Точное неравенство для дробных степеней оператора Лапласа Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сазонов Анатолий Юрьевич к. ф.-м. н., доцент

Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: [email protected]

Фомичёва Юлия Геннадиевна к. ф.-м. н., доцент

Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: [email protected]

Anatolij Sazonov

candidate of phys.-math. sciences, senior lecturer

Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov [email protected]

Juliya Fomicheva

candidate of phys.-math. sciences, senior lecturer

Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov e-mail: [email protected]

УДК 517.51

ТОЧНОЕ НЕРАВЕНСТВО ДЛЯ ДРОБНЫХ СТЕПЕНЕЙ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА 1

© Е. О. Сивкова

Ключевые слова: оператор Лапласа; экстремальная задача; преобразование Фурье.

Аннотация: Работа посвящена определению точной константы в неравенстве для дробных степеней оператора Лапласа; доказательство основывается на принципе Лагранжа в теории экстремума.

Неравенства для степеней различных операторов играют важную роль в анализе, теории приближений и теории дифференциальных уравнений. Здесь приводится точное неравенство, связывающее дробные степени оператора Лапласа функции и ее преобразование Фурье.

Пусть А — оператор Лапласа на Md, то есть А сопоставляет гладкой функции f () функцию

д2 f д2f

Af <x>=4 <x>+-+4 ы

Если существует преобразование Фурье F функций f (■) и Af (•), то нетрудно видеть, что (F Af )(£) =

= -Id2 Ff (О, где |С|2 = £? + ... + &

Для каждого а ^ 0 оператор (—А)а/2, действующий по правилу (—A)a/2f (x) = F 1(\£IaF f (£))(x), где F-1 — обратное преобразование Фурье, называется а-ой степенью оператора Лапласа. Ясно, что (—А)0 — тождественный оператор.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант №

09-01-90200).

Рассмотрим следующее пространство

^(К*) _ {/(•) е I Р/(•) е Ь^), (-А)а/2/(•) е Ь2(ЖЛ) }.

Теорема. Пусть 0 ^ @ < а. Для всех /(•) е №0, 2(^) справедливо точное неравенство

СЮ,.

2(а-в) d+2@

ll(—A)e/2f(•)Bb!(«d, < K||FfOlIjd+RdJK—A)a/2f(-)i'd+2a

L»(Rd)

где

а —в

r = ir(R л\ = ld + 2a ( 2l-d ) d+2

(в’а’ ) у d + 2 Д nd/2r(d/2)(d + 2а) J '

K

Приведем краткую схему доказательства. Пусть 6 > 0. Рассмотрим экстремальную задачу на W“,2(Md):

||(—A)e/2f(')|L2(«d) ^ max, \\Ff ()\|

L^(Rd) ^ 6,

ll(—A)a/2f(■)Bi2(«d) < 1. (1)

Если перейти к образам Фурье, то, по теореме Планшереля, квадрат значения данной задачи (то есть величина верхней грани максимизируемого функционала) будет равен значению такой задачи

jAd f |^|Ff(0!2 d£ ^ max, |Ff(£)|2 < 62, ( |£|2a|Ff (£)|2 d£ < 1, (2)

(2n) J Rd (2n) J Rd

где неравенство в первом ограничении выполняется для почти всех £ G Md.

Относительно переменной Ff ()|2 данная задача является задачей выпуклого программирования. Используя стандартные методы выпуклой оптимизации (см., напр., [1]), можно доказать, что функция /(•) такая, что

[б, № ^ а;

F № = [

[0, |£| > ^,

ГД6

/ \ 1

(2d-1nd/2(d + 2a)r(d/2)\ d+2a

а

62

является ее решением. Подставляя эту функцию в максимизируемый функционал в (2), а затем извлекая квадратный корень, получаем, что значение 5 задач и (1) таково

_ _ /й + 2а/ 622— у+2“

У й + 2в\пл/2Т(й/2)) '

Пусть теперь /(•) — произвольная функцпя из ^0, 2(^)1 отличная от нуля. Положим д( ) /(0/И(-А)“/2/(.^\\ь2(к*)- Тогда ЯСНО, ЧТО ||(-А)“/2дО||ь2(К^ _ 1 Ъ ||рд(-)ка(^)

\\Р/(•)\\ьат/\\(-А)а/2/(•)!! £2(К^), то есть д() удовлетворяет ограничениям задачи (1) с 6 ИР/)/И(-АГ/2/■(■)«!, («^). Следовательно,

НС М0/27ПН И(-А)в/2/НИ^^) / 5

И(-А) _ И(-А)“/2/(.)||ад« * *•

Подставляя 6 _ ||Р/(•)И^а(к^)/11(-А)а/2/(•)И^2(к^) в выражение для 5, получаем после несложных преобразований требуемое неравенство. На функции /(•), как легко убедиться, оно обращается в равенство и поэтому константа К — наименьшая из возможных.

Подобные неравенства, но когда вместо степеней оператора Лапласа рассматриваются производные, изучались в работе [2]. Доказательство данного неравенства следует рассуждениям из этой работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Выпуклый анализ и его приложения. М.: Эдиториал УРСС, 2003 2-е

изд.

2. Магарил-Ильяев Г.Г., Осипенко К.Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по приближенной информации о спектре и неравенства для производных // Функциональный анализ и его приложения. 2003. Т. 37. Вып. 3. С. 51-64.

Abstract: the paper is devoted to determination of the exact constant in the inequality for fractional powers of Laplace operator; the proof is based on the Lagrange principle in theory of extremum.

Keywords: Laplace operator; extremal problem; Fourier transform.

Сивкова Елена Олеговна

старший преподаватель

Московский государственный институт

радиотехники, электроники и автоматики

Россия, Москва

e-mail: sivkova [email protected]

Elena Sivkova

senior teacher

Moscow State Institute of

Radiotechnics, Electronics and Automatics

Russia, Moscow

e-mail: sivkova [email protected]

УДК 517.921

ОГРАНИЧЕННЫЕ НА ОСИ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ИТО 1

© П. М. Симонов, А. В. Чистяков

Ключевые слова: винеровский процесс; линейное уравнение Ито; задача об ограниченных решениях, теорема Боля-Перрона; равномерно экспоненциальная устойчивость.

Аннотация: Для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений Ито

йх(Ь) _ а(Ь)х(Ь)йЬ + Ъ(Ь)х(Ь)'ю(д1) + ф(сМ) (Ь е М)

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и администрации Пермского края (грант № 07-01-96060-р-урал-а) и ЗАО “ПРОГНОЗ”.