Монотонные решения неравенств Гамильтона-Якоби в оптимальном управлении Текст научной статьи по специальности «Математика»

Симонов Пётр Михайлович

д. ф.-м. и., профессор

Пермский государственный университет

Россия, Пермь

e-mail: simonov@econ.psu.ru

Petr Simonov

doctor of phys.-math. sciences, professor Perm State University,

Russia, Perm

e-mail: simonov@econ.psu.ru

Чистяков Александр Владимирович к. ф.-м. н., доцент

Удмуртский государственный университет Россия, Ижевск e-mail: simpm@mail.ru

Aleksandr Chistyakov

candidate of phys.-math. sciences, senior lecturer

Udmurtian State University Russia, Izhevsk e-mail: simpm@mail.ru

УДК 517.977.5

МОНОТОННЫЕ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ В ОПТИМАЛЬНОМ УПРАВЛЕНИИ 1

© С. П. Сорокин

Ключевые слова: функции Ляпунова; неравенства Гамильтона-Якоби; множество достижимости; условия оптимальности.

Аннотация: В докладе речь пойдет об оценках множеств достижимости и связанных с ними необходимых и достаточных условиях оптимальности в задачах управления; оценки и условия оптимальности основаны на использовании семейств функций типа Ляпунова - решений неравенств Гамильтона-Якоби.

Решения неравенств и уравнения Гамильтона-Якоби (то есть функции типа Ляпунова, Кротова, Веллмана) находят широкое применение в теории управления при изучении вопросов инвариантности, достижимости, управляемости и оптимальности [1-4]. В докладе речь пойдет об аппроксимациях и точном описании множества достижимости (точнее, множества соединимых точек) управляемой системы, оценках целевого функционала задачи и условиях оптимальности. Ключевую роль в подходе играет оперирование произвольными множествами таких функций.

Приведем некоторые из указанных результатов применительно к следующей задаче оптимального управления (Рд) с общими (не разделенными) концевыми ограничениями:

х = /(Ь,х,п), п(1) £ и, (1)

(ж(£о),ж(£1)) £ С,

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 07-01-00741) и СО РАН (интеграционный проект СО РАН-УрО РАН № 85).

= l(x(to),x(ti}) — inf .

Здесь А = [t0, ti] - фиксированный отрезок времени, (x(-),u(•)) £ AC (А, М™) xL^(A, U) - процесс системы, множество U С Мт компактно, C замкнуто, множество скоростей системы f (t,x,U) выпукло, функция f непрерывна и липшицева по x равномерно по (t,u), l - непрерывна.

Введем множество точек, соединимых траекториями системы (1):

R := {(x0,xi) £ М™ х М™ | 3 x(-) : x(t0) = x0, x(ti) = xi}.

Рассмотрим два неравенства Гамильтона-Якоби

Pt(t, x, y) + max{^(t, x, y) ■ f (t, x,u) | u £ U} ^ 0 п.в. на А х М™ х М™, (2)

Pt(t, x, y) + max{^(t, x, y) ■ f (t, x,u) | u £ U} ^ 0 п.в. на А х М™ х М™, (3)

в качестве решений которых будем рассматривать локально липшицевые (для (2)) и локально

липшицевые и полувогнутые по (t, x) (для (3)) функцпп ^(t, x, y), зависящие от y как от пара-

метра и удовлетворяющие условию согласования

<^(t0,x, x) ^ 0 ^ x £ prx0C,

в предположении, что множество prx0C замкнуто. Множество решений неравенства (2) обозначим через Ф+, а неравенства (3) — через Ф_.

Отметим, что функции из Ф+ обладают свойством сильной монотонности — они не возрастают вдоль всех траекторий системы (1), а функции из Ф_ являются слабо монотонными — для каждой р £ Ф_ существует траектория системы (1), вдоль которой р не убывает. Все такие функции мы

L

Введем оценивающее множество, порожденное L-функцией р:

E(р) := {(x0,xi) £ М™ х М™ | р(t1,x1,x0) ^ 0; p(t0,x0,x0) ^ 0}.

Следующая теорема об аппроксимациях и точном описании множества R обобщает некоторые результаты работ [2, 4] на задачи с общими концевыми ограничениями (Рд).

Теорема!., а) Любое множество функций Ф С Ф+ дает внешнюю аппроксимацию множества соединимых точек:

П E(р) D R.

^еФ

б) Любое множество функций Ф С Ф_ дает внутреннюю аппроксимацию множества соединимых точек:

U E(р) С R.

в) Существует такая полувогнутая функция р £ Ф+ П Ф_, что

E (р) = R.

Сделаем ряд замечаний к теореме.

L

может показаться неожиданным, однако оно вполне естественно, так как речь идет об аппрокси-

М™ х М™

L

нацелено на получение предельно подходящих оценок множества соединимых точек, а с другой -

в конкретных задачах это позволяет более широко использовать гладкие ¿-функции [3, 4] вместо существенно негладких (скажем, полунепрерывных).

На основе теоремы 1 получаются нижние и верхние оценки точной нижней грани целево-

(Рд)

локальной и глобальной оптимальности. Отметим, что эти достаточные условия являются предпочтительными по гибкости и удобству в приложениях по сравнению с условиями В.Ф. Кротова и их известными модификациями (например, [5]).

ЛИТЕРАТУРА

1. Clarke F.И., Ledyaev Yu.S., Stern R.J., Wolenski P.R. Nonsmooth Analysis and Control Theory. Springer-Verlag, N. Y., Grad. Texts in Math. 1998. V. 178.

2. Хруста,лев М.М. Точное описание множеств достижимости и условие глобальной оптимальности динамических систем. I. Оценки и точное описание множеств достижимости и управляемости // Автоматика и телемеханика. 1988. № 5. С. 62-71.

3. Дыхта В.А. Неравенство Ляпунова-Кротова и достаточные условия в оптимальном управлении // Итоги науки и техники. Совр. математика и ее приложения. 2006. Т. 110. С. 76-108.

4. Аргучинцев А.В., Дыхта В.А., Срочко В.А. Оптимальное управление: нелокальные условия, вычислительные методы и вариационный принцип максимума // Известия вузов. Математика. 2009. № 1. С. 3-43.

5. Clarke F.H., Nom С. Nonconvex Duality in Optimal Control // SIAM J. Control and Optimization. 2005. V. 43, № 6. P. 2036-2048.

Abstract: the report is devoted to estimating of reachable sets for control dynamic systems and to obtaining necessary and sufficient optimality conditions for optimal control problems; the estimations and the optimality conditions are based on using of a set of Lyapunov type functions, i.e., solutions to Hamilton-Jacobi inequalities.

Keywords: Lyapunov type functions; Hamilton-Jacobi inequalities; reachable set; optimality conditions.

Сорокин Степан Павлович аспирант

Институт динамики систем и теории управления Сибирского отделения РАН Россия, Иркутск e-mail: sorsp@mail.ru

Stepan Sorokin post-graduate student Institute of System Dynamics and Control Theory of Siberian Department of RAS Russia, Irkutsk e-mail: sorsp@mail.ru

УДК 519.85

РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА ФУЖЕРА 1

© М. В. Старое

Ключевые слова: базисы Гребнера; метод Фужера; модулярные методы.

Аннотация: Строится алгоритм вычисления базиса Гребнера методом Фужера F4; этот алгоритм реализован модулярно с применением метода CRT (Китайской теоремы об остатках).

1Работа выполнена при поддержке программы "Развитие потенциала высшей школы" (проект 2.1.1/1853).