Устойчивость решений линейных дифференциальных уравнений Ито с запаздыванием второго порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.929.4+519.21

Б01: 10.21779/2542-0321-2018-33-1-67-77

Р.И. Кадиев1'2, З.И. Шахбанова1

Устойчивость решений линейных дифференциальных уравнений Ито с запаздыванием второго порядка

1 Дагестанский государственный университет; Россия, 367001, г. Махачкала, ул. М. Гаджиева, 43а; kadiev_r@mail.ru;

2 Дагестанский научный центр РАН; 367001, г. Махачкала, ул. М. Гаджиева, 45

Работа посвящена исследованию вопросов экспоненциальной моментной устойчивости решений для линейных дифференциальных уравнений Ито с запаздываниями второго порядка конкретного вида на основе теории положительно обратимых матриц. Для этого применяются идеи и методы, разработанные Н.В. Азбелевым и его учениками для исследования вопросов устойчивости детерминированных линейных функционально-дифференциальных уравнений, которые ранее были применены нами для исследований вопросов устойчивости для линейных дифференциальных уравнений Ито с запаздываниями первого порядка. Приводятся достаточные условия экспоненциальной моментной устойчивости линейных дифференциальных уравнений Ито второго порядка с запаздываниями в терминах положительной обратимости матриц, построенных по исходным уравнениям. Проверяется выполнимость этих условий для конкретных уравнений.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения Ито, устойчивость решений, положительная обратимость матриц.

Введение

Вопросам устойчивости решений систем со случайными параметрами посвящено большое количество работ. Достаточно полный их список приведен в монографиях [14]. В основном в этих работах исследование стохастической устойчивости проводится традиционными методами, основанными на функционалах Ляпунова-Красовского-Разумихина. Однако применение этих методов во многих случаях встречает серьёзные трудности. Поэтому эффективные признаки устойчивости обычно удается доказывать лишь для сравнительно узких классов стохастических дифференциальных уравнений. С другой стороны, в теории устойчивости детерминированных функционально-дифференциальных уравнений высокую эффективность показал Ж -метод, т. е. метод преобразования исходного уравнения с помощью вспомогательного уравнения, разработанный Н.В. Азбелевым и его учениками [5-8]. Целью такого преобразования является получение интегрального уравнения, для которого проще исследовать нужные свойства решений. На случай стохастических функционально-дифференциальных уравнений этот метод распространен в работах [9-15].

Для линейных дифференциальных уравнений Ито с последействием более высоких порядков вопросы устойчивости изучены недостаточно. Нам не известны работы

других авторов, в которых исследуются вопросы устойчивости для уравнений Ито с последействием более высоких порядков.

В настоящей работе исследуются вопросы экспоненциальной ^-устойчивости (2 < р < да) решений для линейных дифференциальных уравнений Ито с запаздываниями второго порядка. При этом применяются методы исследования вопросов устойчивости для линейных дифференциальных уравнений Ито с последействием высоких порядков исследованием вопросов устойчивости для систем линейных дифференциальных уравнений Ито с последействием первого порядка, построенных по исходным уравнениям, принципы Ж -метода и теория положительно обратимых матриц. Отличие от классического Ж -метода состоит в том, что каждое уравнение системы преобразуется независимо от остальных, а каждая компонента решения оценивается отдельно. Такой подход в сочетании со специальным видом исходных уравнений, специальным способом построения по исходным уравнениям систем линейных уравнений Ито с последействием первого порядка позволяет получить эффективные признаки устойчивости исходных уравнений в терминах параметров этих уравнений. В статье использованы идеи работы [16], примененные при исследовании экспоненциальной устойчивости детерминированных линейных дифференциальных уравнений с запаздываниями высоких порядков.

Предварительные сведения и объект исследования

Пусть: (Д 3,(3,)

^ р) - стохастический базис; к - линейное пространство "мерных 3о-измеримых случайных величин; В,1 = 1,...т - скалярные независимые стандартные винеровские процессы; 1 < р < да ; ср - положительное число, зависящее от р [17, с. 65] и используемое в оценке (2); Е - символ математического ожидания; Ц - норма в Я"; Ц.Ц - норма "хт-матрицы, согласованная с нормой в я"; ||.|| - норма в нормированном пространстве X; ¡1 - мера Лебега на [0,да[. Е - единичная матрица размерности "х ".

Пусть В = (Ъу)"".=1 - "х"-матрица. Матрица В называется неотрицательной, если Ь >0, I,у = 1,..., т , и положительной, если Ъ. > 0, $/,у = 1,..., т .

Определение 1. [18] Матрица В = (Ъу)".= называется М-матрицей, если Ъ. < 0 при I, у = 1,..., т и / ф у, и выполнено одно из следующих условий:

- для матрицы В существует положительная обратная матрица В 1;

- диагональные миноры матрицы В положительны.

Лемма 1. [18] Матрица В является М -матрицей, если Ъу < 0 при \, у = 1,..., т и / ф у , а также выполнено одно из следующих условий:

т

- Ъа > £Ы , ' = 1,..., т ;

у=и* у

т

- Ъу > £Ы, у = 1,...,т;

1=1,'Ф у

- существуют положительные числа %., i = 1,..., m такие, что %ibii > S%j\bij

j=U* j

i = 1,..., m ;

m

- существуют положительные числа % ., i = 1,..., m такие, что %jbj > S%¡\bL

i=1,i* j

j = 1,..., т .

Объектом исследований является дифференциальное уравнение Ито второго порядка вида

dx (t) =

- a00 (t) x(t) - a10 (t)x (t) + S Cjo(t)x(hjo(t))

j=i

dt +

s

■ aoi (t) x(t) - aii (t) x' (t) + s cfi (t) x(hjt (t))

j=i

dB i (t) (t > 0),

с начальными условиями

где:

x(t) = q>(t) (t > 0),

x(j)(0) = bl+i, j = 0,1,

(1)

(1a) (1b)

1. a < o, i=0,1, j=o,... ,m - измеримые по Лебегу функции, заданные на [0, да[, и 0 < ai0 < ai0(t) < Ai0, ¡ - почти всюду для некоторых положительных чисел ai0, Ai0 при i = 0,1, |aj (t)| < Aj , ¡ - почти всюду для некоторого положительного числа Aj при i = 0,1, j = 1,..., m , \cij (t)| < CiJ ¡ - почти всюду для некоторого положительного числа сцпри i = 0, ..., m, j = 0, ..., mt;

2. hj, i = 0,...,m, j = 0,...,mt - измеримые по Лебегу функции, заданные на [0, да[, такие, что 0<t-hij(t)<Т., ¡ - почти всюду для некоторого положительного числа Tjj при i = 0, ..., m, j = 0, ..., mt;

3. p - ^-измеримый скалярный случайный процесс, заданный на [0, да[, где а = тах{т., i = 0,..., m, j = 0,..., mt};

4. bj, j = 1,2 30 - измеримые скалярные случайные величины.

В дальнейшем нам понадобятся следующие обозначения:

- ь = col (b1, b 2);

- кпр = {а:ае кп(Т),||а||к„ = (е|Щр)'Р <да}.

Под решением задачи (1), (1а), (1Ь) понимается любой случайный процесс х^), I е] -да, + да[, прогрессивно измеримый и непрерывно дифференцируемый при / > 0, удовлетворяющий условиям (1а) и (1Ь), а также уравнению

m

i

x(t ) = b +J

"'0

- «00 (s)x(s) - а10 (s)x (s) + £ C]0 (s)x{hj0 (s))

j=1

ds +

£ i

i=1 0

(1')

dB, (t) (t > 0),

- «0, (t ) x(t ) - au (t ) x' (t ) + £ €j, (t ) x(hjt (t )) _ j=1 _

где первый интеграл понимается в смысле Лебега, а второй интеграл - в смысле Ито.

Отметим, что задача (1), (1a), (1b) при сделанных предположениях имеет единственное решение в силу результатов работы [10]. Обозначим через x(t,b,q>) решение задачи (1), (1a), (1b), т. е. x(t,b,ф) = ç при t<0 и x(0,b,<p) = b1, x (0,b,ф) = b2.

Определение 2. Будем говорить, что уравнение (1) является экспоненциально p -устойчивым относительно начальных данных (или просто экспоненциально p -устойчивым), если при некоторых положительных постоянных K, 2 справедливо неравенство

С vrai sup

(£|x(t, b,ç)\p У p < K

\

kp + t < 0

(£|^t)|pУ p exp{-2} (t > 0).

Анализ экспоненциальной ^-устойчивости уравнения (1) будет производиться исследованием вопросов экспоненциальной ^-устойчивости для системы линейных уравнений Ито с последействием, построенной по уравнению (1). Традиционно для этого по уравнению (1) с начальными условиями (1а), (1Ъ) строят систему следующего вида:

х[(г) = х2(г) (г > 0),

dx2 (t) =

- a00 (t)x1 (t) - a10 (t)x2 (t) + £ cj 0 (t)x1 (hj 0 (t))

j=1

dt +

(2)

£

- «0, (t) x (t ) - ax, (t ) x2 (t ) + £ Cjt (t ) xx (hj, (t))

j=1

dB, (t) (t > 0),

с начальными условиями

х,(г) = д>(г) (г > 0), (2а)

х} (0 = Ъ, ] = 1,2, (2Ъ)

и при этом используется факт совпадения первой компоненты решения задачи (2), (2а), (2Ъ) с решением задачи (1), (1а), (1Ъ). Следовательно, экспоненциальная ^-устойчивость уравнения (1) эквивалентна экспоненциальной ^-устойчивости по первой компоненте системы (2). Вопросы экспоненциальной ^-устойчивости - по части переменных для систем линейных уравнений Ито с последействием более общего вида изучены в работах [19, 20]. Кроме того, экспоненциальная ^-устойчивость уравнения (1) будет следовать из экспоненциальной р -устойчивости системы (2). Исследование экспоненциальной ^-устойчивости системы (2) можно провести эффективно, используя метод вспомогательных уравнений, и эти результаты можно применить для определения экспоненциальной р -устойчивости уравнения (1).

Использование системы (2) для анализа экспоненциальной ^-устойчивости уравнения (1) не эффективно, так как первое уравнение этой системы не содержит информацию о параметрах уравнения (1). В работе [16] для анализа экспоненциальной устойчивости детерминированных линейных дифференциальных уравнений с последействием высоких порядков, используя положительную обратимость матриц, предложен дру-

т

гой подход построения вспомогательных систем по исходным уравнениям. Этот подход оказался более эффективным, чем традиционный. Нами исследована экспоненциальная ^-устойчивость уравнения (1) с помощью идей и приемов работы [16].

Рассмотрим систему линейных уравнений Ито с запаздыванием следующего вида (г) = -дх1 (г) + х2 (г) (г > 0),

Ях2 (г) = - (а00 (г) - («10 (0 - ч)ч)х (г) - К (г) - д)^ (г) + Е с,о (г)X (^о (г)) IЯ + (3)

_ ]=х _

т т,

Е - (а0, (г) - а 11(г )д) х1(г ) аи (г)Х2 (г) + Е с, (г)х (^ (г)) Яв г (г) (г >

г=1 _ ,=1 _

где д - некоторое положительное число, а остальные параметры определены в уравнении (1), с начальными условиями

) = р(г) (Г > 0), (3а)

х, (г)=Ь,, ]=1,2. (зь)

Нетрудно убедиться, что первая компонента решения задачи (3), (3а), (ЗЬ) совпадает с решением задачи (1), (1а), (1Ь). Следовательно, экспоненциальная ^-устойчивость уравнения (1) будет следовать из экспоненциальной ^-устойчивости системы (3). В дальнейшем для системы (3) будут исследованы вопросы экспоненциальной ^-устойчивости.

Лемма 2. Пусть / (5) - скалярный случайный процесс, интегрируемый по ви-неровскому процессу В (5) на отрезке [0,г]. Тогда справедливо неравенство

(4)

где ср - некоторое число, зависящее от р .

Справедливость неравенства (2) следует из неравенства четвертой работы [18] (стр. 65), где приведено и конкретное выражение для ср.

Лемма 3. Пусть g(s) - скалярная функция на [0, <»[, квадрат которой локально

с t 2 ' Л 1/2 ' с с t ^ ' \ 1/2p

E J f (5)dB (5) < С р E Л f (5)2 d5

v 0 У v V 0 У

суммируем, f (5) - скалярный случайный процесс такой, что sup

sup(£|/М|-' Г '

5>0

< да. То-

гда справедливы следующие неравенства:

/

sup

t> о

E

J Я ( 5 ) f ( 5 ) ds

2 ' \

1/2 '

< sup

t > 0

J\g ( s )| ds l sup ( ( 5 )|2 ' )/2 ' ,

i A 5 > 0

f

sup

t >0

E

V

J (g(5))2( f (5))2 d5

Л1/2 '

V 0 t

< sup

t >0

t \ 1/2

J (g(5))2 d5\ sup((f(5)2' )

J 5>0

V 0

/2 '

(5)

Справедливость неравенств (5) и (6) доказана в работе [21].

Основной результат

В силу предположений существуют положительные числа у., г = 0,1,..., т такие,

что для системы (3) |(Доо(5) + (До(5) - Ч)| ^У, + ^ (5)ч)| , г = 1,..., т. Пусть

^11 12

V 2 21 2 22 У

где

211 = 1

212 =--'

ч

221 =

т> Ео- 0 1=1 т О, Е г=1 т. УгУ1 +ЕС1г _ 1=1 _

а10 - Ч л/аю - 4

2 = 1 --У__

22 1 -

V Е А

г=1

«10 -

Теорема. Если существует положительное число ч такое, что матрица Z является М-матрицей, то уравнение (1) экспоненциально 2р -устойчиво.

Доказательство. Систему (3) с условиями (За) запишем в следующем виде:

х~'(г) = -чх(0 + х2(г) (г > 0),

Лх2 (г) = - (а00 (г) - («10 (г) - 4)4)Х1 (г) - («10 (г) - Ч)Х2 (г) +

Е О;0 (г)(х (Ь} 0 (г)) + 0 (г))) Лг + 1=1 _

т г ___

Е [- (а0. (г) - а1г (г)Ч)Х1 (г) - «И (г)Х2 (г)

ЛВг (г) (г > 0),

(7)

Е с .(г )(х1(к]1(г)) + (р(Ь,г (г)))

где хг - неизвестный скалярный случайный процесс на ] - да, +да [ такой, что хг (г) = 0 при г < 0; ф4) - известный скалярный случайный процесс на ] - да, + да[ такой, что ((г) = ((г) при г е [ст, 0[ и (¡О = 0, когда г не принадлежит полуинтервалу [ст, 0[. Обозначим через х(г, Ь, () решение системы (7), удовлетворяющее условию (ЗЬ). Очевидно, что решение задачи (7), (ЗЬ) при г > 0 совпадает с решением задачи (3), (За), (ЗЬ).

Если в системе (7) сделать замену хг(г) = ехр{-Л}уг.(г), где у.(г) - неизвестный скалярный случайный процесс на ]-да, + да[ такой, что у.(г) = 0 при г< 0, 0 < Л < шт{ ч, А10 - ч} для г = 1,2, то получим систему

1

У,'(г) = (Л- д) у(г) + у2(г) (г > 0),

ЯУ2(г) = [- (а00(г) - (аю(г) - д)д) У1(г) +(Л - (аю(г) - д)) У2(г) +

Е с, 0(г )ехр{Г}(ехр{-ЛЛ] 0(г)} у1(к] 0(г)) + р(Ь} ,(г)))

,=1

т

Е [- (а0г ( г) - а1г ( г)д)У1 ( 0 - а\г ( 0У2 ( 0 +

Яг +

(8)

•••г _

Е с]г (г) ехр{Л}(ехр{-ЛЙ]г( г)}у (Л,0 ( г) + ((] г)))

+ Е с

]=1

ЯВг ( г) ( г > 0).

Полагая, что п(г) = (а 10 (г) - д) - Л , с учетом условий (3Ь) систему (8) можно переписать в следующем виде:

г

У1 (г) = ехр{-(д - Л)г}Ьх +1 ехр{-(д - Л)(г - 5)^^ (*Я (г > 0),

0

У 2(г) = ехр|-1 п(5)Я5 к +| ехр|-1 п(£Ж [[- (а00(5) - (аю(5) - д)д) У1(5)

+

•••0 _

Е с] 0 (5) ехр{Г}(ехр{-Г]0 (5)}(У1 (Л]0 (5)) + Ф]0 (5)))

]=1

Я1 +

(9)

т ■> I ' I

Е | еХр1- | П(£Ж (а0г (5) - а1г Ш)У1 (5) - а1г (5)У2 (5) +

г=1 0

+ Е сг(5) ехр{Г}(ехр{-Г] (5)}(У1(Л] 0(5) + Фр (5)))

]=1

В дальнейшем будем пользоваться обозначениями У

= БИр / 2 р \1 / 2 р

р = г 0 I Р( г )| / и неравенствами (2)-(4). Из первого уравнения системы (9) получим У1 - N1 *1 + _'"Г У 2.

*2 р д - Л

БИр

г > 0

ЯВг (5) (г > 0),

(I У(г)|2р)р,г = 1,2,

Из последнего уравнения системы (9) с учетом предыдущих обозначений и неравенств (2)-(4) получим

У2 - 1М* +

/0 У2 +Е с]0 еХр{ЛГ]0}(У1 +Р)

]=1

г70 \ ^рНпю^к

+

■Е

/ У1 + А1г У2 + Есг еХр{Л^"], }(У1 + Р)

]=1

\1/2 (10)

БИр

г > 0

} ехр| - 2\п(£Ж\Я5

Так как

=1

0

5

5

Л

с

0

5

;>>; | ехр{-| ^щу=;>р0 /

ех-р\-\л(£Ж\Ф)

/ r|(s)ds <

аш - ч - Л

и

ч 1/2

эир г > 0

} ехр]- 2{г(^У

эир г>0

ехр -

2\г(£Щ2ф)

1/2

/(2|(л)У

<

■\/а10 - ч - Л

то из оценки (10) получаем

У0 У2 +Е С10ехр{-ЛТ,0}У1

У2 <Г2||к

2 +-^

2 р

• +

ат - ч - Л

У г У1 + А1г У 2 + ЕЕ С -г ехр{Л^1г }У 1

1 =1

(11)

-^а10 - ч -Л

. + М (Л)(,

где

ЕЕс10ехр{л^0} ср Е

7=1 г=1

М (Л) =

+-

ЕС1г ехр{ЛГ;г }

1=1

а10 -ч-Л д/а10 -ч-Л

Обозначим теперь у (г) = со/ (у1(г), у 2(г)), У = со/ (У1, У2), м (Л) = со/ (0, М (Л)),

е = со/ (1,1), Z(л) =

г 2ц (л) 212(л)^

v 2 21

(Л) 2 22 (Л)

где

211 (Л) = Ь 2и (Л) = -

22 V > У

ч - Л

т

ЕСЮехр{Лг;0} Ср Е

221(Л) =

тг

УгУ1 +ЕС1г ехр{Л^г }

1=1

222(Л) = 1-

а10 -ч-Л ^а10 -ч-Л

т

■р Е А1,

=1

У0

а10 ч '

ч-Л -ч-Л

Тогда из оценок (11) с учетом, что ||Ь || 1 < ||Ь|| 2 , г = 1,2, получаем

II г\\к 2, II \\к 2,

Z (Л)У < еЩк1 + М (Л)(. (12)

Очевидно также, что Z(0) = Z . В силу условий теоремы матрица Z является М-матрицей, а тогда при достаточно малых Л матрица Z(Л) также является М-матрицей, а значит, существует л = Л 0 такое, что z (Л0) положительно обратима. Тогда из неравенства (12) получаем

|У|< К (| Ы|к22 р +(), (1З)

1

.V

.V

.V

0

Л'

1

0

Л

т

С

р

т

1

т

где K Н| ZW1 ||max{, M(Л)}.

Поскольку х(t,b= exp{ - ß t} y(t)

и

sup IE

t > о

(е|у(t)|2' г' =1 у i,

<p = sup (e | <(t) |2p )/2p, то из неравенства (13) следует, что существуют положительные

числа а = Л 0 , K =|| Z(A0) 1||max{1,М(Ло)}такие, что для решения х(t,b,<) задачи (1), (1а), (1b) справедливо неравенство

(E|x(t, b,<)|2p )1/2p < к['Ь1 e i<(t)i2p )i/2p

С vrai sup ' ,,' ^

+ t /(E|^(t)|'p )1/2p exp{-^o t} (t > 0).

^ k' p t < 0 J

Теорема доказана.

Следствие основного результата Следствие. Если существует положительное число Ц такое, что для уравнения (1) имеет место неравенство

1 —

Го

m

£ A ,

i=1___

a io

q Je

aio- q

q

£о s £

__"4

гу, +£<

j=i

aio- q

aio - q

> o, (14)

то оно экспоненциально 2р -устойчиво.

Справедливость следствия следует из теоремы в силу того, что при выполнении условий следствия матрица Z будет М-матрицей, так как все диагональные миноры матрицы Z положительны.

Используя следствие можно получить достаточные условия экспоненциальной 2р -устойчивости для конкретных уравнений вида (1) в терминах параметров этих уравнений.

Литература

1. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. - М.: Наука, 1981.

'. Царьков Е.Ф. Случайные возмущения дифференционально-функциональных уравнений. - Рига: Зинате, 1989.

3. Mao X. Stochastic Differential Equations and Applications. - Chichester: Horwood Publishing ltd., 1997. - 36o p.

4. Mohammed S.E.F. Stochastic Functional Differential Equations With Memory. Theory, Examples and Applications // Proceeding of The Sixth on Stochastic Analysis. - Geilo. Norway, 1996. - P. 1-91.

5. Азбелев Н.В., Березанский Л.М., Симонов П.М., Чистяков А.В. Устойчивость линейных систем с последствием. 1 // Диф. уравнения. - 1987. - Т. '8, № 5. - С. 745754.

6. Березанский Л.М. Развитие W-метода Н.В. Азбелева в задачах устойчивости решений линейных функционально-дифференциальных уравнений // Диф. уравнения. -1986. - Т. '', № 5. - С. 739-75o.

<

7. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1991. - 280 с.

8. Berezansky L., Braverman E. On exponential dichotomy, Bohl Perron type theorems and stability of difference equations // J. Math. Annal. Appl. - 2005. - № 304. - P. 511-530.

9. Kadiev R.I. and Ponosov A.V. Stability of stochastic functional differential equations and the W-transform // Electron J. Diff. Eqns. - 2004. - № 92. - P. 1-36.

10. Кадиев Р.И., Поносов А.В. Устойчивость решений линейных импульсных систем дифференциальных уравнений // Диф. уравнения. - 2007. - Т. 43, № 7. - С. 879885.

11. Kadiev R.I., Ponosov A.V. Exponential stability of linear stochastic differential equations with bounded delay and the W-transform // E.J. Qualitative Theory of Diff. Eq. -2008. - № 23. - P. 1-14.

12. Кадиев Р.И., Поносов А.В. Устойчивость решений линейных импульсных систем дифференциальных уравнений Ито с ограниченными запаздываниями // Диф. уравнения. - Минск. - 2010. - Т. 46, № 4. - С. 486-498.

13. Kadiev R., Ponosov A. Stability of impulsive stochastic differential linear functional equations with linear delays // J. of Abstract Differential Equations and Applications. - 2012. - V. 2, № 2. - P. 7-25.

14. Kadiev R., Ponosov A. The W-transform in stability analysis for stochastic linear functional difference equations // J. Mathem. Analysis and Appl. - 2012. - V. 389, № 2. -P. 1239-1250.

15. Кадиев Р.И. Устойчивость решений нелинейных функционально-дифференциальных уравнений с импульсными воздействиями по линейному приближению // Диф. уравнения. - Минск, 2013. - Т. 49, № 8. - С. 963-970.

16. Berezansky L., Braverman E., Idels L. Nev Global Exponential Stability Criteria for Nonlinear Delay Differential Systems with Applications to BAM Neural Networks // Applied Mathematics and Computation. - 2014. - № 243. - P. 899-910.

17. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Теория мартингалов. - М.: Наука, 1986.

18. Berman A. andPlemmons R. Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences // Computer Science and Applied Mathematics, Academic Press. - New York - London, 1979.

18. Кадиев Р.И. К вопросу об устойчивости по начальным данным по части переменных решений линейных импульсных дифференциальных уравнений Ито с последействием // Вестник Тамбовского университета. - 2015. - Т. 20, № 5. - С. 1190-1194.

19. Кадиев Р.И., Шахбанова З.И. Устойчивость по части переменных функционально-дифференциальных уравнений со случайными параметрами // Вестник ДГУ. Естественные науки. - 2008, вып. 1. - С. 21-26.

Поступила в редакцию 24 января 2018 г.

UDC 517.929.4+519.21

DOI: 10.21779/2542-0321-2018-33-1-67-77

Stability of solutions of the linear differential Ito equations with delay

of the second order

R.I. Kadiyev1'2, Z.I. Shakhbanova1

1 Dagestan State University; Russia, 367001, Makhachkala, M. Gadzhiev st., 43a; kadi-ev_r@mail.ru;

2Daghestan Scientific Center RAS; Russia, 367001, Makhachkala, M. Gadzhiev st., 45

The article deals with research of exponential moment stability decisions for the linear differential Ito equations with delays of the second order of a concrete look on the basis of positively reversible matrixes theory.

Under the research made, the ideas and methods developed by N.V. Azbelev and his pupils for research of questions of stability of the determined linear functional and differential equations are used. Besides, N.V. Azbelev's methods were applied earlier by the authors to research the stability for the linear differential Ito equations with delays of the first order. The article gives sufficient conditions of exponential moment stability of the linear differential Ito equations of the second order with delays in terms of positive reversibility of the matrixes constructed on the initial equations. The feasibility of these conditions for the concrete equations is checked.

Keywords: differential Ito equations, stability of decisions, positive reversibility of matrixes.

Received 24 January, 2018