возьмем теперь произвольный элемент г (г М и проверим, что г //. Для этого заметим, что о-Птп уп У г = у У г ^ у к о-1ітп \уп V г\ = |у У г I ^ /,
так как уп V г Е М. Таким образом, / ^ |у| ^ \у V г\ ^ /, значит, / = |// V :|. Поскольку норма /.1 (//) аддитивна на конусе, имеют место равенства I = | (// V ~ - //) - //| = I// V г - у\ + \у\ = \у V г - у| + /, откуда |// V г - //| = О и // V : = //. Тем самым установлено, что у = вир(М) и Ь1(/х) иорядково полно.
Рассмотрим направленное вниз множество I) и пусть ’тГ(А)) = 0. Положим /:= тГ{ |.г| : х Е I) }•. Повторив приведенные выше рассуждения, можно выбрать последовательность (уп) С Ь1(/х) (не содержащихся, вообще говоря, в £)) такую, что / = т£п|уп| и 0 = т(пуп. Так как норма иорядково а-непрерывна, то получаем / = 0. Тем самым, Т иорядково непрерывен, поскольку Тх = \х+\ — |.г“|. Ввиду свойства разложимых решеточио нормированных пространств (см. [5, 7]) Ьг{ц) допускает согласованную модульную структуру над ОгШ(Р). Следовательно, если 0 ^ ^ Тх для некоторого 0 ^ х Е Ь1(/х),
то существует 7г Е Ог) Ь( /•’) такой, что / = тгТх = тг \х\ = \'кх\ = Т(тгх). Таким образом Т обладает свойством Магарам.
(4) =>■ (1): Непосредственно следует из свойств оператора Магарам, см. [7]. >
4.2. Пусть и : А Е и /I- : А —> )’ — конечно аддитивные меры. Говорят, что абсолютно непрерывна относительно ь> и пишут || < г/, если
|/х(а)| Е ь>{А)±± для всех а Е А. Как видно, из ц, <С и следует М{и) С Л/”(/х), поэтому корректно определен булев гомоморфизм д : А/М(ь>) —>• А/М([л) формулой до ф' = ф, где ф' — канонический фактор-гомоморфизм из А и А/М{р). Обозначим символом \„ порядковый проектор в Е, соответствующий единичному элементу II (г А.
4.3. ь> Ь, V, [л код.
< Не ограничивая общности можно предположить, что ь> положительна. По условию для каждого Ъ Е В выполняется |/х(/г(Ь) Л ф(а)^ | Е
р{Н{Ь) А ф'(а))±_1“, стало быть, Ь^^{Н{Ь) А ф(а)) = 0 для всех Ь Е В и а Е А. Отсюда выводим ц(Ь,(Ь) Л ф(а)) = Ьц(1г(Ь) А ф(а)). Заменив Ь на Ь±, получим Ь/х(/г(Ь±) Л ф{а)) = 0, откуда Ьц(ф(а)) = Ьц(1г(Ь) А ф(а)). Следовательно, Ь^{ф{а)) = ^(Н{Ь) А ф(а)), что и требовалось. >
4.4. Теорема Радона — Никодима. Пусть /х, и : А —>• Р — счетно аддитивные меры, причем // положительна и насыщенна. Если ь> абсолютно непрерывна относительно //. то существует такой элемент у Е £' (//). что
< Предположим сначала, что \ь>\ ^ р. Определим оператор Б» : Ьг{р) —$■ Р формулой
Как видно, Я,, < Г, стало быть, по теореме Радона — Никодима для операторов Магарам (см. [5, 13]) можно найти такой р Е ОйЬ(Ьх(/х)), что \р\ ^ / и £>1,(и) = Т(ри) (и е Ь(/х)). Ортоморфизм р представляется в виде р(и) = уи для некоторого у Е Ьг(р,), |у| ^ 1, откуда
Чтобы рассмотреть общий случай, положим ь>п := и Л (п/х) и := 5^ (п Е КГ). Тогда ь>п /* ь>, Бп /* Б» к в силу доказанного выше существует возрастающая последовательность (уп) Е £1(/х), для которой г/п(а) = 1р,{ХаУп) (а Е А). Поскольку /м(уп) = ^п(1) ^5 ^(1)? можно применить теорему о монотонной сходимости. Таким образом, элемент у := вирпуп содержится в Сг{р) и Ка) = 1,ЛХа,у) {а Е А). >
4.5. Теорему 4.4 по-существу установил М. Райт в [20] другим способом. Он вывел этот факт из следующего вспомогательного утверждения, непосредственно вытекающего из одного результата И. Капланского [12; теорема 5] (см. [20; лемма 4.2]):
Пусть р — насыщенная мера со зпачеппямп в С (О) п Т : Ь2(р) —>• С (О) — ограниченный по норме модульный гомоморфизм. Тогда существует единственная функция д Е Ь2(р), для которой
4.6. Пусть р — положительная насыщенная мера. Тогда отображение х —>• их, где ь>х определяется формулой их(а) := 1^(Хах) (а Е А), будет решеточным изоморфизмом векторных решеток Ьг(р) И {/х}±Х.
1. Акилов Г. П., Кутателадзе С. С. Упорядоченные векторные пространства.—Новосибирск: Наука, 1978.—368 с.
2. Вулих Б. 3. Введение в теорию полуупорядоченных пространств.—М.:
и (а) = Т(хаУ) = / ХаУЛр (а Е А).
Литература
ГИФМЛ, 1961,—407с.
3. Канторович Л. В., Вулих Б. 3., Пиискер А. Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах.—М.-.1.: Гостехиздат, 1950.—548с.
4. Кусраев А. Г. Общие формулы дезинтегрирования // Докл. АН СССР.— 1982,—Т. 265, № 6,—С. 1312-1316.
5. Кусраев А. Г. Векторная двойственность и ее приложения.—Новосибирск: Наука, 1985,—256 с.
6. Кусраев А. Г. Линейные операторы в решеточно нормированных пространствах // Исследования по геометрии «в целом» и математическому анализу.—Новосибирск: Наука, 1987.—С. 84-123.
7. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы // В кн: Линейные операторы, согласованные с порядком.—Новосибирск: Изд-во Ин-та мат-ки СО РАН, 1995,—С. 212-292.
8. Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Нестандартная теория векторных решеток // В кн: Векторные решетки и интегральные операторы / Бухвалов А. В., Коротков В. Б., Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С., Макаров Б. М.—Новосибирск: Наука, 1991.—214с.; Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1996.
9. Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Субдифференциалы. Теория и приложения.—Новосибирск: Наука, 1992.—270 с.; Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1995.
10. Кусраев А. Г., Малюгин С. А. О порядково непрерывной составляющей мажорируемого оператора // Сиб. мат. журн.—1987.—Т. 28, № 4.—С. 127139.
11. Кусраев А. Г., Малюгин С. А. Некоторые вопросы теории векторных мер.—Новосибирск: Изд-во Ин-та мат-ки СО АН СССР, 1988.—182 с.
12. Kaplansky I. Modules over operator algebras // Amer. J. Math.—1953.—V. 75, No. 4, P. 839-858.
13. Luxemburg W. A. J. and Schep A. A Radon-Nikodym type theorem for positive operators and a dual // Indag. Math. (N.S.).—1978.—V. 40.—P. 357-375.
14. Maharam D. The representation of abstract measure functions // Trans. Amer. Math. Soc.—1949,—V. 65, No. 2. P. 279-330.
15. Maharam D. Decompositions of measure algebras and spaces // Trans. Amer. Math. Soc.—1950,—V. 69, No. 1. P. 142-160.
16. Maharam D. The representation of abstract integrals // Trans. Amer. Math. Soc.—1953,—V. 75, No. 1. P. 154-184.
17. Maharam D. On kernel representation of linear operators // Trans. Amer. Math. Soc.—1955,—V. 79, No. 1. P. 229-255.
18. Maharam D. On positive operators // Contemp. Math.—1984.—V. 26.— P. 263-277.
19. Wickstead A. W. Stone algebra valued measures: integration of vector-valued
functions and Radon-Nikodym type theorems // Proc. London Math. Soc.— 1982,—V. 45, No. 2. P. 193-226.
20. Wright J. D. M. A Radon-Nikodym theorem for Stone algebra valued measures // Trans. Amer. Math. Soc.—1969.—V. 139.—P. 75-94.
21. Wright J. D. M. Stone algebra valued measures and integrals // Proc. London Math. Soc. Proc. London Math. Soc.—1969.—V. 19, No. 3.—P. 107-122.
22. Wright J. D. M. The measure extension problem for vector lattices // Ann. Inst. Fourier (Grenoble).—1971.—V. 21.—P. 65-68.
23. Wright J. D. M. Vector lattice measure on locally compact spaces // Math. Z.—1971.—V. 120,—P. 193-203.
г. Владикавказ
Статья поступила 15 топя 2000 г.
