Устойчивость решений линейных импульсных скалярных уравнений Ито с линейными запаздываниями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929.4+519.21

УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СКАЛЯРНЫХ УРАВНЕНИЙ ИТО С ЛИНЕЙНЫМИ ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ

© 2011 г. Р.И. Кадиев, З.И. Шахбанова

Дагестанский государственный университет, ул. Гаджиева, 43а, г. Махачкала, Республика Дагестан, 367000, [email protected]

Dagestan State University, Gadjiev St., 43a, Makhachkala, Republic Dagestan, 367000, [email protected]

Исследуется вопрос асимптотической p-устойчивости (2 < p <<ю) тривиального решения по начальным данным для импульсного

скалярного дифференциального уравнения Ито с линейными запаздываниями методом модельных уравнений. Конкретный вид уравнения и применяемый метод позволяет получить достаточные условия устойчивости в терминах параметров исследуемых уравнений.

Для импульсных дифференциальных уравнений Ито с последействием вопросы устойчивости решений ранее, по-видимому, другими авторами не рассматривались. Исследование проведено методом вспомогательных или «модельных» уравнений, разработанным Н.В. Азбеливым и его учениками.

Ключевые слова: уравнение Ито, устойчивость решений, импульсные воздействия, уравнения с запаздываниями.

The article investigates the question of asymptotic p-stability (2 < p <<ю) of the trivial solution on the initial data for the pulse scalar differential Ito equation with linear delays applying the method of model equations. The concrete kind of the equation and the method applied allow to receive sufficient stability conditions in terms ofparameters of the investigated equations.

For the pulse differential Ito equations with aftereffect the questions of solutions stability, apparently, have not been considered by other authors. The investigation was carried out applying the method of the auxiliary or «modeling» equations developed by N. V. Azbeliv and his followers.

Keywords: Ito equation, stability of solutions, pulse impacts, equations with delays.

Вопросам устойчивости для стохастических дифференциальных уравнений с последействием посвящено большое количество работ. Достаточно полный их список приведен в монографиях [1-4]. В этих работах в основном применялся метод вспомогательных функций («функционалов Ляпунова-Красовского-Разумихина»). С другой стороны, в теории устойчивости решений детерминированных линейных функционально-дифференциальных уравнений высокую эффективность показал метод вспомогательных или «модельных» уравнений - <^-метод», разработанный Н.В. Азбеливым и его учениками. Этот метод применительно к исследованию вопросов устойчивости для линейных функционально-дифференциальных уравнений по семимартингалу развит в [5-8].

Для импульсных дифференциальных уравнений Ито с последействием вопросы устойчивости решений ранее, по-видимому, другими авторами не рассматривались. В [9, 10] изучалась экспоненциальная р-устой-чивость (2 < р <<х) тривиального решения по начальной функции для линейных импульсных систем дифференциальных уравнений Ито с последействием. Исследование проведено методом вспомогательных или «модельных» уравнений, который подробно изложен для более общего уравнения в [5-8].

В настоящей работе исследуется вопрос асимптотической /»-устойчивости (2 < р <<х) тривиального решения по начальным данным для линейного импульсного скалярного дифференциального уравнения Ито с линейными запаздываниями методом модельных уравнений. Конкретный вид уравнения и применяемый метод по-

зволяют получить достаточные условия устойчивости в терминах параметров исследуемых уравнений.

Объект и задача исследования

Пусть 3,(3, )(ь0, Р) - стохастический базис; к1 - линейное пространство п -мерных 3 -измеримых случайных величин; Д, г = 2,...т - независимые стандартные винеровские процессы; 1 < р <<х ; с - положительное число, зависящее от р [11, с. 65]; Е - символ математического ожидания; -линейное нормированное пространство скалярных функций на [0, <х), ограниченных в существенном; п.н. - почти наверно.

Рассматривается линейное импульсное скалярное дифференциальное уравнение Ито вида

скЦ) = (1)

т1 т т

= 2ау (Ох(1 /Ии с + 2 2ау (Г)х(Г /Иу )СВ,. (О, Г > 0,

.¡=0 г=2 у=0

) = -0),j = 1,2,3,... п.н.,

(2)

где h,i = 1,...m, j = 0,...m,; |,A, j = 1,2,3,... - дей-

ствительные

j = 0,...mi,

числа такие, что 0 = l0 <l <l < ...

hj >1

i = i,...m,

lim | = да ;

-4j

,]' = 0,...,т - измеримые локально суммируемые функции; а у, г = 2,...т, У = 0,...т, - измеримые локально суммируемые с квадратом функции.

В силу результатов из [12] следует, что через любое х(0) е к1 проходит единственное решение этого уравнения (с точностью до Р-эквивалентности). Обозначим это решение через х(г). Отметим, что уравнение (1), (2) имеет тривиальное решение.

Замечание 1. Если в (2) А = 1 при у = 1,2,3,■■■, то

уравнение (1), (2) называют дифференциальным уравнением Ито с последействием (с запаздываниями). Если, кроме того, в (1) Иу = 1, г = 1,...т,

] = , то уравнение (1), (2) называют дифферен-

циальным уравнением Ито (обыкновенным).

Определение. Тривиальное решение уравнения (1), (2) называют асимптотически р-устойчивым, если для любого е > 0 найдется такое 3(е) > 0 , что

Щх(0|Р <е при г > 0 и Нт£|х(г)|Р = 0.

Основной результат

Пусть Ха (г) - характеристическая функция множества А с [0,«); 4(г) = Х[0Л(г) + (1/г)х{г^(г),

Заметим, что в силу [12] через любую 30 -измеримую случайную величину у(0) проходит единственное решение у(г) модельного уравнения (с точностью до Р -эквивалентности).

Непосредственной проверкой легко убедиться, что для этого решения имеет место представление

(

y(t) = exp{-a3(t)}

\

t

п Aj

V 0<Mj <

f п a,

0

m t

+ j exp{-a(3(t) -¿>0)}

У s<^j f

+ Z j exp{-a(3(t) -3(s))}

У(0) +

fo(s)ds +

Л

f (s)dñi (s), t > 0 .

3(t) = j£(s)ds , Sy = max{lnhj,(hj - l)r Ihy } при = exp{- a3(t)}

П А

г=2 0 ^ <г

В детерминированном случае справедливость аналогичной формулы показана в [13].

Результаты [8] имеют место, если уравнение (29) этой работы заменить на уравнение (4). Проверим, что при предположениях теоремы модельное уравнение удовлетворяет условиям из [8, следствие 4.2]. Для этого заметим, что в нашем случае и (г) =

( \ ( \

] = 0,...пп1, ау (г) = ау (г)х[0г[ (г) + ау (гУх^,^ (г) при

у = 0,...пп1, ау(г) = а^(г)Х[0.г[(г) + ау(г)^гХ[г,^(г) при г = 2,...т, у = .

Теорема. Пусть существуют индексы I с {0,....т1}, положительные числа А, р,&,а такие, что < А, р< Ы(^у+1 / ^ ) <а при у = 1,2 А ехр{-ар} < 1 и выполнено неравенство

л/ тах{1 А}(1 - ехр{-асг}) К =- -—-— у +

п a,

V s<^j <

C(t, s) = exp{-a(3(t) -3(s))}

п Aj

vs<^j <

и выполнимость условий R1-R2 из [8] для выбранного модельного уравнения при предположениях теоремы проверяются непосредственно. Кроме того, выполняются все остальные условия этого следствия, если положить %(t) = %[0r[ (t) + (1/ t)x[r,a) Ш > 0) в

уравнении (29) из [8].

Из сказанного выше и из [8, следствие 4.2] следует, что теорема будет доказана, если доказать обратимость оператора (I -&): M2 ^ M2 , где опе-

ратор © определяется равенством

+ СрГ2

a(l - exp{-ap}Ä)

max{l, A2}(1 - exp{-2aa}) 2a(l - exp{-ap}A2)

t

(©y)(t) = jexp{-a(¿(t) -¿(s))}

< l,

(3)

^ П A

Vs<^j<

где 7i = Z «iJr

kel"

mi

Z\a

Z aik +a

keel

j=0" + Z|| aik

m mi и-1

i,|i Sik + cp aij\

Lm i=2 j=0" 1

Z aik (s) + a l£(s)y(s) + Z alk (s)y(s I hj )

keI ) ktí

ds +

г ktín

Lea ^

m mi .._ i.

T2 =ZZ\\aij\\ , тогда

i=2 j=^

t

-jexp{-a(3(t) -¿(s))}

тривиальное решение уравнения (1), (2) асимптотически 2р-устойчиво.

Доказательство. Для доказательства асимптотической 2р-устойчивости тривиального решения уравнения (1), (2) воспользуемся [8, следствие 4.2].

В качестве «модельного» возьмем уравнение вида

т

ду(1) = [а4(г) у(г) + /0 (г)]Л + £ /1 (г)( г > 0), (4)

г=2

х(^) = 0),у = 1,2,3п.н., где а - некото-

рое положительное число; / - прогрессивно измеримый случайный процесс с п.н. локально суммируемыми траекториями; / - прогрессивно измеримый случайный процесс с п.н. локально суммируемыми с квадратом траекториями при г = 2,...т , остальные параметры определены в уравнении (1), (2).

о

s

Х j

s 1 hik

п a,

V s <t m m

1 a..

Z aik (s) X

keI

Z a j (z) y(z I hi j )dz + ZZ ay(z) y(r I hj)dBt (z)

j=0 i=2j=0

ds +

+ £ £|ехр\-а(3()-ЗЩ ПА, /И„)<т,(я),

г=2 у=00 ^<г )

М2 - линейное нормированное пространство скалярных прогрессивно измеримых случайных процес-

p Гp

сов на [0, ea) с нормой sup1

Оценим норму оператора © в пространстве M

2 p ■

Имеем ||©y||

Ш 2 p

<

Z aik +a

keI

f t f Л Л

x sup jexp{-a(3(t) -3(s))} п Aj £(s)ds

t>0 0 V V s<^j <' )

n(2 p-Y)I2 p

X

/2

0

X

+

+

L

X

L

GO

(, ( ^

х sup

<>0

\1/2 p

Jexp{-«(^(i)-5(s))} П Z(s)E\y(s)\ pds

0 s<ßj <t

\ J /

/ n \ (2p-1)/2p

+

+ S к sup

fei" <>0

Jexp{- a(5(t) -5(s))}

0

П A

v s<; у J

f, f \

<t

<(s)ds

x sup

t>0

\1/2 p

J exp{-«(5(t)-5(s))}

П A

V s<^j <

+ S||a1kll. sup

(

1k I,

kel11 11 La t>0

t

J exp{-a(5(t) -5(s))}

£(s)E\y(s / Aik )| Pds

/ N \ (2p-1)/ 2p <

П a,

<(s)ds

v < J J

х sup

t>0

J exp{-«(5(t) -¿>(s))}

П A

V < J

x E

J

s / fyk

mq m Щ

S aij(r)y(r / hj)dr +S S ay(r)y(r / )dSi(r)

j=0 ¡=2j=0

2 p

\1/2 p

ds

Л

+cp SS aj sup

¡ = 2j=0N IILa t>0

t

J exp {- ЩЩ -ЭД)}

/ ч \( p-1)/2 p

П A,2

<(s)ds

Л f А

x sup

t >0

\1/2 p

Jexp{-2a(3(i)-9{s))} П A,2 <(s)Ey(s/hy)| pds

V <

S aik +a

+ S К

Г t г i л

X sup J exp{-a(5(t) S(s))} n AI <(s)ds

t >0 V0 V *<•"/« j J

IlM 2 p

+ Sa1k sup

kel11 IIL« t>0

t

J exp{-a(5(t) -¿>(s))}

г i 1

П Aj| ds x

V « у

г t

x sup E J

t >0 V t' h1k

mi m mi

S (s)y(s / К,)ds+ S S öy(s)y(s / hj)dB<(s)

j=0 i=2,=0

2 p У'2 p

Л ( \ \

+cpSS к sup

¡=2j=0" IILa t>0

Учитывая, что

J exp {- ЩЩ -5(s))}

П A;

'<tj < J

<(s)ds

г t

sup E J

t>0 t / h1k

V

m1 I _

<S1 a1j

j =0'

S öi; (s)y(s / hi;)ds + S S ay(s)y(s / hy)dBi(s)

j=0 ¡=2j=0

SKL ^ik + cp SShL 4Ö;

j=0" "La ¡=2 j=0 La

IlM 2 p

f, (

оценку sup

t>0

j Jexp{-a(5(t) -5(s))}

0

V

при k e I и

Л Л

j

<(s)ds

П \A

v <• J J

(t ( \ \

= sup

+ t>0

J exp{- a(5(t) -5(s))}

0

max{l, A}1 - exp{- ac })

п a

lns<ln^j <lnt

dS(s)

J J

<

a(l - exp{- ap}A) неравенство

которая следует из [14], и

f, С

sup

t >0

J exp{-a(5(t) -5(s))}

,0 V

Л Л

s<ßj <

П Aj2 <(s)ds J J

t

+ = sup

J exp{-a(5(t) -¿>(s))}

2

dS(s)

П А;

1п5<1п/Л ; <1п/

7 X /

шаху!, А2 ¡(1 -ехр{- асг})

<-Ц-— ' , которое следует из преды-

2а(1 - ехру- ар ¡А )

дущей °ценки получим < К\\у\\М2р .

Учитывая условия теоремы, имеем ||©||м < 1. Отсюда в силу [8] следует обратимость оператора (I -©): М2р ^ М2р . Теорема доказана.

Следствие 1. Пусть существуют индексы + I с {0,.../^} , положительные числа А,р,ст,а

такие, что |Ау | < А, р < 1п(л/+1 / /и^ ) < <г при 7 = 1,2,..., = 1, к е I, X Ям = -а,

ке1

Аехр{-ар} < 1, и выполнено неравенство (3), где

п = Sa

,, 1k г kel" 11

Slki, sik + cpSSS|k|l ßlk

j"L^a i=2 j=Qll "¿ад

+ S \an

1k\\, :

||y|| . П2 =SS\ai\ , тогда тривиальное решение уравне-

11 llM 2 p ¡=2 j=dl

( t

E

J |y(s / Кj )<(s)ds

t/ Alk

2 p

X 1/2 p

m mj ||-1|

+cpSS aÄ sup

¡=2 j=^ a t>0

(

E

J |y(s/hjtfOds

p

X 1/2 p

t / h1k

ния (1), (2) асимптотически 2^-устойчиво. 2ру/2 р В справедливости следствия можно убедиться, ес-< ли в теореме положить а = - X ^ (^).

Следствие 2. Пусть й10 = 1 и существуют положительные числа А, р, <, а такие, что | < А,

р< 1п(и7+1/Л]) << при 7 = 1,2,..., а = -Я1о(0 , Аехр{-ар} < 1, и выполнено неравенство (3), где

<S Ö1 j sup

jLa t>0

г t ^2p-1 t

J<(s)ds E J |y(s/h1j )|2p<(s)ds

v t / h1 j t / ^^k

1/2 p

m m¡ и-и

+cp SS k sup

¡=2 j=0" 11 La t>0

Г t 1p-1 t I 12 p

J<(s)ds E J |y(s / hjj) <(s)ds

Vt / h1k J t / h1k

1/2 p

Г1 = 2X1 |а14 , = XX 2|ку|| , тогда тривиальное реше-

к=Г 1=2 "¿я

ние уравнения (1), (2) асимптотически 2рустойчиво.

Справедливость следствия вытекает из следствия 1 при I = {0}.

< Следствие 3. Пусть \к = 1, к = 0,...,ш1 существуют положительные числа А, р, <, а такие, что

m

<

x

x

x

0

m m

<

x

0

+

m

m

m

/

+

L

V

<

V

J

Ш < A, р< H^j+J Vj) при j = 1,2,..., a=-£ alk (t),

1 1 k=0

Aexp{-ap} < 1, и выполнено неравенство (3), где

Yi = z||aiJ illai jl \ + cp i i|k|l ,

k=0 IIL^ j=0 ^да i=2 j=0 ^да

m mi и-и

Y = iiaJ , тогда тривиальное решение уравне-

i=2 j=^ "¿да

ния (1), (2) асимптотически 2р-устойчиво.

Справедливость следствия вытекает из следствия 1 при I = {0,...mo} .

Замечание 2. Если в (2) |А^| < 1, /uj+1 -^ = d при j = 1,2,3,..., где d - некоторое положительное число, то из теоремы и следствий видно, что присутствие импульсов не ухудшает асимптотическую 2р-устой-чивость тривиального решения однородного уравнения (1), (2).

Литература

1. Кольмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М., 1981. 448 с.

2. Царьков Е.Ф. Случайные возмущения дифференциально-функциональных уравнений. Рига, 1989. 421 с.

3. Mao X.R. Stochastic Differential Equations and Applications. Chichester, 1997. 360 p.

4. Mohammed S.-E.A. Stochastic Differential Systems with Memory. Theory, Examples and Applications // Procеedings of The Sixth Workshop on Stochastic Analysis. Geilo, Norway, 1996. P. 1 - 91.

5. Кадиев Р.И., Поносов А.В. Устойчивость стохастических функционально-дифференциальных уравнений при постоянно действующих возмущениях // Диф. уравнения. 1992. Т. 28, № 2. С. 198 - 207.

6. Кадиев Р.И. Достаточные условия устойчивости стохастических систем с последействием // Диф. уравнения.

1994. Т. 30, № 4. С. 555 - 564.

7. Кадиев Р.И. Устойчивость решений стохастических функционально-дифференциальных уравнений : дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Махачкала, 2000. 232 с.

8. Kadiev R., Ponosov A. Stability of stochaastic functional differential equations and the W-transfoim // Electron J. Diff. Eqns. 2004. Vol. 92. P. 1 - 36.

9. Кадиев Р.И., Поносов А.В. Устойчивость решений линейных импульсных систем дифференциальных уравнений Ито с последействием // Диф. уравнения. 2007. Т. 43, № 7. С. 879 - 885.

10. Кадиев Р.И., Поносов А.В. Устойчивость линейных импульсных дифференциальных уравнений Ито с ограниченными запаздываниями. // Диф. уравнения. 2010. Т. 46, № 4. С. 486 - 498.

11. Ватанабэ C., Икеда Н. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы. М., 1981. 445 с.

12. Кадиев Р.И. Существование и единственность решения задачи Коши для функционально-дифференциальных уравнений по семимартингалу // Изв. вузов. Математика.

1995. № 10. С. 35 - 40.

13. Lakshmikantham V., Bainov D.D., Simeonov P.S. Theory of Impulsive Differential Equations. Singapore, 1989. 321 p.

14. Berezanski L., Idels L. Exponential stability of some scalar impulsive deley differential equation // Communications of Appl. Math. Analysis. 1998. Vol. 2. P. 301 - 309.

Поступила в редакцию_28 марта 2011 г.