CC BY
15
Владикавказский математический журнал Июль сентябрь, 2002, Том 4, Выпуск 3
УДК 517.98
О ТЕОРЕМАХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ А. Д. АЛЕКСАНДРОВА И А. А. МАРКОВА ДЛЯ МАЖОРИРУЕМЫХ ОПЕРАТОРОВ
А. Г. Кусраев, С. А. Малюгин
Для мажорируемых операторов, действующих из решетки ограниченных непрерывных функций в решеточно нормированное пространство, установлены две теоремы об интегральном представлении, обобщающие результаты А. Д. Александрова и А. А. Маркова. Доказан также вариант теоремы С. Улама о радоновости любой борелевской меры на польском пространстве.
Рассмотрим произвольный компакт С,понимаемый в данной работе как хаус-дорфово компактное топологическое пространство. Пусть С{С}) — пространство всех непрерывных действительных функций, определенных на, С,) и гса— пространство всех ограниченных регулярных счетно аддитивных мер, определенных на борелевской ст-алгебре С,). Напомним, что регулярность меры означает возможность приближения произвольных значений меры ее значениями на замкнутых множествах. Как известно, С((2) — векторная решетка, а гса((2) — порядково полная векторная решетка (относительно поточечного упорядочения). Более того, если снабдить С {С}) эир-нормой, а норму в гса((2) определить формулой ||//|| := |//|(<5), где — вариация (или, что то же, модуль) меры ¡л €Е гса((2), то эти пространства становятся банаховыми решетками, см. [8].
1.1. Теорема Рисса — Маркова — Какутани. Для любого линейного непрерывного функционала / €Е С {О)' существует единственная ограниченная счетно аддитивная регулярная борелевская мера €Е гса(<2) такая, что
Соответствие f /л f служит линейной изометрией и решеточным изоморфизмом банаховых решеток С {О)' и гса(<Э)-
< Доказательство см., например, в книгах Н. Данфорда и Дж. Шварца [7], П. Хал-моша [16], А. Цаанена [52]. >
Считается, что первое корректное доказательство этой теоремы для случая = [О, 1] дал Ф. Рисс в 1909 году, причем он, в отличие от приведенной формулировки, использовал интеграл Римана — Стилтьеса вместо интеграла Лебега. В случае произвольного компакта С} для положительных функционалов утверждение 1.1 содержится
§ 1. Введение
Я
© 2002 Кусраев А. Г., Малюгин С. А.
по существу в работе А. А. Маркова [15] 1938 года, хотя явной формулировки не приводится. Почти в указанном виде теорема 1.1 установлена С. Какутани [26] в 1941 году. Однако следует подчеркнуть, что современная форма теоремы 1.1, а также различные ее варианты, называемые часто теоремами Рисса о представлении, — дело рук гораздо большего числа математиков (Ж. Адамар, А. Д. Александров, С. Банах, И. Радон, С. Сакс, М. Фреше, Э. Хелли, и др.). Раннюю историю теоремы Рисса о представлении см. в статье Дж. Д. Грея [25], а различные аспекты, обобщения и приложения — в обзорах Дж. Батта [18] и Р. Ф. Вилера [45]. Краткий исторический комментарий по этому вопросу имеется и в книгах Н. Динкуляну [22], Дж. Дистеля и Дж. Уля [21], 3. Семадени [44], Р. Эдвардса [17].
Для некомпактного пространства С} вместо С {С}) рассматривают пространство ограниченных непрерывных функций на С,снабженное эир-нормой и обозначаемое символом Съ{(5)- Первое описание элементов пространства Съ{Я)' принадлежит А. А. Маркову [15], который привлек для этой цели конечно аддитивные регулярные меры (внешние плотности), поскольку для некомпактного множества гса((2) оказалось недостаточным для представления линейных ограниченных функционалов на Съ{Я)- Затем А. Д. Александров [1-3] развил теорию конечно аддитивных регулярных мер (зарядов) и, в частности, дал полное описание пространства Съ{Я)'■ Пусть Д(<2) обозначает алгебру множеств, порожденную совокупностью всех открытых множеств в (3, а га(*4((2)) — множество всех ограниченных конечно аддитивных регулярных мер, определенных на алгебре Д(<2).
1.2. Теорема Александрова — Маркова. Пусть С} — нормальное топологическое пространство. Для любого линейного непрерывного функционала / €Е Сь(С?)' существует и притом единственная ограниченная конечно аддитивная регулярная мера ///:=// €Е га(Д((2)) такая, что
Соответствие f /л f служит линейной изометрией и решеточным изоморфизмом банаховых решеток Съ{Я)' и га(Л(<Э))-
< Доказательство для положительных функционалов, принимающих единичное значение на тождественной единице (средних значений на (3), получено А. А. Марковым [15; теорема 22]. Общий случай содержится в результатах А. Д. Александрова [2; теоремы 1 и 2]. >
1.3. Теорема Александрова. Для произвольного топологического пространства <3 имеет место «бэровский» вариант теоремы 1.2, т. е. теорема 1.2 остается в силе, если заменить алгебру *4(£?) на алгебру *4о(С?), порожденную всеми функционально открытыми множествами в (3.
< А. Д. Александров [1-3] использовал пространства, несколько более общие, чем топологические. В частности, в качестве совокупности всех открытых множеств можно рассматривать функционально открытые множества, для которых аксиома нормальности выполняется автоматически. Тем самым, требуемое является частным случаем [2; теоремы 1 и 2]. >
Теорему представления Рисса для положительного оператора со значениями в К-пространстве впервые получил, по-видимому, Р. Р. Кристиан [20], а затем повторил
Я
Е. Берц [19]. Варианты этих результатов получены также в работах 3. Липецкого [33, 36]. Все упомянутые работы содержатся в круге идей А. А. Маркова и А. Д. Александрова и, по существу, адаптируют рассуждения, известные для скалярного случая. Принципиально новые идеи появились в связи с работами М. Райта [46-51]. М. Райт обнаружил, в частности, что задача продолжения меры со значениями в К-пространстве не разрешима методом Каратеодори, в связи с чем он ввел понятие квазирегулярной меры. Другой подход к задаче продолжения меры нашел С. Хурана [27, 28]. Разные аспекты этого же круга проблем изучали А. Г. Кусраев и С. А. Малюгин [10, 11], Т. В. Панчепагесан и Ш. В. Паллед [37, 38], Д. Фремлин [23], Б. Ричан [40, 41] и др.
Цель настоящей работы — доказать теоремы А. Д. Александрова и А. А. Маркова (теоремы 1.2 и 1.3) для операторов, действующих в решеточно нормированные пространства. Будем придерживаться терминологии и обозначений из монографий [5,
Напомним некоторые понятия и факты из теории векторных мер и теории решеточно нормированных пространств. Подробности можно найти в [10] и [31].
2.1. Пусть А — произвольная булева алгебра. Отображение определенное на А и действующее в произвольное векторное пространство Z, называют (конечно аддитивной векторной) мерой, если ц{а,\ V аг) = + ц{а,2) для любой пары дизъюнктных элементов 01,02 €Е А■ Пусть /• — векторная решетка. Меру ц •. А —г Р называют ограниченной, если ц{А) — порядково ограниченное множество в Р. Если же ц{а) 0 для всех а 6 А, то ¡л именуют положительной. Обозначим символом Ьа(*4, .Р) (Ьа_|_(*4, .Р)) пространство всех ограниченных (положительных) векторных мер, определенных на А и действующих в Р. Ясно, что пространство Ьа(*4, Р) с операциями, индуцированными из Р-4, и упорядоченное конусом положительных мер Ьа_|_(*4, Р), будет упорядоченным векторным пространством.
Предположим, что У — решеточно-нормированное пространство над векторной решеткой Р и возьмем векторную меру [х : А ^ У- Если для некоторой положительной меры V : А —У Р выполняется соотношение |/л(а)| и(а) (а 6 Л), то // назовем мажорируемой векторной мерой, а меру и — мажорантой меры ¡л. Обозначим символом с1а(А, У) векторное пространство всех мажорируемых векторных мер, определенных на А и действующих в У. Если существует наименьший элемент в множестве та.](//) всех мажорант меры // (относительно порядка, индуцированного из Ьа(Д, Р)), то его называют точной мажорантой или, реже, точной доминантой меры // и обозначают символом \ц\. Мажорируемую меру принято называть также мерой ограниченной векторной вариации, а точную мажоранту |//| — векторной вариацией меры ¡л.
Пусть с1са(*4, У) — пространство всех счетно аддитивных мер, действующих из А в У. Счетная аддитивность // €Е с1а(Л, У) означает, как обычно, что для последовательности попарно дизъюнктных элементов (ап) С А выполняется
Пусть (У, Р) — решеточно нормированное пространство над К-пространством Р. Каждая мажорируемая векторная мера ц 6 с1а(Д, У) имеет точную мажоранту |//|.
8, 9, 31].
§ 2. Вспомогательные сведения
которую можно вычислить по формуле:
С п п
(а) = эир-ч ^ \ц(ак)\ : аь ... ,ап е А, ак Л щ = 0 (к ф I), ак = а ^=1 к=1 ^
< См. [31; 4.2.9(1)]. >
2.2. Пусть Е и Е — векторные решетки, X и У — решеточно нормированные пространства над Е и Е соответственно. Возьмем линейный оператор Т : X У и положительный оператор Б : ^ Р. Если выполнено соотношение
|Т®| < 5( |®|) (х€Х),
то будем говорить, что Б мажорирует Т или, что Б является мажорантой оператора Т. В этой ситуации оператор Т называют мажорируемым. Пусть та,](Т) обозначает множество всех мажорант оператора Т. Множество всех мажорируемых операторов из X в У обозначается символом М(Х,У), следовательно,
Т е М(Х, У) maj(T) ф 0.
Если в множестве maj(T) имеется наименьший элемент относительно порядка, индуцированного из L~(E,F), то его называют точной мажорантой или наименьшей мажорантой Т и обозначают символом |Т|. Точную мажоранту называют еще мажорантной норм,ой. Если мажорируемый оператор Т : X ^ У имеет точную мажоранту |Т|, то
|ТжК|Т|(|ж|) (х€Х).
(1) Всякий мажорируемый оператор Т е М(Х,У) Ьг-непрерывен, т. е. если последовательность (хп) С X Ьг-сходится к х €Е X, то последовательность (Тхп) Ьг-сходится к Тх в У. Мажорируемый оператор Tq €Е M(Xq,Y), заданный на Ьг-плотном подпространстве Xq С X допускает единственное продолжение до мажорируемого оператора Т0 е M(XQ, У) с сохранением мажоранты.
< См. [31; 4.1.1]. >
(2) Earn решеточно нормированное пространство X разложимо, а векторная решетка F порядково полна, то каждый мажорируемый оператор Т : X ^ У имеет точную мажоранту \Т\. При этом имеют место формулы
п
\T\r sii[) <j : -П......'■„ е -V. \xk\ = е, n е N }> (е £
k=1 k=1
|Т| e = sup{|T| e0 : e0 € E0+, e0 < e} (e € E+), |T| e = |T| e+ — |T| e~ (e € Й).
< Cm. [31; 4.1.2, 4.1.5]. t>
2.3. Пусть С? — расширенное .^-пространство с порядковой единицей 1, а (У, .Р) — секвенциально Ьо-полное решеточно нормированное пространство над ^-пространством Р. Рассмотрим подалгебру А ст-полной булевой алгебры ©(1) единичных элементов пространства О и конечно аддитивную меру /] : Л 7 с точной можорантой \ц\ : А ^ -Р. Обозначим символом векторную подрешетку в О,
состоящую из всех Д-простых (конечнозначных) элементов О, т. е. ж €Е означа-
ет, что имеет место представление ж = а/к,ек-, гДе «ъ ..., скп £ К произвольны, а
в1,..., еп £ А попарно дизъюнктны. Положим
п
1ЛХ)'= / ^Ф-^ад!^) (же5(Д)).
Ясно, что эта формула корректно определяет мажорируемый оператор I^ : У,
причем
хйц ^ J |ж|й|//| (ж £ >?(Л)).
Рассмотрим главный идеал 6(1), порожденный единицей 1, и введем в нем норму ||ж|| := т£{А : |ж| А1}. Тогда 6(1) — АМ-пространство. Пусть С(А) — замыкание Б(А) в АМ-пространстве 1). Оператор I^ допускает единственное мажорируемое продолжение на С(Л), которое обозначим тем же символом. При этом | 1 = 1ц.
Для каждого мажорируемого оператора Т : С (А) ^ У существует единственная мажорируемая мера цт '■ А ^ У такая, что
Тх = J хдц (ж еС(Л)).
Соответствие Т ^т осуществляет линейную изометрию решеточно нормированных пространств М(С(А), У) и с1а(Л, У).
< См. [31; 6.1.1]. >
2.4. Ниже будем рассматривать также тот частный случай ситуации 2.3, когда в качестве расширенного К-пространства О фигурирует векторная решетка Ж^ всех вещественных функций, определенных на непустом множестве С,). Пусть А — алгебра подмножеств множества <3, т. е. А С Т^)- Эту алгебру можно отождествить с изоморфной алгеброй характеристических функций {1.4 := ха А €Е Л}, так что — пространство всех Д-простых функций на (}. Если / = аь,ХАк (-<4.1,..., Ап е Л)
и // € с1а(Л, У), то по определению
/п
/ф = ^акц{Ак). к=1
Интеграл I^ можно продолжить на пространство //-суммируемых функций, см. [10, 31].
Зафиксируем следующие обозначения: <3 — топологическое пространство; Т := Тд, Т := и К, := /Сд — соответственно совокупности открытых, замкнутых и компактных подмножеств (3; Съ{0) — пространство всех ограниченных непрерывных функций на (3• Для семейства V подмножеств (3 обозначим символом 2о(£>) (соответственно, Т,(Т>)) наименьшую подалгебру (соответственно, наименьшую с-подалгебру) в Р^), содержащую V. В этом случае будем говорить, как обычно, что порож-
дена (а £(£>) а-порождена) семейством V.
(1) Пусть Се Д. Рассмотрим семейства множеств К-с '■= {К €Е КГ)Л : К С С} и Тс '■= {-О £ Т П Л : -ОС С}, упорядоченные по включению. Меру ¡л : Л —> У называют радоновой (или квазирадоновой), если для любого С € Л (соответственно, для каждого С €Е ТПЛ) выполняется ц(С) = Ьо-\\ш{ц(К) : К €Е /Сс}- Меру ¡л : Л —> У называют регулярной (или квазирегулярной), если для любого СбЛ (соответственно, для каждого С еТП Л) выполняется ¡л(С) = Ьо-Нт {//(!)) : I) €Е ^"с}-
Как видно, в случае компактного С} эти два определения равносильны.
(2) Мера ¡л 6 с1а(Д, У) будет радоновой (регулярной) в том н только в том случае, когда радонова (регулярна) ее векторная вариация |//| е Ьа(Д, Р).
< См. [31; теорема 6.2.2.]. >
Аналогичный результат для свойства квазирадоновости (квазирегулярности) существенно сложнее и имеет место лишь при дополнительных требованиях.
(3) Предположим, что мера ¡л €Е с1а(Л, У) удовлетворяет одному из следующих
условий:
(a) алгебра Л порождается входящими в нее замкнутыми множествами, т. е. Л =
(b) [1. счетно аддитивна и алгебра Л а-порождается входящими в нее замкнутыми множествами, т. е. Л = Т,(Т П А).
Тогда мера ¡л квазирадонова (квазирегулярна) в том и только в том случае, если ее векторная вариация |//| квазирадонова (квазирегулярна).
< См. [10; теорема 2] и [31; теорема 6.2.З.]. >
§ 3. Формулировка основных результатов
Здесь дадим формулировки результатов о представлении мажорируемых операторов. Доказательства приводятся в следующем параграфе.
3.1. Пусть Е — расширенное К-пространство с единицей 1, а Ь — подрешетка Е, содержащая единицу и состоящая только из ограниченных элементов. Через €(1) обозначается полная булева алгебра всех единичных элементов К-пространства Е. В €(1) выделяется подрешетка всех спектральных характеристик Т£ = {е^ : А €Е Ж, ж £ 1} и подрешетка = {1 — ехх : А € Ж, х € Ь}. Символом 71 (соответственно Ть) обозначаем точные верхние (нижние) границы всевозможных подмножеств из Т£ (из Т^) и называем элементы из 7ь открытыми, а из Ть — замкнутыми. Если £ — семейство элементов из €(1), то через £о(£) (^(¿0) обозначается наименьшая алгебра (ст-ал-гебра), порожденная £. В дальнейшем всегда будем считать, что У — это Ьо-полное решеточно нормированное пространство с нормирующим К-пространством Р.
3.2. Векторную подрешетку Ь С Е называют разделяющей, если для любых е\ €Е Ть и 62 удовлетворяющих неравенству е\ <■■>. существует элемент х €Е Ь такой, что е\ ^ х ^ в2- Укажем два примера разделяющих подрешеток.
(1) Пусть С} — нормальное топологическое пространство. Положим Е = Ж^ — пространство всех вещественных функций на С}, а Ь = Съ(Я) — пространство всех ограниченных непрерывных функций на С}. Тогда Ь является разделяющей векторной подрешеткой в Е.
(2) Пусть Ь является порядковым идеалом всех ограниченных элементов в расширенном К-пространстве Е. Тогда 71 = Ть = <£(1) и Ь тривиальным образом является разделяющей решеткой.
Пусть Т С €(1) и Л := Меру ц : А -г У назовем Т-регулярной, если
ц{а) = Ьо-\\ш{ц{а!) : а! 6 Т, а! ^ а}. Следующий результат — вариант теоремы А. Д. Александрова для мажорируемых операторов.
3.3. Теорема. Пусть Т : Ь —> У — мажорируемый оператор, заданный на разделяющей подрешетке Ь К-пространства Е. Тогда существует единственная конечно аддитивная ^¿-регулярная мера ц : А{Ть) У, имеющая ограниченную векторную вариацию, такая, что
Сопоставление Т ц осуществляет линейную изометрию М(Ь,У) и пространства с1аг{А{Ть)-, У) регулярных конечно аддитивных мажорируемых мер.
< Доказательство приводится ниже в 4.1-4.7. >
Пусть обозначает алгебру множеств, порожденную совокупностью откры-
тых множеств топологического пространства С}.
3.4. Теорема. Пусть С} — нормальное топологическое пространство, /•' — некоторое К-пространство, а Т : Съ{0) ^ -Р" — положительный оператор. Тогда существует единственная положительная конечно аддитивная регулярная мера ц : А{0) -Р" такая, что
Соответствие Т цт служит линейным и порядковым изоморфизмом векторных решеток Ь~(СЪ{Я), -Р) и Ьга(Д(<2),
< Согласно 3.2 Ь:= Съ{Я) — разделяющая подрешетка К-пространства Е = М9. Поэтому требуемое следует из теоремы 3.1. О
3.5. Рассмотрим бэровский вариант теоремы 3.2. Для этого нужна соответствующая модификация понятия разделяющей подрешетки. Векторную подрешетку Ь С Е называем о-разделяющеб, если для любых е\ 6 < ■> €Е Т£, удовлетворяющих неравенству е\ <■■>. существует элемент х 6 Ь такой, что е\ ^ х ^ х,2- Примером ст-разделяющей решетки является пространство Съ{Я),, где — произвольное топологическое пространство.
3.6. Теорема. Пусть Г : I. У мажорируемый оператор, заданный на а-разделяющей решетке Ь. Тогда существует единственная конечно аддитивная Т¿-регулярная мера ц : У, имеющая ограниченную вариацию, для которой справедливо интегральное представление из теоремы 3.2.
< Доказательство аналогично 3.2. >
Пусть Ло(О) обозначает алгебру множеств, порожденную совокупностью функционально открытых множеств топологического пространства О.
3.7. Теорема. Пусть С} — произвольное топологическое пространство, /•' — некоторое К-пространство, а Т : Съ{0) ^ -Р" — порядково ограниченный оператор. Тогда существует единственная ограниченная конечно аддитивная регулярная мера ц\= цт '• Ао(Я) —> -Р1 такая, что
Тх = J х(д)ёц(д) (х € Сь(Я))
Я
Тх = J х(д)ёц(д) (х е Сь(С])) Я
Соответствие Т ^т служит линейным и порядковым изоморфизмом векторных решеток Ь~(Съ{0), -Р1) и Ьга(Л0(<3),
< Нетрудно видеть, что Ь := Сь(С— ст-разделяющая подрешетка К-прост-ранства Е = М9. Поэтому требуемое следует из теоремы 3.6. >
3.8. Теорему 3.4 для положительного Т установил Р. Кристиан [20], а затем Е. Берц [19]. Некоторое уточнение этой теоремы содержится в работе 3. Липецкого [36]. Теорему 3.7 получил 3. Липецки в [36]. О других разновидностях теоремы представления типа Рисса см. Е. Берц [19], Дж. Дистель и Дж. Уль [21], А. Г. Кусраев и С. А. Малюгин [10], Т. Панчапагесан и Ш. В. Паллед [38], А. Седа [43], Б. Фукс-штейнер и В. Ласки [24], С. Хурана [27, 28].
§ 4. Доказательство основного результата
Ограничимся доказательством теоремы 3.4. Теорема 3.6 устанавливается аналогично, а остальные факты из параграфа 3, как было отмечено в предыдущем параграфе, непосредственно следуют из указанных теорем. Начнем с простого вспомогательного утверждения.
4.1. Для произвольного / 6 Ть рассмотрим множество #(/):= {ж 6 Ь : ж ^ /} с индуцированным из Ь порядком. Как видно, Ф(/) фильтруется по убыванию. Для пары элементов , /2 6 Ть введем множество
Ф(/1,/2):= {(ж,ж!,ж2) €Е Ф(/х V /2) х Ф(Д) х Ф(/2) : ®1 + ж2 < ж}
с покоординатным упорядочением.
Если /1 и /2 дизъюнктны, то множество Ф(/1, /2) фильтруется вниз и коиници-ально в Ф := V /2) х $(/1) х Ф(/г). Последнее означает, что для любого р € Ф существует такой </• (г Ф. что ф ^ (р.
< Нужно лишь убедиться в справедливости последнего утверждения. Возьмем (ж, XI, Х2) £ Ф- Из свойства отделимости решетки Ь следует существование у 6 Ь такого, что /1 ^ у ^ 1 — /г- Положим по определению х[ := х\ А х А у, х' := х и х'2 '■= (х — х[) Лх2- Как видно, тройка (ж^ж'^ж^) входит в Ф(/1,/г) и (ж^ж'^ж^) ^ (ж, ж1,жг), что и требовалось. >
4.2. Пусть в : Ь Р — положительный оператор. Для произвольного / €Е .'/"/. положим
^оШ = ■ / < х, х е Ь).
Тогда отображение щ : Ть Р аддитивно, и при /ь/г €Е Ть, /1 /2 выполняется свойство плотности
"оШ = МЬ) + Мыл ■■ / < /2 - /ъ / е
< Непосредственно из определения г/0 видно, что V /2) ^ ^(Л) + ^(/г)-
Пусть ж' €Е Ь, ж' ^ /1 V /г- Тогда (ж', ж', ж') €Е Ф и в соответствии с 4.1 найдется тройка (ж, ж1,жг) € Ф(/1,/г) такая, что (ж', ж', ж') ^ (ж, Ж1,Ж2). Отсюда выводим Бх' ^ 5ж ^г 5(ж1) + Б(х2) ^(/1) + ^о(/г)- Переход к ипфимуму по всем указанным ж' дает неравенство V /2) ^(/1) + ^о(/г)-
Далее, пусть / е Ть, / ^ /2 — /1 и жг 6 L, /2 ^ жг- Так как решетка L разделяющая, то существует у € L, для которого /i^y^l^/еТь. Для элемента Ж1 = жг Л у будет / ^ жг — Ж1 и
5Ж2 = 5(Ж2 - Ж1) + 5ж1 ^ г/0(/) +
Последнее неравенство выполняется для любого жг 6 L при жг ^ /2, следовательно,
Mf2)>Mh) + Mf) (/</2-/1). (*)
Далее, для Ж1 е L, Ж1 ^ /1 и числа 0 < е < 1 полагаем /:= (1 — вд1-е1—Л /2. Тогда / ^ /2 — /1 и для любого ж 6 L при ж ^ / верно (1 — е)_1(ж1 + ж) ^ /2. Тем самым i^o(/2) ^ (1 — £)_1(<S^i + 5ж). Последнее неравенство выполняется для каждого ж 6 L при ж ^ /, стало быть,
^о(/2) < (1 - е)"1^! + !/<,(/)) < (1 - е) + \/W/) : / < /2 - /1, / € L}) . Полученное неравенство имеет место для любых Ж2 €Е L при Ж2 ^ /2 и е > 0, поэтому
Mf2) < ^o(/l) + VM/): / < /2 - /ь / е Ы-
Сопоставляя последнее неравенство с (*), получаем свойство требуемое плотности г/0. >
4.3. Функция щ допускает и притом единственное аддитивное J-L-регулярное продолжение v с множества Ть на всю алгебру А{Ть) = А(Ть)-
< Это утверждение выводится из свойства плотности. Для е €Е полагаем по определению
Легко проверяется, что множество
£:= {е €Е Л(^) : (Ve' € i/(e') = v{e' A е) + i/(e' \ е)}
является подалгеброй в А{Ть), содержащей Ть- Значит, £ = А{Ть) и v является аддитивной ^¿-регулярной мерой на А{Ть)- О
4.4. Формула цо(/) := Ьо-Нт{Тж : ж 6 Ф(/)} определяет аддитивное отображение Но : Ть ^ Y, обладающее свойством плотности
Mf2)=^(h)+bo-\\m{Mf): /</2-/1,
< Прежде всего заметим, что для любого / 6 Ть сеть (Тх)хеф^ Ьо-фунда-ментальна, так как при Х\,Х2 €Е Ф(/) справедливы соотношения
|Тж1 — Тжг| ^ 5(|ж1 — жг|) ^ S(x\ — xi А Ж2) + S(Ж2 — Ж1 А Ж2) ^ 0.
В силу Ьо^полноты Y предел Ьо-\\ш{Тх : ж 6 Ф(/)} существует и отображение цо определено корректно. Докажем аддитивность. Для этого возьмем дизъюнктные
/ь/г € TL и покажем, что //0(/i V /2) = ^o(/i) + //о(/г)- Пользуясь утверждением и обозначениями из 4.1, из определения //q выводим:
|M/i V /2) -Vo(h) — /хо(/2>| = o-lim { |т(ж - Ж1 - ж2)| : (ж,ж!,ж2) е #} = o-lim {|Т(ж - xi - х2)\ : (х,хих2) € Ф(/ъ/2)} o-lim {¿»(ж Х\ -х2) : (ж,ж!,ж2) е Ф(/ъ/2)} = o-lim{5(ж — х\ — х2) : (ж, Ж1,я;2)еФ} = K/lV/2) -!/(/!)- ^(/2)= О,
откуда и видна аддитивность //q.
Покажем, что имеет место неравенство
l/iolAO-jM/ONKfe-Zi) (/1J2 е /1 < /2)- (**)
Для этого введем множество Ф' := {(ж1,ж2) е х Ф(/2) : х\ ж2} и заметим,
что оно фильтруется по убыванию и коинициально в Ф(/1) х Ф(/2). Пользуясь этим, напишем
I^o(/2) - M/i)| = o-lim {\Тх2 - TXl| : (хих2) € Ф(Л) х Ф(/2)} = o-lim{\Т(х2 - хг)\ : (жь х2) е Ф'} о-Нт{5(ж2 - Ж1) : (ж!,ж2)еФ'} = o-lim{S(x2 - xi) : (xi,x2) e $(/i) x Ф(/2)} = г/(ж2) - И3^) = v{x2 - хг).
Теперь докажем свойство плотности для функции /х0 • Пусть е 6 Д^ь) и f\, /2 €Е ^l, /1 < е, /2 < е. Тогда из оценки |a*o(/i) — А*о(/з)| < И/i v /2 - /1) + И/i v /2 — /2) видна bo-фундаментальность сети {//о(/) : / £ и поэтому существует
Ьо-lim ()Uo(/) : / ^ Л е}. Используя свойство плотности г/ и аддитивность /х0 можем написать при любых /1, /2 €Е Tli /1 /2 следующую цепочку соотношений:
М/2) - M/i) - bo-\\m{Mf) ■ / е ^L, / < /2 - /i}| = o-lim {|л*о(/2) - A»o(/i V /)| : / G / < /2 - /1}
< o-lim {v{f2 - /1 V f2) : / € / < /2 - /1}
= ^(/2) = ИЛ) - \/M/): / G / < /2 - /1} = 0, что и требовалось. >
4.5. Функция /j,q допускает и притом единственное аддитивное J-l-регуляриое продолжение ¡л с множества Ть на всю алгебру А{Ть) = А(Ть)- При этом
¡л{е) = feo-lim{jUo(/) : / б^Ле} (е £
< Этот факт можно проверить непосредственно по той же схеме, что и для функции г/, см., например, [35; теорема 1]. Здесь дадим другое доказательство. Из свойства плотности вытекает, что величина /х(/2) — /-¿(/i) зависит только от элемента е = /2 — /ь Отсюда, в частности, следует модулярное тождество
M/i V /2) + /i0(/i А /2) = /i0(/i) + 1M/2) (/ь /2 €
Существование единственного аддитивного продолжения на порожденную алгебру Д^ь) теперь сразу получается из следующего алгебраического факта 4.6. >
4.6. Теорема. Пусть А — булева алгебра, Ь — подрешетка в А, содержащая 0 и порождающая А, т. е. А = А{Ь). Пусть /¿о : Ь ^ О — отображение из Ь в коммутативную группу О, удовлетворяющее равенству /¿о (0) = О и модулярному тождеству
Ио(а V Ь) + ца{а Л Ь) = Цо(а) + /-¿о(Ь) (а, Ь € Ь).
Тогда существует единственное аддитивное отображение ц : А{Ь) О, продолжающее Цо-
< Этот результат установлен в работе Б. Петтиса [39], затем переоткрыт Й. Ки-шинскпм [30]. Более простое доказательство найдено 3. Липецким в [32]. >
4.7. Остается установить интегральное представление оператора Т.
В предположениях теоремы 3.2 имеет место интегральное представление
Тх = xd.fi (х 6 Ь),
где ц : А{Ть) ^ У — аддитивное Ть-регулярное отображение, определяемое в соответствии с 4.4 и 4.5.
< Пусть х €Е Ь и п €Е N. Так как х ограниченный элемент, то он имеет конечную норму ||ж|| = т£{А 6 Ж+ : |ж| ^ А1}. Положим := Щх\\/п, к = —п,...,п. Из отделимости Ь следует существование ук €Е Ь таких, что
1-ех\к<Ук<е_хх (к = -п+1,...,п).
Рассмотрим элемент
Хп = ~~\ Е Ук ~п1
\к=-п+1
Легко проверяется, что \х — хп\ ^ (||ж||/п)1. Кроме этого справедливы оценки \Тук-»(1-ехХк)\=о-]1т{\Тук-Ту\: у €Е I, 1 - ехХк < у < ук} < о-Нт {3(ук-у): у € Ь, 1 - ехХк < у < ук} = Бук - - е*Хк) < Не1хХк) - - ехХк).
Далее, полагаем
|Ы
п1
П
п \
Е ^
к=-п+1 /
Вновь выполняется неравенство \х — гп\ ^ (||ж||/п)1. Теперь мы можем написать Тхп I
|ж|| п
=-п+1 4 J
Е и^) ^ ехХк))
к=-п+1 4 J
к=—п+1
П
|Ж||
п
Отсюда выводим
т
\Тх — Тхп\ < 5(1) •
п
11 т II II т II II т 11
^1(1)0^(1)0 = 5(1)0.
п п п
х й ¡л — J гпс1[х
Сопоставляя это с предыдущим неравенством, заключаем
/31Ы1
xd.fi < |Т| (1).
п
Ввиду произвольности п, получаем требуемое интегральное представление. >
§ 5. Представление радоновыми мерами
5.1. А. А. Марков [15; теорема 16], а затем А. Д. Александров [2; § 9, теоремы 2 и 5] установили, что в случае компактного топологического пространства вещественная регулярная мера счетно аддитивна на области своего задания. Таким образом, если С,] — компакт, то представляющие меры из теоремы 1.2 счетно аддитивны и регулярны, следовательно, допускают и притом единственное регулярное счетно аддитивное продолжение на борелевскую ст-алгебру. Тем самым, теорема представления Рисса в форме 1.1 вытекает как из результатов А. А. Маркова [15] 1938 года, так и из результатов А. Д. Александрова [2] 1941 года. В то же время, как показал А. Д. Александров [2; § 9, теорема 5], для нормального топологического пространств классы ограниченных счетно аддитивных регулярных мер гса(<2) и ограниченных конечно аддитивных регулярных мер га(<2) совпадают в том и только в том случае, когда С} — компакт. Таким образом, теорема представления Рисса в форме 1.1 имеет место только для компактных пространств С,Счетная аддитивность радоновой меры имеет место и для мер со значениями в решеточно нормированных пространствах. Следующие два утверждения установлены С. А. Малюгиным в [12].
(1) Если мажорируемая ¡л : А ^ У радонова, то она а-аддитивна.
(2) Если мажорируемая мера ¡л : А ^ У квазирадонова, то ограничение ¡л на алгебру П Л) счетно аддитивно.
Другим следствием упомянутых работ А. А. Маркова и А. Д. Александрова является тот факт, что для вещественных мер на компакте свойства радоновости и ква-зирадоновости совпадают. Для мер со значениями в векторной решетке дело обстоит сложнее. Вопрос о том, насколько класс квазирадоновых мер шире класса радоновых мер, принципиально решается в следующем утверждении.
5.2. Теорема. Пусть — вполне регулярное пространство и дана а-алгебра А = П А). Пусть на К-пространстве Е выполняется закон слабой (<т, оо)-дистрибутивности. В этом случае мера [х €Е с1са(*4, У) является радоновой (регулярной) тогда и только тогда, когда она квазирадонова (квазирегулярна).
< Докажем, что при выполнении условий теоремы из квазирадоновости меры ¡л следует ее радоновость. Из теоремы 2.4 (3) следует квазирадоновость векторной вариации и = \ц\. Следовательно, для любого II 6 Тд П А имеем
{и \ К) : К е К-и) = 0.
Тем более для любого фиксированного Б € Тд П А получаем
Д{Ы (17 П В \ К П £>) : К е ВД = 0.
Обозначим через £ множество всех Е е А, для которых
/\{\ц\(Е\К) : К еК:Е} = 0. (***)
Мы уже убедились, что А{Т<з П Л) С £. Рассмотрим любую последовательность
оо
(Еп)'^}=1 элементов из £ и докажем, что Е = У Еп е £. Для этого рассмотрим любые
п=1
компактные множества Кп €Е К,еп и положим Нкп = |//| (Еп\Кп). Пусть С„ = Еп\Кп Индукцией по п легко доказываются неравенства
(П ч п
и сЛ < \/2г+1/1^-
¿=1 ' ¿=1
Пусть к = |//| (1?). Для любого п 6 N рассмотрим направленность хкп = (2п+1Ла"п) А/г (Кп е К,еп)- Очевидно, направленность ограничена и убывает к нулю. Из оценки
(ОС \ оо оо
i=l ' i=l i=l и слабой (с, оо)-дистрибутивности пространства ^ следует, что направленность
оо \ / оо \
и^» ((^п)еП^п)
п=1 / \ П=1 /
также стремится к нулю. Если обозначить через 1Са(Е) множество всех счетных объединений компактных подмножеств Е, то мы получим
Ы(£0 = \/{Ы(С): СеМЯ)ПД}.
Так как мера \ц\ ст-аддитивна, то из последнего равенства следует равенство (***).
оо
Аналогичным образом доказывается, что р| Еп €Е £. Поэтому из леммы о монотонном
п=1
классе мы получаем равенство £ = П Л)) = А. Теорема доказана. >
Часто возникает необходимость в установлении признаков радоновости и квази-радоновостп данной борелевской меры. Например, справедливо следующее обобщение теоремы С. Улама о том, что любая борелевская мера на польском пространстве ра-донова.
5.3. Теорема. Пусть р) — польское пространство и на Р выполняется закон слабой о-дистрибутивности. Тогда любая борелевская мера ц 6 с1са(Во, У) является радоновой.
< Так как на <2 борелевская ст-алгебра совпадает с бэровской ст-алгеброй, то мера ¡л будет квазирегулярной. Из предыдущей теоремы следует, что мера ¡л регулярна. Для обоснования требуемого теперь достаточно показать, что
Ы№) = \/{Ы(к)--
Пусть (хк)кеп — счетное плотное в (} множество и {Вп{хк))п,к&1 — последовательность замкнутых шаров, где радиус каждого Вп(хк) равен п-1. Для любого п 6 N справедливо равенство <2 = \}{Вп(хк) : к € М}. Для удобства введем обозначение
( х\ У Вп(хк) ] (п,т€М).
^ к=1 '
Для любой функции (р : N —> N полагаем
оо ¥>(«)
Кч> = П и В"(хк)-
п=1 к=1
Множество К^ замкнуто и вполне ограничено, следовательно, компактно. Кроме этого ы {Я \ к„) < у (и А 2пкМп)) = \/ к'пМп),
п п
где положено Н = (<Э), Ь!пт = Ь А 2пНПуГП. Для любого п € N имеем к'п т \ 0 при т ^ оо. Значит,
что и доказывает радоновость меры ¡л. >
5.4. Теория радоновых мер изложена в монографии Л. Шварца [42]. На основе понятия радоновой меры развивается теория интегрирования в трактате Н. Бурба-ки [4]. Квазирегулярные меры ввел М. Райт в [46]. Им же введены квазирадоновы меры в работе [50], где они также названы квазирегулярными. Именно М. Райт обнаружил принципиальное отличие между радоновыми и квазирадоновыми мерами и значение этого отличия для проблемы продолжения мер и операторов со значениями в К-пространстве, см. [46-50]. Квазирадоновы меры со значениями в решеточно нормированных пространствах изучал С. А. Малюгин [12-14].
Литература
1. Александров А. Д. Additive set functions in abstract spaces // Мат. сборник (N.S.)—1940.—Т. 8, вып. 2,—С. 307-348.
2. Александров А. Д. Additive set functions in abstract spaces. II, III // Мат. сборник (N.S.)—1941.— Т. 9, вып. 3.—С. 563-628.
3. Александров А. Д. Additive set functions in abstract spaces. IV // Мат. сборник (N.S.)—1943.— Т. 13, вып. 2-3.—С. 169-243.
4. ВурбакиН. Интегрирование. Меры на локально компактных пространствах, продолжение меры, интегрирование мер, меры на отделимых пространствах.—М.: Наука, 1977.—600 с.
5. Вулих В. 3. Введение в теорию полуупорядоченных пространств.—М.: ГИФМЛ, 1961.—407 с.
6. Вулих В. 3. Введение в теорию конусов в нормированных пространствах.—Калинин: Изд-во Калининск. гос. ун-та, 1977.—84 с.
7. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Т. 1: Общая теория.—М.: ИЛ, 1962.—895 с.
8. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ.—М.: Наука, 1984.—752 с.
9. Канторович Л. В., Вулих В. 3., Пинскер А. Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах.—М.-Л.: Гостехиздат, 1950.—548 с.
10. Кусраев А. Г., Малюгин С. А. Некоторые вопросы теории векторных мер.—Новосибирск: Изд-во ИМ СО АН СССР, 1988.—190 с.
11. Кусраев А. Г., Малюгин С. А. Произведение и проективный предел векторных мер // В кн: Современные проблемы геометрии и анализа.—Новосибирск: Наука, 1989.—С. 132-152.
12. Малюгин С. А. Квазирадоновы меры // Сиб. мат. журн.—1991.—Т. 32, № 5.—С. 101-111.
13. Малюгин С. А. Проблема моментов в Ko-пространстве // Сиб. мат. журн.—1993.—Т. 34, № 2, 110-120.
14. Малюгин С. А. О лифтинге квазирадоновых мер // Сиб. мат. журн.—2001.—Т. 42, № 2.—С. 407413.
15. Марков A. A. On mean values and exterior densities // Мат. сб. (N.S.)—1938.—Т. 4.—С. 165-191.
16. Халмош П. Теория меры. М.: ИЛ, 1953.—291 с.
17. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения.—М.: Мир, 1969.—1071 с.
18. Batt J. Die Verallgemeinerungen des Darstellungssatzes von F. Eiesz und ihre Anwendungen // Jahres-ber. Deutsch. Math.-Verein.—1973.—Bd. 74,—S. 147-181.
19. Berz E. Verallgemeineung eines Satzes von F. Eiesz // Manuscripta Math.—1970.—Bd. 2.—S. 285299.
20. Christian R. R. On order-preserving integration // Trans. Amer. Math. Soc.—1967.—V. 86.—P. 463485.
21. DiesteS J., Uhl J. J. Vector measures.—Providence: Amer. Math. Soc.—1977. (Series Math. Surveys, 15.)
22. Dinculeami N. Vector Measures.—Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1966.—432 p.
23. Fremiin D. H. A direct proof of the Matthes-Wright integral extension theorem // J. London Math. Soc.—1975.—V. 11, No. 3.—P. 276-284.
24. Fuchssteiner В., Lusky W. Convex Cones.—Amsterdam ets.: North-Holland, 1981.
25. Gray J. D. The shaping of the Eiesz representation theorem: A chapter in the history of analysis // Arch. Hist. Exact. Sci.—1984.—"V. 31.—P. 127-187.
26. Kakutani S. Concrete representation of abstract (M)-space // Ann. Math.—1941.—V. 42.—P. 9941024.
27. Khurana S. S. Lattice-valued Borel measures // Eocky Mountain J. Math.—1976.—V. 6, No. 2.— P. 377-382.
28. Khurana S. S. Lattice-valued Borel measures. II // Trans. Amer. Math. Soc.—1978.—V. 235, No. 2.— P. 205-211.
29. Kirk R. В., Crenshaw J. A. A generalized topological measure theory // Trans. Amer. Math. Soc.— 1975.—V. 207.—P. 189-217.
30. Kisynski J. Eemark on strongly additive set functions // Fund. Math.—1969.—V. 63.—P. 327-332.
31. Kusraev A. G. Dominated operators.—Dordrecht a. o.: Kluwer, 2000.—446 p.
32. Lipeeki Z. On strongly additive set functions // Colloq. Math. 1971.—V. 22, № 2,—P. 255-256.
33. Lipeeki Z. Extensions of additive set functions with values in topological group // Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math., Astronom., Phys.—1974,—V. 12, No. 1.—P. 19-27.
34. Lipeeki Z., PSaehky D., Thomsen W. Extensions of positive operators and extreme points. I // Colloq. Math.—1979.—V. 42,—P. 279-284.
35. Lipeeki Z. Extention of tight set functions with values in a topological group // Bull. Acad. Polon. Sci.—1974.—"V. 22, No. 2,—P. 105-113.
36. Lipeeki Z. Extension of vector-lattice homomorphisms revisited // Indag. Math. (N.S.)—1985.— V. 47.—P. 229-233.
37. Lipeeki Z. Eiesz type representation theorems for positive operators // Math. Nachr.—1987.— V. 131.—P. 351-356.
38. Panehapagesan Т. V., Palled Sh. V. On vector lattice-valued measures. I // Math. Slovaca.—1983.— V. 33, No. 3.—P. 269-292.
39. Panehapagesan Т. V., Palled Sh. V. On vector lattice-valued measures. II // J. Austral. Math. Soc. (Ser. A)—1986.—V. 40, No. 2,—P. 234-252.
40. Pettis B. J. On the extension of measures // Ann. Math.—1951.—V. 54,—P. 186-197.
41. Rieean B. An extension of the Daniel integration scheme // Mat. С as.—1975.—V. 25, No. 3.—P. 211219.
42. Rieean B. A simplified proof of the Daniel integral extension theorem in ordered spaces // Math. Slovaca.—1982,—V. 32, No. 1.—P. 75-79.
43. Schwartz L. Radon measures on arbitrary topological spaces and cylindrical measures.—London: Oxford Univ. Press, 1983.—393 p.
44. Seda A. K. Integral representation of linear functional on spaces sections // Proc. Amer. Math. Soc.—1984.—"V. 91, No. 4,—P. 549-555.
45. Semadeni Zb. Banach Spaces of Continuous Functions.—Warsaw: Polish Scientific Publishers, 1971.— 584.
46. Wheeler R. F. A survey of Baire measuresand strict topologies // Expositiones Math.—1984.—V. 1.— P. 97-190.
47. Wright J. D. M. Stone algebra valued measures and integrals // Proc. London Math. Soc. Proc.— 1969.—V. 19, No. 3.—P. 107-122.
48. Wright J. D. M. The measure extension problem for vector lattices // Ann. Inst. Fourier (Grenoble).— 1971.—V. 21,—P. 65-68.
49. Wright J. D. M. Vector lattice measure on locally compact spaces // Math. Z.—1971.—V. 120.— P. 193-203.
50. Wright J. D. M. An algebraic characterization of vector lattices with the Borel regularity property // J. London Math. Soc.—1973.—V. 7, No. 2,—P. 277-285.
51. Wright J. D. M. Products of positive vector measures // Quart. J. Math.—1973.—V. 24, No. 94.— P. 189-206.
52. Wright J. D. M. Measure with values in partially ordered spaces: regularity and rr-additivity // In: Measure Theory, Oberwolfach, 1975.—Berlin a.o.: Springer, 1976.—P. 267-276. (Lecture Notes in Math, 5.)
53. Zaanen A. C. Measurable functions and integral operators // Nieuw arch. wisk.—1985.—V. 3, No. 2.— P. 167-205.
гг. Владикавказ — Новосибирск Статья поступила 10 сентября 2002г.
