Устойчивость решений линейных систем разностных уравнений Ито с последействием относительно начальной функции по части переменных Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 517.929.4+519.21

Р.И. Кадиев1'2, З.И. Шахбанова1

Устойчивость решений линейных систем разностных уравнений Ито с последействием относительно начальной функции по части переменных

1 Дагестанский государственный университет; Россия, 367001, г. Махачкала, ул. М. Гаджиева, 43 а;

2 Дагестанский научный центр РАН; Россия, 367025, г. Махачкала, ул. М. Гаджиева, 45; kadiev_r@mail.ru

Работа посвящена исследованию вопросов моментной устойчивости решений по части переменных относительно начальной функции для линейных систем разностных уравнений Ито с последействием. Развит метод вспомогательных или "модельных" уравнений применительно к исследованию этих вопросов для рассматриваемых уравнений. Исследование вопросов моментной устойчивости решений по части переменных относительно начальной функции для линейных систем разностных уравнений Ито с последействием проводится как частный случай допустимости пространств по части переменных для соответствующих функционально-разностных уравнений Ито. Доказано утверждение, устанавливающее связь между моментной устойчивостью решений по части переменных относительно начальной функции для линейных разностных уравнений Ито с последействием и допустимостью пространств по части переменных для соответствующих функционально-разностных уравнений Ито. Наличие последнего факта проверяется преобразованием исходного уравнения в более простое уравнение с помощью вспомогательного уравнения. В работе приведена схема этого преобразования.

Ключевые слова: разностные уравнения Ито, устойчивость решений по части переменных.

Введение

Устойчивость решений стохастических разностных уравнений с последействием мало изучена. Некоторым вопросам устойчивости решений для функционально-разностных уравнений Ито посвящены работы [1, 2]. Для детерминированных функционально-разностных уравнений исследование вопросов устойчивости проводилось в основном на основе классического метода Ляпунова-Красовского-Разумихина. Этот метод предполагает существование подходящей функции Ляпунова (функционала Ля-пунова-Красовского), которая обеспечивает желаемое свойство устойчивости (асимптотического поведения) решений исследуемых уравнений. Однако в теории устойчивости решений для детерминированных функционально-дифференциальных уравнений широкое применение и высокую эффективность показал метод вспомогательных или "модельных" уравнений - '^-метод" Н.В. Азбелева [2-5]. В работах [6, 7] этим методом исследованы вопросы устойчивости для детерминированных функционально-разностных уравнений. На случай стохастических функционально-дифференциальных уравнений этот метод распространен в работах [8-10]. Этим методом изучены вопросы устойчивости по части переменных для стохастических функционально-дифференциальных уравнений в работах [11-14]. Главной целью исследований было развитие метода вспомогательных уравнений применительно к изучению вопросов устойчивости по части переменным решений линейных систем разностных уравнений Ито с последействием относительно начальной функции.

Предварительные сведения и объект исследования

Пусть (О, 3, (3,)>0, Р) - стохастический базис; кп - линейное пространство п-мерных 30-измеримых случайных величин; В,, , = 2, ..., т - скалярные независимые стандартные винеровские процессы; 1 < р < го; Е - символ математического

т~> п IIII *-» т~%т

ожидания; |.| - норма в К ; ||.|| - норма п х т -матрицы, согласованная с нормой в К ,

N - множество натуральных чисел; N+ = {о}и N.

Объектом исследований является линейная система разностных уравнений Ито с последействием вида

Х(5 + 1) = Х(5) + 2А (5, у) х( j) + Л(5)]И +

11 [А,5, j)Х( j) + / (5)Кв, ((5 + 1)И) - В, (5к)) (5 е N+ ), (1)

1=2 j=-сю

Х( j) = р( j) (j < 0),

где / (5) - 35-измеримая п -мерная случайная величина при 5 е N+, , = 1,..., т, И -

достаточно малое действительное число, А. (5, у) - п х п -матрица, элементы которой

35-измеримые случайные величины при , = 1,..., т, у = -<х>,..., 5, 5 е N+, р(у) -30-измеримая скалярная случайная величина при всех у < 0 .

Частным случаем уравнения (1) является линейная система разностных уравнений Ито с ограниченным запаздыванием

Х (5 + 1) = Х ( 5 ) + ^ [А 1 (5, 7 ) Х ( 7 ) + /1( 5 ) ]И +

у = 5 - л

2 2 [А, (5, у) х (у) + /1 (5) ]в, ((5 + 1) И) - В, (5И)) (5 е N + ), (2)

, = 2 у = 5 - Л

Х(у) = р(у) (у < 0),

где Л е N , /,(5) - 35-измеримая п-мерная случайная величина при 5 е N+, , = 1,..., т, И - достаточно малое действительное число, А, (5, у)- п х п -матрица, элементы которой 35-измеримые случайные величины при , = 1,..., т, у = 0,..., 5, 5 е N+, р(у) -30 -измеримая скалярная случайная величина при всех у < 0 .

Определение 1. Под решением уравнения (1) понимается последовательность случайных величин х(5) (5 е N+ ), где х(5) - 35 -измеримая п-мерная случайная величина, удовлетворяющая уравнению (1) Р - почти всюду. Заметим, что решением уравнения (1) является прогрессивно измеримый случайный процесс Х: ^ хО^ К".

Уравнение (1) называют однородным, если / (5) = 0 Р - почти всюду при 5 е N+, , = 1,..., т и р(у) = 0 Р - почти всюду при всех у < 0 . Уравнение (1) запишем в следующем виде:

Х(5 + 1) = Х(5) + [(КХ)(5) + /(5)]£(5) (5 е N+ ), (3)

( s s Л

где (Vx)(s) = ((Vx)(s),..., (Vmx)(s)) = £ A¿s, j)x(j),..., £ Am (s, j)x(j)

Vj=o j=о

Z (s) = (h, B2((s + 1)h) - B2(sh),..., Bm ((s + 1)h) - Bm (sh)),

m v

f(s) = (fi(s) + £ Ai(s, j)vV),..., f (s) + £ A (s, jMj)) •

j=-CO

Известно, что через любое x0 е kn проходит единственное решение уравнения (1) (соответственно уравнения (3)). Через xf (s,x0) (s е N+) будем обозначать решение уравнения (3), такое, что xf (0,x0) = 0 для любого x0 е kn, через x^(s,x0) (s е N+) обозначим решение уравнения (1) при f (s) = 0 P -почти всюду для s е N+, i = 1,..., m, проходящее через x0 е kn, т. е. xv (0, x0) = x0, а через x(s, x0) (s е N+) обозначим решение однородного уравнения (1) (соответственно однородного уравнения (3)), проходящего через x0 е kn, т. е. x(s,x0) = x0(s,x0) (s е N+).

Имеет место следующая лемма доказанная в [8].

Лемма 1. Для решения уравнения (3), проходящего через x0 е kn, имеет место представление

xf (s, x0) = X(s)x0 + (Cf) (s) (s е N+), (4)

где X(s) (s е N+ ) ( X(0) = E - единичная матрица) - n x n -матрица, столбцами которой являются решения однородного уравнения (3) (фундаментальная матрица), а C : ln ^ dn - линейный оператор (оператор Коши), такой, что (Cf )(0) = 0 и (Cf )(s) ( s е N+) - решение уравнения (3).

Пусть в дальнейшем 1 < p < го, l - некоторое фиксированное число, удовлетворяющее неравенству 1 < l < n , y(s) (s е N+ ) - последовательность положительных действительных чисел, dn - линейное пространство решений уравнения (5), ln - линейное пространство последовательностей n x m -матриц H (s) (s е N+ ), где элементы матрицы H(s) - 3s -измеримые случайные величины. Нетрудно убедиться в том, что V является линейным оператором, действующим из пространства dn в пространство ln. Для любого x е dn введем обозначения y = col(x1,..., xl), v = (xl+1,..., xn). Тогда x = col(y,v) и dn = d1 x dn-l. Если xi, i = 1,..., n - столбцы фундаментальной матрицы X для уравнения (3), то Y - l x n -матрица, столбцами которой являются yi, i = 1,..., n, построенные по xi, i = 1,..., n. В дальнейшем используются следующие линейные нормированные подпространства пространств dn и к":

def í / p

m ={x: x е dl, nm = sup (e|r(s)x(s)p j < ro}(mP = mp);

и и def( i P V/p кпр = [а:ае kn (T), \а\кП = (£|a|p j <го}.

+

Допустимость пространств и устойчивость относительно начальной функции

по части переменных

В дальнейшем через х0) обозначим I-мерный вектор, составленный из первых I компонент вектора х< х0).

Определение 2. Тривиальное решение однородного уравнения (1) (соответственно уравнения (3)) назовем:

- р-устойчивым относительно первых I компонент по начальной функции, если

для любого е > 0 найдется такое 3(е) > 0, что для любых <( j) , j < 0 и х0 е knp на-

чального процесса из неравенства E|x0|p + sup E | р( j) |p < S следует оценка

j <0

4Ms,p <£ пРи s e N +;

- асимптотически p-устойчивым относительно первых l компонент по начальной функции, если оно p -устойчиво относительно первых l компонент по начальной функции, и, кроме того, для любых начального процесса р( j), j < 0 и х0 e knp таких,

что E|x0|p + sup E | р(j) |p < S, будет выполнено lim E|y(s, x0) p = 0;

j <0

- экспоненциально p -устойчивым относительно первых l компонент, если найдутся такие числа с > 0, ß > 0, что выполнено неравенство

Ek(s,-Olp < c(E|X<)|p + supE \ P(j)\p)exp{-ßs} (s e N+).

j <0

Пусть b - линейное подпространство пространства dn с нормой Ц , Ь7 = f: f e b,f e b} - линейное пространство с нормой ||f|| = ||f||b, yV(s,X0) (s e N +) - l-мерный вектор, составленный из первых l компонент вектора Xf (s, X0) (s e N+) (y(s)(s e N+) и Xf (s,X0) (s e N+) определены в предыдущем пункте).

Определение 3. Будем говорить, что для уравнения (3) допустима пара (mrp, Ь7) по переменным X1,..., xl, если короче, y - допустима пара (mp, Ь7), если существует такое положительное число с, при котором для любых X0 e knp, f e Ь7 имеем yf (., X0) e m7p , причем выполнено неравенство

|yf (., X^llm7 < C(X0IK 41f llbP ). (5)

II irtp p

Пусть для уравнения (1) f(s) = 0 P - почти всюду при s e N+, i = 1,..., m и при

любой начальной функции р, такой, что sup E | р( j) |p случайный процесс f при-

j<0

надлежит некоторому нормированному подпространству Ь пространства dn, норма в котором удовлетворяет неравенству

||Д < K sup(E | p(j)|p)17p,

j <0

где K - некоторое положительное число. Тогда справедлива следующая лемма.

Лемма 2. Если для уравнения (3), соответствующего уравнению (1), y - допустима пара (mp, b) , то тривиальное решение однородного уравнения (1) (соответственно уравнения (3)) p -устойчиво относительно первых l компонент по начальной функции.

Доказательство. Действительно, в этом случае для любых x0 е knp, f е b имеем yf (., x0) е mp и

y (., Xo)| < «WxoWr +\\f\\b) < C(||x0|| k„ + K sup( E| (p(j)\p )x/p) < ^„Ц k„ + sup(E | cp(j)\p )x/p),

mp p p j <0 p j<0

где c, K, c - некоторые положительные числа. Отсюда, учитывая равенство yv(s,x0) = У/(s,x0) (s е N +), получим

sup(Ey,(., X0)p)"p < C(|xjr + sup(E((j)|p)"p).

s>0 1 1 kp j<0

Откуда и получается p -устойчивость относительно первых l компонент тривиального решения однородного уравнения (1) по начальной функции.

Лемма доказана.

Разумеется, в лемме 2 пространство b можно заменить на пространство bг. Тогда из y -допустимости пары (m7p, by) для уравнения (3), соответствующего уравнению (1), будет следовать экспоненциальная p -устойчивость относительно первых l компонент по начальной функции тривиального решения однородного уравнения (1), если y(s) = exp{ßs} (s е N+ ), ß > 0, и асимптотическая p-устойчивость относительно первых l компонент по начальной функции тривиального решения однородного уравнения (1), если y(s) > 5 > 0 (s е N+ ) для некоторого числа 5 и lim у(s) = .

s

Метод вспомогательных уравнений или W-метод

Так как x = col (y, v) и dn = d1 x d"'l , то уравнение (3) эквивалентно системе вида

íy(s +1) = y(s) + [(Vs)t) + (V2v)(s) + fy (s)]Z(s) (s е N + ),

[v(s +1) = v(s) + [(V3s)t) + (V4v)(s) + fv (s)]Z(s) (s е N + ), (6)

где V : d1 ^ d1, V2 : d"'1 ^ dl, V3 : d1 ^ d"'1, V4 : d"'1 ^ d"'1 - линейные операторы, которые определяются однозначно оператором V, fy е dl, fv е d"'1, f = co1 (fy, fv).

В силу того что через любое x(0) е k" проходит единственное решение x(s) (s е N + ) уравнения (3), каждое уравнение системы (6) в отдельности будет иметь единственное решение при любых фиксированных y(0) е k1k ,v е d"'1 и v(0) е k" 1, y е d1 соответственно. Тогда в силу леммы 1 второе уравнение системы (6) эквивалентно

v(s) = H(s)v(0) + (C (fv + V3y)(s) (s е N+), где H - фундаментальная матрица, а C1 - оператор Коши для второго уравнения системы (6). Следовательно, из первого уравнения системы (6) получим

y(s +1) = y(s) + [(V5 y)s) + (V2 (Hv(0)))(s) + VCfv (s) + fy (s)]Z(s) (s е N +), (7)

где V = V + VCV3.

Отсюда следует, что для уравнения (3) y допустима пара (mrp,br)тогда и только тогда, когда при любых x(0) е knp, f е bp решение уравнения (7) yf (., x(0)) принадлежит пространству mpp и для него выполнено неравенство (5).

Для установления принадлежности решения yf (., x(0)) уравнения (7) пространству mPp при любых x(0) е knp, f е bp и выполнимости для него неравенства (5) воспользуемся ^-преобразованием, эквивалентным преобразованиям уравнения (7). Для описания W-преобразования уравнения (7) рассмотрим модельное уравнение, асимптотические свойства решений которого известны.

Пусть модельное уравнение имеет вид

y(s +1) = y(s) + [Q(y)(s) + g(s)]Z(s) (s е N+), (8)

где Q: dl ^ dl - линейный оператор, g е dl. Предполагается, что через любое y(0) е kn проходит единственное (с точностью до P -эквивалентности) решение у-уравнения (8). Тогда, в силу леммы 1, для этого решения y имеет место представление y(s) = U(s)у(0) + (Wg)(s) (s е N+), где U - фундаментальная матрица, W-оператор Коши для уравнения (8).

Уравнение (7), используя модельное уравнение (8), перепишем в виде

y(s +1) = y(s) + [(Q(y)(s) + (V5 - Q)y)s) + (V2 (Hv(0)))(s) + (V2Cxfv (s) + fy (s)]Z(s) (s е N+) или y(s) = U (s) y(0) + (WV - Q) y)(s) + (WV2(Hv(0)))(s) + (W(V2Cf + fy )(s) (s е N+).

Обозначив W(V5 - Q) = 0, получим

((I - 0)y)(s) = U(s)y(0) + (WV2 (Hv(0)))(s) + (W(V2CJv + fy )(s) (s е N+).

Отметим, что здесь и в дальнейшем обратимость оператора (I - 0) : mp ^ mp будет означать, что оператор I -0 взаимно однозначно переводит пространство m,p на себя.

Теорема. Пусть Uy(0) + WV2(Hv(0)) + W(V2C1 fv + fy) е mpp для любых x(0) е knp, f е bp и || Uy(0) + WV2(Hv(0)) + W (V2 CJv + fy )||и, < C(||x(0)||k„ + ||f ||bp) для некоторого положительного числа c, а оператор 0 действует в пространстве mp. Тогда, если оператор (I -0) : mp ^ mp непрерывно обратим, то для уравнения (3) y -допустимости пары (mp, bp).

Доказательство. Ввиду непрерывной обратимости оператора (I - 0) : mpp ^ mpp уравнение (I - 0)y = g при g е mpp имеет единственное решение из mpp, т. е. y = (I -0) 1 g е mp. Отсюда и из условий теоремы получим, что

(I-0)-1(Uy(0) + WV2(Hv(0)) + W(V2C1fv + fy)) е mpp для любых x(0) е kp,, f еbp и выполнено неравенство

|| Uy(0) + WV2 (Hv(0)) + W(V2CJv + fy) ||mp < c(|| x(0) ||kn + || f lb)

для некоторого положительного числа c. Но, с другой стороны, y,(., х(0)) = (I-0)-1(Uy(0) + WV2(Hv(0)) + W(V2Cfv + fy)). Следовательно, y„(., *(0)) e m7p

для любых x(0) e knp, f e b7, и для него выполнено неравенство (5), а это означает y -

допустимость пары (m7p, b7) для уравнения (3).

Теорема доказана.

При использовании теорем наиболее трудным является вопрос нахождения условий непрерывной обратимости оператора (I - 0): m7p ^ m7p . Непрерывную обратимость оператора (I - 0): m7p ^ m7p можно установить, оценивая норму оператора 0 в пространстве m7p. Если она меньше 1, то непрерывная обратимость гарантирована.

Литература

1. Kadiev R., Ponosov A. The W-transform in stability analysis for stochastic linear functional difference equations // J. Mathem. Analysis and Appl. - 2012. - Vol. 389. Issue 2. -P. 1239-1250.

2. Kadiev R., Ponosov A. Exponential stability of Ito-type linear functional difference equations // Computers & Mathematics with Applications. - 2013. - Vol. 66, № 11. -P. 2295-2306.

3. Азбелев Н.В., Березанский Л.М., Симонов П.М., Чистяков А.В. Устойчивость линейных систем с последствием. 1 // Диф. уравнения. - 1987. - Т. 28, № 5. - С. 745754.

4. Березанский Л.М. Развитие W-метода Н.В. Азбелева в задачах устойчивости решений линейных функционально-дифференциальных уравнений // Диф. уравнения. -1986. - Т. 22, № 5. - С. 739-750.

5. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1991. - 280 с.

6. Berezansky L., Braverman E. On exponential dichotomy, Bohl Perron type theorems and stability of difference equations // J. Math. Annal. Appl. - 2005. - № 304. - Р. 511-530.

7. Braverman E., Karabach I.M. Boh-Perron-type stability theorems for linear difference equations with infinite delay // J. оf Difference Eqs. and Appl. - 2012. - V. 5, № 5. -Р. 909-939.

8. Kolmanovskii V.B. and Nosov V.R. Stability of functional Differential Equations. -New York: Academic Press, 1986. - 217 p.

9. Mohammed S.-E.F. Stochastic Functional Differential Equations. - Boston-LondonMelbourne: Pitman Advanced Publishing Program. - 1984. - Research notes in Mathematics. № 99. - 245 p.

10. Kadiev R., Ponosov A. The W-transform in stability analysis for stochastic linear functional difference equations // J. Mathem. Analysis and Appl. - 2012. - Vol. 389. Issue 2. - Р.1239-1250.

11. Kadiev R.I., Ponosov A.V. Partial Lyapunov stability of linear stochastic functional differential equations with to initial values // Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems, Series A: Mathematical Analysis. - 2008. - Vol. 15, № 5. - P. 727-754.

12. Кадиев Р.И. Допустимость пар пространств по части переменных для линейных стохастических функционально-дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Математика. - 1994. - № 4. - С. 1-10.

13. Кадиев Р.И. Достаточные условия устойчивости по части переменных линейных стохастических систем с последействием // Изв. вузов. Математика. - 2000. - № 6. -С. 75-79.

14. Кадиев Р.И., Шахбанова З.И. Устойчивость по начальным данным по части переменных решений линейных систем функционально-разностных уравнений Ито // Вестник ДГУ. - 2015. - Вып. 1. - С. 11-18.

Поступила в редакцию 23 ноября 2015 г.

UDC 517.929.4+519.21

Stability of solutions of linear systems of differential Ito equations with aftereffect relative to the initial functions on the part of variables

R.I. Kadiev1'2, Z.I. Shakhbanova1

1 Dagestan State University; Russia, 367001, Makhachkala, M. Gadzhiev st., 43 a;

2 Dagestan Research Centre of the Russian Academy of Sciences; Russia, 367000, Makhachkala, М. Gadzhiev st., 45; kadiev raimail.ru

The work deals with the questions of the torque stability of solutions on the part of the variables relative to the initial functions of linear systems of differential Ito equations with aftereffect. The method of the auxiliary or "modal" equations applied to the study of these issues for the equations under consideration has been developed. Studying the torque stability of solutions on the part of the variables relative to the initial functions of linear systems of differential Ito equations with aftereffect has been carried out as a particular case of the admissibility of spaces on the part of the variables for the appropriate functional and differential Ito equations. The statement establishing connection between the torque stability of solutions on the part of the variables relative to the initial functions of linear differential Ito equations with aftereffect and the admissibility of spaces on the part of the variables of the appropriate functional and differential Ito equations has been proved. The presence of the latter fact is checked by the transformation of the initial equation to simpler equation by means of the auxiliary equation. The article contains the diagram this transformation.

Keywords: differential Ito equations, stability of solutions on the part of the variables.

Received 23 November, 2015