Об ограниченных решениях стохастических систем Ито Текст научной статьи по специальности «Математика»

2009

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика Вып.з(29)

УДК 517.921

Об ограниченных решениях стохастических систем Ито

А. В. Чистяков

Удмуртский государственный университет, 426034, Ижевск, ул. Университетская, 1 (корп. 4)

Для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений Ито дх($) = а(?)х(?)А + + ф(й^) (t е Я)

с интегрально ограниченными (в среднем) коэффициентами изучается вопрос о существовании единственного ограниченного решения при ограниченном аддитивном возмущении ф(А), являющемся стохастической ограниченной мерой. Показано, что если класс возмущений достаточно велик (содержит абсолютно непрерывные меры с суммируемой плотностью), то существование ограниченного решения возможно только в случае равномерной экспоненциальной устойчивости, т.е. очень быстрой стабилизации решений однородной системы. Это утверждение - прямое следствие сильной необратимости потока событий, необходимого для реализации винеровской меры w(dt).

1. Постановка задачи

Мы изучаем случайные процессы, определенные на некотором стохастическом базисе [23] (О,Б ,(Б,^, Р), где О - множество случайных точек (элементарных событий); Б

- а -алгебра подмножеств множества О всех событий; (^ Хек - неубывающий поток полных а-подалгебр а-алгебры Б , интерпретируемый как множество всех событий, возможных к моменту времени ^ включительно; Р - вероятность на (О, Б ) всегда предполагаем полноту (относительно Р) а-алгебры и ее подалгебр ^ : каждая из них содержит все события нулевой вероятности.

Фазовыми пространствами различных случайных процессов являются пространства

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований и Администрации Пермского края (проект № 06-01-00744-а, № 07-01-96060-р-урал-а).

© А. В. Чистяков, 2009

Кп . Норму на пространстве Кп мы обозначаем через | • | := || • || п . Под Кп -значным случайным процессом, определенным на отрезке Т вещественной оси, мы понимаем отображение х^)(о), (t е Т, о еО), для которого

при всех t е Т Кп -значная величина х(0 является (^, В(Яп) )-измеримой (здесь Б(Яп) -

борелевская а -алгебра пространства Кп ). Отметим, что мы рассматриваем случайный

процесс как случайную К -значную функцию х(0 (t е Т), согласованную с потоком (^): при каждом (фиксированном) t е Т случайная величина х(0 является ^ -измеримой. Процесс (х(1 ))(еТ мы называем (стохастически) непрерывным, если с вероятностью единица (или почти наверное (п.н.)) его траектория х^)(о) (t е Т) непрерывна. Рассматриваются также процессы измеримые, суммируемые, ограниченной вариации, абсолютно непрерывные и т.п. В частности, случайный процесс (х(1 ))(еТ называется (локально) сумми-

руемым, если его траектории п.н. локально суммируемы.

Определяя объект исследования - линейную систему обыкновенных стохастических уравнений Ито на всей оси, мы приводим понятие стохастической борелевской меры, следуя определению, принятому в монографиях [2], [6]. Заметим, что наше определение не соответствует определению стохастической меры, используемому в монографиях

[1], [23].

Стохастической борелевской Кп -значной мерой на Я мы называем функцию ф(А)(о) борелевского подмножества А с Я и случайной точки о, которая при почти всех

о еО является Кп -значной борелевской мерой, а при всех 5 е Я случайная функция

ФО1, 5): = ф(5, t] ( t > 5 ) является

Кп

-значным

случайным процессом. Функцию Ф^, 5) естественно назвать производящей функцией стохастической меры ф . По типу производящей функции мы определяем тип стохастической меры. Если при всех 5 е Я случайный процесс Ф^, 5) (£ > 5 ) непрерывен, то такую меру мы называем (стохастически) непрерывной. Если при каждом 5 е Я траектории процесса абсолютно непрерывны п.н., то в этом случае мы говорим об абсолютно непрерывной мере. Абсолютно непрерывная мера ф^) имеет плотность Ф^)' - такой локально суммируемый процесс р($), что

г

ф(5, ^ = | р(т^т при всех ^ > 5 п.н.

Особенность случайных процессов, описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями Ито, состоит в том, что флуктуация дифференциала абсолютно непрерывна (в смысле Малливэна [1], [2]) относительно стохастической меры w(dt), производящая функция Ж^)^ которой является семейством стандартных броуновских движений. Следуя ([6], с. 253), такую меру мы будем называть винеровской.

Предполагаем, что все случайные величины ^, порождаемые рассматриваемыми случайными процессами и стохастическими мерами, имеют конечный абсолютный момент порядка г, т.е. ограничены по норме

|| ^ ||: = (Е |^|г)17г (1 < г <<х пространства

Г (О, Б , Р)).

Устойчивость стохастических дифференциальных уравнений изучали многие авторы [3], [13], [15], [16], [18], [21], [22].

Рассмотрим «-мерную линейную систему обыкновенных стохастических дифференциальных уравнений Ито

dx(t) = а(0 х(^£ + Ъ(£ ) х(£ ) + ф^)

^ е Я), (1)

в следующих предположениях:

w(dt) - скалярная винеровская мера, коэффициент а(0 при дрейфе и коэффициент Ъ(£) при диффузии - заданные п х п -матричные случайные процессы,

возмущение ф^) - Яп -значная стохастическая мера.

Решением уравнения (1) мы будем называть любой «-мерный процесс х^), который при всех t, 5 (^ > 5 ) удовлетворяет соотношению

г

х(}) - х(5) = | а(т) х(т^т +

г

+|Ъ(т)х(т^^т) + ф[5, t) . (2)

Первый интеграл в равенствах (2) понимается как случайный интеграл Лебега, т.е. с вероятностью единица существует потраекторно. Второй интеграл в (2) является стохастическим интегралом Ито. Поэтому равенство в

(2) справедливо только почти наверное (п.н.), причем пренебрежимое множество, вообще говоря, зависит от ^ и 5. Уравнение (1) следует понимать как равенство случайных дифференциалов ([6] с. 263).

По аналогии с детерминированной ситуацией [4], [5] задача об ограниченных решениях формулируется следующим образом: найти условия, при которых уравнение (1) имеет единственное ограниченное (в вероятностном смысле) решение x для каждого ограниченного (в вероятностном же смысле) возмущения ф из достаточно широкого класса Ф.

Понятие ограниченности связано с выбором и согласованием метрик в пространстве решений X и в пространстве возмущений Ф . К этому вопросу мы обратимся позднее. Мы будем говорить, что для уравнения (1) задача

о Х-ограниченных решениях при Ф -ограниченных возмущениях корректно разрешима, если для каждого ф еФ существует и притом единственное решение х е X .

В случае детерминированных систем задача об ограниченных решениях изучается в условиях так называемой локальной разрешимости. При этом на параметры системы налагаются ограничения, смысл которых заключается в том, что при ограниченных возмущениях решения локальных задач растут не быстрее экспоненты. Для обыкновенных дифференциальных уравнений (независимо от стохастических наслоений) локальные задачи для уравнения (1) записывается в виде начальной задачи - задачи Коши: dx(t) = а(0 х^ ^ +

+Ъ(£)х(£) + ф(Л'), (} > 5), (3)

х(5~) = хх . (4)

Мы не касаемся здесь вопроса о существовании решений локальных задач. Этот вопрос к настоящему времени является хорошо изученным [1], [2], [15], [16], [26]. Отметим только, что условия, в которых мы проводим наше исследование, гарантирует существование и единственность сильных решений, а также требуемый рост в классах рассматриваемых нами начальных данных и возмущений.

Факты, известные для детермированных систем линейных дифференциальных уравнений, систематизированы в монографиях [4], [5]. В монографии [5] такая постановка задачи называется проблемой допустимости пар пространств для уравнения (1). Предположение о том, что некоторая пара функциональных пространств допустима для уравнения (1)

- предположение, которое может рассматриваться как особый случай устойчивости уравнения при постоянно действующих возмущениях, начал исследовать О. Перроном (1930), а еще раньше в несколько другой постановке -П. Боль (1913) .

Центральный результат - теорема Боля

- Перрона, уточненная затем во многих работах (см. [28], [29], [30]) (см. исторические комментарии в [4], [5], а также в [10], [11], [24], [27]), в известной мере является полным решением вопроса.

В ней утверждается:

разрешимость задачи об ограниченных решениях эквивалентна свойству экс-

поненциальной дихотомии решений однородной (невозмущенной) системы: при

^ ^<х> ее решения либо экспоненциально возрастают, либо экспоненциально убывают.

Решение задачи, найденное Болем и Перроном, тесно связано со свойством обратимости динамической системы, порождаемой линейной системой детерминированных обыкновенных дифференциальных уравнений: все решения однородного уравнения продолжимы вплоть до ^ = —<х>. Отметим, что в формулах Грина, выражающих ограниченное решение, есть процедура интегрирования назад по неустойчивому многообразию начальных данных, стартуя с которого решения экспоненциально возрастают.

Динамические системы, порождаемые линейными стохастическими дифференциальными уравнениями Ито, необратимы экстремально: почти наверное (п.н.) решение нельзя продолжить назад на сколь-угодно малый промежуток времени. Естественно возникает гипотеза:

для линейных систем стохастических дифференциальных уравнений Ито разрешимость естественных задач об ограниченных решениях эквивалентна тривиальной и единственно возможной в данном случае дихотомии - равномерной экспоненциальной устойчивости.

Наша цель - дать обоснование этой гипотезы.

Здесь следует особо сказать о том, что экстремальная необратимость динамической системы Ито связана прежде всего с необратимостью потока событий ( Б ): вероятность обнаружения в данный момент времени событий, могущих возникнуть раньше, равна нулю. Ведь именно с таким потоком событий связана сама возможность броуновского движения.

Зафиксируем сильную необратимость потока в виде следующих условий:

1) при любом t е Я а -алгебра ^ не содержит атомов вероятности Р ([20] с. 335): для каждого А е ^ с РА > 0 существует В е Б, такое, что В с А и 0 < РВ < РА ;

2) каждая а -подалгебра ^ (t е Я ) сепарабельна;

3) поток ( Б ) непрерывен слева (предсказуем): а( и ^) = Б, ;

4) непрерывное обновление потока: при фиксированных I > 5 существует множество А е ^ такое, что 0 < РА < 1 и А не зависит от а-подалгебры Ес ^.

Как катастрофически при этих условиях нарастает поток событий, становится ясным из следующего утверждения.

Утверждение 1. При каждых ^ > 5 для а -подалгебры ^ а -алгебры ^ существует независимая а -подалгебра Е без атомов.

Доказательство. Такой подалгеброй Е является подалгебра, порожденная объединением множеств из всех наборов В (5 < т < £), где набор В состоит из всех множеств В е таких, что 0 < Р В < 1 и В не зависит от а-подалгебры Ес ^. Из условия 4) следует, что а -подалгебра Е нетривиальна и не зависит от Б . В порождающем ее наборе В : = ^<т<^Вт атомы отсутствуют. Действительно, пусть А е Б . Как следует из 4), для т2 > т существует множество В е Б т такое, что 0 < Р В < 1 и В1 не зависит от Б . Этими же свойствами обладает и множество В2С: =

= О \ В .

Обозначим через С одно из множеств Вг, для которого Р(В о А) > 0. Положим В: = = С о А . Поскольку А и С независимы и 0 < Р С < 1, то 0 < Р В = Р(А о С) = = РС • РА < 1.

Замечание 1. Любой стохастический базис [1], на котором существует винеров-ская мера, удовлетворяет условию 4).

Действительно, приращение Z: = w(5, t ]

не зависит от а -подалгебры Б ([1], с. 49). Это в точности означает, что а -подалгебра, порожденная Z, не зависит от ^ . Кроме того, поскольку Z имеет гауссово распределение, которое, очевидно, непрерывно, то а -подалгебра Е неатомарна (диффузна).

2. Локальная равномерная

разрешимость

При изучении задачи об ограниченных решениях большое значение имеют ограниче-

ния на параметры системы, гарантирующие равномерную (по начальному моменту 5) экспоненциальную оценку решений начальных задач (3)-(4). Для детерминированных линейных систем экспоненциальная оценка есть следствие известного условия Массеры - ограниченности коэффициента в метрике Мас-серы-Степанова [4], [5].

Учитывая специфику стохастических дифференциальных уравнений, мы определим стохастический вариант условия Массеры в следующем виде:

(M*)

* ) sup vrai sup

teR «eQ

[ | a(s)(«) | ds — 0,

J S —>0+

supvrai sup

teR «eQ

t + S

{ |6(s)(«)|

0 .

Смысл этого условия состоит в том, что семейства вектор-функций (я(-)(®))яеК и

(¿(•)(ю))иеП равномерно интегрируемы, т.е. в определенном смысле стохастически компактны [9]. Можно предположить, что условие (M*), не являясь необходимым, является существенным. Без такой слабой компактности коэффициентов разброс траекторий может привести с положительной вероятностью к сверхэкспоненциальному росту решений.

Предположим, что х^ е Zs: =

L (Q, F, P), Ф(&) - Rn -значная мера такая, что при все t > s

\\ф ll[ s,t ]:= suP suP \\ф[г,#]\\<да. (5)

s<T<t Т<%<Т + \

Известно ([26], с. 97, [2]), что, условие (M*) гарантирует существование единственного решения x(t) при любой начальной точке s е R начального данного х^ е Zs и возмущения ф , удовлетворяющего условию (5).

Следующая лемма об экспоненциальной оценке этого решения играет в дальнейшем очень важную роль.

Лемма 1. Найдутся константы M > 0 и у> 0 такие, что

|| sup | х(г) |||<Me

ze[t ,t +1]

r( t -s )/

[s,t ]

). (6)

Доказательство. Не фиксируя пока число 5 > 0, положим

At := (t, t + 5], x*(t) := sup || x(r) ||, u(t) =|| x*(t) ||.

reA f

1/2

Рассмотрим случайный процесс xt (т) : = = х(т) (теД). Согласно определению решения уравнения (1)

Т

Xt (т) = x(t) + J a(#) x(#)d# +

t

Т

+ J btfWMdi) + Ф(Т. (7)

t

Следовательно,

Т

\ Xt (т) \<\ x(t) \ + \ J a(%)x(#)d# \ +

t

Т

+ \J b(4) x(4)w(d#)\ + ^(t,T]\. (8)

t

Оценим интегралы в правой части этого неравенства:

Т t+S

\J a(#)x(#)d#\ < x*(t) J \a(#)\d#< t t

< Ca (S)X"(t) . (9)

Т

Оценивая yt(т) : = Jb(#)x(#)w(d#) и затем

t

y*(t): = sup\\у(т)\\, воспользуемся извест-

теД(

ными оценками норм локальных непрерывных мартингалов ([1], с. 117). В результате получаем цепочку неравенств

г

E(y*(t)') < с-E( \ < уг(т),уг(т) > \ f )2 <

t+S r

< c2E( J\b(#)x(#)\ 2 d#2 <

t

t +S r

< c2E(x\t)r( J\b(#)\ 2 d#)2) <

t

< C2c[(S)E(x\t))r, следствием которой является необходимая нам оценка

i

\ \y*(t)\\< с—c*r(S)u(t). (10)

Из неравенства (8) и оценок (9)-(10) получим u(t) < u(t - S) + са (S)u(t) +

-

+ C2Cb (SM0+\ \ф\ \ [ s,t ] . (11)

Условие (M*) гарантирует, что найдется достаточно малое число S > 0 такое, что

1 1

Ca (S) + C2Cb (S) < - .

Зафиксируем теперь одно из таких значений

S. Из (11) ясно, что функция u (t) является решением разностного неравенства

u(t) < 2u(t -S) + 2 \ \ф\ \ [ s,t ] при начальном условии u (t) =\ \ x\ \ (t < s ). Это решение удовлетворяет оценке

u(t) < 2ey( ‘-s )(\ \Xs\ \ + \ \ф\ \ [ s,t ])

при у = . Отсюда оценка (8) выводится

S

как несложное следствие (заметим, кстати,

что M = — еу).

S

3. Равномерная экспоненциальная устойчивость

Уравнение (1) называется равномерно экспоненциально устойчивым (по начальным данным), если найдутся константы N > 0 и а >0 такие, что для любого начального момента s е R для любого начального значения х решение x(t)^s однородной задачи Коши (4)-(5) удовлетворяют неравенству

\ \ x(t)\ \ < Neat-s)\ \ Xs \ \. (12)

Отметим, что, если уравнение (1) равномерно экспоненциально устойчиво, то оценку (12) можно усилить:

\ \ sup \х(т)\ \ \< N-ea(t-s)\ \х \ \ (t > s ).

те[г ,t +1]

Действительно, из (12) и леммы 1 следует \ \ sup \х(т)\ \ \ < Меу \\x(t)\ \ <

те[г ,t +1]

< MerNe-a{*-s) \\ X \\. (13)

Эта оценка весьма важна в дальнейших построениях.

При постановке задачи об ограниченных решениях необходимо сделать выбор норм в пространстве Ф возмущений (стохастических мер) и в пространстве X решений (случайных процессов). Этот выбор надо осуществить так, чтобы нормы были согласованы: при феФ решение x задачи Коши должно локально принадлежать X. Кроме этого, желательно, чтобы нормы в паре (Ф, X) были бы естественны и близки к нормам, которые обычно используются в аналогичных задачах для детерминированных систем. Из леммы 1 достаточно прозрачно видна естественность появления несколько необычного класса случайных процессов - процессов, ограниченных по ^-норме.

Обозначим: Д := (к, к +1] (к =

= 0, ±1 ± 2,...), x*(t): = sup \х(т)\ (x(t) - Rn -

те[-1,t ]

значный случайный процесс).

В качестве пространств X, в которых могут лежать ограниченные решения уравнения (1), определим следующие пространства:

C* (Rn) : = Cm (Rn ) - пространство непрерывных случайных процессов x(t)ieR , ограниченных по норме ||x||: = sup\ х* (к)\ =

к

= supsup\ х(т)\ ;

к теДк

C*(Rn) (1 < p <да) - пространство непрерывных случайных процессов x(t)ieR , ог-

к=да

раниченных по норме ||x||: = ( Е \ \ х* (к) \ \ p У p ;

к=-да

L (Rn) (1 < Р <да) - стохастические

лебеговы пространства случайных процессов f: R ^ Rn, ограниченных по норме \ \f\ \: =

(E\ f (t )\p j'Р при p <да и \ \f\ \: =

= vraisupE\ f (t)\ при p = да .

tsR

Отметим, что хотя C* (Rn) и Lp( Rn) являются стохастическими аналогами пространств Cp( Rn) и Lp( Rn ), но они не являются пространствами бохнеровского типа из-за требования согласованности с потоком (F XeR. Эти (а также и все другие пространства, которые мы рассмотрим) относятся к классу решеточно нормированных пространств (пространств Банаха - Канторовича). Такие пространства допускают описание в виде пространств измеримых сечений банаховых расслоений (в нашем случае расслоения определяются потоком t ^ Lp(Rn,F,P)).

Теорема 1. Пусть уравнение (1) равномерно экспоненциально (р.э. ) устойчиво. Тогда для каждого f е Ц существует единственное решение х е C*. Более того, найдется константа q > 0 такая, что

\ \х\\1< q\\f\\i. (14)

Таким образом, в теореме 1 утверждается, что р.э. устойчивость влечет корректную разрешимость задачи о C -ограниченных возмущениях при Li-ограниченных возмущениях.

Доказательство. Рассмотрим последовательность срезок fk (t) : = х[к-1,к)(t)f (t) (k

= 0, ±1, ±2, ...). Обозначим через xk(t) решение задачи Коши (4)-(5) для начального момента к

- 1, возмущения fk и нулевого начального значения. По лемме 1

\ \ sup \ х(т) \ \\<Mey \\fk\ \ 1,

те[к-1,к ]

а согласно предложению 1 при l > к

\ \ sup \ х(т) \ \ \< Ne-a(l-к)\ \х(к)\ \.

те[1 ,i+1]

Отсюда при i > к -1 получим

\ \ sup \ х(т) \ \ \< N— e-^)\ \fk\ \1,

те[i, i+1]

где N2 = NNea .

Случайный процесс xk(t), продолженный нулем при t < к -1, является, очевидно, решением уравнения (1) для возмущения fk. Имеем

да

\ \хк\\ 1 = Ё\\ sup \х(т)\\ \ <

i=к-1 те[i,i+1]

да

< N— \ \fk\ 1 Е e^a('"к) < i=к-1

< N—ea (1 - e-a)-1\ \ft\\1 = q \\ft\\1.

Так как

jE\ \хк\\1 < q E\ \fk\ \1=q\ \f\ 1 <да,

к=-да к=-да

да

то ряд Е хк сходится в С1 и его сумма x =

к=-да

= х(t) (t е R) есть решение уравнения (1).

Пусть для f е L имеются два решения xb x2 е C* . Тогда случайный процесс x(t): = х (t) - х (t) есть решение однородного уравнения (1). Поскольку уравнение (1) р.э. устойчиво, то при s < t

\ \х(*)\ \ < Ne-a(t-s}\ i хС«)! \,

поэтому

\ \ х(s) \ \ > N leat-s>\ \х(*)\ \.

Отсюда ясно, что если \ \ х(*)\ \ Ф 0, то х C* . Следовательно, \ \ х(t) \ \ = 0 при всех t е R .

Дальнейшая (и самая трудная) часть работы связана с обращением теоремы 1.

Запишем уравнение (1) в операторном

виде

dх - Вх = ф(dt) .

В лемме 1 показано, что при условии (M*) линейный оператор A: х ^ (dх - Вх) при всех 1 < p < да действует из пространства C* (Rn ) в пространство M *(Rn ) . Простран-

ство М * (Ип) состоит из случайных процес-

сов

/ (/ )е

ограниченных по норме

| |/| |:= 8ир I Г(Е|/(5)| )рсЬ

/еЯ 1 **

и

:= угаізирЕ | / (/) | при

/еИ.

при 1 < р <<х Ввиду

оценки

ясно,

что

оператор

А:

Ср(Ип) ^ М*(Яп) ограничен.

Выразим операторное содержание теоремы 1 в следующем утверждении:

Следствие 1. Пусть уравнение (1) равномерно экспоненциально устойчиво. Тогда А : С*(Ип) ^ М*(Яп) ограничен.

Наша главная цель - обосновать утверждение, обратное к теореме 1, то есть установить эквивалентность корректной разрешимости рассматриваемых задач об ограниченных решениях свойству равномерной экспоненциальной устойчивости. Как мы уже говорили (и даже осмелились выдвинуть гипотезу), этот факт кажется неожиданным только поверхностно, из-за ассоциаций с решением этой проблемы для детерминированных линейных уравнений, описывающих обратимые во времени динамические системы. Но он естественен, ожидаем из-за сильной (страшной, запредельной) необратимости случайных динамических систем, порождаемых уравнениями Ито, содержащими в коэффициентах белый шум - фактически абсолютный хаос, идеально представленный броуновским движением.

4. Основная задача об ограниченных решениях

Такой задачей является задача о существовании единственного С -ограниченного решения уравнения (1) для каждого М -ограниченного возмущения ф(Лг) = /(£)Лг . Особая роль аналогичной задачи в теории детерминированных линейных систем, отмеченная неявно многими, в числе которых и авторы монографии [5], вполне очевидна: абсолютно непрерывными возмущениями /(£)Лг (/ е 1} ) удается в хорошем слабом смысле аппроксимировать меры Дирака X8(г - 5) . Решение детерминированной задачи Коши с мерой Дирака в качестве возмуще-

ния при нулевом начальном условии х(^) = 0 отличается от решения невозмущенного (однородного) уравнения с начальным условием x(t) = х5 только в начальной точке t = 5. Такая аппроксимация дает возможность установить связь между поведением решений при внешних возмущениях с асимптотическими свойствами решений при возмущении начальных данных. Наличие случайного параметра привносит только определенные трудности в реализацию этой простой идеи.

Одна из таких трудностей, отсутствующая в случае детерминированных линейных систем, связана с а'ргюп неочевидной корректностью задачи.

Лемма 2. Пусть для каждого / е Ц

существует единственное решение X е С* . Тогда найдется константа q > 0 такая, что

| |х(£)| 1 < q | |/| 1 (15)

для всех / е Ц .

Доказательство. Рассмотрим семейство уравнений

Лу(г) = (а(г) - Я)у(г)Лг +

+ Ь(£)у(£^(Л) + g(£)Л (Яе Я). (16)

Решение задачи Коши Лу(£) = (а(£) - Я)у(г)Л£ + Ь(£)у(£)•№(&) + g (£)Л£

(£ > 5 ) у(5) = ух, можно представить в виде у(£) = е~Я(г-5)х(£), где х(0 - решение задачи Коши (4)-(5) при f= 0 и х5 = у5. Согласно лемме 1

| |х(£ )| | < Меу(г -5 }| |у,| |

(Ми у определены в лемме). Поэтому | |у(£)| | = е-у(г-5)| |х(£)| | <Ме-(Я-у)(г-5)| | у, ||. Следовательно, при Я>у уравнение (16) р.э. устойчиво. Для определенности положим Я = 2у . Из теоремы 1 следует, что определен ограниченный линейный оператор G: Ц ^ С* , который преобразует возмущение g е Ц в единственное решение у е С* уравнения (1 6).

Перепишем уравнение (1) в виде Лх(£) = (а(£) - Я)х(£)Л£ +

+ Ь(£)х(£)^(Л£) + (Ях(£) + /(£))Л , (17)

и увидим, что решение этого уравнения является решением уравнения (16) при g (£) = = Ях(£ ) + / (£). Отсюда после замены х = 02 получим уравнение

z = AGz + f (18)

с ограниченным линейным оператором G: Ц ^ Ц . Ввиду (17) становится ясным, что если уравнение (1) имеет и притом единственное решение x е C* при каждом f е Ц , то уравнение (18) однозначно разрешимо в пространстве Ц. Иначе говоря, оператор

I - AG : Ц ^ Ц обратим. По теореме Банаха обратный оператор (I - AG) 1: Ц ^ Ц ограничен. Поэтому

| |x|jj =| |G(I-A,G)-lf\<

<|1 G | |ц ^c*| |( I-^G)-1| |ц ^| |f| |j = q| |f| |j.

Лемма 3. Пусть выполнены условия леммы 2. Тогда для простого ступенчатого случайного процесса F(t): = s,м)xs (xs е Zs)

при всех to < s существует решение х уравнения

dx(t) = a(t) x(t )dt +

+ b(t)x(t)w(dt) + dF(t) (t > t0). (19)

При этом

1) x е C*;

2) найдется константа q > 0 такая, что || x ||j < q || xs || для всех s е R и x е Zs.

Доказательство. Построим S -образную последовательность процессов

fn (t) : = nX{s,s+H n)(t)xs ( t е R ). Очевидно,

f еЦ и || fn || < || f ||. Согласно лемме 2 при каждом n = 1, 2, ... единственное решение хп уравнения (1) удовлетворяет неравенствам

| |xn| | < q| |fn| | < с| |xs| |.

Решение Хп представим в форме Коши

t

xn (t) = X(t, to)xn(to) + JX(t, T)fn(r)dz.

*o

Для начальных значений имеем оценку

d := SUp W n(to)||< с W xs W.

n

Норма на пространстве Zs: = Lp (Q, , P) мо-

нотонно полна и поэтому любой замкнутый шар замкнут (относительно сходимости) по мере. Как впервые обнаружил Г.Я. Лозановский [7], ограниченные множества псевдокомпактны по мере. Поэтому найдется последовательность ym(t0): = ^l^mkxk (to)

выпуклых комбинаций xk(t0), сходящаяся по мере к некоторому элементу x(t0) е Zs. Соответствующая последовательность возмущений

= '^иатк/к слабо (точнее, С -слабо) сходится к обобщенному возмущению 3(г - 5)хД£ : = й¥(().

Так как ядро X(£,т) непрерывно по т , то в формуле

г

ут (£) = Х (£> £0 ) ут (£0) +1Х (£.т) gm (т)Лт

¿0

возможен предельный переход по вероятности:

г

х(£) ^ ут (£) ^ X(£, £0 )х(£0 ) + | X(£, тЛ(т) .

г0

Таким образом, при всех £ > £0 последовательность ут(0 сходится к решению х(0 уравнения (19), причем || х||<с|| X || .

Замечание 2. Решение уравнения имеет представление

х(£) = X(£, £0)х(£0) + Х[,,Ю)X(£, 5)х^ . (20)

Ясно, что с вероятностью единица при t = 5 это решение терпит разрыв.

Покажем, что решение х^) = Х(^5)х5 принадлежит С , причем

|| х||<с|| х ||, где константа с не зависит от 5.

Согласно лемме 3 при £0 = 5 -1 для X е Zs существует решение х уравнения (19) такое, что

|| х||<с|| х ||. (21)

Обозначим через множество всех х е Zs, для которых x(t) = 0 при £0 < £ < 5 п.н. Из формулы (20) видно, что х(0 - решение начальной задачи. Следовательно, для решений начальной задачи при х е Zs справедлива оценка (21).

Множество Z'l является подпространством пространства Zs, замкнутым относи-

т-да

тельно умножения на элементы кольца Ь : = Ь (Яп, ^, Р) . Действительно, учитывая локальный характер решений уравнения (1) по случайному параметру о, имеем || X(£,5)ах5 ||=|| аX(£,5)х5 ||<||а||да|| X(£,5)х5 ||.

Иными словами, Zss есть Ь -подмодуль модуля Z5. Кроме того, ввиду порядковой полноты нормы на Ьр = Zs и порядковой непрерывности оператора умножения Х^,5) подмодуль Z'l замкнут относительно порядковой сходи-

мости: если <рпе Zss и | фи (о)| < ^(о), ^е Ьр и рп(о) >ф(о) п.н., то || X(£,5)фп || ^

|| X(£, 5)ф|| при всех £ > 5 и поэтому справедлива оценка (21) (здесь вместо порядковой сходимости можно использовать сходимость по мере или по норме).

Структура замкнутых конечномерных модулей известна: они описываются случайными проекторами. В частности, для подмодуля Zx найдется ограниченный случайный проектор Р(о): Яп ^ Яп такой, что Zss = PZS. Следовательно, подмодуль Zss дополняем подмодулем 24, где 21: = QZS и Q: = I - Р -дополнительный проектор.

Доказательство. Пусть фе Zus. Тогда с ненулевой вероятностью решение х, существование которого утверждается в лемме 3, отлично от нуля при всех £0 < £ < 5 . Действительно, в противном случае оно было бы нулевым. Из формулы (20) следует

х(5) = X(5,£0 )х(£0 )ф . (22)

Так как возмущения при £ > 5 отсутствуют, то х(£) = Х(£,5)х(5). Поэтому х(5) е Zss . Теперь из формулы (20) получим

0 = 0х(5) = QX (5, £0 ) ^ + дф =

= QX (5, о хо + ф.

Отсюда

А(о)Хк (о) = -ф(о), где А(о): = д(о)X(5,£0)(о).

Далее мы будем предполагать наличие канонического преобразования а: = а15:

0^0, сдвигающего назад стохастический базис: ст_1Р5 = Б^ . Оператор сдвига (&)(о) : = г(а(о)) изометрично отображает Zs на

Z, с Z„. Следовательно, для х найдется

£0 5 £0

единственный элемент це ZJ такой, что х (о) = (ЦХ®) = ц(ст(о)). В результате получаем следующее утверждение:

для любого ф е ZUu существует ц е Z¡¡, что А(о)ц(о) = -ф(о).

Оператор Т взвешенного сдвига, определяемый формулой

(Тц) := А(о)ц(о) ,

действует в пространстве ^ = Ьр (О, Б, Р) и является ограниченным. Тем самым доказано, что Т^ с ZU . Дальнейшая цель - показать, что Zu = 0.

Допустим, что это не так: ZUu Ф 0. Тогда носитель М: = 8ирр Ъ подмодуля ZU имеет ненулевую меру (вероятность). Выберем базисный элемент Ь е ZU такой, что | Ь(о) |= 1 при всех о е М . Ясно, что ЬЬр (М, Р) с ZU . Определим оператор взвешенного сдвига Т1: ^ ^ Ьр (М, Р) формулой

(Тц)(о) : = <А(о)ц(о), Ь(о)) ( о е М ).

Как показано выше, для любого ф : = Ьg, g е Ьр (М, Р) найдется це Zx такой, что Тц = -ф. Отсюда Тц = g. Поэтому следует заключить, что оператор Т сюръективен. Но это заключение противоречит свойству анти-сюръективности операторов взвешенного сдвига, порожденных броуновским движением. Доказательство этого факта дано в заключительной части этой статьи. Разрешая возникшее противоречие вынуждены признать, что Zu = 0.

Таким образом, любое решение начальной задачи имеет оценку (21).

Учитывая теперь замечание к лемме 2, привлекая весовое уравнение при Х>у, убеждаемся в том, что при достаточно малых а > 0 справедлива оценка

||еа( г-5) х ||< с||х„||, откуда получаем окончательную оценку | |х(£)| |< сеа(г-5)| |Х51 |.

Антисюръективность операторов взвешенного сдвига, порожденных броуновским движением

В нашем исследовании задачи об ограниченных решениях мы предполагали диф-фузность, сепарабельность и предсказуемость потока событий (Б с очень быстрым их нарастанием. Увеличение множества возможных событий характеризуется следующим свойством:

при £ > 5 для а -подалгебры Б а -алгебры Б найдется независимая (от Б) диффузная а -подалгебра 2.

Подалгебра 2 содержит события, возможные к моменту ¿, но статистически независимые от всех событий, возможных к моменту 5. Сдвиг вправо вдоль решений задачи Коши (З)-(4) при отсутствии внешнего возмущения (ф = 0) порождает эволюционный

оператор и, действующий из пространства Zs: = Ь (О, Б, Р) начальных условий х5, возможных при ^ = 5, в пространство Zt: = Ь (О, Б, Р) . Поскольку пространство Zt существенно шире пространства Z5, то эволюционный оператор и : Zt ^ Zt оказывается сильно необратимым. Именно в этом непрерывном расширении пространства начальных данных, происходящем из-за пополнения потока новыми событиями, не зависящими от прошлых, и заключается подлинная причина отсутствия нетривиальной дихотомии для линейных систем Ито.

С абстрактной точки зрения все сепарабельные диффузные вероятностные пространства изоморфны [25]. Следовательно, найдется сохраняющий меру (вероятность Р) изоморфизм И : ^ ^ , индуцирующий обра-

тимую изометрию 8 : ^ ^ Zs пространств Zt

и Zs. В результате композиция 8и дает представление эволюционного оператора в виде оператора и, действующего в пространстве Z5. Более того, мы, ссылаясь на теоремы об изоморфизме, можем заменить исходное вероятностное пространство (О, Б, Р) на любое стандартное пространство с диффузной мерой (например, на отрезок [0,1] с лебеговской а-алгеброй Ь и мерой Лебега т). Изоморфная замена вероятностного пространства не меняет статистических характеристик случайных событий. Но удачный выбор вероятностного пространства позволяет нам исследовать эти характеристики более эффективно. В частности, в стандартной реализации (О, Б, Р) мы можем воспользоваться теоремой фон Неймана-Рохлина [25], в которой утверждается, что любой непрерывный по мере а -гомоморфизм И : ^ ^ ^ индуцируется некоторым поточечным отображением а : О ^ О по правилу

* 1 к = а : А^а А (АеБ).

Таким образом, в стандартном представлении эволюционный оператор и является оператором взвешенного сдвига

(UtA )(ю) = A(v)xs (a(o)), где вес A(^) : = X(t, s)(a(a>)) определяется фундаментальной матрицей X(t,s) уравнения (1), а в качестве сдвига может использоваться любое отображение a : Q ^ Q, порождаю*

щее изоморфизма a : F( ^ .

По этим соображениям мы рассматриваем ниже отображения стандартных пространств.

Пусть (S,S,v) и (Q,F ,/и) - стандартные измеримые пространства с вероятностными диффузными мерами.

Следуя Н. Колтону ([14], с. 303), анти-инъективным мы будем называть измеримое отображение a : Q ^ S , обладающее свойством: если A е F и а\А - инъекция, то U A = 0 .

Согласно ([14], Lemma 2.1) отображение а антиинъективно тогда и только тогда, когда выполнено следующее условие (nc): для любого множества A е F , /иА > 0 существует множество В е F , цВ > 0, B с А такое, что и(ВАачС) > 0 для всех С е S .

Утверждение леммы кратко записывается в виде условия ненасыщенности [25,

* -1

гл. 2] а -подалгебры a S : = a S с F :

*

a S о А Ф F о А для всех А е F , и А > 0 .

Предложение 1. Пусть для а -*

подалгебры F : = a S найдется независимая диффузная а -подалгебра 2. Тогда отображение a антиинъективно.

Доказательство. Проверим условие (nc). Для А е F с /иА > 0 найдется множество D е2 такое, что 0 < uD < 1 и цВ > 0 , где В := А о D .

Предположим, что и(ВАС) > 0 при некотором С е F . Множество C не зависит от

2. Поэтому условное математическое ожидание хс относительно 2 п.н. является константой: Е(хс \ 2) = с . Так как иС = иВ > 0, то с > 0 и мы вынуждены признать, что supp Е(хс \ 2) = Q. С другой стороны, из равенств Е(%с \ 2) = Е(Хв \ 2) = E(XaoD \ 2) = Е(х^Хв \ 2), справедливых п.н., ввиду 2 -измеримости функции Xd следует: Е(хс \ 2) = XdЕ(Х \ 2), и мы должны согласиться с

тем, что supp E(xc | 2) = D. Но, очевидно, D ФО п.н.

Полученное противоречие является опровержением нашего предположения.

Следует отметить, что в классе борелев-ских отображений сепарабельных метрических пространств с диффузными мерами ан-тиинъективность является предельно экстремальным свойством необратимости. Характеристикой патологии антиинъективного отображения является следующая альтернатива:

пересечение прообраза а~1 {%} v -почти каждой точки ^еН с множеством A е F положительной меры либо несчетно, либо пусто.

Явная конструкция антиинъективного отображения в виде сдвига на множестве двоичных дробей приведена в работе [12]. Поведение итераций этого отображения дает наглядное представление о хаосе броуновского движения.

Пусть F := F(H)(R) : = F(Н, S, v) и G : = G(0)(R): = G(0, F , и) - банаховы идеальные пространства [19]; X и Y - банаховы пространства; B(X, Y) - банахова алгебра линейных ограниченных операторов A: X ^ Y ; F(Н) (X) и G(0)(Y) - банаховы идеальные пространства измеримых вектор-функций со значениями в X и Y соответственно, снабженные смешанной нормой [8].

Рассмотрим оператор T: F (Н)(Х) ^ ^ G(0)(Y) определен формулой (Tf)(о) = A(o)f(а(о)) ,

(f е F (X), оеО), где вес A: О ^ (X, Y) сильно измерим, подстановка а : О ^ Н измерима.

Теорема 2. Пусть подстановка а ан-тиинъективна. Тогда оператор T не сюръек-тивен.

Доказательство. Предположим, что оператор T сюръективен. Без ограничения общности можно считать, что supp A = О.

По условию вес A: О^ B(X, Y) сильно измерим. Согласно векторнозначной версии теоремы Егорова [8, с. 40, лемма 0.7] существуют компакт К с О и последовательность конечнозначных весов A„: О^ B(X, Y) (n =

1, 2, ...) такие, что /иК > 0 и

8ир(а 1(ю)|| А п (а) - А(а)||) ^ 0 . (23)

аєК п^“

Сузив компакт К, будем предполагать далее, что Хк є О и, следовательно, Г° (К) с О .

Так как оператор Т сюръективен, то оператор

Тк :=ХкТ: F(E)(X) ^ О(К)(¥) также является сюръективным оператором. Множество сюръективных операторов, как известно [17, с.21], есть открытое

подмножество банахова пространства B(F(X), О(К)(У)) . Следовательно, найдется число 5 > 0 такое, что возмущенный оператор Т сюръективен, если

||Тк -Т||<5. (24)

Ввиду (23) определим целое число п > 0 как одно из решений неравенства

|| 51| sup(a-1 (а) || А п (а) - А (а) ||) < 5 . (25)

аєК

Положим Н: = Ап и формулой (Ті(а)) := Н(а)і(а(а)) (і є F(X), а є К ) определим оператор Т : F(X) ^ О(К)(У) . Из оценки (25) следует неравенство (24). Таким образом, оператор Тк сюръективен.

По построению вес Н: = Ап|К:

К ^ В(Х, У) принимает конечное число значений. Выберем некоторое значение Н0 веса Н, удовлетворяющее условию: /лА > 0 , где А : = {а є К : Н(а) = И0} . Зафиксируем и некоторый элемент у є У единичной нормы.

Пусть В єЕк: = ЕоК, В с А и

ЛлВ > 0 . Так как оператор Т сюръективен, то Ха Г і в = Хв (')У для некоторого элемента

ів Є Fs (X). Отсюда Ха (а) | И0Гв | (а(а)) =

Хв (а) при п.в. аєО,, как это следует из мультипликативного представления оператора Т . Полагая С: = {^єН: | Н^ \(£) ^0}, получаем: /л((а~1С) о АДВ) = 0. Но В - произвольно выбранный элемент а -алгебры Ък . Получено противоречие с условием (пе).

Следствие 2. (свойство антисюръек-тивности). Оператор Т: F (X) ^ О (У), порожденный антиинъективной подстановкой, обладает следующим свойством: для любого множества АєЕ положительной меры оператор хЛ : F(X) ^ О(А)(У) не сюръективен.

Список литературы

1. Ватанабэ С. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы: пер. с англ. / С.Ватанабэ, Н.Икэда. Под ред. А.Н. Ширяева. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. 448 с.

2. Далецкий Ю.Л. Стохастические уравнения и дифференциальная геометрия / Ю.Л.Да-лецкий, Я.И.Белопольская. Киев: Выща шк. Головное изд-во, 1989. 295 с.

3. Царьков Е.Ф. Случайные возмущения дифференциально-функциональных уравнений / Е.Ф.Царьков. Рига: Зинатне, 1989. 421 с.

4. Далецкий Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л.Далецкий, М.Г Крейн. М.: Наука, 1970. 534 с.

5. Массера Х. Линейные дифференциальные

уравнения и функциональные пространства: пер. с англ. А.М.Зверкина и

Г.А.Каменского / Х.Массера, Х.Шеффер. М.: Мир, 1970. 456 с.

6. Розанов Ю.А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика: учеб. для вузов. 2-е изд., доп./ Ю.А.Розанов. М.: Наука, 1989. 320 с.

7. Бухвалов А.В. О замкнутых по мере множествах в пространствах измеримых функций / А.В.Бухвалов, Г.Я.Лозановский // Тр. Моск. матем. об-ва. 1976. Т.34. С.128-149.

8. Левин В.Л. Выпуклый анализ в пространствах измеримых функций и его применение в математике и экономике/ В.Л.Левин. М.: Наука, 1985. 352 с.

9. Поносов А.В. Метод неподвижной точки в теории стохастических дифференциальных уравнений / А.В.Поносов // Докл. АН СССР. 1988. Т.199, № 3. С.562-565.

10.Azbelev N. V. Stability of differential equations with aftereffect / N.V.Azbelev, P.M. Simonov. London and New York: Taylor and Frances, 2002. 222 p. + xvii p. Series: Stability and Control: Theory, Methods and Applications. Vol. 20.

11.Азбелев Н.В. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными / Н.В.Азбелев, П.М.Симонов. Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 2001. 230 с.

12. Чистяков А.В. Патологический контрпример к гипотезе о нефредгольмовости в алгебрах операторов взвешенного сдвига /

А.В.Чистяков // Изв. вузов. Математика. 1995. № 5. С. 100—115.

13.Ponosov A. Periodic solutions of linear stochastic differential equations / A.Ponosov, A.Chistyakov // Funct. Different. Equat. 1997. Vol. 4, №3-4. P.361-389.

14.Kalton N.J. Isomorphisms between L -function

spaces when p < 1 / N.J.Kalton // J. of Funct. Anal. 1981. Vol.42, №3. P.299-337.

15. Jacod J. Weak and strong solutions of the stochastic differential equations: existence and stability / J.Jacod, J.Memin // Lect. Notes in Mathematics, 1981. Vol.851. P.169-212.

16.Arnold L. Random dynamical systems / L.Arnold. Berlin-Heidelberg: Springer, 1998. 588p.

17.Пич А. Операторные идеалы: пер. с англ. Н.В.Мирошина / А.Пич. Под ред. П.И.Лизоркина. М.: Мир, 1982. 536 c.

18.Kadiev R. A. Stability of stochastic functional differential equations and the W-transform / R.Kadiev, A.Ponosov // Electron. J. of Different. Equat. Vol. 2004 (2004), №. 92. P. 1-36. http://ejde.math.txstate.edu.

19.Канторович Л.В. Функциональный анализ. 3-е изд., перераб. / Л.В.Канторович, Г.П.Акилов. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. 752 с.

20.Эдвардс Р. Функциональный анализ: Теория и приложения: пер. с англ.

Г.Х.Бермана, И.Б.Раскиной / Р.Эдвардс. Под ред. В.Я. Лина. М.: Мир, 1969. 1072 c.

21.Хасьминский Р.З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров / Р.З.Хасьминский. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969. 368 с.

22.Колмановский В.Б. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием / В.Б.Колмановский, В.Р. Носов. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981. 448 с. (Серия "Теоретические основы технической кибернетики").

23.Липцер Р.Ш. Теория мартингалов / Р.Ш. Липцер, А.Н.Ширяев. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. 512 с. (Теория вероятностей и математическая статистика. Вып. 38.).

24.Курбатов В.Г. Линейные дифференциаль-

но-разностные уравнения / В.Г.Курбатов. Воронеж: Изд-во Воронежского ун-та,

1990. 168 с.

25. Самородницкий А.А. Теория меры /

А.А.Самородницкий. Л.: Изд-во ЛГУ,

1990. 268 с.

26.Портенко Н.И. Марковские процессы / Н.И.Портенко, А.В.Скороход, В.М.Шурен-ков // Итоги науки и техн. Соврем. пробл. матем. Фундам. направления. ВИНИТИ, 1989. Т.46. С.5-248 с.

27..Kurbatov V.G. Functional differential operators and equations / V.G. Kurbatov. Dordrecht e.a.: Kluwer Academic Publishers, 1999. 433 p. + xx p.

28.Поносов А.В. Ограниченные решения стохастических систем / А.В.Поносов, П.М. Симонов, А.В.Чистяков // Украин. конф. "Моделир. и исследование устойчивости систем": тез. докл. Киев: Киев. ун-т. 1994. С.110-111.

29.Поносов А.В. Теорема Боля-Перрона для стохастических систем / А.В.Поносов, П.М.Симонов, А.В.Чистяков // III Между-

народ. сем. "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления": тез. докл. Ин-т проблем управления РАН. Москва, 1994. С.18.

30. Чистяков А.В. Ограниченные на оси решения линейных неоднородных систем дифференциальных уравнений Ито / А.В.Чистяков // Изв. Ин-та матем. и информатики. Ижевск. 2002. № 2(25). С.101-102.

On a bounded solution of Itô’s stochastic systems

A. V. Chistyakov

Udmurt State University, 426034, Izhevsk, Universitetskaya st., 1 (building 4)

There is investigated a question about existing of unique bounded solution for linear system of Itô’s ordinary differential equations

dx(t) = a(t)x(t)dt + b(t)x(t)w(dt) + tp(dt) ( t e R )

with integral bounded (at the average) coefficients by bounded additive perturbance $(dt), which is stochastic bounded measure. It is showed, that if class of perturbances is enoughly great (i.e. it contains absolutely continuous measures with summable consistency) then existing of bounded solution is probably only when uniform exponential stability is, i.e. the very quick stabilization of solution for homogeneous system. This statement is direct consequence from strong irreversibility of event stream which is necessary for implementation of Wiener measure w(dt).