Устойчивость импульсных систем двух линейных дифференциальных уравнений Ито с запаздываниями Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2020, Том 22, Выпуск 1, С. 49-65

УДК 517.929.4+519.21 Б01 10.23671/У^.2020.1.57571

УСТОЙЧИВОСТЬ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ИТО С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Р. И. Кадиев12

Дагестанский государственный университет, Россия, 367000, Махачкала, ул. М. Гаджиева, 43 а; 2Дагестанский федеральный исследовательский центр РАН, Россия, 367032, Махачкала, ул. М. Гаджиева, 45 E-mail: kadiev_r@mail.ru

Аннотация. Исследуются вопросы 2р-устойчивости (1 < p < то) систем двух линейных дифференциальных уравнений Ито с запаздываниями и с импульсными воздействиями по одной компоненте решений на основе теории положительно обратимых матриц. Для этого применяются идеи и методы, разработанные Н. В. Азбелевым и его учениками для исследования вопросов устойчивости детерминированных функционально-дифференциальных уравнений. Приводятся достаточные условия 2р-устойчивости и экспоненциальной 2р-устойчивости (1 < p < то) систем двух линейных дифференциальных уравнений Ито с запаздываниями и с импульсными воздействиями по одной компоненте решений в терминах положительной обратимости матриц, построенных по параметрам исходных систем. Проверяется выполнимость этих условий для конкретных уравнений. Получены достаточные условия экспоненциальной моментной устойчивости системы двух детерминированных линейных дифференциальных уравнений с постоянными запаздываниями и коэффициентами с импульсными воздействиями по одной компоненте решений в терминах параметров этой системы. Показано, что в этом случае из общих утверждений можно получить новые результаты для исследуемой системы.

Ключевые слова: уравнения Ито, устойчивость решений, импульсные воздействия, положительная обратимость матрицы.

Mathematical Subject Classification (2010): 34K20, 34K50.

Образец цитирования: Кадиев Р. И. Устойчивость импульсных систем двух линейных дифференциальных уравнений Ито с запаздываниями // Владикавк. мат. журн.—2020.—Т. 22, вып. 1.—С. 4965. DOI: 10.23671/VNC.2020.1.57571.

1. Введение

Стохастические дифференциальные уравнения описывают многие реальные, практически важные задачи современной физики, биологии, экономики, кибернетики и т. д. Импульсные дифференциальные уравнения Ито с последействием являются хорошей математической моделью для финансовых процессов. Среди различных вопросов, возникающих при решении таких задач, один из важнейших — вопрос об устойчивости решений стохастических функционально-дифференциальных уравнений с импульсными воздействиями.

© 2020 Кадиев Р. И.

Исследования устойчивости систем со случайными параметрами приобрели широкий размах после появления в 1960 г. работы И. Я. Каца и Н. Н. Красовского, в которой даны основополагающие определения стохастической устойчивости и впервые применены функции Ляпунова в исследованиях вопросов устойчивости для таких систем. Исследованию вопросов устойчивости для уравнений Ито с последействием методом функционалов Ляпунова — Красовского — Разумихина посвящено большое количество работ как отечественных, так и зарубежных математиков. Достаточно полный их список приведен в монографиях [1—4]. Однако применение этих методов во многих случаях встречало серьезные трудности. Поэтому эффективные признаки устойчивости обычно удавалось доказывать лишь для сравнительно узких классов стохастических функционально-дифференциальных уравнений. В детерминированном случае при исследовании вопросов устойчивости высокую эффективность показал метод вспомогательных или «модельных» уравнений — «Ш-метод» Н. В. Азбелева. Этот метод применительно к стохастическим функционально-дифференциальным уравнениям развит автором данной статьи. Он является, в принципе, универсальным методом. Это не означает, конечно, что он всегда дает наилучшие результаты. Однако, по крайней мере, этот метод может помочь во многих «безнадежных» ситуациях, где трудно использовать более традиционный «инструментарий». Этот метод позволяет обойти некоторые трудности традиционных схем, возникающие при изучении вопросов устойчивости для уравнений с неограниченными запаздываниями, со случайными коэффициентами и запаздываниями, а также с импульсными воздействиями. Устойчивость решений по Ляпунову относительно начальной функции для детерминированных импульсных дифференциальных уравнений исследовалась в работах [5-8]. Для импульсных дифференциальных уравнений Ито с последействием вопросы устойчивости решений по начальной функции ранее, по-видимому, другими авторами не рассматривались. Некоторым вопросам устойчивости решений для систем линейных дифференциальных уравнений Ито с последействием и с импульсными воздействиями по всем компонентам решений посвящены работы [9-12]. В этих работах исследование проведено по аналогии с работой [8], т. е. методом вспомогательных или «модельных» уравнений, который подробно изложен в работах [13-15].

В настоящей работе изучаются вопросы 2р-устойчивости и экспоненциальной 2р-ус-тойчивости (1 ^ р < то) для систем двух линейных дифференциальных уравнений Ито с запаздываниями и с импульсными воздействиями по одной компоненте решений. При этом применяются принципы метода вспомогательных уравнений и теория положительно обратимых матриц. Отличие от классического метода вспомогательных уравнений состоит в том, что каждое уравнение системы преобразуется независимо от остальных, а каждая компонента решения оценивается отдельно. Такой подход, в сочетании с теорией положительно обратимых матриц, позволяет получить новые результаты, в том числе и в детерминированном случае, а также эффективно исследовать вопросы устойчивости для уравнений с импульсными воздействиями.

2. Предварительные сведения и объект исследования

Пусть (О, ^, (^,Р) — стохастический базис; к2 — линейное пространство 2-мерных ^о-измеримых случайных величина; Вг, г = 2,..., т, — независимые стандартные винеровские процессы согласованные с потоком (^)^о; 1 ^ р < то; ср — положительное число, зависящее от р [16, с. 65] и используемое в оценке (3); Е — символ математического ожидания; Е — единичная 2х2-матрица; | • | — норма в В2] || • || — норма 2х2-матрицы, согласованная с нормой в К2; || ■ Ух — норма в нормированном пространстве X; ц — мера Лебега на [0, +то).

Пусть В = (Ь^)2 у=1 — 2 х 2-матрица. Матрица В называется неотрицательной, если Ьу ^ 0, г, = 1, 2, и положительной, если Ьгу > 0, г, = 1, 2.

Очевидно, что матрица В = (Ьу)2;у=1 с Ь12 ^ 0, Ь21 ^ 0 положительно обратима, если главные диагональные миноры матрицы В положительны. В рамках этой статьи мы будем пользоваться этим признаком положительной обратимости 2х 2-матрицы с неположительными внедиаганальными элементами. Более общие признаки положительной обратимости матриц можно найти в [17].

В данной работе исследуются вопросы устойчивости для системы двух линейных дифференциальных уравнений Ито с запаздываниями и с импульсными воздействиями по одной компоненте решений вида

т.1 т т;

= — Ау (¿)ж(Л,1у (*)) ^ + (¿)х(%(¿)) ¿В(¿) (г ^ 0),

у=1 ¿=2¿=1

х2(д?) = Вух2(ду — 0), j = 1, 2, 3,..., почти наверно (п. н.), относительно начальных данных

(1)

х(£) = (£ < 0), (1а)

х(0) = Ь, (1Ь)

где

1) х = оо1(ж1,ж2) — 2-мерный неизвестный случайный процесс;

2) Ау = (а^ )2 к=1 — 2 х 2-матрица при г = 1,...,т, j = 1,...,тг, элементами матриц А у, j = 1,...,Ш1, являются прогрессивно измеримые скалярные случайные процессы, траектории которых п.н. локально суммируемы, а элементами матриц Ау, г = 2,..., т, j = 1,..., Шг, являются прогрессивно измеримые скалярные случайные процессы, траектории которых п. н. локально суммируемы с квадратом;

3) , г = 1,...,т, j = 1,...,Шг, — измеримые по Борелю функции, заданные на [0, то) такие, что (¿) ^ £ (£ € [0, то)) ^-почти всюду, г = 1,..., т, j = 1,..., тг;

4) , .] = 1, 2, 3,... , — действительные числа такие, что 0 = < < < ...,

= то;

5) Ву, j = 1, 2, 3,... , — отличные от нуля действительные числа;

6) ^ = ео1(^1,^2) — ^О-измеримый 2-мерный случайный процесс;

7) Ь = ео1(Ь1,Ь2) — ^О-измеримая 2-мерная случайная величина, т. е. Ь € й2.

Пусть в дальнейшем: — линейное пространство 2-мерных прогрессивно измеримых случайных процессов на [0, +то), траектории которых п.н. непрерывно справа и имеют пределы слева; — линейное пространство 2-мерных случайных процессов на (—то, 0), которые не зависят от винеровских процессов Вг, г = 2,..., т, и имеет п. н. ограниченные в существенном траектории; 7 : [0, +то) — Л1 — положительная непрерывная функция.

Решение задачи (1), (1а), (1Ь) это 2-мерный случайный процесс х = ео1(ж1,ж2) из пространства такой, что х2(ду) = Вух2(^у — 0), j = 1, 2, 3,... , п. н. и

т1 \ т т;

х(^) = х(^-) — ^ J Ау (в)х(Ьу (в))йв + ] Агу (в)х(Лг,- (в))^(в)

у=1 н ¿=2 у=1 Н

(* € [^ ,^+1)), j = 0,1, 2, 3,...,

х(0) = Ь, х(£) = (£ < 0), где интегралы понимаются в смысле Лебега и Ито соответственно.

Отметим, что при сделанных предположениях задача (1), (1а), (1Ь) имеет единственное решение [18]. Обозначим через Ь, решение системы (1), удовлетворяющее условиям (1а) и (1Ь), т. е. ж(£, Ь, = при £ < 0 и х(0,Ь, = Ь. Очевидно, что ж(-Др) € £2.

Введем следующие обозначения линейных нормированных подпространств пространств £2, к2, ¿2:

MpY = {x : x € D2, ||x||MpY d=f sup (E |y(t)x(t)|p)1/p < то} (Mp1 = M3 kp2 = {a : a € k2, ||a||fc2 = (E|a|p)1/p < то};

"p

L2 = {^ : ^ € L2, |Mb =f vrai sup(E|^(v)|p) 1/p < ТО.

^ 2 v<0 J

Определение 1. Систему (1) называют:

- p-устойчивой относительно начальных данных, если для любого е > 0 найдется такое ¿(е) > 0, что при любых b € kp, ^ € Lp и ||b||k2 + ||^>||L2 < ¿(е) будет выполнено неравенство (E|x(t,b,^)|p )1/р ^ е для любого t U 0;

- асимптотически p-устойчивой относительно начальных данных, если оно p-ус-тойчиво, и, кроме того, для любых b € kp, ^ € L^ и ||b||k2 + ||^>||L2 < ¿(е) будет

lim^+TO(E|x(t,b,^)|p )1/p = 0;

- экспоненциально p-устойчивой относительно начальных данных, если существуют положительные числа K, Л такие, что для решений x(t, b, задачи (1), (1a), (1b) выполнено неравенство (E|x(t, b, ^>)|p)1/p ^ Kexp{-Лt}(|b|k2 + |M|Lp) (t U 0).

Заметим, что в предыдущих определениях величина b — случайная величина, ^ — случайный процесс. В известных определениях их считают детерминированными.

Определение 2. Систему (1) назовем Mp-устойчивым, если для любых b € kp, ^ € Lp для решения задача (1), (1a), (1b) x(-,b, имеем x(-,b, € Mp и выполнено неравенство ( )

||x(-,b,p)||Mp7 < с(||b||fc2 + |МЦ) (2)

для некоторого положительного числа с. Очевидно, что

- из Mj^-устойчивости системы (1) следует p-устойчивость этой же системы относительно начальных данных;

- из Mp -устойчивости сиситемы (1) (где Y(t) U ¿ > 0 (t U 0) и limt^+œ Y(t) = +то) следует асимптотическая p-устойчивость этой же системы относительно начальных данных;

- из Mp -устойчивости ситемы (1) (где y(t) = exp^}, Л — некоторое положительное число) следует экспоненциальная p-устойчивость этой же системы относительно начальных данных.

Лемма 1. Пусть f (s) — скалярный случайный процесс, интегрируемый по винеров-скому процессу B(s) на отрезке [0, t]. Тогда справедливо неравенство

t 2v\ 1/2» / / t \ p\ 1/2p

V (s)|2 d(s) , (3)

0

где Cp — некоторое число, зависящее от p.

Справедливость неравенства (3) следует из неравенства 4 работы [16, с. 65], где приведено и конкретное выражение для Ср.

E

f (s) dB(s)

Лемма 2. Пусть д(з) — скалярная функция на [0, то), квадрат которой локально суммируем, /(«) — скалярный случайный процесс такой, что вир«^0(Е|/(з)|2р)1/2р < то. Тогда справедливы следующие неравенства

вир Е \

д(5)/^ ^

2т 1 /2р

< вир ^ / |д(5)| ^ вир (Е |/(5)|2р)1/2р, (4)

вир Е

^0 \

(д(5))2(/(5))2 ^

т 1/2р

( 1 \ 1/2 < вир /(д(5))2 ^ вир (Е |/(5)|2р)1/2р. (5)

Г^0 \ Л / «^0

Справедливость леммы доказана в работе [19].

ь

ь

3. Метод исследования

Как было отмечено во введении, устойчивость системы (1) будем проверять преобразованием системы (1), с помощью вспомогательного (модельного) уравнения, в другое, более простое, уравнение, для которого непосредственно можно проверить условия, обеспечивающие устойчивость систем (1).

Наряду с системой (1) рассмотрим систему двух линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с импульсными воздействиями по одной компоненте решений вида

Жх(*) = [Б(£)х(£) + /(*)] ^ (£ ^ 0), Ж2(д,-) = БуЖ2(д,- - 0), 3 = 1, 2, 3,...,

где Б (£) — 2 х 2-матрица, элементы которой измеримые по Лебегу функция и / (£) — 2-мерная измеримая по Лебегу функция, Бу, ^, 3 = 1, 2, 3,... , — те же самые величины, что и для системы (1).

Для системы (6) рассмотрим соответствующую линейную однородную систему вида

^х(£) = Б(£)х(£) (£ ^ 0) Ж2(^у) = БуЖ2(^у - 0), 3 = 1, 2, 3,...

Определение 3. 2 х 2-матрица X(£) (£ ^ 0), столбцы которой являются решениями системы (7) и Х(0) = Е, назовем фундаментальной матрицей для системы (6).

В силу того, что через любое Х0 € Кга проходит единственное решение системы (7), имеем ёе! X(£) = 0 при £ ^ 0.

Непосредственно, методом вариации постоянных, можно убедится в справедливости следующей леммы.

Лемма 3. Для решения системы (6), проходящего через Х0, имеет место представление

ь

х(£) = X(£)Х0 + ^ X(£)Х(й)-1 /(5) ^ (£ ^ 0).

0

Используя систему (6) и лемму 3, задачу (1), (1а), (1Ь) можно записать в следующем эквивалентном виде:

х(£) = X(£)Ь + (вх)(£) + (Ср)(*) (£ ^ 0), (8)

где

/т1

X (*)Х (5)-1 - £ А у (5) (5))

о 1 У=1

4 т т;

+ X (¿)Х ]Тач (5) ж(Лу (5)) (5),

0 ¿=2 у=1

4 г т-1

(С^)=у X(¿)Х(з)-1 Ау (5) (5))

4 т т;

+ X(¿)Х]ТАч(5) (5)) (5), 0 ¿=2 У=1

где ж(Ь) — неизвестный 2-мерный случайный процесс на (-то, то) такой, что ж(Ь) = 0 при Ь < 0, и <с(Ь) — известный 2-мерный случайный процесс на (-то, то) такой, что <с(Ь) = при Ь € (-то, 0) и <с(Ь) = 0 при Ь € [0, +то).

Приведем следующую теорему, которая следует из результатов работы [9], а также в справедливости которой можно убедиться и непосредственно.

Теорема 1. Пусть при любых Ь € кр, ^ € ¿2 для системы (8) имеем

И^Им; < С1||ь||к?, увжуМ7 < с2||ж|М, < ЫМЦ,

где с\, С2, Сз — некоторые положительнее числа и С2 < 1. Тогда система (1) Мр -устойчиво.

На основе этой теоремы в работе [9] получены достаточные условия р-устойчивости относительно начальных данных систем вида (1) в терминах параметров этих систем.

Для ж(Ь) = со1(ж1 (Ь), Ж2(Ь)) (Ь ^ 0) обозначим ж/ = вир4>0(Ё|7(Ь)ж,(Ь)|р)1/р, г = 1, 2, Ж7 = со1(ж^, ).

Пусть для некоторого 7(Ь), Ь € [0, то), переходя к оценкам в каждом уравнении системы (8), нам удалось получить матричное неравенство следующего вида:

Ёж7 < Сж7 + с ||Ь||^Ё + с |МЦЕ, (9)

где С — некоторая 2х2-матрица, с, с — некоторые положительные числа, Е — 2-мерный вектор, все элементы которой равны единице. Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Если матрица Е — С положительно обратима, то система (1) Мр-устойчива.

< В предположениях теоремы мы имеем: матрица Е — С положительно обратима. Следовательно, неравенство (9) можно переписать в следующем виде:

Ёж7 ^ (Ё- С)~1 (с\\Ъ\\кпЁ + с М\цЁ). Тогда из предыдущего неравенства получаем

И < К+ ), (10)

где К = ||(Ё — С)-1|| |Е| тах{с, с}. Поскольку ж(Ь, Ь, = ж(Ь) и ||ж(-, Ь, ^>)||М7 ^ |ж71, то из неравенства (10) следует, что для любых Ь € кр, ^ € имеем

11ж(',Ь,ИМ ^ с(||Ь|к + Н^Н^р),

где с — некоторое положительное число. Следовательно, система (1) Мр -устойчиво. >

В следующем параграфе на основе теоремы 2 будут получены достаточные условия М2р-устойчивости системы (1) в терминах параметров этой системы.

4. Экспоненциальная устойчивость

В дальнейшем предположим, что 7(£) = ехр{А£} (£ € [0, то)), где Л — некоторое положительное число, 0 ^ £ — (£) ^ ту (£ € [0, то)) ^-почти всюду при г = 1,..., т, 3 = 1,..., т^, для некоторых положительных чисел ту, г = 1,..., т, 3 = 1,..., т^, существуют индексы € {1,... ,т1}, 8 = 1, 2, и положительные числа р, ст, Б, а«, а«к, г = 1,..., т, 3 = 1,..., т^, к = 1,2, такие, что для системы (1) имеют место следующие неравенства:

|Бу | ^ Б, 3 = 1, 2,..., р ^ — ^ ^ а при 3 = 1, 2,...,

|а«к(£)| ^ , £ € [0, +то), г = 1,..., т, 3 = 1,..., тг, к = 1,2, Р х^-почти всюду,

У] а^(£) ^ а«, £ € [0, +то), 8 = 1, 2, Р х^-почти всюду, ке/3

и для некоторого положительного числа В выполнено неравенство

ехр{—а2£} |Бу| < В при £ € [0, +то).

Пусть С — 2х2-матрица, элементы которой определены следующим образом:

Си = 1 — —

а1

ЕЕан Т1к а11 + Е

-1? «11

ке/1 у=1

у = 1, у /II

1/2

- Ср

-!-У

2«1 /

ЕЕЕ«п^4 + ЕЕ4

|_к е/1 г=2 у=1 г=2 у = 1

С12

1

а1

т.1

т1

ЕЕ«1к + Е

. к е /1 ^=1

«12

^=1

- Ср

2«1)

1/2

к е /1 ¿=2 ^=1

12

г=2 ь=1

С22 =1 —

тах{1,Б}(1 — ехр{—а2ст}) а2(1 - ехр{-а2р}Б)

т.1

т1

Е Е «2к т1к «22 + Е

-У 22

/тах{1, В }(1 — ехр{—2а2ег}) \ ~ Н 2а2(1 — ехр{—2а2р}Б2) )

Ьк е/2 у=1 1/2

у=1, у/12

ЕЕЕ«-^4 + ЕЕ

-гу а 22

к е/2 г=2 у = 1

г=2 у = 1

С21 = —

тах{1,Б}(1 — ехр{—а2ст}) а2( 1 - ехр{-а2р}Б)

т.1

Ш1

Е Е «22т 1к а21 + Е а21

к е /2 ^=1

^=1

/тах{1, В2}{1 — ехр{—2а2ег}) \ ~ Н 2а2(1 — ехр{—2а2р}Б2) )

1/2

Е Е Е ^ аё + Е Е^

1_к е/2 г=2 ^=1

г=2 ^=1

Теорема 3. Если с11 > 0, с11с22 — с12с21 > 0, то система (1) М^,-устойчива для некоторого положительного числа Л.

< Систему (1) с условиями (1а) запишем в следующем виде:

т12

^(Ь) = (Ь) [ж*(Ьу(Ь)) + (Ьи-(Ь))] ^

у=1к=1

т т; 2 (11)

- Е Е Е [ж*(Ьу (Ь)) + (Ьу (¿))] (Ь ^ 0), 5 = 1,2,

¿=2 у=1к=1

ж2(^у) = Вж2(д, - 0), j = 1, 2, 3,..., п. н.,

где ж«(Ь) — неизвестный скалярный случайный процесс на (-то, то) такой, что ж«(Ь) = 0 при Ь < 0, и («(Ь) — известный скалярный случайный процесс на (-то, то) такой, что («(Ь) = («(Ь) при Ь € [-е, 0) и (Ь) = 0 при Ь € (-то, -е) и [0, +то) для 5 = 1,2 и е = тах{ту, г = 1,...,т, j = 1,...,Шг}. Обозначим через ж(Ь, Ь, () решение системы (11), удовлетворяющее условию (1Ь). Очевидно, что решение задачи (11), (1Ь) при Ь ^ 0 совпадает с решением задачи (1), (1а), (1Ь), т. е. ж(Ь,Ь, () = ж(Ь, Ь, (с) при Ь ^ 0.

Если в системе (11) сделать замену ж«(Ь) = ехр{-ЛЬ}у«(Ь), где у«(Ь) — неизвестный скалярный случайный процесс на (-то, то) такой, что у«(Ь) = 0 при Ь < 0, 0 < Л < тт{а«, в = 1, 2} для в = 1, 2, то получим систему

г т1 2

йув(Ь) = Лув(Ь) (Ь)[ехр{Л(Ь - Ьу(Ь))}у*(Ьу(Ь)) + ехр{ЛЬ}(С*(Ьу(Ь)) ^

т т; 2

+ ЕЕЕХ!(Ь)[ехр{Л(Ь - Ьу(Ь))}у*(Ьу(Ь)) + ехр{ЛЬ}(С*(Ьу(Ь))] ¿ЗД) (12) ¿=2,=1*=1

(Ь ^ 0), 5 = 1, 2, У2(Д?) = - 0), j = 1 2, 3, . . . , п. н.

Положив = а1*(Ь)ехр{Л(Ь - Ь1к(Ь))} - Л при 5 = 1, 2 и учитывая, что

¿у«(т) = у«(Ь) - (Ь)), к € систему (12) можно переписать в следующем

виде:

П«(Ь)у«(Ь) + а^(Ь) ехр{Л(Ь - ^(Ь))}

г

х ^у«(т) + ^ а1*(Ь) ехр{ЛЬ}(С«(Ь1й(Ь))

т1

^ (г)

(Ь) [ехр{Л(Ь - Ьу (Ь))} у*(Ьу (Ь)) + ехр{ЛЬ}(С*(Ьу (Ь))]

+Е Е

у=1 *=1, при уё/., т т; 2

+ ЕЕЕХ*(*)[ехр{Л(* - Ьу(Ь))}у*(Ьу(Ь)) + ехр{ЛЬ}(*(Ьу(*))]^¿(Ь)

¿=2 у = 1*=1

(Ь ^ 0), 5 = 1, 2, У2(Д?) = В'У2(Д? - 0), j = 1 2, 3, . . . , п. н.

Я (13)

Подставляя выражение для из правой части 8-го уравнения системы (12) в 8-е

уравнение системы (13) при в = 1, 2, получим

= — п«(*Ы*) + Е «1к(£) ехр{А(£ — Л1к(£))}

к е /в

4 Ш1 2

х

АУ«(т) + ЕЕ (т Нехр{А(т — (т))} Ук (Л1у (т))

у = 1к=1

т т; 2

+ ехр{Ат }^к (Лу (т))]

+ Е Е Е (т)[ехр{А(т — Лгу(т))} Ук(Лгу(т))

г=2у=1&=1

+ ехр{Ат}^к(Лгу(т))]^(т)) + Е (*)ехр{А*}^(Л1к(£)) (14)

V

' к е /в

т1 2

+ Е Е аЙ(*)[ехр{А(* — Лу(£))}ук(Ли(£)) + ехр{А£}^к(Ли(*))] ^

у=1 к=1, -1

к=« при у е /в

т т; 2

+ ЕЕ Еа«"к(£Нехр{А(£ — Лгу (£))} Ук (Лгу (£)) + ехр{А£}« (Лгу (*))] ЙВг(£)

г=2у=1к=1

(£ ^ 0), 8 = 1, 2, ) = Бу— 0), 3 = 1, 2, 3,..., п. н.

Из системы (14) с учетом условия (1Ь), обозначая

т1(£, £) = ехр | — У т^О = ехр | — ^ ?<П < Бу,

представлением для решений скалярных линейных дифференциальных уравнений Ито с импульсными воздействиями [9] получим систему

4 ?

у«(£) = т«(£, 0)Ь« + Е У т«(£, а^(?) ехр{А(? — Л1к(?))} У Ау«(т)

к е /в 0 Лц, (?)

т1 2 4 ?

+ ЕЕЕ /т«(£,с)(Оехр{А(?—Л1кШ/ ау(т)[ехр{А(т — Лу(т))}^(Лу(т)) к е /в у=1 -=10 Л1к(?)

т т; 2 4

+ ехр{Ат(Лу(т))]^ = ЕЕЕЕ /тв(£,с)а^(с)ехр{А(с — Л1к(?))}

7„Г _О _1 ___1

х у (т) [ехр{А(т — Лгу(т))}у^(Лгу(т)) + ехр{Ат(Лгу(т))] ^Вг(т

* т1 2 *•

+ ЕУ т«(£,?) (с)ехр{Ас}<^ (Л1к (?)) ^ + Е Е Утв(*,с) ау (?)

к е/в 0 у=1 к=1, к=« при у е/в 0

х [exp{A(ç - hij(ç))} yfc(h,(ç)) +exp{Aç}<o>fc(h,(ç))] dç

m mi 2 t

+ EEE / ms(t,ç)aSjfc(ç)[exp{A(ç-h»,(ç))}yfc(h»,-(ç))+exp{Aç}^fc(h»,-(ç))dB»(ç) (15) i=2j=1fc=10

(t ^ 0), s = 1, 2. В дальнейшем будем пользоваться обозначениями

y = sup (E|ys(t)|2p)1/2p, & = vrai sup (E|^(t)|2p)1/2p, s = 1,2, " t<0

и следующими очевидными неравенствами:

vrai sup (E | exp{Ai}(^s(hi,(t))|2p)1/2p ^ exp{ATj}<у

i>0

в = 1,2, г = 1,...,т, j = 1,...,Шг; )| ^ ехр{-(а1 - Л)(Ь - <^)}, Ь € [0, +то), £ € [0, Ь] , Р х ^-почти всюду, |Ш2(Ь,^)| ^ ехр{-(а2 - Л)(Ь - 0} П I, Ь € [0, +то),£ € [0,Ь], Рх ^-почти всюду

а также неравенством

доказанными в [8], и неравенством

(t \ 1/2 i exp{-2(й2 - A)(t - ç)} П (B,)2dH 0 ç<Mj / ^

( max{l, Б2}(1 - exp{-2(g2 - A)<r» \ 1/2 2(a2 - A)(l - exp{-2(a2 - А)р}Б2) ) '

справедливость которого следует из предыдущего неравенства.

Из уравнения (15) с учетом предыдущих обозначений и неравенств, а также неравенств (3)—(5) получаем оценки

y < D||bsyfci + AL1

2 p

Е a1k exp{AT1fc}T1fc

fce/s

ys

+ L

1s

+ CpL2s

+ L

1s

mi 2

E ®1k exp{AT1fc}T1fca1 exp{Anj}(У + У)

Lfce/S j=1 v=1

m mi 2

E E E E ^ exPÎArik}y/nk0%v exp{ATij}{yv + (pv)

fce/s »=2 j=1 v=1

mi 2

(16)

Lfcel

E a1k exp{Ar1fc}<y

+ CpL2

+ L1s E E a1j exp{AT1j}(yfc + y)

- j=1 k=1, fc=s при j€/s

m mi 2

E E E aSfc exp{ATi,}(yfc + &) - s =1 '2

L »=2 j=1fc=1

t

s

где В = тах{1, В},

Ь

11 •=

( 1 — А)

1 \1/2

Ь

12

тах{1, Б}(1 — ехр{—(а2 — А)ст}) (а2 - А)(1 - ехр{-(а2 - \)р}В) :

_ / тах{1, В2}{ 1 - ехр{—2(а2 - А)<г» \ 1/2 22 \2(а2 - Л)(1 - ехр{—2(а2 - А)р}Б2)) '

Из оценок (16) и с учетом того, что норма в Я2 выбрана так, чтобы (у < НеН^ при 3 = 1, 2, получаем

где

р« < В ||Мк2р + ^ Жу(А)ру + М«(А)|М|ь2р, 8 = 1,2,

у=1

Ж««(А) •= АЬ1«

Е ехр{Ат1к}т1к

1_к е /в

т1

т1

+ Ь, ехр{Ат1к}т1ка1у ехр{Ату } + ^ ехр{Ату}

-к е /в у=1 у=0,у //в

+ СрЬ25 Е Е Е ехр{Лп*!}у/тйаг838 ехр{Ат*у} + Е Е ехР{Лгч} к е/в г=2 у=1 г=2 у=1

8 = 1,2,

(17)

Жу(А) •= Ь1«

+ СрЬ2

т1

т1

г=2 ^=1

Е Е ехр{Ат1к}т1ка:[у' ехр{Ат^} + ^ «у ехр{Ат^}

к е /в ^=0 ^=1

т т; т т;

Е Е Е ехр{Лт1Л;}л/тТ^а^ ехр{Ат^} + Е Е й™з ехР{Лг"Л . к е/в г=2 ^=1

8,3 = 1, 2, в = 3,

+ СрЬ2«

т1 2

М«(А) •= Ь1^ ^ Е Е ехр{Ат1к}т1кау ехр{Ату} .к е /в у=1 ^=1

т1 2

+ Е ехр{ Ат1к} + Е Е ехр{Ат1у }

к е /в у=1 к=1, к=« при у е/в

т т; 2 т т; 2

Е Е Е Е ехр{Ату} + Е Е Е ехР{Лтч}

_ке/в г=2 у=1 ^=1 г=2 у=1 ^=1

Обозначим теперь у(£) = со1(у1(£), у2(£)), у = со1(у 1,«2), М(А) = со1(М1(А), М2(А)) и пусть С (А) = (сгу (А))2у=1 — 2 х 2-матрица, элементы которой определены следующим образом:

с««(А) = 1 — Ж««(А), 8 = 1,2, с«у(А) = —(А), 8,3 = 1,2, 8 = 3.

1

Тогда из оценок (17) получаем

с(Л)у < 3 НЬЦЕ + М(Л)|М|Ч, (18)

где Е — 2-мерный вектор, элементы которой равны единице. Очевидно также, что С (0) = С .В силу условий теоремы матрица С положительно обратима, а тогда при достаточно малых Л матрица С (Л) также является положительно обратимой, т. е. существует Л = Ао такое, что С(Ао) положительно обратима. Тогда из неравенства (18) получаем

|УК к(н&ц + мч), (19)

где К = ||(С(Ао)-1|||Е тах{3, |М(Ао)|}.

Поскольку ж(4,Ь, = ехр{—и 8ир4^0(Е|у(£)|2р)1/2р < |у|, то из неравенства (19) следует, что существуют положительные числа Л = Ло, К = ||(С(Л0)-1|||Е| тах{3, |М(Л0)|} такие, что для решения ж(4, Ь, задачи (1), (1а), (1Ь) выполнено неравенство

(Е|жМ,^)|2р)1/2р < Кехр{-ЛП(||Ь|кр + |М|Ч) (4 > 0).

Следовательно, система (1) М2р-устойчива при некотором положительном Л. >

5. Примеры

Рассмотрим систему двух детерминированных линейных дифференциальных уравнений с постоянными запаздываниями и коэффициентами с импульсными воздействиями по одной компоненте решений вида

т

Лж(£) = - ^ Ауж(4 - Лу(4 ^ 0), (20)

Ж2(^у) = ВЖ2(^з - 0), 3 = 1, 2, 3,...,

где Ау = (а^)2&=1, 3 = 1,---,т, — 2 х 2-матрицы, элементами которых являются действительные числа, Лу, 3 = 1,...,т, — неотрицательные действительные числа, д, 3 = 1,2,3,... , — действительные числа такие, что 0 = д0 < Д1 < Д2 < ..., д = то, Ву, 3 = 1, 2, 3,... , — действительные числа.

Утверждение 1. Пусть для системы (20) ^3=1 а«« = а« > 0, в = 1, 2, существуют положительные числа В, р, а такие, что имеют место следующие неравенства: |Ву | < В, 3 = 1, 2,..., р < Ду+1 — Ду < а при 3 = 1, 2,..., для некоторого положительного числа 3 выполнено неравенство ехр{—а24} П0<^.< |Ву | < 3 при 4 € [0, +то), с11 > 0, с11с22 — С12С21 > 0, где

т т

1 ^ ^\„к I а.

Си = 1--гш^г

1

&=1з=1

11

1

С12 =--

1

_й=1^=1 ь-=1

12

тах{1,Б}(1-ехр{-а2а}) , , • ,

С22 = 1--а2(1-ехр{-а2р}Б) Ы^Ы

тах{1,В}(1 — ехр{—а2а})

С21

а2(1 — ехр{—а2р}В)

т т

,к

ЕЕН2|Лк Щ + Е |а21

_к=1^=1 ь-=1

Тогда система (20) экспоненциально устойчива относительно начальных данных.

Справедливость утверждения вытекает непосредственно из теоремы 3.

Пусть для системы (20) Л = 0, а^ > 0, в = 1, 2. В этом случае из теоремы 3 вытекает справедливость следующего утверждения.

Утверждение 2. Пусть для системы (20) существуют положительные числа В, р, а такие, что имеют место следующие неравенства: |В3- | < В, ] = 1, 2,..., р < ^3+1 — ^3 < а при ] = 1,2,..., для некоторого положительного числа В выполнено неравенство ехр{—а^} П0<^В| < В при £ € [0, +то), сп > 0, С11С22 — С12С21 > 0, где

I т 1 т

сп = 1 - — V \а3п\, си = —-ЕК1, а^ ^ 1 а11 ^ 1 3

II 7=2 11 ь>=1

тах{1,В} (1 — ехр{ —а22^ 3 1 С22 " 1 а^2(1-еХр{-а^И £Ы' (21)

тах{1,Д}(1-ехр{-а^2<г}) ул , и .

21 а22(1-ехр{-а!2р}Б) 21

Тогда система (20) экспоненциально устойчива относительно начальных данных.

Рассмотрим систему двух линейных дифференциальных уравнений Ито с постоянными запаздываниями и коэффициентами с импульсными воздействиями по одной компоненте решений вида

тх т т^

= — А13— ) ^ + ^ ^ А*3-— %) жад) (£ ^ 0),

3=1 г=2 3=1 (22)

£2(^3) = Ву£2(^3 — 0), j = 1, 2, 3,..., п. н.,

где А^з = (а^к )2к=1, г = 1,...,т, j = 1,...,т^, — 2 х 2-матрицы, элементы которых являются действительными числами, Лу, г = 1,..., т, j = 1,..., ш^, — неотрицательные действительные числа, ^3, j = 1, 2, 3,... , — действительные числа такие, что 0 = ^о <

< < ..., ^3 = то, В3, j = 1, 2, 3,... , — действительные числа.

Утверждение 3. Пусть для системы (22) ^3=1 а13 = а5 > 0, в = 1, 2, существуют положительные числа В, р, а такие, что имеют место следующие неравенства: |В3-1 < В, ] = 1, 2,..., р < ^3+1 — ^3 < а при ] = 1, 2,..., для некоторого положительного числа В выполнено неравенство ехр{—а2£}П0<^.<4 |В3-1 < В при £ € [0, +то), с11 > 0, С11С22 — С12С21 > 0, где

тх тх I I 11,1, I 13 |

сп = 1- — ЕЕ1апЫап

1 к=13=1

1 \1/2

тх т т^ т т^

ЕЕЕ1ап1^1ап1 + ЕЕ1ап1

_к=1г=23=1 г=23=1

С12

1

а1

mi mi

mi

ЕЕК1 |hifc|a1 V| + E К

Lfc=iv=i

12

V=1

Cp

1/2

2aiJ

mi m mi

EEEKilV^Kal

Lfc=1 i=2 V=1

+EE

i=2 V=1

12

C22 = i - тах{!:д}(1_"ехр{"Т}) ЕЕ

a2(l - exp{-a2p}B)

22

fc=1j=1

-C

/тах{1,Б2}(1 -exp{-2a2o-})\ 1/2 Л 2a2(l -ехр{-2а,р}Б2) J

mi m mi

ЕЕЕК21УМ41 + ЕЕ

ij | X22|

C21

max{1,B }(1 — exp{-а2ст})

а2(1 — exp{—a2p}B) 2\(i .„m1/2

fc=1 i=2 j=1

mi mi mi

EE|a1k |h1k |а211 + E

i=2 j = 1

|a211

/тах{1, В }(1 — exp{—2а2ег}) \ 4 2a2(l-ехр{-2а,р}Б2) J

,fc=1 V=1

mi m mi

V=1

ЕЕЕ1а22|У^|^| + ЕЕ1^1

,й=1 г=2 ^=1 г=2 ^=1

Тогда система (22) экспоненциально 2р-устойчива относительно начальных данных. Справедливость утверждения следует из теоремы 3.

Пусть в дальнейшем для системы (22) т1 = 1, Л11 =0, а^1 > 0, в = 1,... ,п. Из теоремы 3 вытекает справедливость следующего утверждения.

Утверждение 4. Пусть для системы (22) существуют положительные числа В, р, а такие, что имеют место следующие неравенства: |В3-1 < В, 3 = 1, 2,..., р < Д3+1 — Дз < а при 3 = 1, 2, . . . , для некоторого положительного числа 3 выполнено неравенство ехр{-а1122)4} П0<< |Ву | < 3 при 4 € [0, +то), Сц > 0, С11С22 - С12С21 > 0, где

C11 = 1 — с,

1

2a11

1 /2 m mi

ЕЕ

i=2 j=1

ij | X11|

C12

|a

111 ± 12 TY

12 a1111

- Cp

2a11

C22 = 1 — C

1 /2 m mi 12

i=2 V=1

/ max {1, U2 } (l — exp { -2 a£a})\1/2 Л 2а11(1-ехр{-2а11р}Б2)

12

ЕЕ

i=2 j=1

^22 |

| 111 max{1,£} (1 — exp { — a^}) c2i = — a2i

a

(1 — exp { — a!2^B)

-c,

/тах{1,Б2}(1 -exp{ ~ 2a1212a})\1/2 Л 2aii(l-exp{-2aiip}52)

ЕЕ KU-

i=2 v= 1

Тогда система (22) экспоненциально 2р-устойчива относительно начальных данных.

V

1

Литература

1. Колмановский В. Б., Носов В. Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием.—М.: Наука, 1981.—448 с.

2. Царьков Е. Ф. Случайные возмущения дифференциально-функциональных уравнений.—Рига: Зи-натне, 1989.—421 с.

3. Mao X. R. Stochastic Differential Equations and Their Applications.—Chichester: Horwood Publishing Ltd., 1997.

4. Mohammed S.-E. A. Stochastic differential systems with memory: theory, examples and applications // Stochastic Analysis and Related Topics VI. Proceedings of The Sixth Oslo-Silivri Workshop (Geilo, 1996).—Boston: Birkhauser, 1998.—P. 1-77. DOI: 10.1007/978-1-4612-2022-0_1.

5. Anokhin A., Berezansky L., Braverman E. Exponential stability of linear delay impulsive differential equations // J. Math. Anal. Appl.—1995.—Vol. 193, № 3—P. 923-941. DOI: 10.1006/jmaa.1995.1275.

6. Berezansky L., Braverman E. Boundedness and stability of impulsively perturbed delay differential equations // Functional Differential Equations.—1995.—Vol. 3, № 1-2.-P. 19-30.

7. Bainov D., Stamova I., Vatsala A. Global stability of sets for linear // Applicable Analysis.—1996.— Vol. 62, № 1-2.—P. 149-160. DOI: 10.1080/00036819608840475.

8. Berezansky L., Idels L. On integrable solutions of impulsive delay differential equations // Commun. Appl. Math. Anal.—1998.—Vol. 2.—P. 301-309.

9. Кадиев Р. И., Поносов А. В. Устойчивость решений линейных импульсных систем дифференциальных уравнений Ито с последействием // Дифференц. уравнения.—2007.—Т. 43, № 7.—С. 879-885.

10. Кадиев Р. И. Устойчивость решений нелинейных функционально-дифференциальных уравнений с импульсными воздействиями по линейному приближению // Дифференц. уравнения.—2013.— Т. 49, № 8.—С. 963-970.

11. Kadiev R. I, Ponosov A. V. Stability of impulsive stochastic differential linear functional equations with linear delays // J. of Abstract Differential Equations and Applications.—2012.—Vol. 2, № 2.—P. 7-25.

12. Кадиев Р. И., Поносов А. В. Устойчивость решений линейных импульсных систем дифференциальных уравнений Ито с ограниченными запаздываниями // Дифференц. уравнения.—2010.—Т. 46, № 4.—С. 486-498.

13. Кадиев Р. И., Поносов А. В. Устойчивость линейных стохастических функционально-дифференциальных уравнений при постоянно действующих возмущениях // Дифференц. уравнения.—1992.— Т. 28, № 2.—С. 198-207.

14. Кадиев Р. И. Достаточные условия устойчивости стохастических систем с последействием // Дифференц. уравнения.—1994.—Т. 30, № 4.—С. 555-564.

15. Кадиев Р. И. Устойчивость решений стохастических функционально-дифференциальных уравнений: дис. .. . д-ра физ.-мат. наук.—Махачкала, 2000.—234 с.

16. Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Теория мартингалов.—М.: Наука, 1986.—512 с.

17. Беллман Р. Введение в теорию матриц.—М.: Наука, 1969.—368 с.

18. Кадиев Р. И. Существование и единственность решения задачи Коши для функционально-дифференциальных уравнений по семимартингалу // Изв. вузов. Математика.—1995.—№ 10.— С. 35-40.

19. Кадиев Р. И., Поносов А. В. Положительная обратимость матриц и устойчивость дифференциальных уравнений Ито с запаздываниями // Дифференц. уравнения. Минск.—2013.—Т. 53, № 5.— С.579-590. DOI: 10.1134/S0374064117050016.

Статья поступила 22 февраля 2019 г.

Кадиев Рамазан ИсмАилович Дагестанский государственный университет, профессор кафедры математического анализа РОССИЯ, 367000, Махачкала, ул. М. Гаджиева, 43 а

Дагестанский федеральный исследовательский центр РАН, РОССИЯ, 367032, Махачкала, ул. М. Гаджиева, 45 E-mail: kadiev_r@mail.ru https://orcid.org/0000-0002-5630-7744

Vladikavkaz Mathematical Journal 2020, Volume 22, Issue 1, P. 49-65

STABILITY OF IMPULSE SYSTEMS OF TWO LINEAR ITO DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH DELAY

Kadiev, R. I.1'2

1 Dagestan State University, 43a M. Gadzhiyeva St., Makhachkala 367000, Russia;

2 Dagestan Federal Research Center of the Russian Academy of Sciences, 45 M. Gadzhiyeva St., Makhachkala 367032, Russia E-mail: kadiev_r@mail.ru

Abstract. The problems 2p-stability (1 < p < to) of systems of two linear Ito differential equations with delay and impulse impacts on one component of solutions are studied on the base of the theory of positively reversible matrices. Ideas and methods developed by N. V. Azbelev and his followers to study the stability problems of deterministic functional-differential equations are applied for this purpose. Sufficient conditions for the 2p-stability and exponential 2p-stability of systems of two linear Ito differential equations with delay and impulse impacts on one component of solutions are given in terms of positive reversibility of the matrices constructed from the parameters of the original systems. The validity of these conditions is checked for specific equations. Sufficient conditions for exponential moment stability of a system of two deterministic linear differential equations with constant delay and coefficients with pulse influences on one component of solutions are received in terms of parameters of this system. It is shown that in this case from the general statements it is possible to receive new results for the studied system.

Key words: Ito's equations, stability of solutions, impulse impacts, positive invertibility of a matrix.

Mathematical Subject Classification (2010): 34K20, 34K50.

For citation: Kadiev, R. I. Stability of Impulse Systems of Two Linear Ito Differential Equations with Delay, Vladikavkaz Math. J., 2020, vol. 22, no. 1, pp. 49-65 (in Russian). DOI: 10.23671/VNC.2020.1.57571.

References

1. Kolmanovskiy, V. B. and Nosov, V. R. Ustoychivost' i periodicheskie rezhimy reguliruemykh sistem s posledeystviem [Stability and Periodic Regimes of Controlled Systems with Aftereffect], Moscow, Nauka, 1981, 448 p. (in Russian).

2. Tsar'kov, E. F. Sluchaynye vozmushcheniya differentsial'no-funktsional'nykh uravneniy [Random Perturbations of Functional-Differential Equations], Riga, Zinatne, 1989, 421 p. (in Russian).

3. Mao, X. R. Stochastic Differential Equations and Applications, Chichester, Horwood Publishing Ltd., 1997.

4. Mohammed, S.-E. A. Stochastic Differential Systems with Memory: Theory, Examples and Applications, Stochastic Analysis and Related Topics VI. Proceedings of The Sixth Oslo-Silivri Workshop (Geilo, 1996), Boston, Birkhauser, 1998, pp. 1-77. DOI: 10.1007/978-1-4612-2022-0_1.

5. Anokhin, A., Berezansky, L. and Braverman, E. Exponential Stability of Linear Delay Impulsive Differential Equations, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1995, vol. 193, no. 3, pp. 923-941. DOI: 10.1006/jmaa.1995.1275.

6. Berezansky, L. and Braverman, E. Boundedness and Stability of Impulsively Perturbed Delay Differential Equations, Functional Differential Equations, 1995, vol. 3, no 1-2, pp. 19-30.

7. Bainov, D., Stamova, I. and Vatsala, A. Global Stability of Sets for Linear, Applicable Analysis, 1996, vol. 62, no. 1-2, pp. 149-160. DOI: 10.1080/00036819608840475.

8. Berezansky, L. and Idels, L. On Integrable Solutions of Impulsive Delay Differential Equations, Commun. Appl. Math. Anal., 1998, vol. 2, pp. 301-309.

9. Kadiev, R. I. and Ponosov, A. V. Stability of Solutions of Linear Impulsive Systems of Ito Differential Equations with Aftereffect, Differential Equations, 2007, vol. 43, no. 7, pp. 898-904. DOI: 10.1134/s0012266107070026.

10. Kadiev, R. I. Solutions of Nonlinear Impulsive Ito Functional-Differential Equations: Stability by the Linear Approximation, Differential Equations, 2013, vol. 49, no. 8, pp. 933-940. DOI: 10.1134/s0012266113080028.

11. Kadiev, R. I. and Ponosov, A. V. Stability of Impulsive Stochastic Differential Linear Functional Equations with Linear Delays, Journal of Abstract Differential Equations and Applications, 2012, vol. 2, no. 2, pp. 7-25.

12. Kadiev, R. I. and Ponosov, A. V. Stability of Linear Impulsive Ito Differential Equations with Bounded Delays, Differential Equations, 2010, vol. 46, no. 4, pp. 489-501. DOI: 10.1134/S0012266110040038.

13. Kadiev, R. I. and Ponosov, A. V. Stability of Linear Stochastic Functional-Differential Equations with Constantly Acting Perturbations, Differential Equations, 1992, vol. 28, no. 2, pp. 173-179.

14. Kadiev, R. I. Sufficient Conditions for the Stability of Stochastic Systems with Aftereffect, Differential Equations, 1994, vol. 30, no. 4, pp. 509-517.

15. Kadiev, R. I. Ustoychivost' resheniy stokhasticheskikh funktsional'no-differentsial'nykh uravneniy: dissertatsiya . . . doktora fiziko-matematicheskikh nauk [Stability of Solutions of Stochastic Functional-Differential Equations: Dissertation .. .Doctor of Physico-Mathematical Sciences], Makhachkala, 2000, 234 p. (in Russian).

16. Liptser, R. Sh. and Shiryaev, A. N. Teoriya martingalov [Theory of Martingales], Moscow, Nauka, 1986, 512 p. (in Russian).

17. Bellman R. Vvedenie v teoriyu matrits [Introduction to Matrix Analysis], Moscow, Nauka, 1969, 368 p. (in Russian).

18. Kadiev, R. I. Existence and Uniqueness of the Solution of the Cauchy Problem for Functional-Differential Equations with Respect to a Semimartingale, Russian Mathematics (Izvestiya VUZ. Matematika), 1995, vol. 39, no. 10, pp. 33-37.

19. Kadiev, R. I. and Ponosov, A. V. Positive Invertibility of Matrices and Stability of Itoo Delay Differential Equations, Differential Equations, 2017, vol. 53, no. 5, pp. 571-582. DOI: 10.1134/S0012266117050019.

Received February 22, 2019

Ramazan I. Kadiev Dagestan State University,

43 a M. Gadzhiyeva St., Makhachkala 367000, Russia, Professor

Dagestan Federal Research Center of the Russian Academy of Sciences, 45 M. Gadzhiyeva St., Makhachkala 367032, Russia, E-mail: kadiev_r@mail.ru https://orcid.org/0000-0002-5630-7744