Ограниченные на оси решения линейных неоднородных систем дифференцальных уравнений Ито Текст научной статьи по специальности «Математика»

Подставляя 6 = ||^f (')||£те(к^)/\\(—^)а/21(')11ь2(к^) в выражение для Б, получаем после несложных преобразований требуемое неравенство. На функции /(-), как легко убедиться, оно обращается в равенство и поэтому константа К — наименьшая из возможных.

Подобные неравенства, но когда вместо степеней оператора Лапласа рассматриваются производные, изучались в работе [2]. Доказательство данного неравенства следует рассуждениям из этой работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Выпуклый анализ и его приложения. М.: Эдиториал УРСС, 2003 2-е

изд.

2. Магарил-Ильяев Г.Г., Осипенко К.Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по приближенной информации о спектре и неравенства для производных // Функциональный анализ и его приложения. 2003. Т. 37. Вып. 3. С. 51-64.

Abstract: the paper is devoted to determination of the exact constant in the inequality for fractional powers of Laplace operator; the proof is based on the Lagrange principle in theory of extremum.

Keywords: Laplace operator; extremal problem; Fourier transform.

Сивкова Елена Олеговна

старший преподаватель

Московский государственный институт

радиотехники, электроники и автоматики

Россия, Москва

e-mail: sivkova [email protected]

Elena Sivkova

senior teacher

Moscow State Institute of

Radiotechnics, Electronics and Automatics

Russia, Moscow

e-mail: sivkova [email protected]

УДК 517.921

ОГРАНИЧЕННЫЕ НА ОСИ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ИТО 1

© П. М. Симонов, А. В. Чистяков

Ключевые слова: винеровский процесс; линейное уравнение Ито; задача об ограниченных решениях, теорема Боля-Перрона; равномерно экспоненциальная устойчивость.

Аннотация: Для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений Ито

йх(Ь) = а(1)х(1)А + Ь(1)х(Ь)ш(&) + ф(&) (Ь € М)

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и администрации Пермского края (грант № 07-01-96060-р-урал-а) и ЗАО “ПРОГНОЗ”.

с интегрально ограниченными (в среднем) коэффициентами изучается вопрос о существовании единственного ограниченного решения при ограниченном аддитивном возмущении ф(&), являющимся стохастической ограниченной мерой; показано, что если класс возмущений достаточно велик (содержит абсолютно непрерывные меры с суммируемой плотностью), то существование ограниченного решения возможно только в случае равномерной экспоненциальной устойчивости, то есть очень быстрой стабилизации решений однородной системы; это утверждение — прямое следствие сильной необратимости потока событий, необходимого для реализации винеровской меры w(dt).

Рассмотрим линейную систему уравнений Ито

dx(t) = A(t)x(t)dt + B(t)x(t)w(dt) + f (t)dt, t £ R, (10)

где n x n-матричные процессы A(t), B(t) и n-мерный процесс f (t) согласованы с по током ст-алгебр (Ft)teR, порожденным на исходном вероятностном пространстве (0,,F, P) скалярной винеровской мерой w(dt). Винеровской мерой называется стохастическая мера на R, такая, что при всех s £ R случайный процесс ws(t) = w([s,t)), t ^ s является стандартным броуновским движением на полуоси [s, ж).

Для нормировки случайных величин со значениями в конечномерных нормированных пространствах зафиксируем число p £ [1, ж) и положим \^\ = (Е\\^>\\р)1/р. Случайный процесс x(t)

будем называть ограниченным, если sup \x(t)\ < ж. Соответственно, процесс f (t) будем называть

teR

t+1

интегрально ограниченным, если sup \ f \\f (s)\\ ds\ < ж. При условиях:

teR t

t+S t+S

a) supvrai sup / \\A(s)\\ds Srl0!+ 0; b) supvrai sup / \\B(s)\\2 ds Srl^+ 0

teR J teR J

tt

задача Коши dx(t) = A(t)x(t)dt + B(t)x(t)ws(dt) + f (t)dt, t > s, x(s) = xs имеет единственное pe-Fs xs Ft f(t)

Уравненпе (10) называется равномерно экспоненциально устойчивым, если существуют константы C > 0 и а > ^ ^то при всех s £ R для любого решения однородной задачи Коши

справедлива оценка \x(t)\ < Ce-a(t-s')\xs\, t > s.

Ft x(t) t £ R

что при каждом s £ R ограничение x(t) ^а полуось [0, ж) является решением задачи Коши.

x(t)

f(t)

экспоненциально устойчиво.

ф( dt)

is stochastic bounded measure, is investigated for the linear system of It6 ordinary differential equations

dx(t) = a(t)x(t)dt + b(t)x(t)w(dt) + ф^М) (t £ R)

with integrally bounded (on the average) coefficients; it is showed, that if the class of these changes is enough wide (contains absolutely continuous measures with summable density), then existence of bounded solution is possible only in case of uniform exponential stability, i. e. very fast stabilization of solution of homogeneous system; this statement is the direct corollary of the strong events flow irreversibility which is necessary for

w( dt)

Keywords: Wiener process; linear equation Ito; problem about the bounded solution; Bohl-Perron’s theorem; uniformly exponentially stability.

Симонов Пётр Михайлович

д. ф.-м. н., профессор

Пермский государственный университет

Россия, Пермь

e-mail: [email protected]

Petr Simonov

doctor of phys.-math. sciences, professor Perm State University,

Russia, Perm

e-mail: [email protected]

Чистяков Александр Владимирович к. ф.-м. п., доцент

Удмуртский государственный университет Россия, Ижевск e-mail: [email protected]

Aleksandr Chistyakov

candidate of phys.-math. sciences, senior lecturer

Udmurtian State University Russia, Izhevsk e-mail: [email protected]

УДК 517.977.5

МОНОТОННЫЕ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ В ОПТИМАЛЬНОМ УПРАВЛЕНИИ 1

© С. П. Сорокин

Ключевые слова: функции Ляпунова; неравенства Гамильтона-Якоби; множество достижимости; условия оптимальности.

Аннотация: В докладе речь пойдет об оценках множеств достижимости и связанных с ними необходимых и достаточных условиях оптимальности в задачах управления; оценки и условия оптимальности основаны на использовании семейств функций типа Ляпунова - решений неравенств Гамильтона-Якоби.

Решения неравенств и уравнения Гамильтона-Якоби (то есть функции типа Ляпунова, Кротова, Веллмана) находят широкое применение в теории управления при изучении вопросов инвариантности, достижимости, управляемости и оптимальности [1-4]. В докладе речь пойдет об аппроксимациях и точном описании множества достижимости (точнее, множества соединимых точек) управляемой системы, оценках целевого функционала задачи и условиях оптимальности. Ключевую роль в подходе играет оперирование произвольными множествами таких функций.

Приведем некоторые из указанных результатов применительно к следующей задаче оптимального управления (Рд) с общими (не разделенными) концевыми ограничениями:

х = /(Ь,х,п), «(£) е и, (1)

(ж(£о),ж(^)) е С,

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 07-01-00741) и СО РАН (интеграционный проект СО РАН-УрО РАН № 85).