Мажорируемые операторы Урысона в пространствах со смешанной нормой Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал июль-сентябрь, 2007, Том 9, Выпуск 3

УДК 517.98

МАЖОРИРУЕМЫЕ ОПЕРАТОРЫ УРЫСОНА В ПРОСТРАНСТВАХ СО СМЕШАННОЙ НОРМОЙ1

М. А. Плиев

Памяти Г. Я. Лозановского посвящается

Рассматриваются мажорируемые операторы Урысона, действующие в пространствах со смешанной нормой. Изучаются условия непрерывности и различные типы компактности для таких операторов.

Ключевые слова: мажорируемые операторы Урысона, пространства со смешанной нормой, ВМ-компактность, ЕС -компактность, почти компактность.

Введение

Изучение топологических и порядковых свойств операторов, действующих в функциональных пространствах, является традиционной задачей анализа. Линейным операторам, действующим в банаховых решетках и решеточно нормированных пространствах, посвящена обширная литература [2, 6, 7]. В книгах [1, 5, 8] изучались нелинейные операторы типа Урысона и Гаммерштейна, действующие в банаховых и локально выпуклых пространствах. В работах [9, 10] интегральные операторы Урысона рассматривались с точки зрения порядкового анализа. При изучении таких операторов, как впрочем и для линейного случая, оказывается полезной техника решеточно нормированных пространств и мажорируемых операторов. В работах [2, 3] были введены мажорируемые операторы Урысона, действующие в решеточно нормированных пространствах и был найден критерий интегрального представления мажорируемого оператора Урысона. Настоящая заметка продолжает этот круг исследований и посвящена изучению топологических свойств мажорируемых операторов Урысона, действующих в пространствах со смешанной нормой.

1. Предварительные сведения

Здесь мы приведем некоторые предварительные сведения, необходимые для дальнейшего. Стандартный источник для ссылок по теории векторных решеток и решеточно нормированных пространств — монография [2]. Теория операторов Урысона, действущих в векторных решетках, подробно изложена в [9].

© 2007 Плиев М. А.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 06-01-00622.

1.1. Рассмотрим векторную решетку Т и векторное пространство Ш. Говорят, что оператор Т : Т ^ Ш ортогонально аддитивен, если Т(/ + /2) = Т/ + Т/2 для дизъюнктных /1 и /2. Ортогонально аддитивный оператор Т называется порядково ограниченным, если он переводит порядково ограниченные множества в порядково ограниченные множества. Оператор Т : Е ^ Т, действующий между векторными решетками Е и Т, называется абстрактным оператором Урысона, если он порядково ограничен и ортогонально аддитивен. Множество всех абстрактных операторов Урысона из Е в Т обозначается Ц (Е, Т). Частичный порядок в векторном пространстве Ц (Е, Т) вводится с помощью конуса Ц+(Е, Т), определяемого следующим образом:

Т € Ц+(Е, Т) ^ (Уе € Е) Те ^ 0.

При этом оператор Б ^ Т в том и только том случае, если Б — Т € Ц+(Е, Т).

В случае, когда пространство Т порядково полно, для Ц (Е, Т) можно построить порядковое исчисление типа Рисса-Канторовича, аналогично линейному случаю.

1.2. Пусть Е и Т — векторные решетки, причем решетка Т порядково полна. Тогда и (Е, Т) — порядково полная векторная решетка и для любых двух операторов Т, Б € и (Е, Т) и вектора / € Е справедливы формулы [9]:

(Т V Б)(/) := 8пр{Тд + БН : д + Н = /; д±Н|;

(Т Л Б)(/) := {Тд + БН : д + Н = /; д±Н|;

Т +(/) :=8пр{Тд : д < /, (/ — д)±д|;

Т-(/) := — {Тд : д < /, (/ — д)±д|;

|Т/1 < |Т|(/).

1.3. В [3] были введены мажорируемые операторы Урысона, действующие в решеточ-но нормированных пространствах. Пусть (V, Е) — решеточно нормированное пространство, а (Ш, Т) — пространство Банаха-Канторовича. Оператор Т : V ^ Ш называется ортогонально аддитивным, если Т(V + ад) = Тг> + Тад, когда V и ад дизъюнктны. Оператор Т : V ^ Ш называется мажорируемым оператором Урысона, если выполняются следующие условия:

1) Т ортогонально аддитивен;

2) существует Б € Ц81т(Е, Т) такой, что выполняется неравенство:

< Б (| V |) (V € V).

Символом и81Ш(Е, Т) обозначается множество ортогонально аддитивных, положительных, возрастающих, симметричных операторов. Выражаясь точнее, Т € Ц81т(Е, Т) в том и только том случае, когда Т ортогонально аддитивен, Те € Т+ для любого вектора е € Е, Т возрастает на Е+ и кроме того Т(—е) = Те для любого е € Е+. Оператор Б, обладающий указанными свойствами называется мажорантой Т. Множество всех мажорант обозначается через ша](Т). Множество Ц81т (Е, Т) само является подрешеткой и (Е, Т), и поэтому наследует векторный порядок из Ц (Е, Т). Наименьший элемент в ша] (Т) относительно этого естественного порядка, называется точной мажорантой оператора Т и обозначается |Т|. Множество всех мажорируемых операторов Урысона из V в Ш обозначается через Ми (V, Ш). Разложимость мажорантной нормы не имеет места, однако существуеет некоторый аналог разложимости [3]. Для любого Т € Ми (V, Ш) и любых Б, Р € Ц81т(Е, Т) таких, что

0 < Б ^ |Т|; 0 ^ Р ^ |Т|; Р±Б; Р + Б = |Т|;

найдется оператор St G Mu (V, W) и

|T| = |ST| + |T - STI; |ST| = S; |T - ST| = P.

1.4. Говорят, что сеть (va)ags С V латерально сходится к элементу v, если v = lim va

1-1 а

и (va — Vß)±Vß для любых а, в G S, в ^ а. При этом пишут v = l-lim а va. Рассмотрим теперь, так называемые, латерально непрерывные операторы. Оператор T : (V, E) ^ (W, F) называется латерально непрерывным(латерально о-непрерывным), если из v = l-lim va(v = l-lim vn) следует Tv = o-lim (Tva) (Tv = o-lim Tvn).

an а \ n J

Далее в тексте под Br(E) будем понимать булеву алгебру проекторов пространства E. На банаховы пространства X и Y, встречающиеся в тексте, накладываются следующие ограничения: X — сепарабельное банахово пространство, а для банахового пространства Y найдется счетное, всюду плотное подмножество Z^ С Z, где Z С Y* — нормирующее подпространство в Y*. Имеет место следующий критерий слабой интегральной представимости мажорируемого оператора Урысона [4].

Пусть T : E(X) ^ F(Y) — мажорируемый оператор Урысона. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) T — слабый интегральный оператор Урысона;

2) для любых двух ограниченных последовательностей вектор-функций /n, gn из 1/п — gn| ^ 0 по мере вытекает |T/n — Tgn| ^ 0 почти всюду.

2. Непрерывные по норме мажорируемые операторы Урысона

2.1. В настоящем пункте мы установим непрерывность по норме слабого интегрального мажорируемого оператора Урысона, действуюшего в пространствах измеримых вектор-функций. Если пара (V, Е) — решеточно нормированное пространство (РНП), где Е — банахова решетка, то для произвольного элемента х £ V существует так называемая смешанная норма

|||х||| := |||х| ||е•

РНП с указанным свойством будем пространством со смешанной нормой. В случае Ьг-полноты пространство со смешанной нормой (V, Е) становится банаховым пространством с нормой ||| ■ |||. Все встречающиеся в тексте РНП со смешанной нормой будем считать 6о-полными. В дальнейшем элементы пространств со смешанной нормой будем обозначать буквами х, у, г, и. За элементами нормирующих банаховых решеток зарезервируем буквы е, /, д, Д. Пусть е £ Е+ и М С V. Множество М называется абсолютно эквинепрерывным относительно е, если для любого е > 0 существует 5 > 0, такое что |||пх||| < £ для всех х £ М и порядковых проекторов п £ Вг(Е), таких что ||пе|| < 5. Напомним, что элемент е £ Е+ банаховой решетки называется квазивнутренней точкой, если порядковый идеал Ее, порожденный е, плотен по норме в Е. Пусть А £ М+. Для любого х £ V можно написать

|х| = /1 + /2; /1 = п|хI;

где п — проектор на полосу {(|х| — Ае) + и /2 = |х| — /2. В силу разложимости решеточной нормы найдутся такие х1 и х2, что |х^ = /1 и |х^ = /2. Пусть теперь

<£Л(х) := х2.

Лемма. Пусть Е — банахова решетка с квазивнутренней точкой е, (V, Е) — пространство со смешанной нормой, а последовательность {хп} С V сходится к х по норме ||| ■ |||. Тогда справедливы следующие утверждения:

(а) множество {ж} абсолютно эквинепрерывно относительно е;

(б) множество M С V, имеющее вид

M = {^л(ж) : А > 0} U {^л(ж„) : А > 0, n € N} U {ж, ж„, n G N}

абсолютно эквинепрерывно относительно e.

< Пусть ж G V и е > 0. Так как e квазивнутренная точка в E, то порядковый идеал Ee плотен в E и существует такой элемент f G Ee, что |||ж| — f || < |. Используем изоморфизм булевых алгебр Br(E) и Br(V, E). Тогда

е

||п|ж| — nf || < 2

для любого порядкового проектора п. Так как f G Ee, то | f | < Ае для некоторого А G R+. Тогда ||nf|| < А||пе||. Возьмем 6 = 2Л. Тогда если ||пе|| < 6, то |||пж||| < е, так как справедливы формулы:

|||пж||| ^ ||п|ж| — nf || + ||nf || ^

^ ||п|ж| — nf || + А||пе|| < е.

Докажем утверждение б). Для данного е > 0 в силу сходимости последовательности (жп) к ж найдется такой номер no G N, такой что |||ж — жп||| < §, когда n > По. По доказанному выше существует 61 > 0, такой что |||пж||| < |, когда ||пе|| < 61. С другой стороны существует 62 > 0, такой что |||пжп||| < е, для n G {1,..., no — 1}, когда ||пе|| < е. Возьмем в качестве 6 число min{6i,62}. Тогда будет справедлива оценка

| | | пжп | | | ^ | | | пжп — пж | | | + | | | пж | | | < е; Vn ^ n0.

Для элементов последовательности (жп) с номерами, принадлежащими множеству {1,... ,no — 1} неравенство очевидно. Далее, так как |^>л(ж)| ^ |ж| для любого А G R+ и ж G V, то |||^л(ж)||| < е, когда ||пе|| <6 и |||^>л(жп)||| < е для всех n G N. >

2.2. Существование квазивнутренней точки в нормирующей решетке облегчает изучение латерально непрерывных мажорируемых операторов Урысона.

Лемма. Пусть E и F — банховы решетки, причем E — Ka-пространство с квазивнутренней точкой е, (V, E) и (W, F) — пространства со смешаннми нормами, ж G V. Если T G Mu (V, W) — латерально непрерывный оператор, то для любого е > 0 существует 6 > 0, такое что |||Тпж||| < е, для любых п G Br(V), таких, что ||пе|| < 6.

< Проведем доказательство от противного. Тогда существует y G V, е > 0 и последовательность порядковых проекторов (пп)те=1, такая что, lim ||ппе|| = 0 но

п^те

lim |||Tnny||| > е, для любого n G N. Переходя если надо к подпоследовательности будем

п^те

считать, что ||ппе|| < то. Воспользуемся теперь а-полнотой нормирущей решетки

E. Для каждого k G N существует порядковый проектор pk = supn^fc пп. Ясно, что последовательность проекторов (pk)g=i невозрастающая и для каждого k G N справедлива формула

|||Tpky||| ^ |||Tnky||| > е.

Далее имеем

'' те те

Е-пе

n=k n=k

||Pkе|| ^

^ > ||ппе|

те

Отметим, что £ ||ппе|| ^ 0 когда k ^ то. Пусть теперь р = inf . Ясно, что ||р&е|| ^

||ре|| для любого k £ N. Таким образом ре = 0. Так как e квазивнутренная точка в E, то р = 0. Таким образом (р&сходится к нулю в булевой алгебре проекторов Br(V) и следовательно (р&латерально сходится к 0 в пространстве (V, E). Так как оператор Т латерально непрерывен, то последовательность (|Тр^,у 1)^=1 порядково сходится к нулю в пространстве F. Используя порядковую непрерывность нормы F, получаем, что lim |||Тр&y||| = 0. Пришли к противоречию. >

к^те

2.3. В этом пункте путем небольшой модификации мы усилим лемму 2.2.

Лемма. Пусть (V, E) и (W, F) — те же, что и в 2.2, е — квазивнутренная точка в E и Т £ Mu (V, W) — латерально a-непрерывный оператор. Если множество M абсолютно эквинепрерывно относительно е, тогда для любого е > 0 существует 6 > 0, такое что

Vn £ Br(V) ||пе|| <6 ^ sup |||Тпж||| < е.

жбМ

< Проведем доказательство от противного. Тогда существует е' > 0 и последовательность элементов (жп)те=1 С M, а также последовательность порядковых проекторов (пп)те=1, такие что£те=1 ||ппе| < то и |||Тп„ж„||| > е'. Как и в 2.2 пусть рк = supn^k . Тогда мы имеем, что |||Тр&||| > е' для любого k £ N и lim ||р&е|| = 0. С другой сторо-

га^те

ны, применяя лемму 2.2 к каждому , можем написать lim |||Тпгаж&||| = 0. Тогда для любого k £ N мы можем найти n(k), n(k) > k, такой, что

|||Т(рга(к) - р^)жк||| > е'.

Возьмем k1 = 1 и k» = n^ — и 0» = р^.. — р^+1. Так как (р&.)?= убывающая последовательность проекторов, то проекторы 0» попарно взаимно дизъюнктны. Кроме того 0» ^ р» для любого i £ N и lim ||0»е| = 0. Пусть y» = , Тогда |||Т0»у»||| > е'

г^те 1

для любого i £ N . Так как множество {у»}|=1 абсолютно эквинепрерывно относительно е, то lim 1110»у»111 = 0. Переходя, если надо к подпоследовательности, получаем, что

¿^те

1110»у»||| < то. Пусть v = те=1 0»У». Так как проекторы 0» попарно дизъюнктны, то суммы £n=1 0»у» латерально сходятся к v. Учитывая это, получаем, что суммы ^П=1 Т0»у» латерально сходятся к Tv. Так как норма в F порядково непрерывна,то можем написать

|||Tv||| = lim

Получили противоречие. >

2.4. В настоящем пункте мы установим главный результат настоящего параграфа — непрерывность по норме слабого интегрального оператора Урысона. Предварительно докажем вспомогательную лемму.

Лемма. Пусть (V, Е) F) — пространства со смешанными нормами, где Е, F-банаховы решетки и Е кроме того -пространство, е — квазивнутренная точка в Е, х £ V, г, 5 £ М+. Пусть п — порядковый проектор на полосу, порожденную (|х| — |е)+. Тогда имеют место следующие утверждения:

1) п|х| ^ п(ге);

2) (/ — п)|р^(х)| = (/ — п)|х|;

3) Если кроме того | | | х| | | < г, то ||пе|| < 5.

< Первое утверждение очевидно. Второе утверждение следует из того, что

|рг (х)Щ(|х| - г/5е)+}±± и простого наблюдения, что проекторы I — п и п — дизъюнктны. Пусть теперь

||п(г/5е)|| ^ ||п|х| || ^ |||х\ || = | | | х | | | .

Отсюда следует, что ||пе|| < 5 когда |||х||| < г. >

Теорема. Пусть (V, Е) и (Ш, Т) — пространства со смешанными нормами, где Е, Т — банаховы решетки, Е кроме того Ка-пространство, е — квазивнутренная точка в Е, норма в Т порядково непрерывна. Пусть Т £ Ми (V, Ш) — о-латерально непрерывный оператор. Если Т равномерно непрерывен по норме на каждом порядково ограниченном множестве, то он непрерывен по норме на всем пространстве V.

< Пусть последовательность в V, сходящаяся по норме к х и предположим, что |||х||| < г, |||хп||| < г для любого п £ N и некоторого г £ М+. Требуется установить, что последовательность (Тхп)£=1 сходится по норме к Тх. Рассмотрим множество

М = {рл(х„) : п £ N А £ Ж+} и {(л(х) : А £ Ж+} и {х, (х„) : п £ N}.

Используя лемму 2.3, мы можем заключить, что множество М абсолютно эквинепрерыв-но относительно е. Тогда для произвольного е > 0 мы можем найти такое 5 > 0, что |||Тпу||| < § для любого у £ М и любого порядкового проектора п, такого что ||пе|| < 5. Определим теперь элемент р(х) := рг (х). Пусть пп — порядковые проекторы на полосы {Охп| — уе) + }^ и п проектор на полосу {(|х| — |е)+}^. Из леммы 2.4 следует, что ||п„е|| <5 и ||пе|| < 5. Тогда | | | Тп„х„ | | | < § и | | | Тп„рл(х„) | | | < §, | | | Тпрл(х) | | | < | для любого А £ М+. Легко видеть, что р(хп) сходится по норме к р(х) в пространстве V. Кроме того |р(х)| ^ уе и |р(хп)| ^ |е для любого А £ Ж+. Используя равномерную непрывность оператора Т на порядково ограниченных множествах мы можем указать такой номер по £ N что для всех п ^ по справедливо неравенство |||Тр(х) — Тр(хп)||| < §. Далее мы можем написать

|||Тх„ — Тх||| = |||Т (I — п„)х„ + Тп„х„ — Т (I — п)х — Тпх||| = |||Тр(х„) — Тр(х) + Тп„х„ — Тпх||| < | | | Тр(х„) — Тр(х) | | | + | | | Тп„х„ | | | + | | | Тпх | | | < е. >

2.5. Опираясь на доказанную выше теорему, можно установить непрерывность по норме слабого интегрального оператора Урысона, действующего в пространствах измеримых вектор-функций.

Лемма. Пусть Е, Т — банаховы идеальные подпространства пространств измеримых функций То(^) и То(^), норма в Т порядково непрерывна, X, У — банаховы пространства и Е(X), Т(У) — соответствующие пространства измеримых вектор-функций. Пусть Т : Е(X) ^ Т(У) — мажорируемый слабый интегральный оператор Урысона. Тогда Т равномерно непрерывен на порядково ограниченных множествах в Е(Х).

< Пусть (хга)^=1 и (уп)^=1 — порядково ограниченные последовательности в Е(X) и предположим, что

||1 х™ — х| || = |||х™ — Уп||| ^ 0.

Тогда используя свойства нормы в Е, получаем что |хп — х| — ). Так как Т — слабый интегральный оператор Урысона, то |Тх„ — Туп| —^ 0 почти всюду в F. Следовательно |||Тхп — Туп||| — 0 ввиду порядковой непрерывности нормы в F. >

Так как слабый интегральный оператор Урысона латерально непрерывен, то справедливо следущее утверждение.

Следствие. Пусть Е, F — банаховы идеальные подпространства пространств измеримых функций ¿о (V) и .¿о(^), норма в F порядково непрерывна, X, У — банаховы пространства и Е(X), F(У) — соответствующие пространства измеримых вектор-функций. Пусть Т : Е (X) — F (У) — мажорируемый слабый интегральный оператор Урысона. Тогда Т непрерывен по норме.

Замечание. Если в 2.1-2.4 рассмотреть частный случай, когда пространства со смешанными нормами совпадают с нормирующими решетками, то мы получим результаты Ж. Мазона и С. де Леона, установленные в работе [10]. Похожими задачами, в контексте операторов, действующих в квазинормированных пространствах, занимался В. Г. Фетисов [5].

3. Компактность операторов Урысона

3.1. В этой главе мы установим достаточные условия для разных типов компактности мажорируемых операторов Урысона, действующих в пространствах со смешанной нормой. Пусть (V, Е) и (Ш, F) — пространства со смешанными нормами, а Т : (V, Е) — (Ш, F) — мажорируемый оператор Урысона. Оператор называется компактным, если для каждого ограниченного по норме множества М С V его образ Т(М) предкомпактен в Ш. Компактный и непрерывный оператор называется вполне непрерывным.

Оператор Т называется ВМ-компактным,, если для любого х £ V оператор отображает множеств Мх := {у : у £ V, |у| ^ |х|} в предкомпактное множество в Ш. В случае, когда пространства со смешанными нормами (V, Е) и (Ш, F) имеют вид (Е, Е) и (^ F) ВМ-компактность совпадает с АМ-компактностью введенной в [10]. Если же Е = F = Ж, то ВМ-компактность — обычная компактность оператора в нормированных пространствах. Пусть х £ V. Напомним, что у £ V называется осколком х, если |х — у|у|. Множество осколков х обозначается Вх. Отметим, что булевы алгебры осколков х и |х| изоморфны. Оператор Т называется С-компактным, если для любого х £ X Т(Вх) предкомпактное множество в Ш.

Оператор Т называется почти компактным,, если для любого е > 0 и порядково ограниченного множества О С V существует х £ V, такой что

Т(О) С Т(Мх) + ,

где := {г : г £ Ш; |||г||| ^ 1} — единичный шар пространства Ш.

В контексте теории банаховых решеток, операторы с вышеуказанными свойствами изучались в работе [10]. Для операторов, действующих в решеточно нормированных пространствах можно ввести свойство, близкое к С-компактности. Пусть Ех := {у : \у\ = |г|; г £ Вх}. Оператор Т называется ЕС-компактным,, если для любого х £ X образ Т (Ех) предкомпактное множество в Ш.

Простейшие примеры показывают, что в пространствах со смешанной нормой множества ЕС-компактных и С-компактных операторов не совпадают. В случае операторов, действующих в банаховых решетках, картина выглядит проще.

Лемма. Пусть Е и Е банаховы решетки. Тогда оператор Т £ и (Е, Е) будет ЕС -компактным тогда и только тогда, когда он С-компактен.

< Пусть Т £ и(Е, Е) и оператор С-компактен. Так как Т(Е/) = Т(В/) и Т(В_/), то Т(Е/) также предкомпактное множество. Обратная импликация очевидна. >

Теорема. Пусть (V, Е) и (Ш, Е) — пространства со смешанными нормами, Е, Е — банаховы решетки и Е — К- -пространство. Пусть Т £ Ми (V, Ш) и Т — ЕС-компактный оператор. Если Т равномерно непрерывен на порядково ограниченных множествах в V, то тогда он ВМ-компактен.

< Пусть ж произвольный элемент V. Требуется установить, что множество Т(Мх) предкомпактно в Ш. Возьмем произвольное е > 0. Тогда по предположению найдется такое 5 > 0, что справедливо неравенство |||Ту1 — Ту21|| < е/2 для у1, у2 £ Мх таких, что 111У1 — У2||| < 5.

Зафиксируем п £ Н, такое что 2п < 2|р||[ .Так как оператор С-компактнен, то для данного е/2п > 0 найдется конечное множество Д/, ^ £ {1,..., п — 1} осколков элемента ^/2гаж, такое, что для каждого осколка г элемента /ж существует п/ £ Д/, удовлетворяющий неравенству

11|Тг — Тп/ ||| <

2п

Пусть Д : =

_.__оп— 1

{£ 2=1 Тп^

По

£ Д/}. Возьмем произвольный элемент у £ Мх. Применяя

спектральную теорему Фрейденталя к |у|, можем найти такой элемент Н £ Е+, что

Н = £ 2= =1 2пгде 5« — осколки элемента |ж| и |у| — Н < 2П—Т 1ж|. Через «г обозначим такие осколки ж, что = д«. Отметим, кроме того, что элемент Н можно подобрать удовлетворяющим условию |у| — Н ^ 0. Используя разложимость решеточной нормы, найдем такой элемент у* £ V, такой что |у*| = Н. Тогда

У

— У*1

— Н|| <

|ж|

)п_11 1

<5

Таким образом, в силу равномерной непрерывности оператора имеем |||Ту — Ту*||| < | С другой стороны, так как /— осколки элемента / |ж |, то существуют п/ £ Д/

2

Т (^ — ТП/

<

Далее можем написать

2п—1

ЕТп/ — Ту* /=1

Е Тп/ — Е Т (2П««)

/=1

/=1

е

< 2.

111 _\2Г — 1 111

Таким образом ||| £/=1 Тп/ —Ту ||| < е. Это означает, что Д является е-сетью и множество Т(Мх) предкомпактно. >

3.2. В настоящем пункте докажем следующий результат.

Теорема. Пусть (V, Е), (Ш, Е), (Н, С) — пространства со смешанными нормами, где Е, Е, С — банаховы решетки. Предположим, что Т £ Ми(V, Ш) почти компактный оператор и Б £ Ми (Ш, Н) — ВМ-компактен и равномерно непрерывен. Тогда оператор К := БТ : V ^ Н компактен.

е

е

2

п

п— 1

п— 1

< Так как Б равномерно непрерывен, то |||Бу1 — 5у§||| < § когда |||у1 — у2111 < Так как Т почти компактен, то существует ж* £ V, такой что

Т(О) С Т(Мж*) + ,

где О — ограниченное по норме множество в V.Так как Т мажорируемый оператор, то найдется уо £ Ш, такое что Т(Мх») С Муо. Воспользовавшись ВМ-компактностью оператора Б можем найти такое конечное множество ¿1,..., ¿п элементов Н, что справедлива формула

п

Б(Муо) С У + |£я) .

¿=1

В качестве е-сети для множества й(О) можем взять набор ¿1,...,гп. Действительно, пусть у £ Муо, V £ . Тогда справедливы формулы

| | | Б(у + V) — ¿г | | | < | | | Б (у + V) — Бу + Бу — ¿г | | | < | | | Б(у + V) — Бу | | | + | | | Бу — * | | | < е

Далее можем написать

n

R(D) = (ST)(D) cj (zi + |Bh)

¿=1

Следовательно R — компактный оператор. >

3.3. Накладывая некоторые ограничения на пространство на котором определен оператор, можно получить дополнительную характеризацию почти компактных операторов.

Теорема. Пусть (V, E), (W, F) — пространства со смешанными нормами, где E, F — банаховы решетки и E это -пространство. Пусть T £ Mu (V, W). Если для любого r £ R+ существует е £ E+, е = 0, такое что, для любого е > 0 существует 5 > 0 и

(Уж £ V) (Уп £ Br(V)) (|||ж||| < r; ||пе|| <5 ^ |||Тпж||| < е)

то оператор T почти компактен.

< Требуется установить, что если D = {ж : ж £ V, |||ж||| ^ r} и е > 0, то существует такой элемент жо £ V, что T(D) С T(Mx0) + Bw. Для заданных r £ R+ и е > 0 по предположению существует е £ E+, е = 0 и 5 > 0, такие что

е

sup |||Тпж||| < -MKr 2

для каждого порядкового проектора п, где ||пе|| < 5. Для каждого ж £ V через пх обозначим проектор на полосу {(|ж| — |е)+}^. В силу разложимости решеточной нормы найдутся такие ж1 и ж2, что

ж = ж1 + ж2; Ы = Пх |ж|; = \ж\ — |ж11.

Пусть ^>(ж) := ж2. Используя лемму 2.4 можем написать

(I — ПхМж) = (I — Пх)ж; |||ж||| ^ r ^ ||пже|| < 5.

Если |||ж||| ^ r, тогда |||^>(ж)||| ^ r, так как |^>(ж)| ^ |ж| Л |е. Кроме того ||пхе|| < 5. Далее справедливы оценки

ее |||Тпхж||| <-; |||Тп^(ж)||| <

| | | Тж—Тр(ж) | | | = | | | Тпжж+Т(/—пж)ж—Т(I—п^Мж)—Тп^(ж) | | | < | | | Тпж | | | + | | | Тп^(ж) | | | < е. Следовательно найдется u G V, такой что

Т(D) С Т(Mu)+ eBw. >

3.4. Теорема. Пусть E, F — банаховы идеальные подпространства пространств измеримых функций Lo(Ai, £1, v) и Lo(A2, £2, ß), норма в E порядково непрерывна, X, Y — банаховы пространства и E(X), F(Y) — соответствующие пространства измеримых вектор-функций. Пусть T G Mu (V, W) — непрерывный оператор. Тогда следующие условия эквивалентны:

(1) Для любого r G R+ существует е G E+, е = 0, такое что, для любого е > 0 существует 6 > 0 и

(Уж G V) (Vn G Br(V)) (|||ж||| < r; ||пе|| <6 ^ |||Тпж||| < е).

(2) Для любого r G R+ и для любой последовательности (жга)^=1 в E(X), |||жп||| ^ r; n G N, справедлива импликация

|ж„ - Ж ^ 0(v) ^ |||Тж„ - Тж||| ^ 0.

< (1)^(2). Пусть ж G V, r G R+, каждый член последовательности (жп)£=1 С E(X) удовлетворяет |||жп||| ^ r и |жга — ж| ^ 0(v). Тогда для данного е > 0 по предположению существует е G E+, е = 0 и 6 > 0, такие что sup|||x|||^r |||Тпж||| < | для каждого порядкового проектора, удовлетворяющего неравенству ||пе|| < 6. Пусть п и пп проекторы на полосы {(|ж| — fе)+}^ и {(|жга| — fе)+соответственно. Так как |жга — ж\ ^ 0(v), то |р(ж) — р(ж)| ^ 0(v). Кроме того |р(ж„)| ^ §е. Следовательно |р(ж) — р(ж)| ^ 0(v) в E(X). Отсюда получаем, что |||р(жга) — р(ж)||| ^ 0, когда n ^ то. В силу непрерывности оператора T, найдется такой номер no G N, такой что |||Тр(жга) — Тр(ж)||| < | для всех no ^ n. Используя те же аргументы, что и при доказательстве теоремы теоремы 3.3, приходим к неравенству

|||Тж„ — Тж||| < е; Vn ^ no.

Установим импликацию (2) ^ (1). Предположим, что утверждение (1) неверно. Тогда для любых r G R+ и е G E+, е = 0 существуют е > 0 и жo G V, такие что

ЩТ^т ^ е; ||Ы|| < r; Vn G Br(V); ||пе|| < 6;

В частности это должно выполняться, когда е — слабая порядковая единица в E, которая существует в данном пространстве согласно [6]. Мы можем найти такую последовательность (ж„)£=1 С V, где |||жп||| ^ r для всех n G N и последовательность проекторов (пп)п=1, удовлетворяющую условию lim ||ппе|| =0 в то время как |||Тппжп||| ^ е для

всех n G N. Существует посдедовательность измеримых подмножеств A1, таких

что п/ = /хпп для любых / G E+. Тогда ||е%пп || ^ 0, n ^ то и е%пп ^ 0(v), n ^ то. Отсюда получаем, что |пгажга| ^ 0(v), n ^ то. Теперь по предположению

lim |||Тп„ж„||| = 0.

Пришли к противоречию. >

Замечание.Вопросы, рассмотренные в настоящей главе, привлекали внимание многих математиков. Так в частном случае, когда пространства со смешанными нормами

совпадают с нормирующими решетками, результаты 3.1-3.4 совпадают с теоремами, установленными в работе [10]. Вопросам компактности нелинейных интегральных операторов, действующих в различных пространствах скалярных функций, уделено много внимания в [1]. Более современное изложение можно найти в [8].

Литература

1. Красносельский М. А., Забрейко П. П. и др. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций.—М.: Наука, 1966.—500 с.

2. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы.—М.: Наука, 2003.—619 с.

3. Кусраев А. Г., Плиев М. А. Ортогонально аддитивные операторы в решеточно нормированных пространствах // Владикавк. мат. журн.—1999.—Т. 1, вып. 3.—C. 33-43.

4. Кусраев А. Г., Плиев М. А. Слабое интегральное представление мажорируемых ортогонально аддитивных операторов // Владикавк. мат. журн.—1999.—Т. 1, вып. 4.—C. 22-39.

5. Фетисов В. Г., Филиппенко В. И., Козоброд В. Н. Операторы и уравнения в линейных топологических пространствах.—Владикавказ: Изд-во ВНЦ РАН, 2006.

6. Abramovich Y. A., Aliprantis C. D. An Invitation to Operator Theory. Graduate Studies in Mathematics V. 50. AMS, 2002.

7. Aliprantis C. D., Burkinshaw O. Positive Operators.—New York: Acad. Press, 1985.—xvi+367 p.

8. Appell J. M., Kalitvin A. S., Zabrejko P. P. Partial Integral Operators And Integro-Differential Equations.—New York: Marcel Dekker Inc, 2000.—560 p.

9. Mazon J. M., Segura de Leon S. Order bounded ortogonally additive operators // Rev. Roumane Math. Pures Appl.—1990.—V. 35, № 4.—P. 329-353.

10. Mazon J. M., Segura de Leon S. Uryson operators // Rev. Roumane Math. Pures Appl.—1990.—V. 35, № 5.—P. 431-449.

Статья поступила 7 мая 2005 г.

Плиев Марат Амурханович, к. ф.-м. н. Институт прикладной математики и информатики ВНЦ РАН и РСО-А Владикавказ, 362027, РОССИЯ E-mail: plimarat@yandex.ru